14 ÊÂÀÍT 1999/¹3 Ñóììû êâàäðàòîâ è öåëûå ãàóññîâû öèñëà Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ «Çà÷åì ñêëàäûâàòü ïðîñòûå ÷èñëà? íåäîóìåâàë âåëèêèé ôèçèê Ëàíäàó. Ïðîñòûå ÷èñëà ñîçäàíû äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ óìíîæàòü, à íå ñêëàäûâàòü!» Ç À×ÅÌ ÑÊËÀÄÛÂÀÒÜ ÊÂÀÄÐÀÒÛ ÖÅËÛÕ ×ÈÑÅË? «Äåòàëè» ýòî êðèòåðèé òîãî, êàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë.  äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî êðèòåðèÿ áóäóò èñïîëüçîâàíû íå òîëüêî «îáû÷íûå» öåëûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà êîìïëåêñíûå ïðåêðàñíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ àáñòðàêòíîé òåîðèè ê êîíêðåòíîé àðèôìåòè÷åñêîé çàäà÷å! Õîòÿ ýòà ñòàòüÿ ñîäåðæèò ëèøü ìàëóþ ÷àñòü áîãàòåéøåé òåîðèè äåëèìîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, íàäååìñÿ, åå î÷àðîâàíèå íèêîãî íå îñòàâèò ðàâíîäóøíûì. Èëëþñòðàöèÿ Â.Âëàñîâà Ïî÷åìó áû íå ñêëàäûâàòü èõ êóáû èëè 666-å ñòåïåíè? Âîïðîñû ýòè âåñüìà ñåðüåçíû è âñòàþò ïåðåä êàæäûì, êòî íà÷èíàåò èçó÷àòü ìàòåìàòèêó. Èç îãðîìíîãî ðàçíîîáðàçèÿ çàäà÷ íå âñå äîñòîéíû ïðèñòàëüíîãî âíèìàíèÿ. Çàäà÷à î ñóììå êâàäðàòîâ â âûñøåé ñòåïåíè äîñòîéíà. Ê ñîæàëåíèþ äëÿ ôèëîñîôà, ýòî íåâîçìîæíî îáúÿñíèòü, íå ðàññêàçàâ åå ðåøåíèå è íå óãëóáèâøèñü òåì ñàìûì â äåòàëè. 1* ÑÓÌÌÛ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ È ÖÅËÛÅ Åñëè âû âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå çà âû÷èñëåíèÿìè â îñíîâíîì òåêñòå è áóäåòå ðàññìàòðèâàòü óïðàæíåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà íå òîëüêî êàê îòíèìàþùèå âðåìÿ (íåèçáåæíî îíè îáëàäàþò ýòîé îñîáåííîñòüþ), íî è êàê ïðåäñòàâëÿþùèå èíòåðåñ, äîñòàâëÿþùèå íàñëàæäåíèå è ïîíèìàíèå, òî ÿ óáåæäåí, ÷òî âû ñìîæåòå îöåíèòü êàê ìîùü, òàê è êðàéíþþ ïðîñòîòó òåîðèè. Ã.Ýäâàðäñ Òàáëèöà ñóìì êâàäðàòîâ Ðàññìîòðèì òàáëèöó, â âåðõíåé ñòðîêå è ëåâîì ñòîëáöå êîòîðîé êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë, à â äðóãèõ êëåòêàõ ñóììû êâàäðàòîâ: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 4 5 8 13 20 29 40 53 68 85 104 9 10 13 18 25 34 45 58 73 90 109 16 17 20 25 32 41 52 65 80 97 116 25 26 29 34 41 50 61 74 89 106 125 36 37 40 45 52 61 72 85 100 117 136 49 50 53 58 65 74 85 98 113 130 149 64 65 68 73 80 89 100 113 128 145 164 81 82 85 90 97 106 117 130 145 101 104 109 116 125 136 149 164 Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 3 Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, ýòî 3. Êðàòíûå 3 ÷èñëà 6, 12, 15, 21 òîæå íå ïðåäñòàâèìû, à âîò ÷èñëà 9 = 2 = 32 + 02 è 18 = 3 + 32 ïðåäñòàâèìû. Âîçíèêàåò ãèïîòåçà: ÷èñëà, êîòîðûå êðàòíû 3, íî íå êðàòíû 9, íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Ýòà ãèïîòåçà âåðíà. Âåðíî äàæå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå: 2 2 Òåîðåìà 1. Åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y öåëûõ ÷èñåë x, y êðàòíà 3, òî ÷èñëà x, y òîæå êðàòíû 3. Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïèøåì îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà 3: Çàêîíîìåðíîñòü î÷åâèäíà: îñòàòêè ïåðèîäè÷åñêè ïîâòî4 9 16 25 36 49 64 Î ñòàòîê 0 1 1 0 1 1 0 1 1 81 100 0 Ñëåäóþùåå ïîñëå 3 è 6 íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ ÷èñëî ýòî 7. Êðàòíûå 7 ÷èñëà 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63 íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ. Îïÿòü âîçíèêàåò ãèïîòåçà: åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà 7, òî è ñàìè öåëûå ÷èñëà x, y êðàòíû 7. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 7: 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 Óïðàæíåíèÿ Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, êîòîðîå äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. íå ïîëó÷àþùèìèñÿ îäèí èç äðóãîãî ïåðåñòàíîâêîé ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ à) öåëûõ; á) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 1 Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 7 Îñòàòêè, êàê âèäèòå, ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ. Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç îñòàòêîâ 1, 2, 4 íå êðàòíà 7, ìû äîêàçàëè íàøó ãèïîòåçó. 181 200 0 Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 31999 , òî ýòà ñóììà êðàòíà 32000 . Î ñòàòîê 0 1 4 2 162 181 Kâàäðàò âòîðîì ñëó÷àå x = 9k 2 ± 6k + 1 äàåò ïðè äåëåíèè íà 3 îñòàòîê 1.) Ñóììû îñòàòêîâ 0 + 1 è 1 + 1 íå êðàòíû 3. Çíà÷èò, ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà 3 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà x è y êðàòíû 3. Kâàäðàò 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 Ýòà òàáëèöà ïîçâîëÿåò âûïèñàòü ïðåäñòàâëåíèÿ: 1 = 2 = 12 + 02 , 2 = 12 + 12 , 4 = 2 + 02 , 5 = 22 + 12 , 8 = 22 + 22 , 2 2 2 2 2 2 9 = 3 + 0 , 10 = 3 + 1 , 13 = 3 + 2 ,... Íå âîøåäøèå â òàáëèöó ÷èñëà ïåðâîé ñîòíè (3, 6, 7, 11, 12, 14, 15,...) â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ íå ïðåäñòàâèìû. 1 ðÿþòñÿ, è íèêàêèõ îñòàòêîâ êðîìå 0 è 1 íå áûâàåò. (Òî÷íåå ãîâîðÿ, îñòàòîê îò äåëåíèÿ êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà x íà 3 ðàâåí 0, åñëè x êðàòíî 3, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå x = 3k, ãäå k öåëîå ÷èñëî, è îñòàòîê ðàâåí 1, åñëè x íå êðàòíî 3, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå x = 3k ± 1.  ñàìîì äåëå, 2 â ïåðâîì ñëó÷àå x = 9k 2 äåëèòñÿ íà 3 áåç îñòàòêà, à âî 4* 15 ×ÈÑËÀ 2 Ñóììû êâàäðàòîâ 100 ÃÀÓÑÑÎÂÛ 3. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà x íà 7 ðàâåí 0, åñëè x = 7k, ãäå k öåëîå ÷èñëî; ðàâåí 1, åñëè x = 7k ± 1; ðàâåí 2, åñëè x = 7k ± 3; ðàâåí 4, åñëè x = 7k ± 2. Äîêàæèòå ýòî. 4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 21, òî îíà êðàòíà è 441. 5. à) Êàêèå îñòàòêè äàþò êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë ïðè äåëåíèè íà 11? á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 11, òî îíà êðàòíà 121. â) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 1331, òî îíà êðàòíà è 14641. Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 19 Åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ, p = x2 + y 2 , òî, î÷åâèäíî, ÷èñëà x, y ìåíüøå p è ïîòîìó íå ìîãóò áûòü êðàòíû p. Çíà÷èò, íà ðîëü òåõ ÷èñåë p, äëÿ êîòîðûõ èç äåëèìîñòè ñóììû êâàäðàòîâ íà p ñëåäóåò äåëèìîñòü íà p îáîèõ ñëàãàåìûõ, ïðåòåíäóþò òîëüêî ÷èñëà, íå ïðåäñòàâèìûå â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Ëþáîå òàêîå ÷èñëî ìîæíî èññëåäîâàòü àíàëîãè÷íî ÷èñëàì 3 è 7. Íàïðèìåð, ïóñòü p = 19. Ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 19: Kâàäðàò 0 1 4 9 16 25 36 Î ñòàòîê 0 1 4 9 16 6 17 Kâàäðàò 49 64 81 100 121 144 169 Î ñòàòîê 11 7 5 5 7 11 17 Kâàäðàò 196 225 256 289 324 Î ñòàòîê 6 16 9 4 1  âåðõíåé ñòðîêå êâàäðàòû ÷èñåë 0, 1,..., 18. (Äðóãèå êâàäðàòû ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü, ïîñêîëüêó ëþáîå öåëîå ÷èñëî x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x = 19q + r, ãäå q öåëîå, 0 ≤ r ≤ 18, è ïðè ýòîì ÷èñëî x2 = 192 q 2 + ÊÂÀÍT 1999/¹3 16 + 38qr + r 2 äàåò ïðè äåëåíèè íà 19 òàêîé æå îñòàòîê, êàê 2 è r .)  íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû îäèí ðàç ïðèñóòñòâóåò ÷èñëî 0 è ïî äâà ðàçà ÷èñëà 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16 è 17. Íåíóëåâûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà ïðîñòîå ÷èñëî p > 2 íàçûâàþò êâàäðàòè÷íûìè âû÷åòàìè ïî ìîäóëþ p. Âñå äðóãèå íåíóëåâûå îñòàòêè êâàäðàòè÷íûå íåâû÷åòû (ïðè p = 19 ýòî 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15 è 18). Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç ÷èñåë 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16 è 17 íå êðàòíà 19, ïðèõîäèì ê âûâîäó: ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 19 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëàãàåìûå êðàòíû 19. Óïðàæíåíèå 6. Åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2, òî ñóùåñòâóåò (p 1)/2 êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ è ðîâíî ñòîëüêî æå êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Äîêàæèòå ýòî. Ñâîéñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ ñóììàìè äâóõ êâàäðàòîâ Êàê îòíîñèòüñÿ ê òðóäíîñòÿì?  îáëàñòè íåâåäîìîãî íàäî ðàññìàòðèâàòü òðóäíîñòè êàê ñêðûòûé êëàä! Îáû÷íî: ÷åì òðóäíåå, òåì ïîëåçíåå. Íå òàê öåííî, åñëè òðóäíîñòè âîçíèêàþò îò òâîåé áîðüáû ñ ñàìèì ñîáîé. Íî êîãäà òðóäíîñòè èñõîäÿò îò óâåëè÷èâøåãîñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðåäìåòà ýòî ïðåêðàñíî!! À.È.Ñîëæåíèöûí ×åì áîëüøå ïî âåëè÷èíå ïðîñòîå ÷èñëî p, òåì áîëüøå êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Ïîýòîìó ïîðà ìåíÿòü ìåòîä èññëåäîâàíèÿ: åñëè ìû íå æåëàåì ïîãðÿçíóòü â íåñêîí÷àåìûõ âû÷èñëåíèÿõ, òî äîëæíû êàêèì-òî îäíèì îáùèì ðàññóæäåíèåì îõâàòèòü ÷èñëà 3, 7, 11, 19 è ìíîãèå äðóãèå ïðîñòûå ÷èñëà. Ïîêà íå âïîëíå ÿñíî, ÷òî ýòî çà ÷èñëà è ÷åì îíè îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñåë 2, 5, 13, 17,... Âïðî÷åì, îäíî îòëè÷èå î÷åâèäíî: ÷èñëà 3, 7, 11, 19 íå ïðåäñòàâèìû, à ÷èñëà 2, 5, 13, 17 ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë. Êðîìå òîãî, ïðîñòûå ÷èñëà p = 3, 7, 11, 19 îáëàäàþò, êàê ìû óæå äîêàçàëè, òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà p, òî êàæäîå èç ñëàãàåìûõ êðàòíî p. Ïðîäîëæèâ (äîâîëüíî óòîìèòåëüíûå, åñëè íå èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð) âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî äîêàçàòü ýòî ñâîéñòâî äëÿ p = 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 87. Îñå÷êè íè ðàçó íå áóäåò: Òåîðåìà 2. Åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå 2 2 ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y êðàòíà p, òî êàæäîå èç öåëûõ ÷èñåë x, y êðàòíî p. Ìû ïîëó÷èì ýòó òåîðåìó êàê îäíî èç ñëåäñòâèé òåîðèè öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó ýòî íå òàê óæ ïðîñòî, äàâàéòå îòâëå÷åìñÿ íà íåêîòîðîå âðåìÿ îò òåîðåìû 2 è îáðàòèì âíèìàíèå íà äðóãîå ñâîéñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîñòûõ ÷èñåë 3, 7, 11,..., 83, 87: ïðè äåëåíèè íà 4 îíè äàþò îñòàòîê 3. ×èñëà âèäà 4n + 3  âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ íå ïðåäñòàâèìû íå òîëüêî ïðîñòûå ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 4 äàþò îñòàòîê 3, íî è âîîáùå âñå ÷èñëà 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27,...: Òåîðåìà 3. Âñÿêîå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë íå÷åòíîå ÷èñëî ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, à íå 3. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äâóõ êâàäðàòîâ, ñóììà êîòîðûõ íå÷åòíà, îáÿçàòåëüíî îäèí ÷åòåí, à äðóãîé íå÷åòåí. Êâàäðàò ÷åòíîãî ÷èñëà íàöåëî äåëèòñÿ íà 4, à êâàäðàò íå- ÷åòíîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1 (ïðîâåðüòå!). Óïðàæíåíèå. 7 à) Êâàäðàò íå÷åòíîãî ÷èñëà äàåò îñòàòîê 1 íå òîëüêî ïðè äåëåíèè íà 4, íî äàæå ïðè äåëåíèè íà 8. Äîêàæèòå 2 ýòî. á) Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 + y2 + z = 8n 1. â) Íèêàêîå ÷èñëî âèäà 4 m 8n + 7 , ãäå m, n öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë. Äîêàæèòå ýòî. b g Ïðîèçâåäåíèå ñóìì êâàäðàòîâ Ìû óæå íàøëè íåñêîëüêî ïðèçíàêîâ íåïðåäñòàâèìîñòè ÷èñëà â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Íå ìåíåå âàæíû ïðèçíàêè ïðåäñòàâèìîñòè. Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî åñëè n = 2 2 = x + y , òî b x + yg + b x − yg 2 2 = x 2 + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 = e 2 =2 x +y 2 j = 2n . Çíà÷èò, âìåñòå ñ êàæäûì ïðåäñòàâèìûì ÷èñëîì n ïðåäñòàâèìî è ÷èñëî 2n. Äàëåå, b2 x + yg + b x − 2 yg 2 2 = 4 x 2 + 4 xy + 2 2 e 2 2 + y + x − 4 xy + 4 y = 5 x + y Ëåãêî ïðîâåðèòü è ôîðìóëû 2 j = 5n. b2 x + 3yg + b3x − 2 yg = 13n , b4x + yg + b x − 4 yg = 17n . 2 2 2 2 Âñå îíè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îáùåé ôîðìóëû, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ïðîèçâåäåíèå ñóìì äâóõ êâàäðàòîâ â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. ×òîáû ïîëó÷èòü åå, ðàñêðîåì ñêîáêè ea 2 je j + b 2 x 2 + y 2 = a 2 x 2 + b 2 x 2 + a2 y 2 + b 2 y 2 , ïðèáàâèì è îòíèìåì 2abxy è èçìåíèì ïîðÿäîê ñëàãàåìûõ: ea 2 je j + b2 x2 + y 2 = a 2 x 2 + 2 axby + b + b 2 y 2 + b 2 x 2 − 2bxay + a 2 y 2 = ax + by g + bbx − ayg .(1) 2 2 Óïðàæíåíèå 8. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ÷åòíîå ÷èñëî n åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë, òî è ÷èñëî n/2 ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë; á)* åñëè êðàòíîå 5 ÷èñëî n åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë, òî ÷èñëî n/5 òîæå ïðåäñòàâèìî â òàêîì âèäå; â)* åñëè 13k = x2 + y2 , ãäå k, x, y öåëûå ÷èñëà, òî õîòÿ áû F 3 x + 2 y I + FG 2x − 3y IJ GH 13 JK H 13 K 2 îäíà èç ôîðìóë k = F 2 x + 3y I J + GG H 13 JK 2 2 èk= F 3x − 2y I GH 13 JK 2 + ïðåäñòàâëÿåò k â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë. Òåîðåìà ÔåðìàÝéëåðà Ïîñêîëüêó ìû íàó÷èëèñü ïðåäñòàâëÿòü ïðîèçâåäåíèå ñóìì äâóõ êâàäðàòîâ â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, î÷åíü âàæíî âûÿñíèòü, êàêèå ïðîñòûå ÷èñëà ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, à êàêèå íå ïðåäñòàâèìû. ×èñëà âèäà 4n + 3, êàê óòâåðæäàåò òåîðåìà 3, íå ïðåäñòàâèìû. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ïðîñòûå ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 4 äàþò îñòàòîê 1. Ýòî: 5 = 22 + ÑÓÌÌÛ 2 ÊÂÀÄÐÀÒΠ2 È ÖÅËÛÅ 2 ÃÀÓÑÑÎÂÛ ×ÈÑËÀ 17 2 + 12 , 13 = 3 + 22 , 17 = 4 2 + 12 , 29 = 5 + 22 , 37 = 6 + 2 + 12 , 41 = 5 + 4 2 , 53 = 72 + 22 ,... Òåîðåìà 4. Ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî, ñîñòîÿùåå èç ñëåäóþùèõ äâóõ ëåìì. Ëåììà 1. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p = 4n + 1, ãäå n ∈N, ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî m, ÷òî m 2 + 1 êðàòíî p. 2 Ëåììà 2. Ëþáîé ïðîñòîé äåëèòåëü p ÷èñëà m + 1, ãäå m öåëîå, ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.  êà÷åñòâå ÷èñëà m â ëåììå 1 ãîäèòñÿ m = (2n)!, ò. å. ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ 2n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×òîáû ýòî óâèäåòü, ðàññìîòðèì ÷èñëî Óïðàæíåíèå 9. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (1), îáúÿñíèòå, ïî÷åìó â ëåììå 2 ñëîâà «ëþáîé ïðîñòîé» ìîæíî çàìåíèòü íà «ëþáîé íàòóðàëüíûé». Îíî äàåò ïðè äåëåíèè íà p òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî Ëåììó 1 ìû âûâåäåì èç òåîðåìû Âèëüñîíà (1741 1793), ëåììó 2 èç òåîðèè äåëèìîñòè öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë. Íî ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì îòâåò íà îäèí âàæíûé âîïðîñ. Êàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ? Ïî òåîðåìàì 3 è 4, ïðîñòîå ÷èñëî p > 2 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, åñëè îíî èìååò âèä p = = 4k + 3, è ïðåäñòàâèìî åñëè p = 4k + 1, ãäå k öåëîå. Âñïîìíèâ ôîðìóëó (1) è ïðèìåíèâ (åùå íå äîêàçàííóþ íàìè) òåîðåìó 2, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ýëåãàíòíûé êðèòåðèé: íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â åãî ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ëþáîé ïðîñòîé ìíîæèòåëü âèäà 4k + 3 âõîäèò â ÷åòíîé ñòåïåíè. Ýòîò êðèòåðèé âïåðâûå áûë ñôîðìóëèðîâàí ãîëëàíäöåì Àëüáåðîì Æèðàðîì (15951632) â ñëåäóþùåì âèäå: íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ èëè êâàäðàòîì, èëè ÷èñëîì 2, èëè ïðîñòûì ÷èñëîì, êîòîðîå íà 1 áîëüøå, ÷åì íåêîòîðîå êðàòíîå 4, èëè ïðîèçâåäåíèåì íåñêîëüêèõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ ÷èñåë. Ñêîðåå âñåãî, Æèðàð îïèðàëñÿ ëèøü íà èçó÷åíèå òàáëèö è íå ïðåòåíäîâàë íà òî, ÷òî ìîæåò äîêàçàòü íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü ñâîèõ óñëîâèé. Óïðàæíåíèÿ 10. Äîêàæèòå, ÷òî 15 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. (Ýòîò ôàêò óïîìÿíóò â «Àðèôìåòèêå» äðåâíåãðå÷åñêîãî ìàòåìàòèêà Äèîôàíòà.) 11. Âûâåäèòå èç êðèòåðèÿ ïðåäñòàâèìîñòè ÷èñëà â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 öåëûõ ÷èñåë 2 s −1 êðàòíà p , ãäå s íàòóðàëüíîå ÷èñëî, p ïðîñòîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 3, òî ÷èñëà x è y êðàòíû s p . 12. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå äàþò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4, íî íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë. 2 13. à) Äëÿ ëþáîãî äåëèòåëÿ d ÷èñëà n + 1, ãäå n ∈ N, 2 ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ m ∈ N, ÷òî m + 1 êðàòíî d. Äîêàæèòå ýòî. á) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 2 n < 1000, äëÿ êîòîðûõ n + 1 êðàòíî 65? 2 14. Èç ëåììû 2 è òåîðåìû 3 âûâåäèòå, ÷òî ÷èñëî âèäà n + 1, ãäå n ∈ N, íå èìååò íè îäíîãî äåëèòåëÿ âèäà 4k 1, ãäå k ∈ N. 15. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè x, y, z öåëûå ÷èñëà è 4xy x y = 2 = z , òî x ≤ 0 è y ≤ 0. (Ýòî óïðàæíåíèå ïðèäóìàë Ë. Ýéëåð.) 5 Êâàíò ¹ 3 16. à) Íèêàêîå ÷èñëî âèäà m + 1 íå êðàòíî íèêàêîìó ÷èñëó âèäà n 2 1, ãäå m, n öåëûå ÷èñëà, n > 1. Äîêàæèòå ýòî. 2 2 2 2 2 á) Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x y = x + y + z . Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1 > p − 1C! = 1 ⋅ 2 ⋅K⋅ >2n − 1C ⋅ >2nC × × >2 n + 1C ⋅ >2 n + 2 C ⋅ K ⋅ > 4 n − 1C ⋅ > 4 n C = = 1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ >2n − 1C ⋅ >2nC ⋅ > p − 2 nC × × ? p − >2n − 1CD ⋅K ⋅ > p − 2C ⋅ > p − 1C . > C > C > C ⋅ >2nC ⋅ >2n − 1C ⋅K⋅ 2 ⋅ 1 = m . 1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ 2 n − 1 ⋅ 2 n ⋅ −1 2 2n 2 Çíà÷èò, m + 1 ïðè äåëåíèè íà p äàåò òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî (p 1)! + 1. Ïîñëåäíåå ÷èñëî êðàòíî p ïî òåîðåìå Âèëüñîíà, êîòîðàÿ âïåðâûå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà àíãëè÷àíèíîì Ýäóàðäîì Âàðèíãîì (17341798), à äîêàçàíà ôðàíöóçîì Æîçåôîì Ëóè Ëàãðàíæåì (1736 1813). Òåîðåìà Âèëüñîíà. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóììà (p 1)! + 1 êðàòíà p. (Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p 1) äàåò îñòàòîê (p 1) ïðè äåëåíèè íà p.) Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìîæíî óçíàòü, íàïðèìåð, èç ñòàòüè À. Åãîðîâà è À. Êîòîâîé «Íåîáûêíîâåííûå àðèôìåòèêè» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 2 çà 1994 ãîä). Èòàê, ìû âûâåëè ëåììó 1 èç òåîðåìû Âèëüñîíà. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2 ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè m2 + 1 = (m + i)(m i). ×òî òàêîå i è ÷òî äåëàòü äàëüøå, âû óçíàåòå, êîãäà ïîçíàêîìèòåñü ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Óïðàæíåíèÿ 17. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëà à) 97! ⋅ 1901! 1; á) 98! ⋅ 1900!+1 êðàòíû 1999. Óêàçàíèå. 1999 ïðîñòîå ÷èñëî. 18. Åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2, m = ((p 1)/2)!, òî 2 > C> m ≡ −1 C mod p , ò.å. îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà p ÷èñëà > C p +1 2 m 2 ðàâåí 1, åñëè p = 4n + 3, è ðàâåí p 1, åñëè p = 4n + 1. Äîêàæèòå ýòî. 19. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ñîñòàâíîå ÷èñëî n > 4, òî (n 1)! êðàòíî n; á) åñëè (n 1)! + 1 êðàòíî n, ãäå n > 1 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî n ïðîñòîå. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ×òî íàì ñòîèò äîì ïîñòðîèòü? Íàðèñóåì áóäåì æèòü! ×òî òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî? Íîâûå ÷èñëà â ìàòåìàòèêå ââîäÿò, êîãäà ñòàðûõ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî. Èçîáðåòåíèå öåëûõ ÷èñåë, ò. å. ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà N = {1, 2, 3,...} íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äî ìíîæåñòâà Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, äàåò âîçìîæíîñòü ðåøèòü, íàïðèìåð, óðàâíåíèå x + 7 = 5. Ïîñòðîèâ åùå m áîëåå øèðîêîå ìíîæåñòâî Q = { | m ∈ Z, n ∈ N} n ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ðåøàòü óðàâíåíèÿ âðîäå 3x = 8. Æåëàíèå èçìåðèòü äèàãîíàëü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà (èëè, ÷òî òî æå, ðåøèòü óðàâíåíèå x 2 = 2) ïðèâîäèò ê î÷åðåäíîìó ðàñøèðåíèþ ìíîæåñòâà ÊÂÀÍT 1999/¹3 18 ÷èñåë äî ìíîæåñòâà Q[ 2 ] ÷èñåë âèäà a + b 2 , ãäå a, b ∈ 3. Íåò íèêàêèõ ñîìíåíèé, ÷òî ñóììà, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë âèäà a + b 2 ÷èñëî òàêîãî æå âèäà. Ñ äåëåíèåì òîæå âñå â ïîðÿäêå: e1 + 2 je3 + 2 2 j = 7 + 5 2 , 3 − 2 2 e3 − 2 2 je3 + 2 2 j 2 − 5 2 e2 − 5 2 je 3 − 2 j 16 − 17 2 = . = 7 3+ 2 e3 + 2 je3 − 2 j 1+ 2 = Âèäèòå, êàê ïðîñòî?  îáùåì âèäå ýòî âûãëÿäèò òàê: a+b 2 c+d 2 = ea + b 2 jec − d 2 j = ac − 2bd + bbc − adg c − 2d ec + d 2 jec − d 2 j 2 2 2 . Äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé âàæíî, ÷òî êâàäðàò ÷èñëà 2 ðàâåí 2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìû ïîëó÷èì, ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ÷èñëî i, êâàäðàò êîòîðîãî ðàâåí 1. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî «òàêîãî íå áûâàåò», âåäü óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 íå èìååò ðåøåíèé íå òîëüêî â ðàöèîíàëüíûõ, íî è â âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ. Îäíàêî ÷èñëî 2 , çàìåòüòå, òîæå «íå ñóùåñòâîâàëî» äî òåõ ïîð, ïîêà ìû ðàññìàòðèâàëè òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Èòàê, ðàññìîòðèì âûðàæåíèÿ âèäà a + bi, ãäå a, b âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Ýòè âûðàæåíèÿ ìû è áóäåì íàçûâàòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ñóììó è ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëèì åñòåñòâåííûìè ôîðìóëàìè ba + big + bc + dig = ba + cg + bb + dgi , ba + big ⋅ bc + dig = bac − bdg + bad + bcgi . Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà, áûòü ìîæåò, íóæäàåòñÿ â êîììåíòàðèè: ba + big ⋅ bc + dig = ac + adi + bci + bdi 2 = = ac + adi + + bci bd. Ýòî èìåííî êîììåíòàðèé, à íå äîêàçàòåëüñòâî, ïîñêîëüêó ïîëüçîâàòüñÿ îáû÷íûìè ïðàâèëàìè ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ìîæíî òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê äàíû îïðåäåëåíèÿ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ïðîâåðåíû ýòè «îáû÷íûå ïðàâèëà», ò. å. ôîðìóëû z1 + z2 = = z2 + z1 (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí, èëè êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ), z1 z 2 = z 2 z1 (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ), ( z1 + z2 ) + z 3 = z1 + ( z2 + z 3 ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, èëè àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ), ( z1 z2 ) z 3 = z1 ( z 2 z 3 ) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ), ( z1 + z2 ) z 3 = z1 z 3 + z 2 z 3 (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí, èëè äèñòðèáóòèâíîñòü). Óïðàæíåíèÿ 20. Âûïîëíèòå ýòó ïðîâåðêó. 21. Äîêàæèòå, ÷òî à) äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì òàêîå ÷èñëî w, ÷òî z + w = 0 + 0i; á) äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò ÷èñëà 0 + 0i êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì òàêîå ÷èñëî w, ÷òî zw = 1 + 0i. â) Íàó÷èòåñü äåëèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ò.å. äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë a, b, c, d íàéäèòå, ïðè óñëîâèè c 2 + d 2 ≠ 0, òàêèå âåùåñòâåííûå ÷èñëà x è y, ÷òî a + bi = (c + di)(x + yi). (Íå óäèâëÿéòåñü, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà çàïèñàíà áåç çíàêà äåëåíèÿ: åñëè áû îí áûë, òî âñå ðàâíî ïðèøëîñü áû äàòü îïðåäåëåíèå ÷àñòíîãî (a + bi)/(c + di) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. À ñàìûé ðàçóìíûé ñïîñîá ñäåëàòü ýòî íàçâàòü ÷àñòíûì u/v, ãäå v ≠ 0, òàêîå ÷èñëî w, ÷òî u = vw.) 2 4 22. Âû÷èñëèòå: à) i 3 ; á) i ; â) i 1999 ; ã) 1 + i + i + ... + i 11 b g + i ; ä) 1 + i 12 e ; å) i 34 +i 39 j ei 41 +i 44 j. 10 + Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïîçâîëÿþò îòîæäåñòâèòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + 0i ñ âåùåñòâåííûì ÷èñëîì a. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïèñàòü íå a + 0i, à ïîïðîñòó a. Ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà 4 âåùåñòâåííûõ ÷èñåë äî ìíîæåñòâà + êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìîæíî ïîÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêè. Îòîæäåñòâèì îñü àáñöèññ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ñ âåùåñòâåííîé îñüþ y (ò.å. ìíîæåñòâîì âñåõ "+ i i âåùåñòâåííûõ ÷èñåë); åäèíè÷íûé âåêòîð (1; +i i 0) îñè àáñöèññ îáîçíà÷èì ïðîñòî 1, à åäè` íè÷íûé âåêòîð (0; 1) " x îñè îðäèíàò îáîçíà÷èì ÷åðåç i (ðèñ.1). Ïðîi èçâîëüíûé âåêòîð z = i = (x; y) ïëîñêîñòè Ðèñ. 1 ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü â âèäå z = x(1; 0) + y(0; 1) = x + yi. Ïðèíÿòî âåùåñòâåííûå ÷èñëà x è y íàçûâàòü âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòÿìè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Îáîçíà÷åíèÿ: x = Re z , y = Im z . Ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ýòî îáû÷íîå ñëîæåíèå âåêòîðîâ. À óìíîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ìû óæå âèäåëè, áîëåå «õèòðîé» ôîðìóëîé. Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà Îïðåäåëåíèå. Ìîäóëåì (àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé) ÷èñëà z = a + bi íàçûâàþò ðàññòîÿíèå |z| = a2 + b 2 îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè (a; b). Òåîðåìà 5. Ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõ ìîäóëåé: ba + bigb x + yig = a + bi ⋅ x + yi . Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1): ba + bigb x + yig = bax − byg + bay + bxgi = = bax − by g + b ay + bx g = ea + b je x 2 2 2 2 2 j + y2 = = a + bi ⋅ x + iy . Óïðàæíåíèÿ 23. Íàó÷èòåñü èçâëåêàòü êâàäðàòíûé êîðåíü èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, ò. å. äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë a, b íàéäèòå òàêèå ïàðû 2 (x; y) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ÷òî x + iy = a + bi. 2 24. Ðåøèòå â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ: à) z 2z + 1 = 2 2 z 5z + 7 = i; â) z + 10 + 2i = (4 + i)z. = i; á) b g Ñîïðÿæåííûå ÷èñëà Óðàâíåíèå z2 = 1 èìååò äâà êîðíÿ: i è i. Ïîñêîëüêó ïðè 2 âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçóåòñÿ èìåííî ðàâåíñòâî i = 1, âîçíèêàåò èäåÿ çàìåíèòü i íà i. Âåðíîå ðàâåíñòâî ïðè îäíîâðåìåííîé çàìåíå âñåõ âõîäÿùèõ â íåãî ñèìâîëîâ i íà i îñòàíåòñÿ âåðíûì! Òî÷íàÿ ðåàëèçàöèÿ ýòîé èäåè òàêîâà: äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ ðàâíû, à ìíèìûå ÷àñòè ðàâíû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ÑÓÌÌÛ z yi x yi z ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ È ÖÅËÛÅ c z = x + yi, îáîçíà÷àþò z = x yi (ðèñ.2). Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà îò ÷èñëà ê ñîïðÿæåííîìó ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ. Ëåãêî ïðîâåðèòü òîæäåñòâà u + v = u + v, u ⋅ v = u ⋅ v, êîòîðûå êàê ðàç è ïîçâîëÿþò çàìåíÿòü â ôîðìóëàõ âñå ÷èñëà íà Ðèñ. 2 ñîïðÿæåííûå. 2 2 Ìåæäó ïðî÷èì, z = x 2 + y = (x + iy)(x iy) = zz . Ýòî ïîçâîëÿåò î÷åíü èçÿùíî äîêàçàòü òåîðåìó 5: uv 2 > C > C> C 2 2 = uv uv = uvuv = uu vv = u ⋅ v . Ôîðìóëà (1) íå ïîòðåáîâàëàñü! Òî÷íåå, ôîðìóëà (1) 2 2 2 ýòî ïî ñóòè è åñòü ôîðìóëà uv = u ⋅ v . ÃÀÓÑÑÎÂÛ Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó n a − bi n na nb = = 2 i − 2 2 2 , a + bi a + bi a − bi a +b a +b > > C> C C íàòóðàëüíîå ÷èñëî n êðàòíî ÷èñëó a + bi òîëüêî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ÷èñëà na è nb êðàòíû a2 + b2 . Ïîñêîëüêó ÷èñëà a è b âçàèìíî ïðîñòû, ýòî áûâàåò òîëüêî êîãäà n 2 êðàòíî a2 + b . Óïðàæíåíèÿ 25. Ïðè êàêîì óñëîâèè íà öåëûå ÷èñëà a è b ÷àñòíîå (a + bi)/(1 + i) ÿâëÿåòñÿ öåëûì ãàóññîâûì ÷èñëîì? 26. Èçîáðàçèòå íà ïëîñêîñòè ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó à) 1 + 3i; á) 1 3i. â) Êàêèå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè è ÷èñëà 1 + 3i, è ÷èñëà 1 3i îäíîâðåìåííî? 27. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè öåëîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî n êðàòíî íåíóëåâîìó öåëîìó ãàóññîâó ÷èñëó a + bi, òî n êðàòíî ÷èñëó ( a 2 + b2 )/ÍÎÄ(a, b). Öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà Äåëèòåëè åäèíèöû Îïðåäåëåíèÿ Î÷åâèäíî, Êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + bi íàçûâàþò öåëûì ãàóññîâûì, åñëè a è b öåëûå ÷èñëà. Ñóììà, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà, òàê ÷òî ìíîæåñòâî Z[i] öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ, êàê ãîâîðÿò àëãåáðàèñòû, êîëüöîì. Îïðåäåëåíèå. Öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî u êðàòíî öåëîìó ãàóññîâó ÷èñëó v, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî w, ÷òî u = vw. Îòìåòèâ íà ïëîñêîñòè öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà, ìû ïîëó÷èì ðåøåòêó (ðèñ.3). Èíòåðåñíî, ÷òî ÷èñëà, êðàòíûå äàííîìó ÷èñëó z, òîæå îáðàçóþò ðåøåòêó (ðèñ.4). Íà ðèñóíêå 5 ñèíèì öâåòîì âûäåëåíû êðàòíûå ÷èñëà 2 + i, à êðàñíûì êðàòíûå ÷èñëà 2 i. Äàâàéòå ñïðîñèì ñåáÿ, êàêèå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè è ÷èñëà 2 + i, è ÷èñëà 2 i îäíîâðåìåííî. Îòâåò î÷åâèäåí: ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ «ñèíèõ» è «êðàñíûõ» ÷èñåë ñîñòîèò èç ÷èñåë, êðàòíûõ 5. Äðóãèìè ñëîâàìè, íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 2 + i è 2 i ðàâíî 5. 2 Ïðîèçâåäåíèå (a + bi)(a bi) = a2 + b êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi è ñîïðÿæåííîãî ñ íèì ÷èñëà z = a bi ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì âåùåñòâåííûì. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî öåëîãî ãàóññîâà ÷èñëà z ñóùåñòâóåò êðàòíîå åìó íàòóðàëüíîå ÷èñëî zz = a2 + b 2 . Òåîðåìà 6. Åñëè ÷èñëà a è b âçàèìíî ïðîñòû, òî íàèìåíüøèì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, êîòîðîå êðàòíî 2 ÷èñëó a + bi, ÿâëÿåòñÿ èìåííî ÷èñëî a2 + b . > C > C> C > C 1 = 1 ⋅ 1 = i ⋅ − i = −1 ⋅ −1 = −i ⋅ i . Äðóãèõ ñïîñîáîâ ðàçëîæèòü 1 â ïðîèçâåäåíèå äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë íåò: Òåîðåìà 7.  Z[i] íåò äåëèòåëåé åäèíèöû, êðîìå ÷èñåë 1, i, 1 è i. (Äðóãèìè ñëîâàìè, öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî a + bi ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì åäèíèöû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà a2 + b 2 = 1.) Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè 1 = uv, ãäå u, v ∈ Z[i], òî 1 = = |u| ⋅ |v|. Ïîñêîëüêó ìîäóëü íåíóëåâîãî öåëîãî ãàóññîâà ÷èñëà íå ìåíüøå 1, èìååì |u| = |v| = 1, îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Àññîöèèðîâàííûå ÷èñëà ×èñëà u è v íàçûâàþò àññîöèèðîâàííûìè, åñëè îíè êðàòíû äðóã äðóãó, ò.å. u êðàòíî v è v êðàòíî u. Âñÿêîå öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî z ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ z = 1 ⋅ z = i −iz = −1 − z = − i iz , ïåðâûé ìíîæèòåëü êîòîðîãî äåëèòåëü åäèíèöû, à âòîðîé àññîöèèðîâàí ñ ÷èñëîì z. Ñòîëü æå î÷åâèäíî, ÷òî åñëè öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî w êðàòíî ÷èñëó z, òî äåëèòåëÿìè ÷èñëà w ÿâëÿþòñÿ òàêæå è ÷èñëà z, iz, iz. Ïîýòîìó, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè, ìîæíî «íå ðàçëè÷àòü» àññîöèèðîâàííûå ÷èñëà. > C > C> C > C> C * iz * z * * * * * * 5* Ðèñ. 4 Ðèñ. 5 * * * * * * * Ðèñ. 3 19 ×ÈÑËÀ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ÊÂÀÍT 1999/¹3 20 Óïðàæíåíèÿ 28. Äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = 2 + i îòìåòüòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ÷èñëà iz, z, iz. 29. Àññîöèèðîâàííûå ñ ÷èñëîì z ÷èñëà ýòî â òî÷íîñòè ÷èñëà âèäà εz , ãäå ε äåëèòåëü åäèíèöû. Äîêàæèòå ýòî. 30. Äîêàæèòå, ÷òî à) ÷èñëà 1 + i è 1 i àññîöèèðîâàíû; á) ÷èñëà a + bi è a bi àññîöèèðîâàíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé: a = 0, b = 0, a = b, a = b. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 ãäå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà (a + bi) è (c + di) íå äåëèòåëè åäèíèöû. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé, èìååì 2 e 2 2 je 2 2 j 2 2 2 je j + b j è e c + d j ðàâåí 1, à äðóãîé ðàâåí 2 2 2 2 2 2 2 p , ëèáî p = a + b = c + d .  ïåðâîì ñëó÷àå ÿñíî, ÷òî ÷èñëî p áûëî ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äåëèòåëÿ åäèíèöû è àññîöèèðîâàííîãî ñ p ÷èñëà. Âòîðîé ñëó÷àé íåâîçìîæåí â ñèëó òåîðåìû 3. 2 Ñ ÷èñëîì 2 äåëî îáñòîèò åùå ïðîùå: 2 = i 1 + i . Âïðî÷åì, ìû äîëæíû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ÷èñëî 1 + i ïðîñòîå. Ëåììà 3. Ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áîëåå ÷åì äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû. (Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè p àññîöèèðîâàíî ñ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, òî ýòè ÷èñëà ïðîñòûå.) Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3. Åñëè p = (a + bi)(c + di)(e + + fi), òî p = a + bi ⋅ c + di ⋅ e + fi , b g e je je 2 2 j îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 e + f . Êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà íèêàê íå ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíèåì òðåõ îòëè÷íûõ îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ëåììà 3 è òåîðåìà 8 äîêàçàíû. Óïðàæíåíèÿ 31. Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âñå ÷èñëà, íà êîòîðûå íàöåëî äåëèòñÿ ÷èñëî 5 i. 32. Ñêîëüêî ñðåäè äåëèòåëåé ÷èñëà à) 3 11i; á) 6 + 12i òàêèõ, ó êîòîðûõ è âåùåñòâåííàÿ, è ìíèìàÿ ÷àñòè ïîëîæèòåëüíû? 33. Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè ÷èñëà à) 16; á) 1001; â) 47 + i. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 p = (a + bi)(c + di), 2 e ìíîæèòåëåé e a 2 Âåðíåìñÿ ê ëåììå 2, îò êîòîðîé ìû íàäîëãî îòâëåêëèñü, ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàçëîæåíèþ m2 + 1 = (m + i)(m i). ×èñëó p íå êðàòåí íè îäèí èç ìíîæèòåëåé m + i è m i, íî êðàòíî ïðîèçâåäåíèå m2 + 1. ×òî ýòî çíà÷èò? Êàê ìîæåò ïðîèçâåäåíèå áûòü êðàòíî p, åñëè íè îäèí èç ìíîæèòåëåé íå êðàòåí p? Íåóæåëè àðèôìåòèêà ãàóññîâûõ ÷èñåë íàñòîëüêî ñâîåîáû÷íà, ÷òî â íåé íåò íèêàêèõ ïðèâû÷íûõ íàì çàêîíîâ? Íàïðèìåð, ìû ïðèâûêëè ê òîìó, ÷òî ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé. Âäðóã îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè íåâåðíà äëÿ Z[i]? Îêàçûâàåòñÿ, âñå íå òàê ïëîõî. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â Z[i] åäèíñòâåííî â òîì æå ñìûñëå, â êàêîì îíî åäèíñòâåííî äëÿ îáû÷íûõ öåëûõ ÷èñåë (ìû äîêàæåì ýòî â ðàçäåëå «Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè»). À êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå óñòðàíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîñòîå ÷èñëî p ìîæåò ïåðåñòàòü áûòü ïðîñòûì ïðè ðàñøèðåíèè Z äî Z[i]. Íàïðèìåð, 2 = (1 + i)(1 i) è 5 = (1 + 2i)(1 2i). Âîîáùå, p = (a + bi)(a bi) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà p = a 2 + + b2 . Èòàê, ðàçðåøèì ñåáå ïîôàíòàçèðîâàòü: âîîáðàçèì, ÷òî ìû óæå äîêàçàëè òåîðåìó î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, è äîêàæåì ëåììó 2. Äåëèòåëü p ÷èñëà (m + i)(m i) íå ìîæåò áûòü ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì. Çíà÷èò, a +b p = a + bi ⋅ c + di , îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 . Çíà÷èò, ëèáî îäèí èç Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ôåðìà-Ýéëåðà p= íà äâà ñîïðÿæåííûõ ìíîæèòåëÿ: p = (a + bi)(a bi), ïðè÷åì ìíîæèòåëè a + bi è a bi ïðîñòûå ãàóññîâû ÷èñëà. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ÷èñëî p = 4n + 3 ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë p = (a + + bi)(c + di), òî 2 c +d , 2 2 2 ò. å. p = a + b c + d , îòêóäà p = a 2 + b = c + d . Ëåììà 2, à çàîäíî è òåîðåìà 4 äîêàçàíû. Ðàçëîæåíèå ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè Çàãîëîâîê ýòîãî ïîäðàçäåëà ìîã áû óäèâèòü, åñëè áû âûøå ìû íå ðàçëàãàëè óæå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Êàêèå æå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îñòàíóòñÿ ïðîñòûìè âî ìíîæåñòâå öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, à êàêèå ñòàíóò ñîñòàâíûìè? È êàê óñòðîåíû ðàçëîæåíèÿ «íîâûõ ñîñòàâíûõ» ÷èñåë? Òåîðåìà 8. Âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà p = 4n + 3 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì â Z[i]; ÷èñëî 2 àññîöèèðîâàíî ñ êâàäðàòîì ïðîñòîãî ãàóññîâà ÷èñëà 1+ i; âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà p = 4n + 1 ðàçëàãàåòñÿ Ïîìíèòå, ìû îáåùàëè ïîëó÷èòü òåîðåìó 2 êàê îäíî èç ñëåäñòâèé òåîðèè öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë? Íàñòàëî âðåìÿ ýòî ñäåëàòü. Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà p. Èç òåîðåìû 8 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p ëèáî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì, ëèáî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè p ïðîñòîå ãàóññîâî 2 2 ÷èñëî. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå (x + iy)(x iy) = x + y êðàòíî p, õîòÿ áû îäèí èç ñîìíîæèòåëåé êðàòåí p. Ýòî â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî x è y êðàòíû p. Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. Êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîñòîãî ÷èñëà â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ Ïî òåîðåìå ÔåðìàÝéëåðà ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Äàâàéòå äîêàæåì, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñëàãàåìûõ. ÑÓÌÌÛ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ È ÖÅËÛÅ Òåîðåìà 9. Íèêàêîå ïðîñòîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. íå ïîëó÷àþùèìèñÿ îäèí èç äðóãîãî ïåðåñòàíîâêîé ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè áû ïðîñòîå ÷èñëî p èìåëî äâà 2 2 2 2 ñóùåñòâåííî ðàçíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ, p = a + b = c + d , òî ðàçëîæåíèÿ p = (a + bi)(a bi) = (c + di)(c di) ïðîòèâîðå÷èëè áû òåîðåìå 8. Óïðàæíåíèå 34 (Ì1288*). Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 1000009 = 235 2 + 9722 ñîñòàâíîå. Ìîæíî îáîéòèñü â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 9 è áåç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòîå ÷èñëî p äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. îòëè÷àþùèìèñÿ íå òîëüêî ïîðÿäêîì ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè ðàçëîæåíî â ñóììó êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: 2 2 2 2 p= a + b = c + d . 2 2 b g 2 2 Òîãäà a2 ≡ −b2 è c ≡ − d mod p . Ñëåäîâàòåëüíî, a c ≡ ≡ −b 2 − d2 mod p , ò. å. ÷èñëî a2 c2 b 2 d2 êðàòíî p. (Åñëè ðàññóæäåíèÿ ñî ñðàâíåíèÿìè ïî ìîäóëþ p íåïðèâû÷íû è ïîòîìó ïîäîçðèòåëüíû, âû ìîæåòå ïîëó÷èòü òî 2 2 2 2 æå ñàìîå, ðàññìàòðèâàÿ òîæäåñòâî a c b d = e je jb 2 e 2 2 g j e 2 2 j 2 = a c + d a + b d .) Ïîñêîëüêó ÷èñëî p ïðîñòîå, èç äåëèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ (ac + bd)(ac bd) íà p ñëåäóåò, ÷òî îäèí èç ìíîæèòåëåé êðàòåí p. Åñëè ÷èñëî ac + bd êðàòíî p, òî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1): b p2 = ac + bd b g = 4 2 + 72 = (2 + i)(3 2i) ⋅ (2 i)(3 + 2i) = = (8 i) ⋅ (8 + i) = 8 + 1 . 2 2 Ïîíèìàåòå? Ïî-ðàçíîìó ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè, ïîëó÷èëè äâà ðàçíûõ ðàçëîæåíèÿ! Ñëåäóþùèé ïðèìåð ÷èñëî 25. Òîò, êòî ðåøèë óïðàæíåíèå 1, çíàåò, ÷òî 25 íàèìåíüøåå ÷èñëî, äâóìÿ ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë. Îáà ýòè ðàçëîæåíèÿ ëåãêî ïîëó÷èòü, ïîðàçíîìó ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè: b g ⋅ b2 − ig = b3 + 4ig ⋅ b3 − 4ig = 3 + 4 = = b2 + i gb2 − i g ⋅ b2 + i gb2 − i g = 5 ⋅ 5 = 5 25 = 2 + i 2 2 2 2 2 2 +0 . Ïîñëåäíèé ïðèìåð ÷èñëî 5746. Êàê ìû õîðîøî çíàåì, 2 âñÿêîìó ïðåäñòàâëåíèþ 5746 = a + b2 ñîîòâåòñòâóåò ðàçëîæåíèå 5746 = (a + bi)(a bi) íà ñîïðÿæåííûå ìíîæèòåëè. Ïîýòîìó ðàçëîæèì ðàññìàòðèâàåìîå ÷èñëî ñíà÷àëà íà ïðîñòûå íàòóðàëüíûå, à çàòåì è íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè: 2 5746 = 2 ⋅ 13 ⋅ 17 = = 1 + i 1 − i 3 + 2i b gb gb g b3 − 2ig b4 + igb4 − ig . 2 2 Òåïåðü ìû äîëæíû èç íåñêîëüêèõ ýòèõ ìíîæèòåëåé ñîñòàâèòü a + bi, äà òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå îñòàëüíûõ ìíîæèòåëåé ðàâíÿëîñü a bi. Ýòî íåòðóäíî ñäåëàòü: b gb g b4 + ig = −45 + 61i , a − bi = b1 − i gb 3 − 2 i g b 4 − i g = −45 − 61i . a + bi = 1 + i 3 + 2i 2 2 g b g Óïðàæíåíèå 35. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 1000009 = 2352 + 9722 â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ îòëè÷íûõ îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èòàê, ïðîñòîå ÷èñëî íåëüçÿ äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëî, åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ 2 2 ÷èñåë, íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì: 10 = 1 + 3 , 25 = 2 2 = 3 + 4 . Ëåãêî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ÷èñëî èìååò åäèíñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Íî äàâàéòå íå áóäåì òðàòèòü íà ýòî ñâîè ñèëû, à îòâåòèì íà áîëåå îáùèé âîïðîñ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ?  III âåêå íàøåé ýðû ãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê Äèîôàíò íå òîëüêî çíàë, ÷òî ÷èñëî 65 ïðåäñòàâèìî äâóìÿ ñïîñîáàìè, íî è îáúÿñíÿë ýòî òåì, ÷òî 65 ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÷èñåë 13 è 5, êàæäîå èç êîòîðûõ ñóììà äâóõ êâàäðàòîâ. Êîìïëåêñíûõ ÷èñåë Äèîôàíò íå çíàë, èíà÷å îí íåïðåìåííî âûïèñàë áû ðàçëîæåíèÿ 5 = (2 + i)(2 i), 13 = = (3 + 2i)(3 2i) è ïðîäîëæèë áû ñâîè îáúÿñíåíèÿ 6 Êâàíò ¹ 3 65 = (2 + i)(3 + 2i) ⋅ (2 i)(3 2i) = (4 + 7i) ⋅ (4 7i) = 2 Åñëè ad bc ≠ 0, òî ïðîòèâîðå÷èå î÷åâèäíî, èáî ïåðâîå 2 ñëàãàåìîå ac + bd êðàòíî p2 è ïîòîìó íå ìåíüøå p2 . Åñëè æå ad bc = 0, òî ad = bc. Ïîñêîëüêó êàê ÷èñëà a è b, òàê è ÷èñëà c è d âçàèìíî ïðîñòû, èìååì a = c è d = = b. Ñëó÷àé, êîãäà ac bd êðàòíî p, ìîæíî ðàññìîòðåòü 2 àíàëîãè÷íî, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé p2 = ac − bd + 2 + ad + bc . b 21 ×ÈÑËÀ ñëåäóþùèì îáðàçîì: g + bad − bcg . 2 ÃÀÓÑÑÎÂÛ 2 Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, 452 + 61 = 2025 + 3721 = 5746. Ëåãêî íàéòè è åùå äâà âàðèàíòà: b gb gb gb g a + bi = b1 + igb3 − 2ig b4 + ig = 75 − 11i . a + bi = 1 + i 3 + 2 i 3 − 2 i 4 + i = 39 + 65i èëè 2 2 2 Îíè ïðèâîäÿò ê ïðåäñòàâëåíèÿì 39 + 65 = 1521 + 4225 = = 5746 è 752 + 112 = 5625 + 121 = 5746. Íèêàêèõ äðóãèõ ïðåäñòàâëåíèé íåò (ïîïûòàéòåñü èõ ïðèäóìàòü è äîâîëüíî ñêîðî ïîéìåòå ïðè÷èíó ýòîãî). Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè ÷èñëî ïðåäñòàâëåíèé â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n = a a = 2 a p1 1 K pr r Q , ãäå p1 ,..., pr ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4, Q ÷èñëî, íå èìåþùåå ïðîñòûõ äåëèòåëåé êðîìå òåõ, êîòîðûå äàþò îñòàòîê 3 ïðè äåëåíèè íà 4. À èìåííî, åñëè Q íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì, òî n íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ; åñëè æå Q òî÷íûé êâàäðàò, òî, ïðèìåíèâ íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç òåîðåìó 2, ïîëó÷àåì: êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà n â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà m = 2a p1a1 K prar â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Ôîðìóëó äëÿ ýòîãî êîëè÷åñòâà íàøåë íåìåö Ïåòåð Ãóñòàâ Ëåæåí Äèðèõëå (18051859). Òåîðåìà 10. Êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà m â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíî [(( a1 + 1) ⋅ ... ... ⋅ ( ar + 1)+1)/2]. (Åñëè ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé ðàâíî 0, òî ïðîèçâåäåíèå ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì 1. Ïðåäñòàâëåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ ïîðÿäêîì ñëàãàåìûõ, íå ðàçëè÷àþòñÿ.) ÊÂÀÍT 1999/¹3 22 Íàäååìñÿ, äîêàçàòåëüñòâî íå ïðåäñòàâèò íåïðåîäîëèìîé òðóäíîñòè. Åñëè òðóäíîñòè âîçíèêëè íå îãîð÷àéòåñü, à ïåðå÷èòàéòå ñòàòüþ çàíîâî (è òàê ìíîãî ðàç äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîéìåòå, ïî÷åìó ôîðìóëà Äèðèõëå âåðíà). Óïðàæíåíèÿ 36. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì ðàäèóñå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò íà íåé ëåæàò ðîâíî à) 4 öåëî÷èñëåííûå òî÷êè; á) 8 òî÷åê; â) 12; ã) 16? 37. à) Ñêîëüêî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ x < y èìååò 2 óðàâíåíèå x2 + y = 5 n , ãäå n äàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî? á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî îêðóæíîñòåé ñ öåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò, íà êàæäîé èç êîòîðûõ ëåæàò ðîâíî 4n òî÷åê ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè. 38. Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò a a ðàäèóñà 2 a p1 1 K p r r , ãäå p1 ,..., p r ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4. Ñêîëüêî íà ýòîé îêðóæíîñòè òî÷åê ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè? 39*. Ìîæåò ëè òàê áûòü, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ à) öåëûõ; á) íàòó1999 ïðåäñòàâèìî ðàëüíûõ; â) âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë, à ÷èñëî n â òàêîì âèäå? 40*. Êàêèå ÷èñëà åäèíñòâåííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ îáðàçîì ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ à) öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ; á) íàòóðàëüíûõ; â) âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë? 41. Åñëè ÷èñëî n > 2 ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë, òî ÷èñëî òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé s −1 ðàâíî 2 , ãäå s êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ äåëèòåëåé n, èìåþùèõ âèä 4k + 1. Äîêàæèòå ýòî. 42*. Êîëè÷åñòâî òî÷åê ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà n ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ò. å. êîëè÷åñòâî 2 ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ x 2 + y = n) ðàâíî ó÷åòâåðåííîé ðàçíîñòè ìåæäó êîëè÷åñòâîì íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n, êîòîðûå èìåþò âèä 4k + 1, è êîëè÷åñòâîì íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé âèäà 4k + 3. Äîêàæèòå ýòî. Ïðèëîæåíèå Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ öåëîãî ãàóññîâà ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, íàïîìíèì, ÷òî äëÿ «îáû÷íûõ» íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ìíîæèòåëè âîâñå íå î÷åâèäíà. Íàèáîëåå èçâåñòíû äâà äîêàçàòåëüñòâà. Îäíî èç íèõ èçëîæåíî â «Íà÷àëàõ» Åâêëèäà (III âåê äî í. ý.), à äðóãîå ïðèäóìàë íåìåö Ýðíñò Öåðìåëî (18711953). Ìû ðàññìîòðèì äîêàçàòåëüñòâî Öåðìåëî (ñðàçó äëÿ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë). Òåîðåìà 11. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â Z[i] åäèíñòâåííî (ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé è àññîöèèðîâàííîñòè). Äîêàçàòåëüñòâî. Òîò ôàêò, ÷òî ëþáîå íåíóëåâîå öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, î÷åâèäåí: ðàçëàãàåì, ïîêà ìîæíî, à êîãäà ïåðåñòàíåò ðàçëàãàòüñÿ, òî âñå óæå ðàçëîæèëîñü! (Ëþáèòåëü àáñîëþòíîé ñòðîãîñòè òî æå ñàìîå îôîðìèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå âñå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà èìåþò ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Ðàññìîòðèì òàêîå ÷èñëî z ñ íàèìåíüøèì ìîäóëåì. Åñëè z äåëèòåëü åäèíèöû èëè ïðîñòîå ÷èñëî, òî îíî â ðàçëîæåíèè íå íóæäàëîñü. À åñëè z ïðåäñòàâèìî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ z = uv öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë, ãäå |u| < |z| è |v| < |z|, òî ÷èñëà u è v èìåþò ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. Îáúåäèíèâ èõ, ìû êàê ðàç ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå ÷èñëà z.) Íàìíîãî òðóäíåå è èíòåðåñíåå äîêàçàòåëüñòâî åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðîå öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî z äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ñïîñîáàìè ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë: z = p1 p2 K p r = q1q2 K q s . (2) Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî z íàèìåíüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå èç ÷èñåë, îáëàäàþùèõ ðàçíûìè ðàçëîæåíèÿìè íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Òîãäà íè îäíî èç ÷èñåë p1 ,..., p r íå àññîöèèðîâàíî íè ñ îäíèì èç ÷èñåë q1 , q2 ,..., q s (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ñîêðàòèëè áû îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) íà îáùèé ìíîæèòåëü, ïîëó÷èâ ìåíüøåå ïî ìîäóëþ y ÷èñëî). Îáîçíà÷èì P = p2 ... p r è iz z Q = q 2 ... q s . Òîãäà z = p1 P = = q1 Q. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî pQ O | p1 | ≤ | q1 |. Ïðè ýòîì |P| ≥ |Q| è, x p çíà÷èò, | 1 Q| ≤ |z|. Ðàññìîòðèì εz ε p Q 1 , ãäå ÷èñëî w = òàêîé äåëèòåëü åäèíèöû, ÷òî z iz |w| < |z|. (Ïî÷åìó òàêîé äåëèòåëü åäèíèöû ε ìîæíî âûáðàòü, ÿñíî èç ðèñóíêà 6.  Ðèñ. 6 ñàìîì äåëå, ÷èñëà z, iz, z è iz âåðøèíû êâàäðàòà. Òî÷êà p1Q ðàñïîëîæåíà âíóòðè îïèñàííîãî êðóãà ýòîãî êâàäðàòà. Âåñü îïèñàííûé êðóã ìîæíî ïîêðûòü ÷åòûðüìÿ êðóãàìè ñ öåíòðàìè â âåðøèíàõ êâàäðàòà, ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû ïîëîâèíå äèàãîíàëè êâàäðàòà. Çíà÷èò, õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí êâàäðàòà ðàñïîëîæåíà ê òî÷êå p1Q áëèæå, ÷åì íà ðàññòîÿíèå |z|.) ×èñëî w ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî íà ìíîæèòåëè äâóìÿ ñïîñîáàìè: b g d i w = εz − p1Q = p1 εP − Q = εq1 − p1 q2 K q s . Ïîñêîëüêó |w| < |z|, äëÿ ÷èñëà w äîëæíà èìåòü ìåñòî åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Çíà÷èò, õîòÿ áû îäèí èç ìíîæèòåëåé εq1 p1 , q2 ,..., q s äîëæåí áûòü êðàòåí ïðîñòîìó ÷èñëó p1 . Åñëè ÷èñëî εq1 p1 êðàòíî p1 , òî q1 êðàòíî p1 , îòêóäà ñëåäóåò, ïîñêîëüêó q1 ïðîñòîå ãàóññîâî ÷èñëî, ÷òî ÷èñëà p1 è q1 àññîöèèðîâàíû, ÷òî íåâîçìîæíî. Åùå î÷åâèäíåå ïðîòèâîðå÷èå â ñëó÷àå, êîãäà êðàòåí ÷èñëó p1 îäèí èç ìíîæèòåëåé q 2 ,..., q s . Äîêàçàòåëüñòâî Ëàãðàíæà ëåììû 2 Ìîãëî ñëîæèòüñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî îáîéòèñü â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2 áåç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íåâîçìîæíî. Òåì íå ìåíåå, Ëàãðàíæ ïðèäóìàë ñëåäóþùåå óäèâèòåëüíî êîðîòêîå ðàññóæäåíèå. Ðàññìîòðèì âñå òàêèå ïàðû (r; s) öåëûõ ÷èñåë, ÷òî 0 ≤ r,s < < p , è äëÿ êàæäîé ïàðû ðàññìîòðèì îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà FH IK 2 p +1 > r + ms íà p. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî òàêèõ ïàð ðàâíî r > p, ñðåäè íèõ îáÿçàíû íàéòèñü òàêèå äâå ïàðû ( 1 ; s1 ) è ( r2 ; s 2 ), ÷òî îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p ÷èñåë r1 + ms1 è r2 + ms2 ðàâíû. Ïðè ýòîì ÷èñëî r + ms, ãäå r = r1 r2 è s = s1 s 2 , êðàòíî p. Ïîýòîìó ÷èñëî 2 2 2 2 2 e 2 j 2 b gb g e 2 j r + s = r − m s + m + 1 s = r + ms r − ms + m + 1 s 2 2 2 òîæå êðàòíî p. Çàìåòèì, ÷òî 0 < r + s < p + p = 2p. Åäèíñòâåííûì êðàòíûì p ÷èñëîì, êîòîðîå áîëüøå 0, íî ìåíüøå 2 2p, ÿâëÿåòñÿ ñàìî ÷èñëî p. Çíà÷èò, r + s 2 = p, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàìå÷àíèå.  ñòàòüå Â.Òèõîìèðîâà «Òåîðåìà ÔåðìàÝéëåðà î äâóõ êâàäðàòàõ» («Êâàíò» ¹10 çà 1991 ãîä), ïîìèìî äîêàçàòåëüñòâà Ëàãðàíæà, ïðèâåäåíû åùå äâà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ÔåðìàÝéëåðà.