Àëãåáðà è ëîãèêà, 39, 1 (2000), 93103 ÓÄÊ 512.56 ÐÅØÅÒÊÈ Ñ ÅÄÈÍÑÒÂÅÍÍÛÌÈ ÍÅÑÎÊÐÀÒÈÌÛÌÈ ÐÀÇËÎÆÅÍÈßÌÈ ∗) Ì. Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ Ïàìÿòè Âèêòîðà Àëåêñàíäðîâè÷à Ãîðáóíîâà Ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòà a ïîëíîé ðåøåòêè L â âèäå a = W B íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì, åñëè ýëåìåíòû ìíîæåñòâà B âïîëíå íåðàçëîæèìû. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòî ðàçëîæåíèå íåñîêðàòèìî, åñëè a 6= W(B − b) äëÿ âñåõ b ∈ B. Èçâåñòíî [1], ÷òî â äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêå êàæäûé ýëåìåíò èìååò íå áîëåå îäíîãî íåñîêðàòèìîãî ðàçëîæåíèÿ.  êàêèõ ðåøåòêàõ êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò èìååò åäèíñòâåííîå íåñîêðàòèìîå ðàçëîæåíèå? Äàëåå òàêèå ðåøåòêè áóäåì íàçûâàòü ðåøåòêàìè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè. Äëÿ êîíå÷íûõ ðåøåòîê îòâåò íà ýòîò âîïðîñ íàéäåí â 1940 ã. Äèëóîðñîì [2]. Îí äîêàçàë, ÷òî êîíå÷íàÿ ðåøåòêà L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà. Èçâåñòíî òàêæå [3, 4], ÷òî êëàññ êîíå÷íûõ ðåøåòîê ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ñîâïàäàåò ñ êëàññîì êîíå÷íûõ âûïóêëûõ ãåîìåòðèé.  1960 ã. Äèëóîðñ è Êðîóëè [5] îõàðàêòåðèçîâàëè êëàññ êîàëãåáðàè÷åñêèõ ñèëüíî êîàòîìíûõ ðåøåòîê ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè. Íàêîíåö, â 1978 ã. Ãîðáóíîâ [6] äàë îïèñàíèå êëàññà äèñòðèáóòèâíûõ ðåøåòîê ñ (åäèíñòâåí∗) Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ãîñêîìèòåòà ÐÔ ïî âûñøåìó îáðà- çîâàíèþ, ïðîåêò 1998 ã., Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ïðîåêòû N 99-01-00485 è N 96-01-00097, Íåìåöêîãî íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîãî îáùåñòâà, ïðîåêò N 436 113/2670. c Ñèáèpñêèé ôîíä àëãåápû è ëîãèêè, 2005 94 Ì. Â. Ñåìåíîâà íûìè) íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè. Áëèçêèå âîïðîñû ðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòàõ Ýðíå [7], Ðèõòåðà [8], Âàëåíäçÿêà [911].  íàñòîÿùåé còàòüå îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìèíèìàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ â ðåøåòêå è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå èçâåñòíûå äî ñèõ ïîð ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ðåøåòêàìè ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Êðîìå òîãî, äàåòñÿ õàðàêòåðèçàöèÿ êëàññà ðåøåòîê ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Êàê ñëåäñòâèå, ïðèâîäèòñÿ íîâîå äîêàçàòåëüñòâî îòìå÷åííîé âûøå òåîðåìû Äèëóîðñà Êðîóëè. Âñå èñïîëüçóåìûå çäåñü òåðìèíû ñîäåðæàòñÿ â [12, 13]. Âåçäå äàëåå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî L ïîëíàÿ ðåøåòêà, à 0 åå íàèìåíüøèé ýëåìåíò. 1. Ðåøåòêè ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè Íàïîìíèì, ÷òî ýëåìåíò a 6= 0 ðåøåòêè L íàçûâàåòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B ⊆ L ðàâåíñòâî a = W B âëå÷åò a ∈ B . Ìíîæåñòâî âñåõ âïîëíå íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ ðåøåòêè L îáîçíà÷èì CJ(L). Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî a ∈ CJ(L) ýëåìåíò W a∗ = {b ∈ L : b < a} ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íèæíèì ïîêðûòèåì ýëåìåíòà a. Ýëåìåíò a ðåøåòêè L íàçûâàåòñÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûì ââåðõ, åñëè äëÿ ëþáîãî B ⊆ L è ëþáîãî ýëåìåíòà c ∈ L a=b∨c äëÿ âñåõ b ∈ B âëå÷åò a = ^ B ∨ c. Ðåøåòêà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, åñëè êàæäûé åå ýëåìåíò âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ. Ðàçëîæåíèå a = W B , ãäå B ⊆ CJ(L), íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî C ⊆ CJ(L) ðàâåíñòâî a = W C âëå÷åò âêëþ÷åíèå B ⊆ C . Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íåñîêðàòèìûì. Ýëåìåíò a ðåøåòêè L ïîëóìîäóëÿðåí âíèç, åñëè äëÿ ëþáîãî d ≺ a è ëþáîãî c ∈ CJ(L) èç a = c ∨ d ñëåäóåò c ∧ d = c∗. Ðåøåòêà L íàçûâàåòñÿ ïîëóìîäóëÿðíîé âíèç, åñëè a ≺ a ∨ b âëå÷åò a ∧ b ≺ b äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ L. Ïîëóìîäóëÿðíûå ââåðõ ðåøåòêè îïðåäåëÿþòñÿ äâîéñòâåííûì îáðàçîì. Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè 95 Îñíîâíàÿ öåëü ýòîãî ïàðàãðàôà äîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Ïóñòü L ðåøåòêà ñ ðàçëîæåíèÿìè. Ýëåìåíò a 6= 0 ðåøåòêè L èìååò ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðåí âíèç, à èíòåðâàë [0, a] ÿâëÿåòñÿ êîàòîìíîé ðåøåòêîé. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îïèðàåòñÿ íà õàðàêòåðèçàöèþ êëàññà ðåøåòîê ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè, êîòîðàÿ áûëà ïîëó÷åíà Ãîðáóíîâûì [6]. Ïðåäñòàâëåíèå a = W B ýëåìåíòà a â âèäå ñóììû ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà B íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ýëåìåíòà a, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ýòî ïðåäñòàâëåíèå íåñîêðàòèìî; 2) åñëè a = W C , òî äëÿ ëþáîãî b ∈ B ñóùåñòâóåò c ∈ C òàêîé, ÷òî b ≤ c. Èç äàííîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî è ñîñòîèò èç âïîëíå íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ (ñì. [1]) Ýëåìåíò a 6= 0 ðåøåòêè L èìååò êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ è èíòåðâàë [0, a] ÿâëÿåòñÿ êîàòîìíîé ðåøåòêîé. Êðîìå òîãî, åñëè Ua ìíîæåñòâî êîàòîìîâ â [0, a], a = W B êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ áèåêöèÿ f : Ua → B ñî ñâîéñòâàìè f (n) 6≤ n äëÿ âñåõ n ∈ Ua ; (1) f (n) ≤ m äëÿ âñåõ n, m ∈ Ua è n 6= m. ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1. ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2 . ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ òåîðåìû 1.1. Ïóñòü a = W B ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå ýëåìåíòà a. Ïîñêîëüêó â ðåøåòêå ñ ðàçëîæåíèÿìè ëþáîå ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì, òî a âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ, à ðåøåòêà [0, a] êîàòîìíà, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.2. Äàëåå, ïóñòü d ≺ a è c ∨ d = a äëÿ íåêîòîðîãî c ∈ CJ(L).  ñèëó óñëîâèÿ (1) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé b ∈ B òàêîé, ÷òî b 6≤ d. Åñëè W(B − b) ∨ c < a, òî W (B −b)∨c ≤ d0 ≺ a äëÿ íåêîòîðîãî êîàòîìà d0 . Ïîñêîëüêó c 6≤ d, òî d0 6= d. Ñîãëàñíî óñëîâèþ (1) íàéäåòñÿ b0 ∈ B òàêîé, ÷òî b0 6≤ d0 è b0 ≤ d. Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî d 6= d0, ïîëó÷àåì, ÷òî b 6= b0. Òàêèì îáðàçîì, b0 ≤ W(B−b) ≤ d0, 96 Ì. Â. Ñåìåíîâà à ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó b0. Çíà÷èò, W(B − b) ∨ c = a. Îòñþäà, ïî îïðåäåëåíèþ ìèíèìàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ, èìååì B ⊆ (B \ {b}) ∪ {c}, ò. å. b = c. Ïîêàæåì, ÷òî b∗ ≤ d.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå b∗ ∨ d = a è, èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì âûøå, ïîëó÷àåì W(B − b) ∨ b∗ = W = a. Ïîñêîëüêó a = B êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå, èìååì b ≤ b∗ , ÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, b∗ ≤ d è ïîýòîìó b∗ ≤ b∧d ≤ b. Òàê êàê b 6≤ d, òî c ∧ d = b ∧ d = b∗ = c∗ ≺ c, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Îáðàòíî, ïóñòü íåíóëåâîé ýëåìåíò a ∈ L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâåí ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðåí âíèç, à ðåøåòêà [0, a] êîàòîìíà. Ïî òåîðåìå 1.2 ïðè íåêîòîðîì B ⊆ CJ(L) ðàçëîæåíèå a = W B ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî ðàçëîæåíèå ìèíèìàëüíî. Åñëè a = W C , C ⊆ CJ(L), òî äëÿ ëþáîãî b ∈ B íàéäåòñÿ cb ∈ C , äëÿ êîòîðîãî b ≤ cb. Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî (1) ñóùåñòâóåò db ≺ a òàêîé, ÷òî b 6≤ db, ò. å. cb 6≤ db. Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì cb ∨ db = a, îòêóäà â ñèëó ïîëóìîäóëÿðíîñòè âíèç cb ∧ db = (cb )∗ . Ïîýòîìó åñëè b < cb , òî b ≤ (cb )∗ = cb ∧ db ≤ db ; ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, b = cb è B ⊆ C . 2 Ðåøåòêà L íàçûâàåòñÿ ñèëüíî êîàòîìíîé, åñëè ëþáîé íåòðèâèàëüíûé èíòåðâàë [a, b] ⊆ L ÿâëÿåòñÿ êîàòîìíîé ðåøåòêîé. Ðåøåòêà L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðíà âíèç è ñèëüíî êîàòîìíà. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü a ≺ a ∨ b è a ∨ b = W C ìèíèìàëüíîå ðàçëîæåíèå. Åñëè a∧b < x < b äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ L, òî íàéäóòñÿ ýëåìåíòû x1 , b1 ∈ CJ(L) òàêèå, ÷òî ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 1.3. è b1 6≤ x, ò. å. b1 6≤ a; x1 ≤ x è x1 6≤ a ∧ b, ò. å. x1 6≤ a. Îòñþäà x1 6= b1 è a ∨ x1 = a ∨ b1 = a ∨ b. Ïóñòü a = W A ðàçëîæåíèå ýëåìåíòà a. Ïî âûáîðó x1, b1 ïîëó÷àåì, ÷òî x1, b1 ∈/ A. Òàêèì îáðàçîì, C ⊆ (A ∪ {x1 }) ∩ (A ∪ {b1 }) = A, ò. å. a ∨ b ≤ a, ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó a∧b ≺ b, è ðåøåòêà L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. Îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç òåîðåìû 1.1. 2 b1 ≤ b Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè 97 2. Âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûå ââåðõ ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè Îñíîâíàÿ öåëü ïàðàãðàôà äîêàçàòü, ÷òî âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûå ââåðõ ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ïîëóìîäóëÿðíûìè âíèç. Äëÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ ðåøåòêè L ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå: ËÅÌÌÀ 2.1. äëÿ ëþáîãî a ∈ L è ëþáûõ x, y ∈ CJ(L) a ∨ x = a ∨ y è x 6≤ a âëå÷åò x = y. (2) ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå x, y ∈ CJ(L) è a ∈ L òàêèå, ÷òî x 6≤ a è b = a ∨ x = a ∨ y. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà X = {x0 ∈ L : x ∨ x0 = b}, Y = {y 0 ∈ L : y ∨ y 0 = b}. Î÷åâèäíî, a ∈ X ∩Y . Ðåøåòêà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, ïîýòîìó V V V W V W x ∨ ( X) = y ∨ ( Y ) = b. Ïóñòü X = T , Y = R åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ, òîãäà x∨ _ _ T =y∨ R , ïðè÷åì ýòè ðàçëîæåíèÿ íåñîêðàòèìû: â ïðîòèâíîì ñëó÷àå x ≤ W T ≤ a (èëè y ≤ W R ≤ a), ëèáî W(T −t)∨x = b ( W(R−r)∨y = b, ñîîòâåòñòâåííî), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìèíèìàëüíîñòè ýëåìåíòîâ V X è V Y â ìíîæåñòâàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó x 6= y, ýëåìåíò b èìååò äâà íåñîêðàòèìûõ ðàçëîæåíèÿ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. 2 Óñëîâèå (2) ðàññìàòðèâàë Âàëåíäçÿê â [10]. Îí ïîêàçàë, ÷òî äëÿ íåïðåðûâíûõ âíèç ñèëüíî êîàòîìíûõ ðåøåòîê óñëîâèå (2) ðàâíîñèëüíî ñóùåñòâîâàíèþ åäèíñòâåííûõ íåñîêðàòèìûõ ðàçëîæåíèé. Âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíàÿ ââåðõ ðåøåòêà L ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2. 98 Ì. Â. Ñåìåíîâà 1e . . . . . . . . e e . . H HH e J Je e a HH n+1 HH . . . . an e . . . . e e H H JJ H HH J HH Je H e e a1 H HH J J HH J H HH J H b e J ec H e a0 H HH HH H HH H HH H HH e 0 ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü a ≺ a ∨ b äëÿ íåêîòîðûõ a, b ∈ L. Åñëè ñóùåñòâóåò c ∈ L òàêîé, ÷òî a ∧ b < c < b, òî íàéäóòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûå ýëåìåíòû c1, b1 ñ óñëîâèåì b1 ≤ b ≤ a ∨ b è b1 6≤ c, ò. å. b1 6≤ a; c1 ≤ c ≤ b è c1 6≤ a ∧ b, ò. å. c1 6≤ a. Òàêèì îáðàçîì, b1 6= c1 è a ∨ b1 = a ∨ c1 = a ∨ b, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (2). Ïîýòîìó L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. 2 Èç ñëåäñòâèÿ 1.3 è òåîðåì 1.2, 2.2 âûòåêàåò Äëÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ ðåøåòêè L, èìåþùåé åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ, ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) L ðåøåòêà ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè; 2) L ðåøåòêà ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Íàêîíåö, ïîêàæåì, ÷òî êëàññ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûõ ââåðõ ðåøåòîê ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè îòëè÷àåòñÿ îò êëàññà ðåøåòîê ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, ðåøåòêà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå, âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è èìååò ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 2.3. Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè 99 åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ. Áîëåå òîãî, ðàçëîæåíèå 1 = b ∨ c íåñîêðàòèìî, íî íå áóäåò ìèíèìàëüíûì, ïîñêîëüêó 1 = W ai. i<ω 3. Ðåøåòêè, â êîòîðûõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè Èç îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî â êîíå÷íûõ ðåøåòêàõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè, íî, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, â îáùåì ñëó÷àå ýòî íå òàê.  äàííîì ïàðàãðàôå â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1.1 ìû ïðèâåäåì äðóãèå ïðèìåðû ðåøåòîê, â êîòîðûõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè. Èç òåîðåìû 1.1 è òåîðåìû 2 [6] âûòåêàåò Äëÿ ïîëíîé äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè L ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) L ðåøåòêà ñ íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè; 2) L ðåøåòêà ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçëîæåíèÿìè; 3) L ðåøåòêà ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè; 4) L áåñêîíå÷íî W-äèñòðèáóòèâíàÿ ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà. Ðåøåòêà íàçûâàåòñÿ ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ, åñëè x ∨ y = x ∨ z âëå÷åò x∨y = x∨(y ∧z) äëÿ âñåõ x, y, z ∈ L. Ïîëíàÿ ðåøåòêà L íåïðåðûâíà ââåðõ, åñëè a ∧ (W C) = W (a ∧ c) äëÿ ëþáîé öåïè C ⊆ L è ëþáîãî a ∈ L. c∈C Íåïðåðûâíîñòü âíèç îïðåäåëÿåòñÿ äâîéñòâåííûì îáðàçîì. Íåïðåðûâíàÿ âíèç ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà L ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç è ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïîëóäèñòðèáóòèâíàÿ ââåðõ íåïðåðûâíàÿ âíèç ðåøåòêà ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíîé ââåðõ. Ïîýòîìó åñëè ðåøåòêà L â óñëîâèÿõ òåîðåìû ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç, òî ïî ñëåäñòâèþ 1.3 îíà èìååò ìèíèìàëüíûå, à çíà÷èò, è åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ. Îáðàòíî, ïóñòü L ðåøåòêà ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè, a = x ∨ y = x ∨ z ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.1. ÒÅÎÐÅÌÀ 3.2. 100 Ì. Â. Ñåìåíîâà è a 6= x ∨ (y ∧ z) äëÿ íåêîòîðûõ x, y, z ∈ L. Ïîñêîëüêó L ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà, ñóùåñòâóåò p ∈ L òàêîé, ÷òî x ∨ (y ∧ z) ≤ p ≺ a.  ñèëó ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà y 6≤ p è z 6≤ p, ïîýòîìó íàéäóòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûå ýëåìåíòû q1 è q2, äëÿ êîòîðûõ q1 ≤ y, q1 6≤ p è q2 ≤ z, q2 6≤ p. Òàêèì îáðàçîì, q1 ∨p = q2 ∨p = a. Ïîñêîëüêó L íåïðåðûâíà âíèç, ïî ëåììå Öîðíà ñóùåñòâóþò ìèíèìàëüíûå ýëåìåíòû w1 ≤ p è w2 ≤ p ñî ñâîéñòâîì W W q1 ∨ w1 = q2 ∨ w2 = a. Ïóñòü w1 = T1 , w2 = T2 èõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ, òîãäà q1 ∨ _ _ T1 = q2 ∨ T2 = a. Ýòè ðàçëîæåíèÿ íåñîêðàòèìû, òàê êàê w1, w2 ≤ p ≺ a, à ýëåìåíòû w1, w2 ìèíèìàëüíû. Òàêèì îáðàçîì, T1 ∪ {q1} = T2 ∪ {q2}. Åñëè q1 ∈ T2, òî q1 ≤ ≤ w2 ≤ p. Ïîýòîìó q1 = q2 è q1 ≤ y ∧ z ≤ p, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó q1 . Ïîëó÷àåì, ÷òî L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.2, ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. 2 Ýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííûõ íåñîêðàòèìûõ ðàçëîæåíèé â êëàññå íåïðåðûâíûõ âíèç ñèëüíî êîàòîìíûõ ðåøåòîê ñ óñëîâèÿìè ïîëóäèñòðèáóòèâíîñòè ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíîñòè âíèç â äðóãèõ òåðìèíàõ äîêàçàíà âïåðâûå Äèëóîðñîì è Êðîóëè [5] (ñì. òàêæå [13]). Îíè ïîêàçàëè, ÷òî íåïðåðûâíàÿ âíèç ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà áóäåò ðåøåòêîé ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà, ò. å. äëÿ ëþáîãî a ∈ L èíòåðâàë V [ Ua , a] (ãäå Ua = {p ∈ L : p ≺ a}) ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêîé. Íåïðåðûâíàÿ âíèç ñèëüíî êîàòîìíàÿ ðåøåòêà ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç, òîãäà p ∨ V(Ua − p) = a äëÿ âñåõ a ∈ L è p ∈ Ua. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëîêàëüíîé äèñòðèáóòèâíîñòè äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò x ∈ [ua, a], ãäå ua = V Ua, ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ýëåìåíòîâ èç Ua. Ïóñòü B = {p ∈ Ua : x ≤ p} è b = V B . Åñëè x < b, òî íàéäåòñÿ r ∈ Ub òàêîé, ÷òî x ≤ r ≺ b. Èìååì r 6= b ∧ p äëÿ âñåõ p ∈ Ua. Áîëåå òîãî, åñëè p ∈ Ua è b 6≤ p, òî p ≺ b ∨ p. Ïîñêîëüêó L ïîëóìîäóëÿðíà ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 3.3. Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè 101 âíèç, òî b ∧ p ≺ b. Òàêèì îáðàçîì, r ≥ ua = ^ {p ∧ b : p ∈ Ua } ≥ ^ {s : s ∈ Ub , s 6= r}, ò. å. r = r ∨ V(Ub − r), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó âûøå. Îáðàòíî, ïóñòü L ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà. Ñîãëàñíî 3.7 [13], L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a = x ∨ y = x ∨ z è a 6= x ∨ (y ∧ z), òîãäà x ≤ x∨(y ∧z) ≤ p äëÿ íåêîòîðîãî p ∈ Ua. Ïîñêîëüêó y 6≤ p è L íåïðåðûâíà âíèç, â ñèëó ëåììû Öîðíà íàéäåòñÿ âïîëíå íåðàçëîæèìûé ýëåìåíò q ≤ y òàêîé, ÷òî q 6≤ p. Èìååì q 6≤ z , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûïîëíÿëîñü áû q ≤ y ∧ z ≤ p. Ñëåäîâàòåëüíî, q ∨ z > z è z ≤ s ≺ q ∨ z äëÿ íåêîòîðîãî s ∈ Uq∨z . Áîëåå òîãî, q ∨ z ∨ p = a p, ò. å. (q ∨ z) ∧ p ≺ q ∨ z , òàê êàê L ïîëóìîäóëÿðíà âíèç. Äàëåå, q 6≤ s è p ∧ (q ∨ z) 6= s, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå z ≤ s ≤ p. Ïîëîæèì b = q ∨ V Uq∨z . Ñîãëàñíî 7.3 [13], uq∨z ≺ b. Êðîìå òîãî, b 6≤ p ∧ (q ∨ z), èíà÷å èìåëè áû ìåñòî q ≤ b ≤ p ∧ (q ∨ z) ≤ p è b 6≤ s, ïîñêîëüêó òîãäà q ≤ b ≤ s.  èòîãå èìååì: b ∧ s = b ∧ p ∧ (q ∨ z) = uq∨z , b ∨ s = b ∨ (p ∧ (q ∨ z)) = q ∨ z, ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ðåøåòêà [uq∨z , q ∨ z] äèñòðèáóòèâíà. Òàêèì îáðàçîì, L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ. 2 Èç ñëåäñòâèÿ 1.3, òåîðåìû 3.2 è ïðåäëîæåíèÿ 3.3 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óñèëåíèå òåîðåìû ÄèëóîðñàÊðîóëè [5, 13]: Äëÿ íåïðåðûâíîé âíèç ñèëüíî êîàòîìíîé ðåøåòêè L ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) L ðåøåòêà ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè; 2) L ðåøåòêà ñ ìèíèìàëüíûìè ðàçëîæåíèÿìè; 3) L ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ è ïîëóìîäóëÿðíà âíèç; 4) L ëîêàëüíî äèñòðèáóòèâíà.  çàêëþ÷åíèå óêàæåì äâà íîâûõ êëàññà, â êîòîðûõ åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè. Ïóñòü L íåïðåðûâíàÿ ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðíàÿ ââåðõ, âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíàÿ ââåðõ (ëèáî íåïðåðûâíàÿ âíèç) ðåøåòêà. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ðåøåòêè L èìååò íåñîêðàòèìîå ðàçëîæåíèå, òî L ñèëüíî êîàòîìíà. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.4. ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 3.5. 102 Ì. Â. Ñåìåíîâà ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü b ∈ L, b = W Q íåñîêðàòèìîå ðàçëîæåíèå è q ∈ Q. Ïîëîæèì n o _ Xq = x ∈ L : (Q − q) ≤ x < b . Ìíîæåñòâî Xq íåïóñòî, ïîñêîëüêó W(Q − q) ∈ Xq . Åñëè W C = b äëÿ íåêîòîðîé öåïè C ⊆ Xq , òî, èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ââåðõ, èìååì q = W W = q ∧ ( C) = (q ∧ c), à òàê êàê q âïîëíå íåðàçëîæèì, òî q ≤ c äëÿ íåêîc∈C òîðîãî c ∈ C , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó C . Ïî ëåììå Öîðíà Xq ñîäåðæèò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò xq è xq ≺ b. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî q ∈ Q ñóùåñòâóåò xq ≺ b, ïðè÷åì q1 ≤ xq äëÿ âñåõ q1 ∈ Q, q1 6= q è q 6≤ xq . Äàëåå, ïóñòü a < b â L. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Y = {x ∈ L : a ∨ x = b}. Îíî íåïóñòî, ïîñêîëüêó b ∈ Y . Òàê êàê ðåøåòêà L âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíà ââåðõ, y = V Y ∈ Y . ( ñëó÷àå, êîãäà L íåïðåðûâíà âíèç, ïî ëåììå Öîðíà ìíîæåñòâî Y ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò y.) Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó, íàéäåòñÿ w ∈ L òàêîé, ÷òî w ≺ y. Îòñþäà a ∨ w < b, è ïîýòîìó (a ∨ w) ∧ y = = w ≺ y . Ðåøåòêà L ïîëóìîäóëÿðíà ââåðõ, çíà÷èò, a ≤ a∨w ≺ a∨w ∨y = b, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 2  êëàññå íåïðåðûâíûõ ââåðõ, ïîëóìîäóëÿðíûõ ââåðõ, âïîëíå ïîëóäèñòðèáóòèâíûõ ââåðõ (ëèáî íåïðåðûâíûõ âíèç) ðåøåòîê åäèíñòâåííûå íåñîêðàòèìûå ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ìèíèìàëüíûìè. Àâòîð ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí Â. À. Ãîðáóíîâó çà ïîñòàíîâêó âîïðîñà, à òàêæå çà ïîñòîÿííîå âíèìàíèå è ïîääåðæêó. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.5. ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 1. G. Birkho, Rings of sets, Duke Math. J., 3 (1937), 442454. 2. R. P. Dilworth, Lattices with unique irreducible decompositions, Ann. Math., II. Ser., 41, N 4 (1940), 771776. 3. K. V. Adaricheva, V. A. Gorbunov, V. I. Tumanov, Join semidistributive lattices and convex geometries, to appear. 4. B. Monjardet, The consequences of Dilworth's work on lattices with unique irreducible decompositions, in: The Dilworth theorems: selected papers of R. P. Dilworth (ed. by K. P. Bogart, R. Freese, J. P. S. Kung), Boston a. o., Birkh auser, 1990. Ðåøåòêè ñ åäèíñòâåííûìè íåñîêðàòèìûìè ðàçëîæåíèÿìè 103 5. R. P. Dilworth, P. Crawley, Lattices without chain conditions, Trans. Am. Math. Soc., 96, N 1 (1960), 122. 6. Â. À. Ãîðáóíîâ, Êàíîíè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ â ïîëíûõ ðåøåòêàõ, Àëãåáðà è ëîãèêà, 17, N 5 (1978), 495511. 7. M. Erne, On the existence of decompositions in lattices, Algebra Univers., 16, N 3 (1983), 338343. 8. G. Richter, The Kuros Ore theorem, nite and innite decompositions, Stud. Sci. Math. Hung., 17, N 13 (1982), 243250. 9. A. Walendziak, Meet decompositions in complete lattices, Period. Math. Hung., 21, N 3 (1990), 219222. 10. A. Walendziak, Join decompositions in lower continuous lattices, Stud. Sci. Math. Hung., 28, N 12 (1993), 131134. 11. A. Walendziak, Unique irredundant decompositions in upper continuous lattices, Czech. Math. J., 45, N 2 (1995), 193199. 12. Â. À. Ãîðáóíîâ, Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ êâàçèìíîãîîáðàçèé, Íîâîñèáèðñê, Íàó÷íàÿ êíèãà, 1999. 13. P. Crawley, R. P. Dilworth, Algebraic theory of lattices, Englewood Clis, NJ, Prentice-Hall, 1973. Àäðåñ àâòîðà: Ïîñòóïèëî 30 äåêàáðÿ 1998 ã. ÑÅÌÅÍÎÂÀ Ìàðèíà Âëàäèìèðîâíà, ÐÎÑÑÈß, 630090, Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 2, Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. e-mail: semenova@math.nsc.ru