x12. hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII. tEOREMY EDINSTWENNOSTI I SLOVENIQ lEKCIQ 18 mY WWEDEM SEJ^AS ODNU IZ INTERESNEJ[IH FUNKCIONALXNYH HARAKTERISTIK SLU^AJNOJ WELI^INY X; KOTORAQ EDINSTWENNYM OBRAZOM OPREDELQET RASPREDELENIE X: s EE POMO]X@ MOVNO NAJTI WSE MOMENTY X BEZ WY^ISLENIQ INTEGRALOW, WY^ISLQQ PROIZWODNYE OT \TOJ HARAKTERISTIKI. nAKONEC, ONA PREDSTAWLQET UNIWERSALXNYJ INSTRUMENT DLQ WYWODA RASPREDELENIJ SUMM NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN, PO\TOMU S EE POMO]X@ MOVNO PROSTO I BEZ GROMOZDKIH WYKLADOK DOKAZYWATX PREDELXNYE TEOREMY TIPA TEH, ^TO MY NAZYWALI INTEGRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMOJ mUAWRA{lAPLASA. oPREDELENIE 12.1. hARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ '(t) SLU^AJNOJ WELI^INY X S FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x) PO MERE NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE fURXE{lEBEGA f (x) : '(t) = E e tX i Z = e txf (x)d(x): i R nAPOMNIM, ^TO W PREOBRAZOWANIQH fURXE i { MNIMAQ EDINICA, TAK ^TO e tx = cos(tx)+ i sin(tx); I INTEGRAL, OPREDELQ@]IJ '(t) PREDSTAWLQET SOBOJ INTEGRAL OT FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO (KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL WTOROGO RODA) PO DEJSTWITELXNOJ OSI R=(;1; +1): hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET PRI L@BOM RASPREDELENII X; POSKOLXKU j e tx j = 1; OTKUDA j '(t) j j e tx jf (x)d(x) = f (x)d(x) = 1: eSLI d(x) = dx { MERA lEBEGA, TO '(t) ESTX OBY^NOE PREOBRAZOWANIE fURXE 1 i i Z Z i R R '(t) = Z e txf (x)dx; i ;1 ESLI VE { S^ITA@]AQ MERA, TO '(t) PREDSTAWLQET DISKRETNYJ ANALOG PREOBRAZOWANIQ fURXE '(t) = X x 1 e txf (x): i rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW PO WY^ISLENI@ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ IZWESTNYH NAM RASPREDELENIJ. p R I M E R 12.1 (BINOMIALXNOE RASPREDELENIE B(n, p)). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ WY^ISLQETSQ PROSTYM SUMMIROWANIEM BINOMIALXNOGO RQDA: n tX '(t) = Ee = e txCnxpx(1 ; p)n;x = X i i x=0 Cnx eitp x (1 ; p)n;x n X x=0 = pe t + (1 ; p) n : i p R I M E R 12.2 (RASPREDELENIE pUASSONA P()). iSPOLXZUEM IZWESTNOE RAZLOVENIE mAKLORENA DLQ POKAZATELXNOJ FUNKCII: '(t) = x e; 1 e t x tx ; t;1 : E x! = e = exp e x! x 1 X i x=0 i X n i o =0 p R I M E R 12.3 (RAWNOMERNOE RASPREDELENIE U(a, b)). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL PO OTREZKU [a; b] DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ: b 1 '(t) = b ; a e txdx = b ;1 a e tz dz: a ab Z Z i i [ ; ] pOSKOLXKU e tz ESTX ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ, TO INTEGRAL RAWEN RAZNOSTI ZNA^ENIJ PERWOOBRAZNOJ \TOJ FUNKCII W KONE^NYH TO^KAH OTREZKA INTEGRIROWANIQ: tb ; e ta e '(t) = it(b ; a) : i i i p R I M E R 12.4 (POKAZATELXNOE RASPREDELENIE E()). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SNOWA PREDSTAWLQETSQ KRIWOLINEJNYM INTEGRALOM OT ANALITI^ESKOJ FUNKCII, NO NA SEJ RAZ PO BESKONE^NOMU PROMEVUTKU [0; 1) DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ: 1 1 '(t) = exp itx ; x; dx = 1 Alim !1 Z n 1 o 0 2 Z A [0; ] exp z (it ; ; ) dz = n 1 o ; )g 1 ; exp f A ( i t ; : lim A!1 1 ; it 1 oDNAKO expfA(it ; ; )g = expf;A; g j expfiAtg j = expf;A; g; I TAK KAK > 0; TO ; )g = 0: lim exp f A ( i t ; A!1 1 1 1 1 tAKIM OBRAZOM, '(t) = 1 ;1it : mOVNO, KONE^NO, OBOJTISX I BEZ \TOJ KOMPLEKSNOJ ZAUMI, A PROSTO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ |JLERA e z = cos z + i sin z I KAKIM-NIBUDX SPRAWO^NIKOM PO INTEGRALAM (NAPRIMER, RODNYM , ,dEMIDOWI^EM", A LU^[E WSEGO SPRAWO^NIKOM PO INTEGRALXNYM PREOBRAZOWANIQM). p R I M E R 12.5 (RASPREDELENIE kO[I C(0, 1)). iSPOLXZUQ FORMULU |JLERA, NAJDEM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ STANDARTNOGO (PARAMETR SDWIGA a = 0, PARAMETR MAS[TABA b = 1) RASPREDELENIQ kO[I: i 1 '(t) = 1 ;1 cos tx1 ++ xi sin tx dx: iNTEGRAL OT SINUSA (TAK NAZYWAEMOE SINUS-PREOBRAZOWANIE fURXE) RAWEN NUL@, KAK INTEGRAL OT NE^ETNOJ FUNKCII PO SIMMETRI^NOMU OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT PROMEVUTKU, A DLQ NAHOVDENIQ KOSINUS-PREOBRAZOWANIQ fURXE WOSPOLXZUEMSQ ^ETNOSTX@ FUNKCII cos x I OTWETOM K PRIMERU N 3825 ZADA^NIKA dEMIDOWI^A: 1 tx dx = e;j t j: '(t) = 2 1cos +x Z 2 Z 2 0 p R I M E R 12.6 (STANDARTNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE N(0, 1)). rASSUVDAQ TAK VE, KAK I W SLU^AE RASPREDELENIQ kO[I, I ISPOLXZUQ OTWET K PRIMERU N 3809, POLU^AEM '(t) = p2 2 1 Z 0 cos tx exp ; x2 dx = exp ; t2 : 3 8 < 2= 9 8 < 2= 9 : ; : ; hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII RASPREDELENIJ kO[I I NORMALXNOGO PRI PROIZWOLXNYH ZNA^ENIQH PARAMETROW MOVNO POLU^ITX PROSTO LINEJNOJ ZAMENOJ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ, NO LEGKO WIDETX, ^TO SPRAWEDLIWA OB]AQ FORMULA DLQ SEMEJSTW RASPREDELENIJ, ZAWISQ]IH OT PARAMETROW SDWIGA I MAS[TABA. pREDLOVENIE 12.1. hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ 'X (t) SLU^AJ X OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI 1 : '(0) = 1; j'(t) 1: 2 : 'bX a = e ta'X (bt): 3 : eSLI X ; : : : ; Xn NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI TO NOJ WELI^INY - . 0 0 0 i + , 1 ' W ^ASTNOSTI, ESLI TO Pn 1 Xk (t) = n Y 1 'Xk (t); X ; : : :; Xn NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY , 1 ' Pn 1 n Xk (t) = 'X1 (t): 4 : hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA WSEJ DEJSTWITELXNOJ OSI R: 5 : eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA X OBLADAET MOMENTAMI k = EX k; k = 1; : : :; n; TO k = i;k' k (0) 0 0 ( ) I DLQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE tEJLORA '(t) = 1 + n X k=1 (it)k + o(tn); t ! 0: k! k d O K AZ A TE L X ST WO. 1 : |TO SWOJSTWO, PO SU]ESTWU, BYLO USTANOWLENO SRAZU VE POSLE OPREDELENIQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII, KOGDA MY RASSUVDALI O EE SU]ESTWOWANII. 2 : pO OPREDELENI@ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII 0 0 'bX a (t) = Ee t bX + i ( a + ) = e taEe btX = e ta'X (bt): i 4 i i 3 : oPQTX RABOTAEM S OPREDELENIEM HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII: 0 8 < 9 = n n n (t) = E exp it Xk = E e tXk = 1 Xk ' Pn X : Y ; 1 Y i 1 1 n Ee tX = 'X (t): i k Y 1 k eSTESTWENNO, ESLI X ; : : :; Xn ODINAKOWO RASPREDELENY, TO PROIZWEDENIE W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA SOSTOIT IZ ODINAKOWYH SOMNOVITELEJ I MY POLU^AEM 'nX (t): 4 : tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO supt2 j '(t + h) ; '(t) j ! 0; KOGDA h ! 0: oCENIM PRIRA]ENIE HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII: j '(t + h) ; '(t) j = 1 1 0 R 1 Z ;1 1r Z ;1 e t h x ; eitx i( + ) f (x)d(x) 1 Z ;1 j e tx jj e hx ; 1 jf (x)d(x) = (cos hx ; 1) + sin hxf (x)d(x) = 2 2 i i 1q Z ;1 2(1 ; cos hx)f (x)d(x): tAK KAK 0 1 ; cos hx 1; TO POSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO (PRIZNAK wEJER[TRASSA) I MOVNO PEREHODITX K PREDELU PRI h ! 0 POD ZNAKOM INTEGRALA. nO lim (1 ; cos hx) = 0; h! KAKOWO BY NI BYLO x ! R: sLEDOWATELXNO, 0 lim OTKUDA 1q Z h!0;1 2(1 ; cos hx)f (x)d(x) = 0; lim sup j '(t + h) ; '(t) j ! 0: h!0 t2R 5 : fORMALXNOE DIFFERENCIROWANIE k RAZ POD ZNAKOM INTEGRALA W FORMULE, OPREDELQ@]EJ HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@, PRIWODIT 0 NAS K SOOTNO[ENI@ 'k ( ) (t) = i k 1 Z ;1 xk e txf (x)d(x): i 5 eSLI k-YJ MOMENT k SU]ESTWUET, TO (NAPOMNIM, j e txj = 1) i 1 Z ;1 xk eitxf (x)d(x) 1 Z ;1 j x jkf (x)d(x) < 1; POSKOLXKU SU]ESTWOWANIE INTEGRALA lEBEGA OT FUNKCII WLE^ET EGO SU]ESTWOWANIE OT MODULQ \TOJ FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, W SILU PRIZNAKA wEJER[TRASSA, INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO, FORMALXNOE DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA OPRAWDANO, I MY POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU DLQ WY^ISLENIQ MOMENTOW SLU^AJNOJ WELI^INY X; POLAGAQ t = 0 : ' k (0) = ikk : iTAK, SU]ESTWOWANIE MOMENTA k-GO PORQDKA WLE^ET SU]ESTWOWANIE k-OJ PROIZWODNOJ W TO^KE t = 0 FUNKCII '(t): eSLI SU]ESTWUET n MOMENTOW, TO MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ tEJLORA I POLU^ITX ASIMPTOTI^ESKOE (t ! 0) RAZLOVENIE HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII: ( ) '(t) = n X k=0 ' k (0) tk + o(tk ) = 1 + n (it)k + o(tk ): k! k! k k ( ) X =1 iSPOLXZUQ SWOJSTWO 2 ; LEGKO NAHODIM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELENIJ C(a, b) I N(; ): eSLI X C(0; 1); TO bX + a C(a; b); I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ kO[I S PLOTNOSTX@ 0 2 f (x) = b[1 + ((x1 ; a)=b) ] 2 RAWNA (SM. PRIMER 12.5) 'bX a (t) = expfiat ; bj t jg: aNALOGI^NO, ESLI X N(0; 1); TO X + N(; ); I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S PLOTNOSTX@ f (x) = p1 exp ; (x ; ) + 2 9 8 < 2= 2 2 (t) = exp it ; t =2 : 2 : RAWNA (SM. PRIMER 12.6) 'X n + ; 2 2 o lEKCIQ 19 iZ WSEH SWOJSTW HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII, USTANOWLENNYH W PREDLOVENII 12.1, NAIBOLEE PRIWLEKATELXNYM KAVETSQ SWOJSTWO 3 ; 0 6 POZWOLQ@]EE NAHODITX HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ SUMMY NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN PO HARAKTERISTI^ESKIM FUNKCIQM SLAGAEMYH { OTKRYWA@TSQ NOWYE WOZMOVNOSTI W POSTROENII WEROQTNOSTNYH MODELEJ. nO PRI \TOM WOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS: SU]ESTWUET LI WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU HARAKTERISTI^ESKIMI FUNKCIQMI I FUNKCIQMI RASPREDELENIQ (ILI PLOTNOSTI). iZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA MY ZNAEM, ^TO NA KAVDOE PREOBRAZOWANIE fURXE 1 '(t) = Z e txf (x)dx i ;1 SU]ESTWUET OBRATNOE PREOBRAZOWANIE 1 1 f (x) = 2 e; tx'(t)dt; (1) ;1 HOTQ, NASKOLXKO MNE IZWESTNO, DOKAZATELXSTWA \TOJ FORMULY OBRA]ENIQ WAM NE DAWALOSX. tEM NE MENEE, INFORMACI@ O SPRAWEDLIWOSTI TEOREMY EDINSTWENNOSTI WY POLU^ILI, I MY TEPERX WOSPOLNIM PROBEL W WA[EM OBRAZOWANII, DOKAZAW ANALOGI^NU@ TEOREMU DLQ BOLEE OB]EGO PREOBRAZOWANIQ fURXE{lEBEGA. tEOREMA 12.1. (FORMULA OBRA]ENIQ lEWI). eSLI F (x) { FUNKCIQ RASPREDELENIQ S.W. X , A '(t) { EE HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ, TO DLQ L@BYH TO^EK NEPRERYWNOSTI x I y FUNKCII F (x) IMEET MESTO Z i FORMULA OBRA]ENIQ A e; tx ; e; ty 1 F (y) ; F (x) = 2 Alim '(t)dt: (2) !1;A it d O K AZ A TE L X ST WO.. zAMETIM SNA^ALA, ^TO PRAWAQ ^ASTX FORMULY OBRA]ENIQ (2) PREDSTAWLQET SOBOJ NESOBSTWENNYJ INTEGRAL W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ, TAK KAK '(t)=t MOVET OKAZATXSQ NEINTEGRIRUEMOJ FUNKCIEJ. eSLI SU]ESTWUET f (x) = dF (x)=dx I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) INTEGRIRUEMA, TO (2) NETRUDNO POLU^ITX IZ FORMULY OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE (1) PROINTEGRIROWAW OBE ^ASTI (1) W PREDELAH OT x DO y. oBRATIMSQ TEPERX NEPOSREDSTWENNO K DOKAZATELXSTWU FORMULY (2), DLQ ^EGO RASSMOTRIM PRI y > x INTEGRAL A e; tx ; e; ty A 1 e t u;x ; e t u;y 1 1 JA = 2 '(t)dt = 2 dt f (u)d(u); it it ;A ;A ;1 Z Z i i Z 7 i Z i i ( ) i ( ) W KOTOROM '(t) ZAMENENA NA OPREDELQ@]IJ EE INTEGRAL. lEGKO WIDETX, ^TO PRI FIKSIROWANNYH x I y PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ e t u;x ; e t u;y i ( ) i ( ) t W OBLASTI j u j < 1; j t j < 1 NEPRERYWNA I OGRANI^ENA, PO\TOMU MOVNO IZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ: 1 A e t u;x ; e t u;y 1 dt f (u)d(u): J = 2 Z A 2 ;1 6 4 Z i ( ) i ( 3 ) 7 5 it ;A pREOBRAZUEM WNUTRENNIJ INTEGRAL IA W PREDELAH OT ;A DO A, DLQ ^EGO PREDSTAWIM EGO W WIDE SUMMY INTEGRALOW PO OTREZKAM [ ;A; 0 ] I [ 0; A ] I W INTEGRALE PO OTREZKU [ ;A; 0 ] SDELAEM ZAMENU t NA ;t. w REZULXTATE POLU^IM A e t u;x ; e; t u;x t u;y ; e; t u;y I = ;e dt = Z A 2 i ( ) i ( ) i ( it 4 0 ) i ( it A 2 sin(t(u ; x)) ) 3 5 sin(t(u ; y)) dt; 2 ; t t POSKOLXKU (FORMULA |JLERA) (e z ; e; z )=2i = sinz . 3 Z 4 5 0 i i wY^ISLQQ INTEGRAL dIRIHLE 1 sin(t) Z 0 sgn ; dt = t 2 POLU^AEM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ PRAWOJ ^ASTI (2): 1 1 [ sgn(u ; x) ; sgn(u ; y) ]f (u)d(u): 2 ;1 Z pREDSTAWIM POSLEDNIJ INTEGRAL W WIDE SUMMY TREH INTEGRALOW PO OTREZKAM (;1; x ]; [ x; y ] I [ y; 1), NA KOTORYH, SOOTWETSTWENNO, sgn(u;x) = sgn(u;y) = ;1, sgn(u;x) = ;sgn(u;y) = +1, sgn(u;x) = sgn(u ; y) = 1. tOGDA \TOT INTEGRAL, A SLEDOWATELXNO, I PRAWAQ ^ASTX (2), PRINIMAET OKON^ATELXNYJ WID y Z x f (u)d(u) = F (y) ; F (x); 8 USTANAWLIWA@]IJ SPRAWEDLIWOSTX FORMULY OBRA]ENIQ (2). iTAK, TEPERX MOVNO NE SOMNEWATXSQ, ^TO, POLU^IW KAKIM-LIBO SPOSOBOM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X , MY, PO SUTI DELA, UVE POSTROILI WEROQTNOSTNU@ MODELX, I OSTAETSQ TOLXKO, ISPOLXZUQ FORMULU (2), NAJTI FUNKCI@ RASPREDELENIQ X: pROILL@STRIRUEM \TOT METOD POSTROENIQ MODELI NA ODNOJ IZ CENTRALXNYH ZADA^ TEORII WOSSTANOWLENIQ, IME@]EJ BOLX[IE PRIMENENIQ W PRAKTIKE I TEORII NADEVNOSTI SISTEM, PODWERGAEMYH W PROCESSE IH \KSPLUATACII REMONTU (WOSSTANOWLENI@), PROFILAKTIKE I REZERWIROWANI@ KOMPONENT S WYSOKOJ ^ASTOTOJ OTKAZA. gAMMA-RASPREDELENIE G(; ). rASSMATRIWAETSQ SISTEMA, DOLGOWE^NOSTX KOTOROJ OPREDELQETSQ MOMENTOM OTKAZA X EE OTDELXNOGO \LEMENTA. pREDPOLOVIM, ^TO X E(); TO ESTX FUNKCIONIROWANIE \LEMENTA PROTEKAET W RAMKAH POSTULATA , ,OTSUTSTWIE POSLEDEJSTWIQ". sISTEMA IMEET REZERW, SOSTOQ]IJ IZ n ; 1 TAKIH VE \LEMENTOW, I PRI OTKAZE RABOTA@]EGO \LEMENTA MGNOWENNO PODKL@^AETSQ ZAPASNOJ. tAKIM OBRAZOM, OB]AQ DOLGOWE^NOSTX SISTEMY OPREDELQETSQ REALIZACIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY X = n Xi; W KOTOROJ SLAGAEMYE NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY PO POKAZATELXNOMU ZAKONU E() S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ (SM. PRIMER 12.4) ' (t) = (1 ; it); : w SILU PUNKTA 3 PREDLOVENIQ 12.1 HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ X RAWNA '(t) = (1 ; it);n: pRIMENQQ OBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE K '(t) (SOWETU@ WOSPOLXZOWATXSQ SPRAWO^NIKOM { TAKIE INTEGRALY NA NA[EM BOGOUGODNOM FAKULXTETE S^ITATX TEPERX NE U^AT), POLU^AEM FUNKCI@ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ DOLGOWE^NOSTI 1 1 P 1 1 1 0 f (x) = f (x j n; ) = (n ;11)!n xn; exp ; x ; x > 0; (ESTESTWENNO, f (x) = 0 PRI x 0). kAK BUDET WIDNO W DALXNEJ[EM, POLU^ENNOE RASPREDELENIE DOLGOWE^NOSTI S ZAMENOJ CELO^ISLENNOGO PARAMETRA n NA PROIZWOLXNYJ POLOVITELXNYJ PARAMETR OPISYWAET DOLGOWE^NOSTX NE TOLXKO REZERWIROWANNYH (ILI WOSSTANAWLIWAEMYH PRI OTKAZE) SISTEM, NO I DOLGOWE^NOSTX SISTEM, PODWERVENNYH IZNOSU, STARENI@, NAKOPLENI@ USTALOSTI, W OB]EM, WSEMU TOMU, ^TO POSTEPENNO NAKAPLIWAETSQ, A POTOM PRIWODIT K , ,GIBELI". w SWQZI S \TIMI ZAME^ANIQMI MY OPREDELQEM ( 1 9 ) G(; ) POSREDSTWOM FUNKCII PLOTNOSTI f (x j ; ) = ;(1) x; exp ; x ; x > 0; > 0; > 0; GAMMA-RASPREDELENIE ( ) 1 GDE 1 Z ;() = x; e;xdx { GAMMA-FUNKCIQ |JLERA. 1 0 sEMEJSTWO DWUHPARAMETRI^ESKIH GAMMA-RASPREDELENIJ fG(; ); (; ) 2 R R g SODERVIT, KAK ^ASTNYJ SLU^AJ, POKAZATELXNOE RASPREDELENIE ( = 1). gAMMA-RASPREDELENIE UNIMODALXNO: ESLI 1; TO modX = 0, A PRI > 1 MODA modX = ( ; 1): + + u GAMMA-RASPREDELENIQ SU]ESTWU@T MOMENTY L@BOGO PORQDKA: k = E Xk 1 1 = ;() x Z k;1 exp ; x dx = ( + 0 ) ;( + k) k = ( ; 1) ( ; k + 1)k: ;() w ^ASTNOSTI, EX = ; DX = : tEPERX, ISPOLXZUQ APPARAT HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, MY MOVEM SOSTAWITX KATALOG IZU^ENNYH NAMI RASPREDELENIJ, DLQ KOTORYH SPRAWEDLIWA TEOREMA SLOVENIQ. pREDLOVENIE 12.2. pUSTX X ; : : :; Xn NEZAWISIMY I Sn = n Xk : + 2 P tOGDA, 1 0 ESLI 1 Xk B( m ; p ); k = 1; : : :; n; k 10 1 TO Sn B( Pn 1 m ; p ); k Xk P( k ); k = 1; : : : ; n; TO Sn P( n k ); ESLI Xk C( a ; b ); k = 1; : : :; n; TO Sn C( a ; b ); ESLI Xk N( k ; k ); k = 1; : : : ; n; TO Sn N( n k ; n k ); ESLI Xk G( ; ); k = 1; : : :; n; TO Sn G( ; ): d O K AZ A TE L X ST WO. sLEDU@]AQ TABLICA HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ OTDELXNYH SLAGAEMYH Xk I SUMMY Sn USTANAWLIWAET SPRAWEDLIWOSTX WSEH UTWERVDENIJ PREDLOVENIQ. 2 3 4 5 0 P ESLI 1 P 0 k k 0 P n 1 P 2 n 1 k k P 1 2 1 P 0 n 1 k 1 B(m; p) : 'Xk (t) = pe t + 1 ; p mk ; 'Sn (t) = pe t + 1 ; p k 0 i 2 P() : 'Xk (t) = exp k (e t ; 1) ; 'Sn (t) = exp 0 n o i 1 mk ; n (eit ; 1)o ; k k n P 3 C(a; b) : 'Xk (t) = exp fitak ; j t jbkg ; 'Sn (t) = exp fit 0 4 N(; ) : 'Xk (t) = exp itk ; t2 k ; 'Sn (t) = exp it 0 Pn i n a ; j t j Pn b g ; 1 k 1 k P 2 2 2 5 G(; ) : 'Xk (t) = (1 ; it);k ; 'Sn (t) = (1 ; it); n k ; t2 Pn 2 1 1 k 2 P ; 0 Pn 1 k : nESKOLXKO SLOW O HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII MNOGOMERNOGO RASPREDELENIQ. eSLI X n = (X ; : : :; Xn) { SLU^AJNYJ WEKTOR S FUNKCIEJ PLOTNOSTI fn(x n ) = fn(x ; : : : ; xn) PO MERE dn (x n ) = d (x ) dn(xn); TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ OPREDELQETSQ KAK nMERNOE PREOBRAZOWANIE fURXE-lEBEGA ( ) 1 ( ) 'n(t n ) = E exp i t n ; X n ( ) n ( ) 1 ( ) ( ) o = Z Rn exp 8 < n 9 = 1 1 i tkxk fn(x n )dn(x n ): : X 1 ( ) ( ) ; o^ENX PROSTO, PO PRQMOJ ANALOGII S BINOMIALXNYM RASPREDELENIEM, NAHODITSQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, I STOLX VE PROSTO, ESLI WOSPOLXZOWATXSQ OTWETOM K ZADA^E N 4220 IZ dEMIDOWI^A, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ n-MERNOGO 11 NORMALXNOGO RASPREDELENIQ N(; ) : 8 < 'n (t n ) = exp i ( ) : n X 1 k tk ; 21 X j;kn 1 9 = jk tj tk : ; dLQ MNOGOMERNOJ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII TAKVE SPRAWEDLIWY TEOREMY EDINSTWENNOSTI I UTWERVDENIQ, ANALOGI^NYE PREDLOVENI@ 12.1. iSPOLXZUQ APPARAT MNOGOMERNYH HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, MOVNO POKAZATX, ^TO DLQ MULXTINOMIALXNOGO I MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIJ SPRAWEDLIWY TEOREMY SLOVENIQ, I DOKAZATX SLEDU@]EE UDIWITELXNOE SWOJSTWO MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ: L@BOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE Y m = AX n (S MATRICEJ A RAZMERNOSTI n m) SLU^AJNOGO WEKTORA X n N(; ) ( ) ( ) ( ) DAET SLU^AJNYJ WEKTOR, IME@]IJ m-MERNOE NORMALXNOE RASPREDELE0: NIE SO SREDNIM I KOWARIACIONNOJ MATRICEJ A AA 12