Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр

Практические занятия по курсу
высшей математики (II семестр) на
основе учебного пособия «Сборник
индивидуальных заданий по высшей
математике», том 2, под ред.
Рябушко А.П.
для студентов дневной формы обучения специальностей 1 -36 08 01
«Машины и аппараты текстильной, лѐгкой промышленности и
бытового обслуживания», 1-53 01 01 «Автоматизация
технологических процессов и производств»
Составитель: доц. Никонова Т.В.
2012/2013 учебный год
Оглавление
Практическое занятие №1 Неопределенный интеграл и его свойства ..........................................................4
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................4
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................4
Практическое занятие №2 Интегрирование с подведением под знак дифференциала, с использованием
подстановок и по частям .....................................................................................................................................4
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................4
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................5
Практическое занятие №3 Интегрирование функций содержащих квадратный трехчлен ........................5
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................5
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................5
Практическое занятие №4 Интегрирование рациональных дробей ...............................................................6
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................6
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................6
Практическое занятие №5 Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций ................6
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................7
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................7
Практическое занятие №6 Определенный интеграл и его свойства ..............................................................8
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................8
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................8
Практическое занятие №7 Несобственные интегралы ...................................................................................8
Самостоятельная работа ...................................................................................................................................9
Контрольные вопросы ..........................................................................................................................................9
Практическое занятие №8 Применение определенного интеграла ................................................................9
Самостоятельная работа .................................................................................................................................10
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................10
Практическое занятие №9 Функции нескольких переменных ........................................................................10
Самостоятельная работа .................................................................................................................................11
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................11
Практическое занятие №10 Дифференцирование сложных и неявных функций.........................................11
Самостоятельная работа .................................................................................................................................12
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................12
Практическое занятие №11 Частные производных высших порядков. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности ......................................................................................................................................................12
Самостоятельная работа .................................................................................................................................12
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................12
Практическое занятие №12 Экстремум функции двух переменных .............................................................13
Самостоятельная работа .................................................................................................................................13
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................13
Практическое занятие №13 Комплексные числа и действия с ними ............................................................13
Самостоятельная работа .................................................................................................................................14
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................14
Практическое занятие №14 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия ..............14
Самостоятельная работа .................................................................................................................................15
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................15
Практическое занятие №15 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные
дифференциальные уравнения ............................................................................................................................15
Самостоятельная работа .................................................................................................................................16
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................16
Практическое занятие №16 Уравнения в полных дифференциалах ..............................................................16
Самостоятельная работа .................................................................................................................................16
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................17
Практическое занятие №17 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
порядка .................................................................................................................................................................17
Самостоятельная работа .................................................................................................................................17
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................17
Практическое занятие №18 Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков .....18
Самостоятельная работа .................................................................................................................................18
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................18
Практическое занятие №19 Линейное неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков..18
Самостоятельная работа .................................................................................................................................19
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................19
Практическое занятие №20 Системы дифференциальных уравнений .........................................................19
Самостоятельная работа .................................................................................................................................20
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................20
Практическое занятие №21 Преобразования Лапласа и его свойства.........................................................20
Самостоятельная работа .................................................................................................................................21
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................21
Практическое занятие №22 Обратное преобразование Лапласа .................................................................21
Самостоятельная работа .................................................................................................................................21
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................22
Практическое занятие №23 Решение дифференциальных уравнений операционным методом ................22
Самостоятельная работа .................................................................................................................................22
Контрольные вопросы ........................................................................................................................................22
Практическое занятие №24 Контрольная работа (пример) .........................................................................22
Вопросы к экзамену .............................................................................................................................................23
Задания к типовому расчету .............................................................................................................................25
Практическое занятие №1 Неопределенный интеграл и его свойства
Найти указанные
дифференцированием
√
1. ∫
интегралы,
2. ∫
)dx;
4. ∫ √
результаты
проверить
3. ∫
5. ∫
6. ∫
√
∫
∫
интегрирования
∫
√
Самостоятельная работа
∫
Найти указанные интегралы, результаты интегрирования проверить
дифференцированием.
1.∫
2. ∫
3. ∫
√
4. ∫
5. ∫
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основную задачу интегрального исчисления.
2. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
3. Что называют неопределенным интегралом от функции f(x)?
4. Какая операция называется операцией интегрирования?
5. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
6. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
Практическое занятие №2 Интегрирование с подведением под знак
дифференциала, с использованием подстановок и по частям
Найти указанные интегралы, результаты интегрирования проверить
дифференцированием.
1. ∫
2. ∫
√
6. ∫
7. ∫
11. ∫
√
3. ∫
√
4. ∫
√
8. ∫ √
12. ∫
9. ∫
13. ∫
Самостоятельная работа
Найти неопределенные интегралы.
∫
√
2. ∫
3. ∫
√
5∫
√
√
√
√
; 10. ∫
√
4. ∫
√
5. ∫
√
6. ∫
√
7. ∫
8. ∫
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
2. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
3. Расскажите об интегрировании с использованием подведения под знак
дифференциала.
4. Расскажите об интегрировании с использованием подстановок.
5. Расскажите об интегрировании по частям.
Практическое занятие №3 Интегрирование функций содержащих
квадратный трехчлен
Найти указанные неопределенные интегралы
1
x2
dx
C)
1.  2
(Ответ : arctg
4
4
x  4 x  20
1
11 x  7
x2
C)
2.  2
dx (Ответ: ln | x 2  8 x  7 |  ln
2
6 x 1
x  8x  7
x  2  5 ln x 2  2 x  2  9arctgx  1  C )
x 3  3x
dx (Ответ:
3.  2
2
2
x  2x  2
3x - 1
4. 
dx (Ответ: 3 x 2  6 x  18  5 ln x  3  x 2  6 x  18  C )
2
x  6 x  18
8 x - 11
x 1
5. 
(Ответ:  8 5  2 x  x 2  3 arcsin
dx
C)
6
5  2x - x2
2 - 3x
6. 
(Ответ: 2 ln x  4  x 2  3 4  x 2  C )
dx
4  x2
2
Самостоятельная работа
Найти неопределенные интегралы:
3x  9
dx.
1.  2
x  6 x  12
x-7
dx.
3.  2
x  10 x  9
2.

4.

x-3
x  2x  2
7x  2
2
5  4x  x2
dx.
dx.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
2. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
3. Расскажите об интегрировании с использованием подведения под знак
дифференциала.
4. Расскажите об интегрировании с использованием подстановок.
Практическое занятие №4 Интегрирование рациональных дробей
1.
Найти данные неопределенные интегралы.
2
x4

x  2
 x 2  5x  6dx. (Ответ: ln x  3  C )
2.
x5  x 4  8
x3 x 2
x 2  x  2
 x 3  4 x dx. (Ответ: 3  2  4 x  ln x  23  C )
3.
2
x3  1

1
x  1
 x 3  x 2 dx. (Ответ: x  x  ln x  C )
4.
(2 x 2  3x  3)dx
 x  1x 2  2 x  5. (Ответ: ln
5.
x 2 dx
1
1 1 x
 x 4  1. (Ответ: 2 arctgx  4 ln 1  x  C )
5
x
2
 2 x  5 1
x 1
 arctg
C)
x 1
2
2
3
Самостоятельная работа
Найти неопределенные интегралы.
dx
4dx
1. 
; 2. 
;
( x - 1)( x  2)( x  3)
x( x 2  4)
3. 
dx
.
x(x  1) 2
Контрольные вопросы
1. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
2. Какая функция называется дробно-рациональной?
3. Какая дробь называется правильной?
4. Какая дробь называется неправильной?
5. Запишите четыре основных типа простейших дробей и расскажите об их
интегрировании.
6. Сформулируйте теоремы о разложении рациональной дроби на простейшие
дроби.
7. Расскажите о методе неопределенных коэффициентов.
Практическое занятие №5
тригонометрических функций
Интегрирование
Найдите данные неопределенные интегралы.
2
dx
1. 
. (Ответ: ln 3 x  4  C )
3
3x  4 x x
иррациональных
и
2. 
3. 

41
dx
(Ответ:
.
 3x  4  24 3x  4  4 ln 4 3x  4  2
4
3 2
3x  4  2 3x  4
dx
1

4
4
(Ответ:
4
x

7
x

49
ln
x

7
.

C)
x  74 x
2

1  x dx
1 x  1 x
1 x
 2arctg
C)
. (Ответ: ln
1 x x
1 x  1 x
1 x
2
8
5
1
1
5.  x 5 3 1  x 3  dx. (Ответ: 3 1  x 3   3 1  x 3   C
8
5
x
2  tg
1
dx
2 C)
6. 
. (Ответ: ln
4 2  tg x
3  5 cos x
2
x
tg  5
dx
7. 
. (Ответ: ln 2
C)
x
8  4 sin x  7 cos x
tg  3
2
dx
8.  2
.
sin x  sin 3x cos x  cos2 x
4. 
Самостоятельная работа
Найти неопределенные интегралы.
3
1

x 6
dx
1.  3
x
 x  ln(1  6 x )   C )
. (Ответ: 6
2
x x
3

1
8
dx
2. 
(Ответ: 3 (3x  8) 4  (3x  8)  C )
.
3
3
9
(3x  8) 2  23 3x  8  4
sin 3 xdx
3 5/3
cos x  3 cos1/ 3 x  C )
3
5
cos4 x
x
tg  2
1
dx
C)
4. 
. (Ответ: ln 2
3 2tg x  1
4  5 sin x
2
3. 
. (Ответ:
Контрольные вопросы
1. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
2. Расскажите о методе рационализации подынтегрального выражения.
3. Какие подстановки при этом используются?
4. Расскажите о подстановках Эйлера.
5. Что называют дифференциальным биномом?
6. Расскажите об интегрировании дифференциального бинома.
  C )

7. Какие подстановки используются при интегрировании тригонометрических
выражений?
8. Какая
подстановка
называется
универсальной
тригонометрической
подстановкой?
Практическое занятие №6 Определенный интеграл и его свойства
Вычислить определенные интегралы.
e3
2
21
 2 2
1.   2 x  4 dx (Ответ:
)
2. 
4
x


1 x
1
1
4
dx
1
3.  2
(Ответ: arctg )
4. 
7
0 x  4x  5
01
3
848
)
105
0
5
dx
1
7. 
(Ответ: ln 112 )
5
3x  1
0 2x 
5.
x
5
1  x 2 dx (Ответ:
dx
(Ответ: 2)
1  ln x
dx
(Ответ: 2  ln 2 )
2x  1
3
72 7
dx
6. 
(Ответ: ln
)
2
9
1 x x  5x  1
Самостоятельная работа
Вычислить определенные интегралы:
9
3 
x

1.   2 x 
2. 
dx (Ответ: 7  2 ln 2 )
dx (Ответ: 21)
x
x 1
1
4
9
4
y 1
xdx
23
16
dy (Ответ: )
3. 
4. 
(Ответ:  2 ln 3 )
3
3
y 1
x
4
01
4
Контрольные вопросы
1. Что называют определенным интегралом функции f(x)?
2. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
3. Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции f(x) на отрезке
[a, b].
4. Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции
f(x) на отрезке [a, b].
5. Запишите свойства определенного интеграла.
6. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
7. Расскажите об основных методах интегрирования определенного интеграла.
Практическое занятие №7 Несобственные интегралы
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

dx
3  x2
x
1. 
(Ответ:
0,5)
2.
.
 e dx. (Ответ: 0,5)
3
0
e xln x 

2  sin x
dx. (Ответ: расходится)
x
1
2
xdx
8
. (Ответ: )
5. 
3
x 1
1
1
e

3.

4.
0
e
6.
dx
 x(ln x) 2 . (Ответ: 1)
x
1
dx
. (Ответ: 2)
ln x
Самостоятельная работа
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
2
dx
xdx
1. 
(Ответ: 0,5)
2. 
(Ответ: расходится)
3
x
ln
x


1

x
1
0

Контрольные вопросы
1. Дайте определение несобственного интеграла первого рода.
2. Дайте определение несобственного интеграла второго рода.
3. Какой несобственный интеграл называется сходящимся, а какой –
расходящимся?
4. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов.
5. В каком случае говорят, что несобственный интеграл сходится абсолютно, а в
каком – условно?
Практическое занятие №8 Применение определенного интеграла
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2  4 x , y  x  4 .
(Ответ: 125/6)
1
x2
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 
,y .
1  x2
2
 1
(Ответ:  )
2 3
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей линии x  3t 2 ,
3
)
y  3t  t 3 . (Ответ: 72
5
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 2  y 2  4 ,
25
x
x2  y2  9 , y  x , y 
. (Ответ:
)
24
3
5. Вычислить длину астроиды x  a cos3 t , x  a sin 3 t . (Ответ: 6a )
6. Вычислить длину кардиоиды   a1  cos. (Ответ: 8a )
2
x  13 от точки с абсциссой x1  1 до
7. Вычислить длину дуги кривой y 
3
точки с абсциссой x2  9 . (Ответ: 56/3)
8. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры,
3
лежащей в плоскости Oxy и ограниченной линиями y  x 2 , x  y 2 . (Ответ: )
10
9. Вычислить площадь поверхности вращения, полученной при вращении
1
104
4 x  1 от точки x1  1 до точки x2  9 . (Ответ:
дуги кривой y 
)
2
3
Самостоятельная работа
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 4 y  8 x  x 2 , 4 y  x  6 ; б) y  4t 2  6t , x  2t с осью Ox .
49
9
(Ответ: а)  2,04 ; б) )
24
2
4
2. Вычислить длину дуги кривой y  x , заключенной между точками с
3
абсциссами x1  2 и x2  5 . (Ответ: 5)
3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y 
(Ответ:  )
x2 z 2
 , y  1.
1
4
Контрольные вопросы
1. Как найти площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат при
явном и параметрическом задании функции?
2. Какая система координат называется полярной?
3. Как найти площадь плоской фигуры в полярной системе координат?
4. Расскажите о вычислении объемов тел с использованием определенного
интеграла.
5. Расскажите о вычислении площади поверхности вращения с использованием
определенного интеграла.
6. Расскажите о вычислении длины дуги кривой с использованием определенного
интеграла.
7. Расскажите о физических приложениях определенного интеграла.
Практическое занятие №9 Функции нескольких переменных
а)
в)
а)
г) z =
1. Найти область определения следующих функций:
; б)
;
√
√
√
; г)
.
√
2. Найти частные производные указанных функций:
б)
в)
√
√
);
д)
);
е)
√
( )
и)
√
3. Вычислить
в точке
, если
. (Ответ 3/2).
4. Вычислить значение частных производных функции
в точке (3, 4). (Ответ: 8/5, 9/5).
√
5.
Найти
частные
дифференциалы
следующих
а)
б)
.
√
ж)
функций:
Самостоятельная работа
1. Найти:
а) область определения и значений функции
б) частные производные функции
в) частные дифференциалы функции
.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции двух (трех) переменных.
2. Что называют аргументами ФНП?
3. Что называют областью определения и областью значений ФНП?
4. Что понимают под графиком ФНП?
5. Что называют линией (поверхностью) уровня ФНП?
6. Что называют частными производными ФНП?
7. Сформулируйте необходимое, достаточное условия дифференцируемости
ФНП.
8. Что называют частным, полным дифференциалами функции f(x, y)?
Практическое занятие №10 Дифференцирование сложных и неявных
функций
1. Найти полные дифференциалы следующих функций:
а)
б)
2. Вычислить приближенно данное выражение, заменив приращения
соответствующей функции ее дифференциалом √
3. Найти частные производные функции
, если
√
.
4. Найти частные производные функции
, если
,
,
5. Найти производную функции
, если
√ .
6. Найти частные производные функции z, заданной неявно уравнением
.
7. Вычислить значения частных производных функции z, заданной неявно
уравнением
, в точке
. (Ответ: -1, -1).
Самостоятельная работа
1. Найти:
а) полный дифференциал функции
( )
б) найти частные производные функции z, заданной неявно уравнением
.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции двух (трех) переменных.
2. Запишите формулы для частных производных функции f(x, y), если x, y
являются непрерывно дифференцируемыми функциями двух переменных t, s.
3. Сформулируйте свойство инвариантности для полного дифференциала.
4. Что называют полной производной функции f(x, y), если y=g(x)?
Практическое занятие №11 Частные производных высших порядков.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
1. Найти частные производные второго порядка указанных функций и
проверить, равны ли их смешанные частные производные:
а)
б)
√
2. Доказать, что функция
удовлетворяет уравнению
.
3. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к
поверхности
в точке
(0, 2, -2).
4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке
(Ответ:
5. Для эллипсоида
записать уравнение касательной
плоскости, параллельной плоскости
(Ответ:
.
√
Самостоятельная работа
1. Найти частные производные второго порядка функции
2. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке (1, -1, 1).
Контрольные вопросы
1. Дайте определение частных производных второго, третьего порядков ФНП.
.
2. Каким свойством обладают смешанные производные ФНП?
3. Запишите формулы дифференциалов высших порядков ФНП.
4. Запишите формулу Тейлора для функции двух переменных.
5. Дайте определение касательной плоскости, нормали к поверхности.
6. Запишите уравнения для касательной плоскости, нормали к поверхности.
Практическое занятие №12 Экстремум функции двух переменных
1. Исследовать данные функции на локальный экстремум:
+
б)
а)
в)
(Ответ: а) zmin=z(2, 1)= -28, zmax=z(-2, -1)=28; zmin=z(1, 0)= -1, в) точек экстремума
нет)
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в области, ограниченной прямыми x=0, y=0, x+y=3.
(Ответ: а) zнаим=z(3, 0)= -9, zнаиб=z(0, 0)=5)
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в
области ограниченной прямыми x=0, y=0, x+y=6. (Ответ: а) zнаим=z(4, 2)= -64,
zнаиб=z(2, 1)=4)
Самостоятельная работа
1. Исследовать на экстремум функцию
(Ответ: zmin=z(1, -1)= -3)
2. Исследовать на экстремум функцию
zmax=z(4, 4)=15)
√
(Ответ:
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции z=f(x, y).
2. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции z=f(x, y).
3. Сформулируйте алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений
функции z=f(x, y) в замкнутой области D.
Практическое занятие №13 Комплексные числа и действия с ними
1. Найти значение выражения (z1+2z2)z3, если z1=2+3i, z2=3+2i, z3=5-2i. (Ответ:
54+19i.)
2. Даны комплексные числа z1=3+5i, z2=3-4i, z3=1-2i. Найти число
z 2 ( z1  z3 )
.
z3
(Ответ: 38/5+41/5i.)
3. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные
числа z1=2-2i, z2=-1+i, z3=-i, z4= -4.
4. Найти корни уравнения z8-1=0. (Ответ: z0=1, z1  2 / 2  2 / 2i, z2=i,
z3   2 / 2  2 / 2i, z4=-1, z5   2 / 2  2 / 2i, z6=i, z7   2 / 2  2 / 2i. )
5. Найти значение выражения
z12  z 2 z3
, если z1=2-i, z2=-1+2i, z3=8+12i. (Ответ:
z2
2+2i.)
6. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные
числа z1  2 /(1  i), z2   3  i.
Самостоятельная работа
1. Найти значение выражения
z1 ( z 2  z3 )
, если z1=4+5i, z2=1+i, z3=7-9i. (Ответ:
z2
40-32i.)
2. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные
числа z1  3  i, z2  1  3i, z3= -1/2.
3. Найти значение выражения
z1  z 2 z3
, если z1=4+8i, z2=1-i, z3=9+13i. (Ответ:
z2
7+19i.)
4. Решить уравнение z2-i=0. (Ответ:  (1  i) / 2. )
Контрольные вопросы
1. Что называют комплексным числом?
2. Расскажите, как определяются равенство, сумма, разность и произведение двух
комплексных чисел.
3. Расскажите об алгебраической записи комплексного числа.
4. Какое комплексное число называется сопряженным комплексному числу
z=x+iy?
5. Что называют модулем комплексного числа?
6. Что называют частным двух комплексных чисел?
7. Расскажите о тригонометрической форме записи комплексного числа.
8. Расскажите о показательной форме записи комплексного числа.
9. Запишите формулу Муавра.
Практическое занятие №14 Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Основные понятия
1. Является ли функция у(х, С) где С – произвольная постоянная, решением
(интегралом) данного дифференциального уравнения:
а) у=х2(1+у1/x), x 2 y  (1  2 x) y  x 2 ; б) у=Сех-е-х, xy  2 y  xy  0;
в) х2+у4=Су2, xydx=(x2-y4)dy? (Ответ: а) да; б) нет; в) да.)
2. Является ли функция у=Сх+1/С, решением дифференциального уравнения
xy  y  1 / y  0 ? (Ответ: нет.)
3. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
4( x 2 y  y)dy  5  y 2 dx  0. (Ответ: у=±1/16(C-arctgx) -5.)
4. Является ли функция у=у(х), заданная неявно уравнением е y/х =Cу,
интегралом дифференциального уравнения xyy  y 2  x 2 y ? (Ответ: да.)
5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
ydx  ( xy  x )dy  0. (Ответ: x  y )  ln C y (C  0). )
Самостоятельная работа
1. Является ли функция у=(2+Сх)/(1+2х) решением дифференциального
уравнения 2(1  x 2 y)  y  xy ? (Ответ: да.)
2. Найти общее решение дифференциального уравнения (1  e x ) y  yex .
(Ответ: у=C(1+еx).)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дайте определение дифференциального уравнения.
Что называют порядком дифференциального уравнения?
Что называют решением дифференциального уравнения?
Что называют интегральной кривой дифференциального уравнения?
Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
Дайте определение общего интеграла дифференциального уравнения.
Практическое занятие №15 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения y 
y
 1  2 ln x.
x
(Ответ: у=xlnx+C/x.)
1
2
1
4
2. Решить задачу Коши y  2 y  x  e x , у(0)= -1. (Ответ: y  x  e x  (1  e 2 x ). )
3. Решить задачу Коши y  y tgx 
1
, у(π)=5. (Ответ: y=-5cosx+sinx.)
cos x
4. Найти общее или частное решение дифференциального уравнения:
а) 3 y 
y2
y
3x
 9  9; б) xy  y  x 2  y 2 , у(1)=0. (Ответ: а) y  x 
;
2
x
C  ln x
x
1
2
б) y  ( x 2  1) .)
y
x
5. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения xy  x sin  y,
у(2)=π. (Ответ: y=2xarctg(x/2).)
6.
Решить
задачу
Коши
для
дифференциального
ydx  ( xy  x)dy  0, у(1)=1. (Ответ: 2  ln y  2 y / x . )
уравнения
Самостоятельная работа
задачу
Коши
для
дифференциального
уравнения
2
2x
xy  y(1  ln y  ln x), у(1)=e . (Ответ: y=xe .)
2. Найти общее решение дифференциального уравнения y  2 xy  x. (Ответ:
1.
Решить
1
x2
ln 2 y  1   C .)
2
2
Контрольные вопросы
Дайте определение дифференциального уравнения.
Что называют порядком дифференциального уравнения?
Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
Что называют условиями Коши?
Что называют задачей Коши?
Дайте определение частного решения дифференциального уравнения.
Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными. Как оно решается?
8. Дайте определение однородного дифференциального уравнения. Как оно
решается?
9. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого
порядка. Как оно решается?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Практическое занятие №16 Уравнения в полных дифференциалах
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

x
y
а) (ex+y+siny)dx+ey+x+xcosy)dy=0; б) (2 x  e x / y )dx  1  e x / y dy  0;

в) y 
y  3x
. (Ответ: а) ex+ ey+xy+xsiny=C; б) x2+yex/y=C; в) x3-xy+2y2=C.)
4y  x
2
2. Решить задачу Коши:
а) e-ydx+(2y-xe-y)dy =0, y(-3)=0;
б) xdx  ydy 
 xdy  ydx
, y(1)=1;
x2  y2
в) x  yex  ( y  e x ) y  0, y(0)=4.
(Ответ: а) xe-y+y2+3=0; б)
1 2
x

( x  y 2 )  arctg  1  ; в) x2+y2+2yex=24.)
2
y
4
Самостоятельная работа
1. Решить задачу Коши: (2x+y+3x2siny)dx+(x+x3cosy+2y)dy=0; y(0)=2.
(Ответ: x2+xy+y2/2+x3siny=2.)
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: (3x2y+sinx)dx+(x3cosy)dy=0. (Ответ: x3y-cosx-siny=C.)
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Дайте определение дифференциального уравнения.
Что называют порядком дифференциального уравнения?
Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
Что называют условиями Коши?
Что называют задачей Коши?
Дайте определение частного решения дифференциального уравнения.
Дайте определение уравнения в полных дифференциалах. Как оно решается?
Практическое занятие №17 Дифференциальные уравнения высших
порядков, допускающие понижение порядка
1. Проинтегрировать следующие уравнения:
а) y  x 2  sin x;
б) y IV 
y
;
x
в) yy  ( y)2 .
2. Решить задачу Коши: а) y 
y(0)  1.
ln x
, у(1)=3, y(1)  1; б) y  e 2 y , у(0)=0,
2
x
3. Проинтегрировать уравнение x 2 y  ( y)2 .
4. Решить задачу Коши 2( y)2  ( y  1) y, у(0)=0, y(0)  1.
5. Проинтегрировать уравнение xy  y  x 2e x .
6. Решить задачу Коши y 3 y  1  0, у(1)=1, y(1)  0.
Самостоятельная работа
1. Проинтегрировать уравнение xy  y  ( y)2 .
2. Решить задачу Коши 2 y  3 y 2 , у(2)=1, y(2)  1.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение дифференциального уравнения высших порядков.
2. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения высших
порядков.
3. Что называют условиями Коши для дифференциального уравнения высших
порядков?
4. Что называют задачей Коши?
5. Дайте определение частного решения дифференциального уравнения
дифференциального уравнения высших порядков.
6. Расскажите об основных типах дифференциальных уравнений высших
порядков, допускающих понижение порядка. Как они решаются?
Практическое занятие №18 Линейные однородные дифференциальные
уравнения высших порядков
1. Найти общее решение следующих однородных дифференциальных
уравнений второго порядка: а) y  6 y  8 y  0; б) y  6 y  9 y  0;
в) y  6 y  18 y  0.
(Ответ: а) у=c1e-2x+c2e-4x; б) y=e-3x(c1+c2x); в) y=e3x(c1cos3x+c2sin3x).
2. Найти общее решение следующих однородных дифференциальных
уравнений высших порядков: а) y  5 y  16 y  12 y  0; б) y IV  8 y  7 y  0;
в) yV  6 y IV  9 y  0; г) yVI  3 yV  3 y IV  0.
(Ответ: а) y  c1e x  e2 x (c2 cos 2 2 x  c3 sin 2 2 x); б) y  c1e x  c2e x  c3e 7x  c4e 7 x ;
в) y=c1+c2x+c3x2+(c4+c5x)e3x; г) y  c1  c2 x  c3 x 2  c4 x3  e3 x / 2 (c5 cos
3
3
x  c6 sin
x). )
2
2
Самостоятельная работа
1. Найти общее решение следующих однородных дифференциальных
уравнений высших порядков: а) 3 y  2 y  8 y  0; б) y  9 y  0;
в) y  6 y  13 y  0; г) y IV  8 y  16 y  0.
(Ответ: а) y  c1e2 x  c2e 4 x / 3 ; б) y  c1  c2 cos3x  c3 sin 3x;
в) y  e3 x (c1 cos 2 x  c2 sin 2 x); г) y  e2 x (c1  c2 x)  e2 x (c3  c4 x). )
Контрольные вопросы
1. Дайте определение однородных дифференциальных уравнений высших
порядков.
2. Что называют характеристическим уравнением?
3. Сформулируйте теорему о структуре общего решения ЛОДУ.
4. Расскажите о решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае
различных действительных корней характеристического уравнения.
5. Расскажите о решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае
кратных действительных корней характеристического уравнения.
6. Расскажите о решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае
комплексных корней характеристического уравнения.
Практическое занятие №19 Линейное неоднородные дифференциальные
уравнения высших порядков
Найти
частные
решения
следующих
неоднородных
уравнений,
удовлетворяющих указанным начальным условиям (решить задачу Коши):
1. y  3 y  2 y  e3 x x 2  x , y0  1, y0  2 .
1
(Ответ: y  4e x  e 2 x   x 2  2 x  2e 3 x )
2
2. y  y  2 x , y0  0 , y0  y0  2 .(Ответ: y  e x  e  x  x 2 )
3. y IV  y  8e x , y0  1, y0  0 , y0  1 , y(0)  0 .
(Ответ: y  2 xe x  3e x  e  x  cos x  2 sin x )
4. y  4 y  4sin 2 x  cos 2 x  , y()  y()  2 .
1
(Ответ: y  3 cos 2 x  sin 2 x  xsin 2 x  cos 2 x  )
2
Самостоятельная работа
Найти
частные
решения
следующих
неоднородных
уравнений,
удовлетворяющих указанным начальным условиям (решить задачу Коши):
1. y  2 y  2e x , y1  1 , y(1)  0 .(Ответ: y  e 2 x1  2e x  e  1)

1
  1
2. y  4 y  x , y0  1, y 0  .(Ответ: y  x  cos 2 x     sin 2 x )
2
4
 4 8
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о структуре общего решения ЛНДУ.
2. Расскажите о методе неопределенных коэффициентов.
3. Расскажите о решении ЛНДУ со специальной правой частью при α=0, β=0.
4. Расскажите о решении ЛНДУ со специальной правой частью при α≠0, β=0.
5. Расскажите о решении ЛНДУ со специальной правой частью при α≠0, β≠0.
Практическое занятие №20 Системы дифференциальных уравнений
1. Найти общее решение данных однородных систем уравнений, не пользуясь
методом исключений:
 y   7 y1  y 2 ,
 y   y1  3 y 2 ,
а)  1
б)  1
 y 2  2 y1  5 y 2 ;
 y 2  3 y1  y 2 .
(Ответ: y1  e 6 x C1 cos x  C2 sin x  , y2  e 6 x C1  C2 cos x  C1  C2 sin x  ;
б) y1  e x C1 cos3x  C2 sin 3x , y2  e x C1 sin 3x  C2 cos3x  )
2. Методом исключения найти общее решение каждой из следующих систем
уравнений
 y1  5 y1  2 y 2  e x ,
 y1  3 y1  2 y 2  x,
а) 
б)

2 x
 y 2  3 y1  4 y 2 .
 y2  y1  6 y 2  e ;
7 x 1 2 x
1
1
3
e  e , y2  C1e 4 x  C2 e 7 x  e x  e 2 x ;
40
5
2
40
10
1
1
2
5
б) y1  2C1e 2 x  C2 e 3 x  x  , y2  C1e 2 x  3C2 e 3 x  x  )
2
12
3
18
 y1  y 2  tg 2 x  1
3. Найти общее решение системы уравнений: 
 y 2   y1  tgx.
(Ответ: y1  C1e 4 x  C2 e 7 x 
(Ответ: y1  C1 cos x  C2 sin x  tgx , y2  C1 sin x  C2 cos x  2 .)
Самостоятельная работа
 y1  y1  y 2 ,
1. Найти общее решение системы уравнений 
x
 y 2  y1  y 2  e .
(Ответ: y1  e x C1 cos x  C2 sin x  1 , y2  e x C1 sin x  C2 cos x  )
 y   y1  y2  cos x,
2. Найти общее решение системы уравнений  1
 y2  2 y1  y2  sin x  cos x.
(Ответ: y1  C1 cos x  C2 sin x  x cos x,
y2  C2  C1 cos x  C1  C2 sin x  x(cos x  sin x) )
Контрольные вопросы
1. Какая система называется нормальной системой ДУ первого порядка?
2. Что называют решением нормальной системы ДУ?
3. Как формулируется задача Коши для такой системы?
4. Что называют общим решением нормальной системы ДУ?
5. Расскажите о методе исключений, используемом для решения системы ДУ.
6. Какая система называется нормальной линейной однородной системой ДУ с
постоянными коэффициентами?
7. В каком виде ищется ненулевое решение этой системы?
8. Какое уравнение называется характеристическим уравнением этой системы?
9. Запишите формулу для отыскания решения системы ДУ, если корни
характеристического уравнения действительны и различны.
10. Запишите формулу для отыскания решения системы ДУ, если корни
характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные.
11. Запишите формулу для отыскания решения системы ДУ, если среди корней
характеристического уравнения есть кратные.
Практическое занятие №21 Преобразования Лапласа и его свойства
1. Пользуясь определением, найти изображения следующих функций:
а) f (t )  te 2t ;
б) f (t )  sin 5t ;
в) f (t )  1  5t ; г) f (t )  t  3e 2t .
2. Найти изображения следующих функций:
а) f (t )  sin 2 t ; б) f (t )  cos3 t ; в) f (t )  e 2t sin t ; г) f (t )  e t t 3 ;
д) f (t )  sin(t  b)  1(t  b) ;
е) f (t )  cos2 (t  b)  1(t  b) .
3. Найти изображения следующих функций:
а) f (t )  t sin t ;
б) f (t )  cos3 t ;
в) f (t )  tet ;
г) f (t )  sin 4 t ;
д) f (t )  (t  1) sin 2t .
4. Пользуясь свойствами об интегрировании оригинала и изображения, найти
изображения следующих функций:
t
а) f (t )   sin d ;
t
2 
б) f (t )   shd ; в) f (t )    е d ;
0
д) f (t ) 
t
0
0
et  1
г) f (t ) 
;
t
t
sin t
e e
.
; е) f (t ) 
t
t
2
t
Самостоятельная работа
1. Пользуясь определением, найти изображение функции f (t )  2 sin t  cost .
2. Найти изображения следующих функций:
а) f (t )  e3t sin 2 t ;
б) f (t )  t 2 cost .
3. Пользуясь свойствами об интегрировании оригинала и изображения, найти
1  cost
изображение функции f (t ) 
.
t
Контрольные вопросы
1. Что называют операционным исчислением?
2. По какой схеме происходит решение задач методами операционного
исчисления?
3. Дайте определение функции-оригинала.
4. Дайте определение функции-изображения.
5. Какими свойствами обладает преобразование Лапласа?
Практическое занятие №22 Обратное преобразование Лапласа
1. Найди оригиналы по заданному изображению:
1
1
1
F
(
p
)

а) F ( p)  2
;
б) F ( p) 
;
в)
;
p  2 p 2  p3
p 2 ( p 2  1)
p  4p  5
p2
2e  p
pe 2 p
г) F ( p) 
;
д) F ( p)  2
;

( p  1)( p  2)( p 2  4)
p  2 p  5 p2  9
e p / 3
е) F ( p) 
.
p( p 2  4)
2. Найти оригиналы по заданному изображению:
1
1
;
.
а) F ( p)  2
б) F ( p)  2
p  4p  3
p  5p  6
Самостоятельная работа
1. Найди оригиналы по заданному изображению:
2e  p e  p
а) F ( p)  3  2 ;
p
p
б) F ( p) 
1
;
p  7 p  12
2
в) F ( p) 
1
.
p  9 p  20
2
Контрольные вопросы
1. По какой схеме происходит решение задач методами операционного
исчисления?
2. Какими свойствами обладает преобразование Лапласа?
3. Сформулируйте теоремы разложения.
Практическое занятие №23 Решение дифференциальных уравнений
операционным методом
1. Решить следующие дифференциальные уравнения
начальных условиях: x(0)  x(0)  0 .
а) x  4 x  3x  sin t ;
б) x  9 x  18x  cos5t .
2. Решить следующие дифференциальные уравнения
начальных условиях: x(0)  2, x(0)  3 .
а) x  4 x  3x  sin t ;
б) x  9 x  18x  cos5t.
при
заданных
при
заданных
Самостоятельная работа
1. Решить дифференциальное уравнение x  11x  30 x  cos3t при заданных
начальных условиях: x(0)  x(0)  0 .
2. Решить дифференциальное уравнение x  11x  30 x  cos3t при заданных
начальных условиях: x(0)  2, x(0)  3 .
Контрольные вопросы
1. По какой схеме происходит решение задач методами операционного
исчисления?
2. Какими свойствами обладает преобразование Лапласа?
3. Сформулируйте теоремы разложения.
4. Какое уравнение называется операторным?
5. Что называют операторным решением ДУ?
6. Расскажите о решении ДУ операторным методом.
7. Запишите формулу Дюамеля.
8. Расскажите о решении систем ЛДУ с постоянными коэффициентами
операционным методом.
Практическое занятие №24 Контрольная работа (пример)
а) 
1. Найти следующие неопределенные интегралы:
x3
1  ln x
dx .
dx ;
б)  arcsin xdx ;
в) 
( x  2)( x 2  x  1)
x
2. Исследовать на экстремум функцию z=1+15x-2x2-xy-y2.
3. Решить данные дифференциальные уравнения:
y
1

 0 ; б) y cos2 x  y  tgx ;
y
x sin
x
в) y  6 y  13 y  26 x  1, y(0)  1, y(0)  1.
а) y  
Вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла, таблица основных неопределенных
интегралов.
Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки и замены
переменной.
Нахождение неопределенного интеграла методом интегрирования по
частям.
Дробно-рациональные функции. Интегрирование простейших дробей.
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби (метод
неопределенных коэффициентов).
Нахождение неопределенного интеграла от дробных степеней х.
Интегрирование дифференциального бинома.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Интегральные суммы. Определенный интеграл, его геометрический и
физический смысл.
Определенный интеграл. Классы интегрируемых функций. Необходимые и
достаточное условия интегрируемости функций.
Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула
Ньютона-Лейбница.
Методы вычисления определенных интегралов.
Несобственные интегралы I-го и II-го рода.
Признаки сходимости несобственных интегралов.
Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольной системе координат.
Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.
Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла.
Вычисление площади поверхности вращения с помощью определенного
интеграла.
Вычисление длины дуги плоской кривой с помощью определенного
интеграла.
Физические приложения определенного интеграла.
Понятие функции нескольких переменных (область определения, график).
Линии и поверхности уровня.
Предел функции нескольких переменных в точке. Свойства функций,
имеющих предел.
Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций,
непрерывных в области D.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
Частные производные функций нескольких переменных (их геометрический
смысл). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциал
функции
нескольких
переменных.
Применение
дифференциала в приближенных вычислениях.
Функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных функций.
Производная функции нескольких переменных по направлению.
Градиент функции нескольких переменных и его свойства.
Функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
Функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков
и их свойства.
Функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
Функции нескольких переменных. Дифференцирование неявной функции.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное
условия существования экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в
замкнутой области.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании
и единственности решения задачи Коши.
Общее и частное решения дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка (метод
вариации произвольной постоянной и метод подстановки).
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о существовании и
единственности решения задачи Коши.
Дифференциальные уравнения n-го порядка, допускающие понижение
порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общие понятия.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка и
свойства их решений.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка и
свойства их решений.
Решение однородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
с постоянными коэффициентами (случай действительных корней
характеристического уравнения).
Решение однородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
с постоянными коэффициентами (случай комплексных корней
характеристического уравнения).
Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений n-го
порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Теорема
существования и единственности задачи Коши для нормальных систем
дифференциальных уравнений.
Решение нормальной системы дифференциальных уравнений методом
исключений.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений с
постоянными
коэффициентами
(случай
действительных
корней
характеристического уравнения).
Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений с
постоянными
коэффициентами
(случай
комплексных
корней
характеристического уравнения).
Решение неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Задания к типовому расчету
Индивидуальные задания по высшей математике под редакцией Рябушко
А.П. Часть 2.
ИДЗ
8.1
8.2
8.3
8.4
9.1
9.2
10.1
10.2
11.1
11.2
11.3
11.4
№
9, 10, 12, 14
1, 3, 7, 8
1, 8
3, 5, 7
2, 4, 7
1, 3
3, 4, 5, 6
1, 2, 4, 5
1, 4
1, 2
3
2
стр.
48-53
57-77
88-102
110-126
167-181
188191
223-229
231-237
290-296
301-304
317-318
326-328