Бифуркация решений - Деома

Бифуркация решений
Интерактивные иллюстрации
По заказу педагогического факультета МГУ
Идея профессора Н.Х. Розова
Для полноценного использования материала установите программу GinMA
с сайта www.deoma-cmd.ru и активируйте её.
Все иллюстрации — это интерактивные рисунки. Для их активации
необходимо навести курсор на иллюстрацию,
нажать Cntr и выполнить щелчок левой клавишей мыши.
Термин Бифуркация буквально означает «развилка» или «разделение
надвое» (от латинских слов Bi – двойной, Furca – развилка). Пусть имеется
система, зависящая от некоторого параметра. Если при каком-то значении
параметра в системе происходит качественная перестройка, её изменение
при изменении параметра, говорят о бифуркации.
В содержащем воду мире бифуркация происходит при температуре
0°С или 100°С. Люди используют разную обувь и устанавливают на
машины разные шины в зависимости от такого параметра, как температура.
Бифуркация сопровождает выбор письменности (иероглифы или буквы),
религии, государственного строя, президента. Здесь параметр – это время.
Бифуркации в алгебре
Рассматриваем различные уравнения с параметрами. Исследуем число корней этих
уравнений.
Рис.1. Исследуем число решений уравнения a+b x=0 . Параметры уравнения
задают две активные точки. Найдите условие, когда решение одно, когда решений нет и
когда число решений не меньше двух.
Рис.2. Исследуем число решений уравнения | x−a |=b x . Параметры уравнения
задают две активные точки. Найдите условие, когда решение одно, когда решений нет,
когда число решений равно двум и когда число решений не меньше двух..
Рис.3. Исследуем число решений уравнения x 2+ax+b=0 . Параметры
уравнения задают абсцисса и ордината одной активной точки. Найдите условие, когда
решение одно, когда решений нет, когда число решений равно двум и когда число
решений не меньше двух.. Постройте линию бифуркации числа решений.
Рис.4. Исследуем число решений уравнения x 3+a x 2+b x+c=0 . Параметры
уравнения задают две активные точки. Найдите условие, когда решение одно, когда
число решений равно двум и когда число решений не меньше двух.. Постройте линию
бифуркации числа решений.
Бифуркации в планиметрии
Рассматриваем решения различных геометрических задач. Эти решения могут
качественно изменяться при изменении управляющих параметров конфигурации.
Рис.5. Исследуем вид кратчайшего замкнутого пути внутри треугольника,
содержащего точки на каждой стороне. Путь может представлять собой треугольник
или отрезок. Найдите условия при которых путь вырождается в отрезок.
Рассмотрим пример бифуркации в планиметрии. На сторонах ВС, АС и АВ
треугольника ABC расположены точки D, Е и F, соответственно. Найдите такое
положение точек, при котором замкнутая ломаная DEF имеет наименьшую длину. В
результате типичного решения с использованием зеркальных отражений отрезков
ломаной в сторонах треугольника получим, что вершинами искомого треугольника
являются основания высот треугольника АВС.
Исследуем решение, выбрав
параметром один из углов треугольника. Например, увеличиваем угол С. В момент,
когда С = 90°, ломаная превращается в отрезок – высоту, опущенную из прямого
или тупого угла, проходимую дважды. Это – пример бифуркации. Параметром
является величина угла. Результат бифуркации – превращение треугольника в
отрезок и обратно.
Рис.6. Исследуем вид кратчайшего замкнутого пути внутри вписанного
четырёхугольника, содержащего точки на каждой стороне. Путь может представлять
собой четырёхугольник, треугольник или отрезок (наименьшую диагональ). В общем
случае имеется множество путей одинаковой длины. Активная точка Е' позволяет
выбрать один из них. Найдите условия, при которых путь единственен, когда он
вырождается в треугольник или в отрезок.
Рис.7. Исследуем зависимость величины вписанного угла АСВ, опирающегося на
заданную хорду АВ в круге от положения точки С. Проверьте, что эта величина
принимает одно из двух значений, а в точках бифуркации решения она не определена.
Рис.8. Исследуем зависимость количества попарно касающихся окружностей,
вписанных в эллипс от определяющих параметров. Это пример бифуркации в
геометрии, в классе красивых задач сангаку, из японской храмовой математики. В
японской традиции нарисовать ответ, но не пояснять, как построено решение. Пусть
центры семи попарно касающихся вписанных в эллипс окружностей расположены на
большой оси эллипса. Исследуйте возможность такого построения. Исходно с
использованием семи цветов радуги нарисованы 7 вписанных в эллипс окружностей.
Можно изменять эллипс, пользуясь фокусами F и F' и точкой В на малой полуоси.
Можно задать левую окружность, пользуясь её центром С. Перемещая точки,
рассмотрите, как правые окружности «заходят в тупик», а затем «вылетают» из эллипса.
Рис.9. Рассмотрим пример бифуркации для алгебраических кривых. Точка С
расположена на окружности с центром в Q радиуса r, которая катится без
проскальзывания внутри по неподвижной окружности радиуса R = mr, m > 1 с центром
О. Рисунок иллюстрирует траектории, описываемые точкой, при разных значениях
параметра m. Вы можете заметить, какой простой становится кривая при малых целых
значениях m и как резко она усложняется для нецелых m.
Бифуркации в стереометрии
Рассматриваем решения различных стереометрических задач. Эти решения могут
качественно изменяться при изменении управляющих параметров конфигурации.
Рис.10. Пример бифуркации в стереометрии. На рисунке показаны сечения куба
плоскостью. На первом рисунке в файле плоскость перпендикулярна диагонали куба,
на втором наклонена к ней под небольшим углом. Исследуйте зависимость числа
вершин сечения от положения управляющей сечением точки Р.
Рис.11. Пример бифуркации в явлении, которое можно отнести и к физике, и к
стереометрии. В параболическом бокале, сечение которого описывает уравнение
2
2
z=k ( x + y ) , лежит скользкий персик (сфера). Бокал задают точки O и k, положение
персика его центр Q. Исследуем положение точек касания персика с бокалом. Система

z = kx 2 ,
 2
2
2
уравнений в плоскости y=0 имеет вид;  x + ( z − z 0 ) = R , . Решение (0,0), то есть
 x(2k ( z − z ) − 1) = 0.
0

дно бокала, возможно лишь при 2kR ≤ 1. Иначе скользкий персик отрывается от дна
2
бокала и его центр поднимается на высоту z 0 = kR +
1
> R.
4k
Рис.12. Пример бифуркации кратчайшего пути по поверхности куба между двумя
точками, лежащими в разных гранях. Необходимо найти линию бифуркации B'K.
Рис.13. Пример бифуркации кратчайшего пути по поверхности прямоугольного
параллелепипеда между двумя точками, лежащими в противоположных гранях.
Необходимо найти линию бифуркации решений при фиксированной одной точке.
Рис.14. Пример бифуркации сечения прямого кругового цилиндра плоскостью.
Сечение в общем случае является эллипсом, однако может превратиться в окружность,
пару прямых или одну прямую.
Рис.15. Пример бифуркации четырёхугольника, вершинами которого являются
середины сторон данного четырёхвершинника. Четырёхугольник в общем случае
является параллелограммом, однако может превратиться в прямоугольник, квадрат, а
может вообще перестать быть параллелограммом.
Рис.16. Пример числа вершин куба. Пусть вершина О квадранта находится в
центре единичного куба. Сколько вершин куба может быть внутри квадранта?
Рис.17. В кубе проделано такое отверстие, через которое можно протащить куб,
равный данному. При некоторых положениях отверстия, тело возникшее в результате
просверливания отверстия является телом без разрывов. В других случаях это
разорванное кольцо.