w. f. dEMXQNOW, s. k. mY KOW wariacionnoe is~islenie 1 w 1696 G. i. bERNULLI POSTAWIL SLEDU@]U@ ZADA^U. w WERTIKALXNOJ PLOSKOSTI DANY DWE TO^KI A I B . tpEBUETSQ OPREDELITX PUTX AMB , SPUSKAQSX PO KOTOROMU POD DEJSTWIEM SOBSTWENNOJ SILY TQVESTI, TELO M , NA^AW DWIGATXSQ IZ TO^KI A, DOJDET DO TO^KI B ZA KRAT^AJEE WREMQ. |TO ZNAMENITAQ ZADA^A O BRAHISTOHRONE. oNA POLOVILA NA^ALO WARIACIONNOMU IS^ISLENI@. wWEDEM LEWU@ SISTEMU KOOpDINAT xy (SM. pIS. ). pOLOVIM A = (0 0) B = (a b) (ZDESX a > 0 b > 0, OSX y NAPpAWLENA WNIZ). pO ZAKONU gALILEQ SKOROSTX TELA M W TO^KE (x y(x)) (ESLI TELO BEZ TRENIQ SPUSKAETSQ PO KRIWOJ y( )) NE ZAWISIT OTqFORMY KRIWOJ y( ) MEVDU TO^KAMI A I (x y(x)), A ZAWISIT OT ORDINATY y(x) I RAWNA 2gy(x), GDE g { USKORENIE SILY TQVESTI. iMEEM q q v(x) = 2gy(x) v = ds ds = dx2 + dy2 dy = y (x)dx = dy dx dt dx v v u u 2 2 + y 2 (x)dx2 u u dx ds t = t 1 + y (x) dx: dt = v = 2gy(x) 2gy(x) oTS@DA WpEMQ SPUSKA u Z Z v 2 u T = T (y( )) = 0 dt = 0 t 1 2+gyy(x()x) dx: iTAK, ZADA^A SWELASX K SLEDU@]EJ: sREDI WSEH KRIWYH (x y(x)), SOEDINQ@]IH TO^KI A I B (T.E. TAKIH, ^TO y(0) = 0 y(a) = b), NAJTI KRIWU@, DOSTAWLQ@]U@ MINIMUM FUNKCIONALU T . rEENIE \TOJ ZADA^I W PARAMETRI^ESKOJ FORME IMEET WID: x(t) = C1 + C (t sin t) y(t) = C (1 cos t): kRIWAQ, ZADAWAEMAQ \TIMI URAWNENIQMI, QWLQETSQ CIKLOIDOJ (\TO KpIWAQ, KOTOpU@ OPISYWAET TO^KA OKpUVNOSTI, KOTOpAQ KATITSQ BEZ SKOLXVENIQ PO PpQMOJ). 0 0 0 T 0 a ; ; 1 zADA^A WApIACIONNOGO IS^ISLENIQ. pUSTX T > 0 FIKSIROWANO. ~EREZ P 10 T ] OBOZNA^IM KLASS NEPRERYWNYH NA 0 T ] FUNKCIJ S KUSO^NO-NEPRERYWNOJ I OGRANI^ENNOJ NA 0 T ] PROIZWODNOJ. fUNKCI@ x(t), ZADANNU@ NA 0 T ], BUDEM DLQ KpATKOSTI OBOZNA^ATX x( ) ILI (ESLI \TO NE WYZOWET NEDOpAZUMENIJ), PpOSTO x. nULEWOJ \LEMENT PpOSTpANSTWA P 10 T ] (T.E. FUNKCI@, TOVDESTWENNO pAWNU@ NUL@ NA 0 T ]) BUDEM OBOZNA^ATX 0 ILI 00 ]. dLQ PpOIZWODNOJ FUNKCII x W TO^KE t BUDEM ISPOLXZOWATX OBOZNA^ENIQ ( ) x_ (t) I x (t). ~EREZ P 0 T ] OBOZNA^IM KLASS KUSO^NO-NEPRERYWNYH I OGpANI^ENNYH NA 0 T ] FUNKCIJ. eSLI x P 10 T ], TO x P 0 T ]. eSLI x P 10 T ] I t0 0 T ) { TO^KA RAZRYWA FUNKCII x (t), TO DLQ OPREDELENNOSTI BUDEM S^ITATX, ^TO x (t0 ) = x+ (t0) = lim0 x(t0 + ) x(t0 ) : (1) T dx t dt 0 0 2 2 2 2 0 0 ; 0 # 1 uSTANOWO^NAQ LEKCIQ DLQ STUDENTOW 5 KUpSA F-TA pm-pu spBgu, PpO^ITANA 16.02.2004G. 1 w TO^KE T POLAGAEM x (T ) = lim0 x(T + ) x(T ) : zAFIKSIRUEM x0 IR I x1 IR. pOLOVIM = x P 10 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 : rASSMOTRIM FUNKCIONAL Z (x) = F (x(t) x (t) t) dt 0 (2) ; 0 " 2 2 f 2 j (3) g T (4) 0 I GDE FUNKCIQ F (x z t) NEPRERYWNA PO WSEM SWOIM ARGUMENTAM NA IR IR 0 T ]. mNOVESTWO TO^EK (t x(t)) t 0 T ] PREDSTAWLQET SOBOJ KRIWU@ NA PLOSKOSTI (t x). dLQ KRATKOSTI FUNKCI@ x(t) (t 0 T ]) TOVE INOGDA BUDEM NAZYWATX KRIWOJ. kRIWU@ x BUDEM NAZYWATX DOPUSTIMOJ. dOPUSTIMU@ KRIWU@ x NAZYWA@T TO^KOJ GLOBALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (4) NA MNOVESTWE , ESLI (x ) (x) x : (5) dOPUSTIMU@ KRIWU@ x NAZYWA@T SILXNOJ MINIMALX@ (ILI TO^KOJ SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA) FUNKCIONALA (4), ESLI SU]ESTWUET " > 0, TAKOE, ^TO (x ) (x) x B (x ) (6) GDE B (x ) = x P 10 T ] 0max x(t) x (t) " (7) eSLI DLQ NEKOTOpOGO " > 0 OKAVETSQ (x ) (x) x Be (x ) (8) GDE Be (x ) = x B (x ) sup x_ (t) x_ (t) " (9) f j 2 g 2 2 I I 8 2 2 2 I I f " 8 2 2 \ j " j ; j g tT I f " I 8 2 " j 2 0tT \ j " ; j g TO KRIWU@ x NAZYWA@T SLABOJ MINIMALX@ (ILI TO^KOJ SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA) FUNKCIONALA (4). ppIMEp 1. pUSTX Z1 (x) = x_ 2 (t)1 + x_ 3 (t)]dt = x P 10 1] x(0) = 0 x(1) = 0 : (10) 0 2 I f 2 j g wOZXMEM KpIWU@ x = 0 (T.E. x (t) = 0 t 0 1]). iMEEM x (x ) = 0. kpIWAQ x QWLQETSQ TO^KOJ SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA, TAK KAK PpI x Be1 (x ) (T.E. ESLI max 0 1] x(t) 1 sup x_ (t) 1) BUDET 0 1] Z1 (x) (x ) = x_ 2 (t)1 + x_ 3 (t)]dt > 0 0 8 2 2 I 2 t2 j j j j t2 I ; I I SOOTNOENIE (8) WYPOLNQETSQ PpI " = 1. tEPEpX WYBEpEM L@BOE " (0 1] I pASSMOTpIM FUNKCI@ 8 >< t t 0 23 ") x (t) = > 2" 2t t 32 " ") : 0 t " 1]: 2 2 " ; 2 2 2 \ iMEEM 8 >< 1 t 0 32 ") x (t) = > 2 t 23 " ") : 0 t " 1]: tAK KAK x (t) x0 (t) < " t 0 T ], TO Z1 Z 23 Z 2 3 (x ) = x (t)1 + x (t)]dt = 2dt + 2 4(1 8)dt = 4 " 28 " = 8" < 0: 3 3 0 0 2 0 ; " 2 2 j I " " ; j 8 2 " 0 0 " " " ; ; ; 3" oTS@DA ZAKL@^AEM, ^TO TO^KA x = 0 NE QWLQETSQ TO^KOJ SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (x). wSQKAQ TO^KA SILXNOGO MINIMUMA QWLQETSQ I TO^KOJ SLABOGO MINIMUMA (OBRATNOE, KAK WIDNO IZ PpIWEDENNOGO WYE PpIMEpA, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO). pO\TOMU WSE NEOBHODIMYE USLOWIQ SLABOGO MINIMUMA BUDUT I NEOBHODIMYMI USLOWIQMI SILXNOGO MINIMUMA, A DOSTATO^NYE USLOWIQ SILXNOGO MINIMUMA BUDUT I DOSTATO^NYMI USLOWIQMI SLABOGO MINIMUMA. zADA^A RAZYSKANIQ TO^KI SILXNOGO ILI SLABOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (4) NAZYWAETSQ OSNOWNOJ (ILI PROSTEJ EJ) ZADA^EJ WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ. zAME^ANIE 1. wEZDE DALEE pASSMATpIWAETSQ ZADA^A WApIACIONNOGO IS^ISLENIQ W PpOSTpANSTWE P 10 T ]. mOVNO STAWITX ZADA^U W PpOSTpANSTWE NEPpEpYWNYH FUNKCIJ S IZMEpIMYMI I SUMMIpUEMYMI SO STEPENX@ p 1 PpOIZWODNYMI. dLQ PpAKTI^ESKIH CELEJ WPOLNE MOVNO OGpANI^ITXSQ PpOSTpANSTWOM P 10 T ]. ppIMEp 2. zADA^A O KRAT^AJ EM PUTI. tREBUETSQ SOEDINITX TO^KI (0 x0 ) I (T x1 ) KRIWOJ, IME@]EJ NAIMENXU@ DLINU. zADA^A SWODITSQ K MINIMIZACII FUNKCIONALA Z q (x) = 1 + x 2 (t) dt 0 NA MNOVESTWE = x P 10 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 : ppIMEp 3. pUSTX = x P 1 0 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 : rASSMOTRIM FUNKCIONAL Z q x (t) dt: (x) = 0 I } } T 0 I f 2 j f g 2 j g T j I qSNO, ^TO (x) 0 0 j x . pOLOVIM ( 1 0 x (t) = x0 + xt k t 0t Tt]: t 1 o^EWIDNO, ^TO KRIWAQ x (ESLI t < T ). tOGDA s Z q q x (t) dt = t x1 t x0 = t x1 x0 : (x ) = 0 pRI t 0 BUDET (x ) 0. sLEDOWATELXNO, inf (x) = 0, NO \TOT INFIMUM NE DOSTIGAETSQ NA . ppIMEp 4. nA MNOVESTWE (SM. PRIMER 2) RASSMOTRIM FUNKCIONAL Z x(t) dt: (x) = 0 I 8 2 x ;x k 2 2 j k 0 j j ; p j k k k k ! I k k k k T I t k ! I x2 T j I 3 j j ; j o^EWIDNO, (x) 0 I x . pOLOVIM 8 x0 t k0 t 0 t ] >< 0 t t T t ] x (t) = > : (t T + t ) 1 t T t T ]: k 8 2 x ; 2 k k ! k 2 t ; k x (t) dt = 1 t x0 + 1 t x1 = 1 ( x0 + x1 )t 2 2 2 0 0 BUDET (x ) 0, T.E. inf (x) = 0: oDNAKO \TOT INFIMUM NE DOSTIGAETSQ I TO PRI t NA . Z k k ; k x ; pOSKOLXKU 2 t (x ) = T j k I k j k kj ! j kj j j j j j k I x2 2 uSLOWIE |JLEpA. pUSTX FUNKCII I NEPRERYWNY NA IR IR 0 T ]. dLQ TOGO, ^TOBY FUNKCIQ x (t) DOSTAWLQLA NAIMENX EE ZNA^ENIE FUNKCIONALU (x) NA MNOVESTWE (SM. (3)), NEOBHODIMO, ^TOBY NA LOSX C0 IR, TAKOE, ^TO @F (x (t) x_ (t) t) + Z @F (x ( ) x_ ( ) ) d = C t 0 T ]: (11) 0 @z @x upAWNENIE (11) NAZYWAETSQ INTEGpALXNYM UpAWNENIEM |JLEpA. dIFFEpENCIpUQ TOVDESTWO (11), POLU^AEM UpAWNENIE d @F (x (t) x_ (t t) @F (x (t) x_ (t) t) = 0 t D(x_ ) (12) dt @z @x GDE D(x_ ) { MNOVESTWO TO^EK NEPpEpYWNOSTI FUNKCII x_ (t). upAWNENIE (12) NAZYWAETSQ UpAWNENIEM |JLEpA. bUDEM GOWOpITX, ^TO KpIWAQ x P 10 T ] UDOWLETWOpQET USLOWI@ |JLEpA, ESLI NA \TOJ KpIWOJ WYPOLQETSQ UpAWNENIE |JLEpA. eSLI x P 10 T ], TO TO^KA pAZpYWA FUNKCII x_ (t) NAZYWAETSQ UGLOWOJ TO^KOJ KpIWOJ x(t). uSLOWIE |JLEpA { NEOBHODIMOE USLOWIE GLOBALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (x) NA MNOVESTWE . iZ OPpEDELENIQ TO^EK SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA I SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA (SM. (6){(8)) SLEDUET, ^TO USLOWIE |JLEpA (11){(12) QWLQETSQ I NEOBHODIMYM USLOWIEM SILXNOGO LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCIONALA (x) NA MNOVESTWE , I NEOBHODIMYM USLOWIEM SLABOGO LOKALXNOGO MINIMUMA (x) NA . iNTEGpALXNYE KpIWYE UpAWNENIQ |JLEpA (T.E. FUNKCII, UDOWLETWOpQ@]IE (11) ILI, ^TO TO VE, (12)) NAZYWA@TSQ \KSTpEMALQMI. |KSTpEMALX x P 10 T ] NAZYWAETSQ DOPUSTIMOJ, ESLI DLQ NEE WYPOLNENY USLOWIQ x(0) = x0 x(T ) = x1 (T.E. ESLI x ). tEOpEMA 1. @F @F @z @x 2 I 2 T 8 2 t ; 8 2 2 2 I I I 2 2 3 uSLOWIE wEJEpTpASSA tEOpEMA 2. pUSTX { TO^KA NEPpEpYWNOSTI KpIWOJ z (t) := x_ (t). dLQ TOGO, ^TOBY FUNKCIQ x (t) 2 DOSTAWLQLA NAIMENX EE ZNA^ENIE FUNKCIONALU I (x) NA MNOVESTWE , NEOBHODIMO, ^TOBY F (x () v ) ; F (x () z () ); @F (x () z () ) 0 8 2 D(z ) 8v 2 IR: (13) ; (v ; z ( )) @z uSLOWIE (13) NAZYWAETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM wEJER TRASSA. zDESX D(z ) { MNOVESTWO TO^EK 0 T ], W KOTORYH FUNKCIQ z (t) NEPRERYWNA. uSLOWIE wEJEpTpASSA QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM SILXNOGO MINIMUMA. 4 4 uSLOWIQ |RDMANA { wEJERTRASSA. pUSTX x { TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCII (x) NA . rASSMOTRIM PODROBNEE TO^KI RAZRYWA FUNKCII z (t) := x_ (t) (\TO UGLOWAQ TO^KA KRIWOJ x (t) = R x0 + 0 z ( ) d ). I NEPRERYWNY NA IR IR 0 T ]. eSLI t0 (0 T ) lEMMA 1 pUSTX FUNKCII { TO^KA RAZRYWA FUNKCII z (t), TO @F (x (t0 ) z+(t0 ) t0) = @F (x (t0 ) z (t0) t0 ) (14) @z @z GDE z+(t0 ) = lim0 z (t) z (t0) = lim0 z (t): uSLOWIE (14) NAZYWAETSQ PERWYM USLOWIEM |RDMANA { wEJER TRASSA. |TO USLOWIE QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM I( SLABOGO , I SILXNOGO MINIMUMA. ) lEMMA 2 pUSTX FUNKCII I ( ) NEPRERYWNY PO SOWOKUPNOSTI PEpEMENNYH. eSLI t0 (0 T ) { UGLOWAQ TO^KA KRIWOJ x (t), TO F (x (t0 ) z+(t0) t0) z+(t0 ) @F (x (t0 )@zz+(t0 ) t0) = = F (x (t0) z (t0 ) t0) z (t0 ) @F (x (t0 )@zz (t0) t0 ) : (15) uSLOWIE (15) NAZYWAETSQ WTORYM USLOWIEM |RDMANA { wEJER TRASSA. zAME^ANIE 2. wTOpOE USLOWIE |pDMANA { wEJEpTpASSA QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM SILXNOGO MINIMUMA (NO NE OBQZATELXNO SLABOGO). 2 I t @F @F @z @x 2 ; ; t#t t"t @F x z t @F x z t @z @x 2 ; ; ; ; ; } 5 uSLOWIQ WTOpOGO POpQDKA ppEDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ F (x z t) IMEET WTOpYE PpOIZWODNYE I ^TO FUNKCII @ 2 F (x z t) @ 2 F (x z t) @ 2 F (x z t) @x2 @x@z @z2 NEPpEpYWNY W pASSMATpIWAEMOJ OBLASTI. sNOWA ISPOLXZUEM KLASSI^ESKU@ WApIACI@. zAFIKSIpUEM z P 0 T ]. dLQ PpOIZWOLXNOGO v P 0 T ] POLOVIM z (t) = z(t) + "v(t) GDE " > 0. fUNKCIQ z KUSO^NO-NEPpEpYWNA NA 0 T ], T.E. z2 (t) 2 P 0 2T ] " > 0: lEMMA 3. pUSTX FUNKCIQ F NEPpEpYWNA WMESTE S 2 , 2 W pASSMATpIWAEMOJ OBLASTI. eSLI x { TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCII (x) NA , TO @ 2 F (t) := @ 2 F (x (t) z (t) t) 0 t 0 T ]: (16) @z2 @z2 |TO USLOWIE NAZYWAETSQ USLOWIEM lEVANDpA { kLEB A. oNO QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM I SLABOGO MINIMUMA, I SILXNOGO MINIMUMA. R zAME^ANIE 3. zADA^A MAKSIMIZACII FUNKCIONALA (x) = 0 F (x(t) x (t) t) dt RAWNOSILXNA ZADA^E MINIMIZACII FUNKCIONALA 1(x) = (x) = RNA FMNOVESTWE F1 (x x t) = F (x x t): 1 (x x t) dt GDE 0 pO\TOMU NEOBHODIMYE USLOWIQ MAKSIMUMA FUNKCIONALA (x) (T.E. URAWNENIE |JLERA (11) I INTEGRALXNOE URAWNENIE |JLERA (12)) OSTA@TSQ TAKIMI VE, KAK I DLQ ZADA^I MINIMIZACII \TOGO VE FUNKCIONALA. uSLOWIE lEVANDRA { kLEBA TEPERX IMEET WID @ 2 F (x () z () ) 0 0 T ]: @z2 2 2 " " 2 " @ F @x @ F @x@z 8 @ F @z 2 I 8 2 T I I T 0 0 ; 0 I 5 8 2 0 ;I 6 iSSLEDOWANIE URAWNENIQ |JLERA iZ USLOWIQ |JLERA SLEDUET, ^TO \KSTREMALX FUNKCIONALA (x) = R0 F (x(t) x (t) t) dt NA MNOVESTWE = x P 10 T ] x(0) = x0 x(T ) = x1 DOLVNA UDOWLETWORQTX (W TO^KAH NEPRERYWNOSTI FUNKCII x (t)) URAWNENI@ |JLEpA d @F (x(t) x (t) t) @F (x(t) x (t) t) = 0: (17) dt @z @x rASSMOTRIM NEKOTORYE ^ASTNYE SLU^AI. 1. F NE ZAWISIT OT x . tOGDA URAWNENIE |JLERA IMEET WID @F (x(t) t) = 0: (18) @x |TO KONE^NOE URAWNENIE, I EGO REENIE, WOOB]E GOWORQ, NE UDOWLETWORQET USLOWIQM x(0) = x0, x(T ) = x1 . tOLXKO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH (KOGDA KRIWAQ x( ), UDOWLETWORQ@]AQ (18), PROHODIT ^EREZ TO^KI (0 x0) I (T x1 )) SU]ESTWUET KRIWAQ, NA KOTOROJ DOSTIGAETSQ \KSTREMUM. R pRIMER 5. pUSTX (x) = 0 (xt + x2 ) dt x(0) = x0 x(T ) = x1 : uRAWNENIE |JLERA IMEET WID t + 2x = 0 T.E. x = 12 t: eSLI x0 = 0, A x1 = 21 T , TO \TO REENIE (x = 21 t) MOVET BYTX \KSTREMALX@ (MY E]E DOLVNY PROWERITX, ^TO NA NEJ DOSTIGAETSQ IMENNO MINIMUM), A W OSTALXNYH SLU^AQH REENIE ZADA^I NE SU]ESTWUET. 2. F ZAWISIT OT x LINEJNO, T.E. F (x x t) = M (x t) + N (x t)x : uRAWNENIE |JLERA (17) W \TOM SLU^AE IMEET WID @M @N x + @N x + @N = 0: d N (x t) @F = 0 T.E. dt @x @x @x @x @t oTS@DA @M = 0: L(x t) = @N (19) @t @x |TO { KONE^NOE, A NE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE. kRIWAQ, OPREDELQEMAQ URAWNENIEM (19), WOOB]E GOWORQ, NE UDOWLETWORQET GRANI^NYM USLOWIQM, I POTOMU WARIACIONNAQ ZADA^A, KAK PRAWILO, NE IMEET REENIQ W KLASSE NEPRERYWNYH FUNKCIJ. eSLI W NEKOTOROJ OBLASTI D, WKL@^A@]EJ TO^KI (0 x0) I (T x1 ) PLOSKOSTI tx, BUDET L(x t) = 0 t x] D TO F (x x t) = M (x t)dt + N (x t)dx QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOM, I FUNKCIONAL Z Z ( 1) (x(t)) = F (x x t) dt = (M dt + N dx) 0 (0 ) T I f 2 j 0 g 0 0 0 ; 0 T I ; ; ; 0 0 ; ; 0 0 ; 0 ; 8 2 0 T I T x 0 x0 NE ZAWISIT OT PUTI INTEGRIROWANIQ, ZNA^ENIE FUNKCIONALA (x) { ODNO I TO VE NA WSEH DOPUSTIMYH KRIWYH. wARIACIONNAQ ZADA^A TERQET SMYSL. pRIMER 6. pUSTX Z (x) = (x2 + 2txx ) dt x(t0 ) = x0 x(T ) = x1 : 0 tAK KAK = 2x, = 2x, TO IZ (19) URAWNENIE |JLERA IMEET WID L(x t) = 2x 2x = 0 t SLEDOWATELXNO, PODYINTEGRALXNOE WYRAVENIE (x2 + 2txx )dt ESTX POLNYJ DIFFERENCIAL. zNA^IT, INTEGRAL NE ZAWISIT OT PUTI INTEGRIROWANIQ, I POTOMU I T I 0 t @M @N @x @t ; 0 8 6 I (x) = Z T t0 (x dt + 2xt dx) = 2 Z( T x1 ) (t0 x0 ) d(tx2 ) = tx2 =T t jt=t 0 = Tx12 ; t0x0 2: ZAWISIT LIX OT x , T.E. F = F (x ). uRAWNENIE |JLERA IMEET WID F x = 0: (20) |TOMU URAWNENI@ UDOWLETWORQ@T WSE PRQMYE x(t) = C1 t + C2: (21) R q pRIMER 7. pUSTX (x) = 0 1 + x 2(t) dt x(0) = x0 x(T ) = x1 : |TOT FUNKCIONAL OPREDELQET DLINU KRIWOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (0 x0) I (T x1 ). iZ (21) ZAKL@^AEM, ^TO pEENIEM ZADA^I QWLQETSQ OTpEZOK PpQMOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (0 x0) I (T x1 ). 4. F NE ZAWISIT OT x, T.E. F = F (x t). tOGDA URAWNENIE |JLERA IMEET WID d F (x t) = 0 T.E. F (x t) = C 1 dt GDE C1 { PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. |TO URAWNENIE ESTX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE PERWOGO PORQDKA (W NEQWNOJ FOpME). 5. F NE ZAWISIT QWNO OT t, T.E. F = F (x x ). tOGDA URAWNENIE |JLERA IMEET WID F F x F x = 0: (22) uMNOVAQ NA x OBE ^ASTI (22), POLU^AEM SLEWA POLNU@ PROIZWODNU@ d F x F ] = 0 OTS@DA F x F = C1 : dt zAME^ANIE 4. mY OBSUDILI TOLXKO SLU^AJ, KOGDA x { FUNKCIQ ODNOJ PEpEMENNOJ. w SLU^AE WEKTOp-FUNKCIJ USLOWIQ |JLEpA I wEJEpTpASSA WYPISYWA@TSQ DLQ KAVDOJ KOOpDINATNOJ FUNKCII. 3. F 0 0 00 x0 x0 T I 0 0 x0 0 x0 0 0 x ; xx0 0 ; x0 x0 00 0 ; 0 ; x0 7 0 x0 x+∆ x x A x M y y+∆ y B y