Законы нуля или единицы для свойств первого порядка
реклама
Çàêîíû íóëÿ èëè åäèíèöû äëÿ ñâîéñòâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîãî ãðàôà ÝðäåøàÐåíüè  äîêëàäå ðå÷ü ïîéäåò îá àñèìïòîòèêå âåðîÿòíîñòåé ñâîéñòâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîãî ãðàôà ÝðäåøàÐåíüè G(n, p) (â ñëó÷àéíîì ãðàôå G(n, p) íà n âåðøèíàõ ðåáðà ïðîâîäÿòñÿ íåçàâèñèìî ñ âåðîÿòíîñòüþ p). Ñâîéñòâàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà, âûðàæàåìûå ôîðìóëàìè, çàïèñàííûìè íà ÿçûêå ïåðâîãî ïîðÿäêà (â çàïèñè ó÷àñòâóþò ñèìâîëû ïåðåìåííûõ x, y, x1 , . . . (âåðøèíû ãðàôà), ñèìâîëû îòíîøåíèé ∼ (ñèìâîë ñìåæíîñòè äâóõ âåðøèí) è = (ñèìâîë ñîâïàäåíèÿ äâóõ âåðøèí), ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè è êâàíòîðû).  1969 ãîäó Þ.Â. Ãëåáñêèé, Ä.È. Êîãàí, Ì.È. Ëèîãîíüêèé è Â.À. Òàëàíîâ (à â 1976 ãîäó íåçàâèñèìî Ð. Ôàãèí) äîêàçàëè, ÷òî ñëó÷àéíûé ãðàô G(n, p) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó íóëÿ èëè åäèíèöû. À èìåííî, äëÿ ëþáîãî ñâîéñòâà ïåðâîãî ïîðÿäêà âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ ýòîãî ñâîéñòâà ñòðåìèòñÿ ëèáî ê 0, ëèáî ê 1. Åñëè â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòè p âûáðàòü íåêîòîðóþ ôóíêöèþ p = p(n), òî çàêîí ìîæåò íàðóøàòüñÿ. Òàê, â 1988 ãîäó Äæ. Ñïåíñåð è Ñ. Øåëëà ðàññìîòðåëè p = n−α , ãäå α > 0, è îáíàðóæèëè óäèâèòåëüíûé ýôôåêò: ïðè èððàöèîíàëüíûõ α çàêîí íóëÿ èëè åäèíèöû âûïîëíåí, à ïðè ðàöèîíàëüíûõ α ∈ (0, 1] - íåò. Îíè ïîëó÷èëè, êðîìå òîãî, èñ÷åðïûâàþùèé ðåçóëüòàò äëÿ ðàöèîíàëüíûõ α ∈ (1, ∞). Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè áûëè ñâÿçàíû ñ óìåíüøåíèåì ìíîæåñòâà ñâîéñòâ è ðàññìîòðåíèåì âñåõ ñâîéñòâ, âûðàæàåìûõ ôîðìóëàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ îãðàíè÷åííîé ÷èñëîì k êâàíòîðíîé ãëóáèíîé (êâàíòîðíîé ãëóáèíîé ôîðìóëû íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà öåïî÷êè âëîæåííûõ êâàíòîðîâ â ýòîé ôîðìóëå). Åñëè âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ ëþáîãî ñâîéñòâà èç òàêîãî ìíîæåñòâà ñòðåìèòñÿ ëèáî ê 0, ëèáî ê 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî âûïîëíåí k -çàêîí íóëÿ èëè åäèíèöû. Äëÿ ðàçëè÷íûõ k ∈ N íàìè áûëè íàéäåíû äèàïàçîíû çíà÷åíèé α ∈ (0, 1), ïðè êîòîðûõ ñëó÷àéíûé ãðàô G(n, n−α ) ïîä÷èíÿåòñÿ k -çàêîíó íóëÿ èëè åäèíèöû. Áûëè íàéäåíû, êðîìå òîãî, íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå â èíòåðâàëå (0, 1) çíà÷åíèÿ α, ïðè êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ k -çàêîí. 1
