60 wESTNIK sAMgu. 1999. N-2(12) obosnowanie metoda furxe dlq kraewyh zada~ s inwol`tiwnym otkloneniem a.w. lINXKOW 1 w RABOTE RASSMATRIWA@TSQ WOPROSY OBOSNOWANIQ METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, W KOTORYH DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR SODERVIT INWOL@TIWNOE OTKLONENIE W ^ASTNOJ PROIZWODNOJ. pOLU^EN RQD REZULXTATOW, GARANTIRU@]IJ KORREKTNOSTX PRIMENIMOSTI METODA fURXE. wWEDENIE iZWESTNO, ^TO W 50{60 GG. PROIZOEL "ISSLEDOWATELXSKIJ WZRYW" W TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM. w \TOT PERIOD WYLI MONOGRAFII AWTOROW: l.|. |LXSGOLXCA, n.m. kRASOWSKOGO, s.b. nORKINA, a.d. mYKISA, |. pINNI, r. bELLMANA, k. kUKA, a. hALANAQ I n. oG@ZTORELI. oDNAKO WOPROSAM REENIQ KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM POSWQ]ENO NEBOLXOE KOLI^ESTWO RABOT, I PO\TOMU TEORIQ KRAEWYH ZADA^ DLQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM OSTAETSQ WESXMA DALEKOJ OT ZAWERENIQ. oPREDELENNYJ INTERES PREDSTAWLQET IZU^ENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIJ WIDA (1)-(3). @ 2 u(x t) + @ 2 u(x t) = " @ 2 u(;x t) (1) @x2 @t2 @x2 @ 2 u(x t) ; @ 2 u(x t) = " @ 2 u(;x t) (2) @x2 @t2 @x2 @ 2 u(x t) ; @ u(x t) = " @ 2 u(;x t) (3) @x2 @t @x2 hARAKTERISTI^ESKIE ZADA^I DLQ (2) RASSMATRIWALISX W RABOTE 2]. w 1] PRIWEDENY POSTANOWKI KLASSI^ESKIH KRAEWYH ZADA^ (dIRIHLE, nEJMANA I DR.) DLQ (1) PRI (j"j 6= 1). oTMETIM, ^TO PRI " 6= 0 URAWNENIQ (1)-(3) NE PODDA@TSQ IZWESTNOJ KLASSIFIKACII. pRI " = 0 \TI URAWNENIQ SWODQTSQ K KLASSI^ESKIM URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI { lAPLASA, WOLNOWOMU, TEPLOPROWODNOSTI. 1 aLEKSEJ wLADIMIROWI^ lINXKOW, KAFEDRA URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, sAMARSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET oBOSNOWANIE METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM 61 iSSLEDOWANIE SMEANNYH KRAEWYH ZADA^ W PRQMOUGOLXNIKE f(x t) : x 2 ;l l] t 2 0 T ]g ILI POLUPOLOSE f(x t) : x 2 ;l l] t 2 0 1)g S NULEWYMI KRAEWYMI USLOWIQMI DLQ URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM WIDA (1)-(3) BYLO PROWEDENO METODOM fURXE. pOSLE RAZDELENIQ PEREMENNYH W DANNYH URAWNENIQH DLQ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ REALASX ZADA^A {TURMA-lIUWILLQ X (x) ; "X (;x) = X (x) (4) X (;l) = X (l) = 0: dLQ KAVDOGO URAWNENIQ BYLI POLU^ENY REENIQ KLASSI^ESKIH ZADA^ W UKAZANNYH OBLASTQH I ISSLEDOWAN WOPROS OB IH KORREKTNOSTI W ZAWISIMOSTI OT ": oSNOWNAQ CELX DANNOJ STATXI ZAKL@^AETSQ W OBOSNOWANII METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^, SWQZANNYH S URAWNENIQMI (1){(3). w PERWU@ O^EREDX, REENIE \TOJ PROBLEMY ZAWISIT OT DOKAZATELXSTWA POLNOTY SISTEMY FUNKCIJ { REENIJ ZADA^I (4). 00 00 1. pOLNOTA TRIGONOMETRI^ESKIH SISTEM bEZ POTERI OB]NOSTI DALEE BUDEM S^ITATX, ^TO l = T.E. x 2 ; ]: nETRUDNO SDELATX WYWOD, PRIMENQQ STANDARTNYE WYKLADKI, ^TO ZADA^A {TURMA-lIUWILLQ (4) IMEET PRI PROIZWOLXNOM WE]ESTWENNOM " SLEDU@]IE SOBSTWENNYE FUNKCII (5) sin nx cos(k + 0 5)x n = 1 1 k = 0 1: lEMMA 1. sISTEMA FUNKCIJ (5) ORTOGONALXNA I POLNA W L2; ]. dOKAZATELXSTWO. nEPOSREDSTWENNYMI WY^ISLENIQMI PROWERQETSQ ORTOGONALXNOSTX POLU^ENNOJ SISTEMY TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. dLQ DOKAZATELXSTWA POLNOTY DANNOJ SISTEMY WOSPOLXZUEMSQ HOROO IZWESTNYM KLASSI^ESKIM REZULXTATOM, ^TO SISTEMA FUNKCIJ sin nx cos kx n = 1 1 k = 0 1 (6) QWLQETSQ ORTOGONALXNOJ I POLNOJ W L2; ]: iZ SOPOSTAWLENIQ SISTEM (5) I (6) SLEDUET, ^TO SISTEMA (5) BUDET POLNOJ, ESLI W L2; ] SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE kX = cos nx = ak cos(k + 0 5)x n = 0 1: (7) 1 k=0 o^EWIDNO, SOOTNOENIE (7) BUDET WYPOLNENO, ESLI I TOLXKO ESLI BUDET IMETX MESTO RAWENSTWO pARSEWALQ kX = (8) kcos nxk2L2 = ak 2 kcos(k + 0 5)xk2L2 n = 0 1 k=0 R GDE kf k2L2 = (f g)L2 (f g)L2 = f (x)g(x) dx: rASSMOTRIM PODROBNEE RQD (8). pOSKOLXKU SPRAWEDLIWY O^EWIDNYE RAWENSTWA k1k2L2 = 2 kcos nxk2L2 = kcos(k + 0 5)xk2L2 = n = 1 1 k = 0 1 (9) TO, NAHODQ KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ R cos nx cos(k + 0 5)x dx 4(;1)n+k (2k + 1) = ak = (2k + 1 ; 2n)(2k + 1 ; 2n) n = 0 1 (10) kcos(k + 0 5)xk2L2 1 ; ; 62 a.w. lINXKOW RQD (8) MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM kX = 4(;1)n+k (2k + 1) n = 0 1: kcos nxk2L2 = k=0 (2k + 1 ; 2n)(2k + 1 ; 2n) 1 (11) pOSLEDNEE SOOTNOENIE PRI n = 0 PRINIMAET WID X 2 = (2k16+ 1)2 k=0 I PO\TOMU WYPOLNQETSQ W SILU TOVDESTWA Pk=0 1=(2k + 1)2 = 2 =8 IZ 3]. dALEE, PUSTX n { PROIZWOLXNOE NATURALXNOE ^ISLO. tOGDA RAWENSTWO pARSEWALQ (11) W SILU (9) MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM: kX = 1= a2k : (12) 1 1 1 k=0 iSPOLXZUQ PREDSTAWLENIE POLIGAMMA FUNKCII IZ 4], m (m+1) (m z ) dzd m (z ) (z ) dzd (m+1) ln ;(z ) I WID KO\FFICIENTOW ak (10), UBEVDAEMSQ W SPRAWEDLIWOSTI RAWENSTWA kX = 1 ( n + 0 5) ; (0 5 ; n ) 2 + (1 0 5 + n) + (1 0 5 ; n) : ak = 2 n 1 k=0 iZ FORMUL SIMMETRII W 4, S.86] SLEDU@T SOOTNOENIQ (1 ; z ) ; (z ) = ctgz (13) (1 1 ; z ) + (1 z ) = ; dzd ctgz: iSPOLXZUQ ANALITI^NOSTX WHODQ]IH W (13) PRI z = n + 0 5 POLIGAMMA FUNKCIJ, POLU^AEM, ^TO (n + 0 5) ; (0 5 ; n) = 0 A (1 0 5 + n) + (1 0 5 ; n) = 2 : tEM SAMYM DOKAZANO RAWENSTWO RAWENSTWO (12), A ZNA^IT OBOSNOWANO SOOTNOENIE pARSEWALQ (8) DLQ PROIZWOLXNOGO n. sLEDOWATELXNO, SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE (7), I SISTEMA FUNKCIJ (5) POLNA W L2; ]. lEMMA DOKAZANA. aNALOGI^NO OBOSNOWYWAETSQ SLEDU@]AQ LEMMA. lEMMA 2. sISTEMY FUNKCIJ sin(n + 0 5)x cos nx n = 0 1 sin(n + 0 5)x cos(n + 0 5)x n = 0 1 ORTOGONALXNY I POLNY W L2; ]. (14) (15) 2. sHODIMOSTX TRIGONOMETRI^ESKIH RQDOW pRI POSTANOWKE SMEANNYH KRAEWYH ZADA^ W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE SU]ESTWENNU@ ROLX IGRAET WOPROS OB USLOWIQH, PRI WYPOLNENII KOTORYH OBOB]ENNYJ RQD fURXE FUNKCII f (x) SHODITSQ (K \TOJ FUNKCII) NA KOMPAKTE. hOROO IZWESTNO, ^TO oBOSNOWANIE METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM 63 ODNA NEPRERYWNOSTX FUNKCII f (x) NA KOMPAKTE NE OBESPE^IWAET NE TOLXKO RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDA fURXE, NO DAVE SHODIMOSTI \TOGO RQDA W NAPERED ZADANNOJ TO^KE UKAZANNOGO SEGMENTA. w PREDYDU]EM RAZDELE BYLA DOKAZANA SHODIMOSTX RQDOW fURXE PO SISTEMAM FUNKCIJ (5) (ILI (14), ILI (15)) W L2; ]. dOSTATO^NYE USLOWIQ SHODIMOSTI \TIH RQDOW K NEPRERYWNOJ FUNKCII DAET SLEDU@]AQ LEMMA. lEMMA 3. eSLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE ; ] f (;) = f () = 0 EE PROIZWODNAQ f (x) SU]ESTWUET I NEPRERYWNA WS@DU NA ; ] ZA ISKL@^ENIEM 0 KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KAVDOJ IZ KOTORYH SU]ESTWU@T KONE^NYE LEWAQ I PRAWAQ PROIZWODNYE, TO TRIGONOMETRI^ESKIJ RQD PO SISTEMAM FUNKCIJ (5), (14), (15) FUNKCII f (x) SHODITSQ ABSOL@TNO NA ; ] W RAWNOMERNOJ METRIKE. dOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO KLASSI^ESKOMU OBOSNOWANI@ RAWNOMERNOJ SHODIMOS- TI RQDA fURXE PO SISTEME (6) (SM., NAPRIMER, 5, S.321]). pRI \TOM DLQ KO\FFICIENTOW fURXE Z Z k = 1 f (x) cos(k + 0 5)x dx k = 1 f (x) sin(k + 0 5)x) dx k = 0 1 Z Z 1 1 ck = f (x) cos(k + 0 5)x) dx dk = f (x) sin(k + 0 5)x) dx k = 0 1: POLU^A@TSQ SLEDU@]IE SOOTNOENIQ k = (k + 0 5)dk k = ;(k + 0 5)ck k = 0 1 ! ! jk j 1 2 + 1 j j 1 1 k 2 k + 0 5 2 k (k + 0 5)2 k + 0 5 2 k + (k + 0 5)2 k = 0 1: w KA^ESTWE SLEDSTWIQ IZ LEMMY 3 SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. lEMMA 4. eSLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI DO NEKOTOROGO PORQDKA m 2 N NA ; ] f (;) = f () = f (;) = f () = ::: = f (m) (;) = f (m) () = 0 EE PROIZWODNAQ PORQDKA m + 1 SU]ESTWUET I NEPRERYWNA WS@DU NA ; ] ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KAVDOJ IZ KOTORYH SU]ESTWU@T KONE^NYE LEWAQ I PRAWAQ PROIZWODNYE PORQDKA m +1, TO TRIGONOMETRI^ESKIE RQDY PO SISTEMAM FUNKCIJ (5), (14), (15) ABSOL@TNO SHODQTSQ NA ; ] 0 ; ; 0 ; ; 0 0 W RAWNOMERNOJ METRIKE. pRI^EM \TI RQDY MOVNO m RAZ PO^LENNO DIFFERENCIROWATX NA ; ], POLU^AQ ABSOL@TNO SHODQ]IESQ NA ; ] W TOJ VE METRIKE RQDY. dOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO KLASSI^ESKOMU OBOSNOWANI@ SOOTWETSTWU@]EJ TE- OREMY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA S U^ETOM LEMMY 3. 3. rEENIE SMEANNOJ KRAEWOJ ZADA^I dLQ OPREDELENNOSTI DALEE BUDEM RASSMATRIWATX ZADA^U: NAJTI FUNKCI@ u(x t) 2 C21 (Q) \ C(Q), UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (3), KRAEWYM USLOWIQM u(; t) = u( t) = 0 t 2 0 T ] (16) I NA^ALXNOMU USLOWI@ u(x 0) = '(x) x 2 ; ] GDE Q = f(x t) : ; < x < 0 < t < T g A TAKVE USLOWIQM SOPRQVENIQ '(;) = '() = 0: (17) (18) 64 a.w. lINXKOW zDESX FUNKCIQ ' UDOWLETWORQET USLOWIQM LEMMY 4 S m = 2. pREDPOLOVIM, ^TO REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I SU]ESTWUET. sLEDOWATELXNO, PRI PROIZWOLXNOM t PO LEMME 4 SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE REENIQ W WIDE RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ NA ; ] RQDA X u(x t) = Tn (t)Xn (x) (19) n PO ORTOGONALXNOJ SISTEME FUNKCIJ Xn WIDA (5). tOGDA Tn (t) = (u Xn )L2 : (20) pOSKOLXKU PRI PODSTANOWKE u(x t) W (3) DANNOE URAWNENIE OBRA]AETSQ W TOVDESTWO, TO, UMNOVAQ EGO SKALQRNO NA Xn , POLU^AEM (Lx" u Xn)L2 + ( @t@ u Xn )L2 = 0 (21) d dt Tn (t) + n Tn (t) = 0 (22) POD Lx"u PONIMAEM OPERATOR Lx" : C2 ! C OPREDELQEMYJ FORMULOJ Lx" u(x t) = @ 2u(x t)=@x2 ; "@ 2 u(;x t)=@x2 S OBLASTX@ OPREDELENIQ fu(x) 2 C2 ; ] : u(;) = u() = 0g: iNTEGRIROWANIEM PO ^ASTQM NETRUDNO PROWERITX USLOWIE SAMOSOPRQVENNOSTI OPERATORA Lx", T.E. WYPOLNENIQ SOOTNOENIQ (Lx" u v)L2 = (u Lx"v)L2 : sLEDOWATELXNO, (Lx" u Xn)L2 = (u Lx"Xn )L2 = (u nXn )L2 = n (u Xn)L2 GDE n { SOBSTWENNOE ^ISLO OPERATORA Lx" , SOOTWETSTWU@]EE SOBSTWENNOJ FUNKCII Xn n = 0 1 2 ::: iSPOLXZUQ PRAWILO lEJBNICA DIFFERENCIROWANIQ PO PARAMETRU t POD ZNAKOM INTEGRALA I U^ITYWAQ SOGLASNO FORMULIROWKE ZADA^I DOSTATO^NU@ GLADKOSTX FUNKCII @u=@t POLU^AEM (@u=@t Xn )L2 = @ (u Xn )L2 =@t: pODSTAWLQQ POLU^ENNOE SOOTNOENIE W (21), IMEEM PRI \TOM NA^ALXNYE USLOWIQ DLQ OPREDELENIQ FUNKCIJ Tn(t) POLU^AEM IZ (20) PRI t = 0 S U^ETOM (17) Tn (0) = (' Xn)L2 : (23) sLEDOWATELXNO, ISKOMYE KO\FFICIENTY Tn (t) ODNOZNA^NO OPREDELQ@TSQ REENIEM ZADA^I kOI (22)-(23). tAKIM OBRAZOM, ESLI REENIE SMEANNOJ KRAEWOJ ZADA^I SU]ESTWUET, TO ONO ODNOZNA^NO PREDSTAWIMO W WIDE RQDA (19), A SLEDOWATELXNO, DOKAZANA EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I (3), (16)-(18). iSHODQ IZ PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ SLEDUET, ^TO REENIE ZADA^I (3), (16) - (18), ESLI ONO SU]ESTWUET, PREDSTAWIMO W WIDE RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ PO x NA ; ] RQDA (19) PRI PROIZWOLXNOM t IZ 0 T ]. zAMETIM, ^TO SHODIMOSTX RQDA (19) ZAWISIT OT ", T.K. FORMALXNOE REENIE SMEANNOJ KRAEWOJ ZADA^I (3), (16) - (18) IMEET WID X X u(x t) = ak e (1 ")(k+05)2 t cos(k + 0 5)x + bne (1+")n2 t sin nx (24) 1 1 ; k=0 ; ; n=1 oBOSNOWANIE METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM 65 Z ak = 1 '(x) cos(k + 0 5)x dx k = 0 1 (25) Z '(x) sin nx dx n = n 1: bn = 1 (26) o^EWIDNO, ^TO RQD (24) PRI j"j 1 SHODITSQ RAWNOMERNO KAK PO x NA ; ], TAK I PO t 2 0 +1). |TO SLEDUET IZ OCENOK ; ; jak j k = 0 1 jbnje (1+")n2 t jbnj n = 1 1: pRI " < ;1 (" > 1) RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI PO x W Q FUNKCIONALXNOGO RQDA (24) NET, POSKOLXKU PRI PROIZWOLXNOM t > 0 WSEGDA NAJDETSQ TAKOJ NOMER n0 (k0), ^TO PRI WSEH n > n0 (k > k0) BUDET SLEDOWATX jbnj exp (;(1 + ")n2 t) > M (jak j exp(;(1 ; ")(k + 0 5)2t) > M ,) GDE M { PROIZWOLXNO SKOLX UGODNO BOLXOE POLOVITELXNOE ^ISLO. zNA^IT NARUA@TSQ NEOBHODIMYE USLOWIQ SHODIMOSTI FUNKCIONALXNOGO RQDA (24). sLEDOWATELXNO, PRI j"j > 1 REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I MOVET NE SU]ESTWOWATX. rASSMOTRIM PRIMER, ILL@STRIRU@]IJ DANNU@ SITUACI@. pUSTX " = 2. w KA^ESTWE FUNKCII, ZADA@]EJ NA^ALXNOE USLOWIE DLQ ZADA^I (3), (16){(18), WOZXMEM jak je (1;")(k+05)2 t ; ; '(x) = (2 ; x2)3: o^EWIDNO, ^TO \TA FUNKCIQ OBRA]AETSQ W 0 WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI DO WTOROGO PORQDKA WKL@^ITELXNO W TO^KAH ; I . nESLOVNO PROWERITX, ^TO X (;1)k (;10 + 2(2k + 1)2 cos(k + 0 5)x: '(x) = ; 18432 k=0 (2k + 1)7 sOSTAWIM FORMALXNOE REENIE RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I WIDA (24) X (;1)k (;10 + 2 (2k + 1)2 (k+05)2 t u(x t) = ; 18432 e cos(k + 0 5)x: (27) k=0 (2k + 1)7 nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO PRI PROIZWOLXNOM t > 0 RQD (27) RASHODITSQ. pOLU^ENNYE REZULXTATY MOVNO SFORMULIROWATX W WIDE TEOREMY. tEOREMA 1. rEENIE ZADA^I (3), (16) - (18) PRI j"j 1 SU]ESTWUET, EDINST1 1 WENNO, NEPRERYWNO ZAWISIT OT NA^ALXNYH DANNYH I PREDSTAWIMO W WIDE (24). pRI j"j > 1 WSEGDA NAJDUTSQ TAKIE NA^ALXNYE DANNYE, ^TO REENIQ ZADA^I NE SU]ESTWUET. 66 a.w. lINXKOW lITERATURA 1] aNDREEW a.a., {INDIN i.p. o KORREKTNOSTI GRANI^NYH ZADA^ DLQ ODNOGO URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM. sB. aNALITI^ESKIE METODY W TEORII DIFFERENCIALXNYH I INTEGRALXNYH URAWNENIJ. kUJBYEW, 1987. s.3-6. 2] aNDREEW a.a., lINXKOW a.w. o KORREKTNYH ZADA^AH DLQ ODNOGO MODELXNOGO URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM // sB. uRAWNENIQ NEKLASSI^ESKOGO TIPA. nOWOSIBIRSK, 1997. ngu. s.3-11. 3] pRUDNIKOW a.p., bRY^KOW`.a., mARI^EW o.i. iNTEGRALY I RQDY. sPECIALXNYE FUNKCII. m.: nAUKA, 1983. 752S. 4] sPRAWO^NIK PO SPECIALXNYM FUNKCIQM. pOD RED. m. aBRAMOWICA, i. sTIGAN. m.: nAUKA. 1979. 832S. 5] kURS WYSEJ MATEMATIKI I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. pOD RED. a.n. tIHONOWA, w.i. iLXINA, a.g. sWENIKOWA. wYPUSK 2A, ~ASTX II. m.: nAUKA, 1980. 448S. SUBSTANTIATION OF A METHOD THE FOURIER FOR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH AN INVOLUTE DEVIATION A. Linkov2 The problems of substantiation of a method the Fourier for boundary value problems of mathematical physics, in which the dierential operator contains an involute deviation in a partial derivative, are considered in this paper. The series of outcomes guaranteeing a correctness of applicability of a method the Fourier is obtained. 2 Alexei Linkov, departament of mathematics, Samara state university