x9. mOMENTNYE HARAKTERISTIKI MNOGOMERNYH RASPREDELENIJ. mULXTINOMIALXNOE I MNOGOMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIQ dLQ OPISANIQ POLOVENIQ W PROSTRANSTWE, RASSEQNIQ I FORMY MNOGOMERNYH RASPREDELENIJ OBY^NO ISPOLXZU@TSQ SME[ANNYE CENTRALXNYE MOMENTY, WY^ISLQEMYE KAK MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ OT PROIZWEDENIQ RAZLI^NYH STEPENEJ CENTRIROWANNYH SREDNIMI ZNA^ENIQMI KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA: h k k i E (X ; ) (Xn ; ) n ; GDE i = EXi { WEKTOR SREDNIH ZNA^ENIJ KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA X n : mY BUDEM IMETX DELO TOLXKO S MOMENTAMI WTOROGO PORQDKA ij = E(Xi ; i )(Xj ; j ); i; j = 1; : : :; n: mATRICA = kij k MOMENTOW WTOROGO PORQDKA NAZYWAETSQ KOWARIACIONNOJ MATRICEJ ILI MATRI CEJ KOWARIACIJ cov(Xi ; Xj ) = ij : eSTESTWENNO, DIAGONALX KOWARIACIONNOJ MATRICY SOSTAWLQ@T DISPERSII i = ii = cov(Xi ; Xi) SOOTWETSTWU@]IH KOMPONENT Xi; i = 1; : : :; n SLU^AJNOGO WEKTORA X n ; W TO WREMQ KAK SME[ANNYE MOMENTY ij PRI i = 6 j HARAKTERIZU@T STEPENX LINEJNOJ SWQZNOSTI KOMPONENT Xi I Xj : |TOT TERMIN TREBUET SPECIALXNOGO OBSUVDENIQ, WWIDU EGO ISKL@^ITELXNOJ RASPROSTRANENNOSTI W PRILOVENIQH MNOGOMERNOGO STATISTI^ESKOGO ANALIZA. wSE WERTITSQ OKOLO SLEDU@]EGO LEBEGOWSKOGO WARIANTA NERAWENSTWA kO[I{bUNQKOWSKOGO. 1 1 1 ( ) - 2 ( ) nERAWENSTWO {WARCA pUSTX X I Y { SLU^AJNYE WELI^INY, A g(X ) I h(Y ) { IZMERIMYE FUNKCII OT SOOTWETSTWU@]IH WELI^IN, OBLADA@]IE KONE^NYMI WTORYMI MOMENTAMI. tOGDA . h jEg(X )h(Y )j Eg (X )Eh(Y ) 2 i= 2 1 2 S RAWENSTWOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA FUNKCII g I h LINEJNO SWQZANY: SU]ESTWU@T TAKIE POSTOQNNYE a I b; ^TO P (ag (X ) + bh(Y ) = 0) = 1: pRIMENIM \TO NERAWENSTWO K FUNKCIQM g(X ) = X ; X I h(Y ) = Y ;Y ; GDE X = EX; Y = EY: eSLI SLU^AJNYE WELI^INY X I Y NEZAWISIMY, TO, W SILU PREDLOVENIQ 8.3B cov(X; Y ) = E(X ;X )(Y ;Y ) = E(X ; X )E(Y ; y ) = 0; TO ESTX NEZAWISIMYE SLU^AJNYE WELI^INY IME@T NULEWU@ KOWARIACI@. eSLI VE X I Y LINEJNO SWQZANY: 1 Y ; Y = a(X ; X ); TO W NERAWENSTWE {WARCA DOSTIGAETSQ p ZNAK RAWENSTWA, TAK ^TO cov(X; Y ) = XY = E(X ; X )(Y ; Y ) = DX DY = X Y > 0 (ESTESTWENNO, MY PREDPOLAGAEM, ^TO X I Y PRINIMA@T PO KRAJNEJ MERE DWA RAZLI^NYH ZNA^ENIQ S NENULEWOJ WEROQTNOSTX@). |TI DWA KRAJNIH ZNA^ENIQ W NERAWENSTWE {WARCA OPRAWDYWA@T WWEDENIE SLEDU@]EJ MERY LINEJNOJ SWQZNOSTI PARY SLU^AJNYH WELI^IN. oPREDELENIE pUSTX X I Y { DWE SLU^AJNYE WELI^INY S KONE^NYMI DISPERSIQMI. mOMENTNAQ HARAKTERISTIKA 9.1. = XY = XY X Y NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM KORRELQCII MEVDU SLU^AJNYMI WELI^INAMI X I Y: iTAK, ESLI X I Y NEZAWISIMY, TO = 0; ESLI VE Y = a + bX PRI NEKOTORYH POSTOQNNYH a I b; TO jj = 1; PRI^EM = ;1; ESLI a < 0; I = +1; ESLI a > 0: oDNAKO, RAWENSTWO = 0 NE OZNA^AET, ^TO SLU^AJNYE WELI^INY X I Y NEZAWISIMY ! p R I M E R 9.1 (ZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN S NULEWYM KO\FFICI ENTOM KORRELQCII). pOKAVEM, ^TO SLU^AJNYE WELI^INY X I Y; RAWNOMERNO RASPREDELENNYE W KRUGE RADIUSA r; ZAWISIMY, NO XY = 0: dEJSTWITELXNO, SOWMESTNAQ FUNKCIQ PLOTNOSTI f (x; y) SLU^AJNYH WELI^IN X I Y (SM. PRIMER 8,1) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO W KRUGE x + y r I PRINIMAET POSTOQNNOE ZNA^ENIE, RAWNOE 1=r ; WNUTRI \TOGO KRUGA. mARGINALXNYE PLOTNOSTI q p 2 2 X Y f (x) = r r ; x ; jxj r; f (y) = r r ; y ; jyj r; I f X (x) = f Y (y) = 0 WNE KWADRATAh jxj r; jyj r: i iMEEM: f X (x)f Y (y) = 4; r; (r ; x )(r ; y ) = ; ^TO, O^EWIDNO, NE SOWPADAET S f (x; y) = 1=r W OBLASTI x + y r : tAKIM OBRAZOM, W SILU PREDLOVENIQ 8.2, SLU^AJNYE WELI^INY X I Y ZAWISIMY. pOKAVEM, ^TO, TEM NE MENEE, XY = 0: fUNKCIQ f (x; y) CENTRALXNO SIMMETRI^NA, I PO\TOMU X = Y = 0: dALEE, - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 Zr XY = r 2 ;r 2 2 xdx 2 p2 rZ ;x2 p ; r2;x2 2 1 2 2 ydy = 0: 2 2 nO ESLI XY = 0; TO I = 0: dLQ KOWARIACII PARY SLU^AJNYH WELI^IN SPRAWEDLIWY FORMULY, ANALOGI^NYE TEM, ^TO BYLI POLU^ENY DLQ DISPERSII W PREDLOVENIQH 6.1 I 8.3. pREDLOVENIE dLQ L@BOJ PARY SLU^AJNYH WELI^IN (X; Y ) I NEZAWISIMYH DWUMERNYH WEKTOROW (X1 ; Y1 ); : : :; (Xn ; Yn ); OBLADA@]IH KONE^NYMI WTORYMI MOMENTAMI, SPRAWEDLIWY RAWENSTWA 9.1. (1) XY = EXY ; EX EY; (2) SX SY = n X 1 XiYi ; = Pn Xi; SY = Pn Yi: d O K AZ A TE L X ST WO. (1) iMEEM XY = E [(X ; EX )(Y ; EY )] = E (XY ; Y EX ; X EY + EX EY ) = EXY ; EX EY: (2) dELAEM STOLX VE TRIWIALXNYE WYKLADKI, ^TO I WY[E, I PRI \TOM NE ZABYWEM, ^TO SREDNEE OT PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN RAWNO PROIZWEDENI@ SREDNIH: GDE SX 1 1 2n 3 n X X SX SY = E 4 (Xi ; EXi ) (Yi ; EYi)5 = 1 1 2n 3 X X E 4 (Xi ; EXi )(Yi ; EYi ) + (Xi ; EXi)(Yj ; EYj )5 = n X 1 i6=j 1 E [(Xi ; EXi)(Yi ; EYi )] + X i6=j (Xi ; EXi) E(Yj ; EYj ): E pOSLEDNEE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI RAWNO NUL@, IBO E(Xi ; EXi ) = EXi ; EXi = 0; A PERWOE SLAGAEMOE ESTX SUMMA KOWARIACIJ KAVDOGO WEKTORA. iZU^IM DWE NAIBOLEE RASPROSTRANENNYE MNOGOMERNYE WEROQTNOSTNYE MODELI. lEKCIQ mULXTINOMIALXNOE RASPREDELENIE M(m; n; 15 ). rASSMATRIWAETSQ SHEMA NEZAWISIMYH ISPYTANIJ, W KAVDOM IZ KOTORYH MOVET PROIZOJTI ODNO IZ m SOBYTIJ A ; : : : ; Am S WEROQTNOSTQMI p ; : : : ; pn; 1 p 1 3 Pm p = 1: j 1 tIPI^NYJ PRIMER TAKIH ISPYTANIJ { NABL@DENIQ \NTOMOLOGA PO OCENKE ^ISLENNOSTI WIDOW NASEKOMYH, NASELQ@]IH NEKOTORYJ, DOSTATO^NO IZOLIROWANNYJ RAJON NA[EJ PLANETY. wSEGO PROWODITSQ n NEZAWISIMYH ISPYTANIJ, I REGISTRIRU@TSQ ZNA^ENIQ x ; : : :; xm KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA X m = (X ; : : :; Xm); Pm Xj = n; GDE xj { KOLI^ESTWO ISPYTANIJ, W KOTORYH PROIZO[LO SOBYTIE ( 1 ) 1 1 Aj ; j = 1; : : :; m: lEGKO WIDETX, ^TO MY IMEEM DELO S MNOGOMERNYM ANALOGOM SHEMY bERNULLI, I DLQ WYWODA RASPREDELENIQ X m ESTESTWENNO WOSPOLXZOWATXSQ TEHNIKOJ STOHASTI^ESKIH PREDSTAWLENIJ NABL@DAEMOGO SLU^AJNOGO \LEMENTA W WIDE SUMMY INDIKATOROW, TO ESTX POSTUPITX PO ANALOGII S PRIMEROM 8.2. sWQVEM S KAVDYM i-YM ISPYTANIEM SLU^AJNYJ WEKTOR Yi = X i; : : : ; Xmi; KAVDAQ KOMPONENTA Xji KOTOROGO PRINIMAET ZNA^ENIE 1, ESLI W i-OM ISPYTANII PROIZO[LO SOBYTIE Aj ; I Xji = 0 W PROTIWNOM SLU^AE. tAKIM OBRAZOM, WSE KOMPONENTY Yi RAWNY NUL@ ZA ISKL@^ENIEM ODNOJ KOMPONENTY, RAWNOJ EDINICE, I NOMER \TOJ KOMPONENTY SOWPADAET S NOMEROM ISHODA (SOBYTIQ Aj ), KOTORYM ZAWER[ILOSX i-OE ISPYTANIE, i = 1; : : :; n; j = 1; : : :; m: pOSTULIRUETSQ, ^TO SLU^AJNYE WEKTORY Y ; : : : ; Yn NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI (SLEDSTWIE NEZAWISIMOSTI PROWEDENIQ ISPYTANIJ). pRI TAKOM SOGLA[ENII KAVDAQ KOMPONENTA Xj NABL@DAEMOGO WEKTORA X m IMEET STOHASTI^ESKOE PREDSTAWLENIE ( ) 1 1 ( ) Xj = n X i=1 Xji; (1) W KOTOROM Xj ; : : :; Xjn NEZAWISIMY I ODINAKOWO B(1, p ) RASPREDELENY: PRINIMA@T ZNA^ENIE 1 S WEROQTNOSTX@ pj I ZNA^ENIE 0 S WEROQTNOSTX@ 1 ; pj ; j = 1; : : :; m: iZ PREDSTAWLENIQ (1) SLEDUET, ^TO WEROQTNOSTX L@BOGO SOBYTIQ W n MULXTINOMIALXNYH ISPYTANIQH (ZNA^ENIJ, KOTORYE PRINIMA@T WEKTORY Y ; : : :; Yn) OPREDELQETSQ TOLXKO OT KOLI^ESTWAMI x ; : : :; xm ISPYTANIJ, KOTORYE ZAWER[ILISX SOOTWETSTWU@]IMI ISHODAMIP A ; : : :; Am: lEGKO WIDETX, ^TO \TA WEROQTNOSTX RAWNA px pxmm ; GDE m xj = n: tEPERX DLQ TOGO, ^TOBY WYWESTI FUNKCI@ PLOTNOSTI f (x ; : : :; xm) = P (X = x ; : : : ; Xm = xm); DOSTATO^NO RE[ITX KOMBINATORNU@ ZADA^U, KOTORU@ MY UMEEM RE[ATX W SLU^AE m = 2 : SKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO POLU^ITX x ISHODOW A ; x ISHOP m DOW A ; : : : xm ISHODOW Am W n = xi ISPYTANIQH? rE[ENIE ZADA^I 1 j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 1 2 DA@T MULXTINOMIALXNYE KO\FFICIENTY Cnx :::xm = x ! n ! x ! m 1 1 (SRAWNITE S BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI Cnx). iTAK, FUNKCIQ PLOTNOSTI MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ M(m, n p) PO m-KRAT- NOMU PROIZWEDENI@ S^ITA@]IH MER RAWNA f (x ; : : : ; xm) = x ! n ! x ! px pxmm ; m P W OBLASTI m xj = n I f (x ; : : : ; xm) = 0 W SLU^AE CELYH x ; : : :; xm ; NE UDOWLETWORQ@]IH POSLEDNEMU RAWENSTWU, A TAKVE W SLU^AE DROBNYH xj ; j = 1; : : :; m: wY^ISLIM MOMENTNYE HARAKTERISTIKI MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, ISPOLXZUQ STOHASTI^ESKOE PREDSTAWLENIE (1). wEKTOR 1 1 Xj = E n X i=1 1 1 1 SREDNIH 1 1 Xji = n(1:pj + 0 (1 ; pj )) = npj ; j = 1; : : :; m; E WEKTOR DISPERSIJ 0n 12 n X X X 2 2 @ A j = E Xji ; (EXj ) = EXji2 + EXjiEXjk ; n2p2j = i=1 i6=k i=1 npj + n(n ; 1)pj ; n pj = npj (1 ; pj ); j = 1; : : :; m: wY^ISLIM KOWARIACII Xj S Xl PRI j 6= l : 2 jl = n X i=1 E 2 2 (Xji Xli) + X i6=k E Xji EXlk ; EXj EXl : pOSKOLXKU PRI i-OM ISPYTANII TOLXKO ODNA IZ KOMPONENT X i; : : :; Xmi RAWNA EDINICE, A OSTALXNYE RAWNY NUL@, TO Xji Xli 0; PERWAQ SUMMA W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA RAWNA NUL@ I jl = n(n ; 1)pj pl ; n pj pl = ;npj pl : kO\FFICIENTY KORRELQCII 1 2 v u np pj pl u j pl t jl = ; = ; (1 ; pj )(1 ; pl ) ; j 6= l: n (pj (1 ; pj )pl (1 ; pl )) = 1 2 oTRICATELXNYE ZNA^ENIQ KO\FFICIENTOW KORRELQCIIPESTX SLEDSTWIE SWQZEJ MEVDU KOMPONENTAMI NABL@DAEMOGO WEKTORA: m Xj = n: 1 5 lEKCIQ 19 mNOGOMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE Nm(; ) mY . TRAKTOWALI MULXTINOMIALXNU@ SHEMU ISPYTANIJ KAK MNOGOMERNYJ ANALOG SHEMY NEZAWISIMYH ISPYTANIJ bERNULLI. w TAKOM SLU^AE ESTESTWENNO RASSMOTRETX MNOGOMERNYJ ANALOG PREDELXNOJ TEOREMY mUAWRA{lAPLASA. pRIMENQQ FORMULU sTIRLINGA K MULXTINOMIALXNYM KO\FFICIENTAM, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO IMEET MESTO tEOREMA iNTEGRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA DLQ MULX TINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ dLQ L@BYH POSTOQNNYH (a ; b ); m 9.1. ( - ). 1 1 : : : ; (am; bm) I (m + 1) MERNOGO SLU^AJNOGO WEKTORA X = (X ; : : :; Xm; Xm ) M(m + 1; n; p) SPRAWEDLIWO ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAW ( - LENIE +1) - +1 0 @a1 qX1 ; np1 lim P n!1 1 < b ; : : :; am qXm ; npm < bmA = np (1 ; p npm (1 ; pm 1 1q 1 1 Zb1 Zbm ( 1 ) exp ; x0P;1 x dx1 dxm ; ::: 2 (2)m= jPj a1 am GDE x0 = (x ; : : :xm ); x {ANALOGI^NYJ WEKTOR STOLBEC; KORRELQCIONNAQ MATRICA, W KOTOROJ ii = 1 I v u pipj t ij = ;u (1 ; pi)(1 ; pj ) ; 2 1 ESLI 1 i 6= j; i; j = 1; : : :; m; ;1 P { MATRICA, OBRATNAQ K (2) = kij k P { ; NAKONEC P , jPj OPREDELITELX MATRICY P: iNTEGRAL (2) OPREDELQET NEPRERYWNOE RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ NA PRQMOUGOLXNIKAH (SLEDOWATELXNO, I NA BORELEWSKOM POLE) PROSTRANSTWA Rm, PRI^EM FUNKCIQ PLOTNOSTI \TOGO RASPREDELENIQ { fm (x0 j P) = 1q (2)m= jPj 2 ( 1 ) 0 ; 1 exp ; x P x ; 2 0 2 Rm : x eSLI TEPERX WMESTO KORRELQCIONNOJ MATRICY P MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ RASSMOTRETX PROIZWOLXNU@, POLOVITELXNO OPREDELENNU@ KORRELQCIONNU@ MATRICU P = kij k; ii = 1; i = 1; : : :; m; TO fm (x0 j P) BUDET FUNKCIEJ PLOTNOSTI SLU^AJNOGO WEKTORA X m = ( 6 ) (X ; : : :; Xm); IME@]EGO STANDARTNOE m-MERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE Nm (0; P). dALEE, ESLI WWESTI WEKTOR SREDNIH = ( ; : : : ; m ) I WEKTOR DISPERSIJ = ( ; : : :; m ); TO SLU^AJNYJ WEKTOR X + ; : : :; mXm + m BUDET IMETX MNOGOMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE Nm (; ) S FUNKCIEJ PLOTNOSTI ) ( 1 1 0 0 ; q 'm (x j ; ) = exp ; 2 (x ; ) (x ; ) = (2)m= j j 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 8 9 < 1 X Pij (xi ; i )(xj ; j ) = q exp ; ;; ij (2)m=2 1 m j P j : 2 i;j j P j 1 0 2 Rm ; x GDE KOWARIACIONNAQ MATRICA = m P; A Pij =jPj { \LEMENTY MATRICY P; ; OBRATNOJ K P: nETRUDNO WIDETX, ^TO ESLI KO\FFICIENTY KORRELQCII ij = 0; KOGDA i = 6 j; TO ESTX P ESTX EDINI^NAQ MATRICA, A W MATRICE KOWARIACIJ OTLI^NY OT NULQ TOLXKO DIAGONALXNYE \LEMENTY ; : : :; m; TO NORMALXNAQ FUNKCIQ PLOTNOSTI RASPADAETSQ W PROIZWEDENIE MARGINALXNYH NORMALXNYH N (i; i ); i = 1; : : :; m FUNKCIJ PLOTNOSTI. tAKIM OBRAZOM, SPRAWEDLIWO 1 1 2 1 2 1 pREDLOVENIE 2 w SLU^AE NORMALXNOGO RASPREDELENIQ SLU^AJNOGO WEKTORA NEKORRELIROWANNOSTX EGO KOMPONENT WLE^ET IH NEZAWISIMOSTX. 9.2. sLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA TREBOWANIE POLOVITELXNOJ OPREDELENNOSTI KORRELQCIONNOJ MATRICY P ILI, ^TO TO VE, KOWARIACIONNOJ MATRICY : eSLI \TI MATRICY POLOVITELXNO POLUOPREDELENY, TO ESTX IME@T RANG r < m; TO MY POLU^IM NESOBSTWENNOE mMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE, WSQ WEROQTNOSTNAQ MASSA KOTOROGO BUDET SOSREDOTO^ENA NA GIPERPLOSKOSTI Rr ; A MEVDU KOMPONENTAMI SLU^AJNOGO WEKTORA X m BUDET SU]ESTWOWATX LINEJNAQ ZAWISIMOSTX. uKAZANNYE SWOJSTWA MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ NAIBOLEE NAGLQDNO PROSLEVIWA@TSQ W SLU^AE m = 2 { NORMALXNOGO RASPREDELENIQ NA PLOSKOSTI R : fUNKCIQ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ SLU^AJNOGO WEKTORA (X; Y ) N (; ) PRI = XY = 6 1 RAWNA ( ) 2 2 7 ' (x; y j ; ) = 2 1p1 ; 2 2 8 0 19 2 2 = < 1 ( x ; 2 ( x ; ( y ; 1) 1 )(y ; 2 ) 2) exp :; 2(1 ; 2) @ 2 ; + 2 A; : 1 2 1 2 1 2 kAK OTME^ALOSX WY[E, = EX; = EY ESTX WEKTOR SREDNIH ZNA^ENIJ; = DX; = DY { DISPERSII SOOTWETSTWU@]IH SLU^AJNYH WELI^IN; = cov(X; Y )= ; { KO\FFICIENT KORRELQCII MEVDU X I Y: w TOM, ^TO \TO DEJSTWITELXNO TAK, MOVNO UBEDITXSQ I NEPOSREDSTWENNYM WY^ISLENIEM INTEGRALOW, OPREDELQ@]IH SOOTWETSTWU@]IE MOMENTNYE HARAKTERISTIKI. mARGINALXNYE FUNKCII PLOTNOSTI f X (x) I f Y (y) NAHODQTSQ TAKVE NEPOSREDSTWENNYM INTEGRIROWANIEM SOWMESTNOJ FUNKCII PLOTNOSTI ' (x; y j ; ) PO SOOTWETSTWU@]IM PEREMENNYM y I x : 8 9 8 9 < = < = 1 ( x ; ) 1 ( y ; ) f X (x) = p exp ; ; f Y (y) = p exp ; ; 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 : : 2 2 ; 2 2 ; TO ESTX X N( ; ); Y N( ; ): oSOBO OTMETIM, ^TO SU]ESTWU2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 @T MNOGOMERNYE RASPREDELENIQ, OTLI^NYE OT NORMALXNOGO, NO IME@]IE NORMALXNYE MARGINALXNYE RASPREDELENIQ. pODOBNYE \LLIPSY 0 1 1 @ (x ; ) ; 2(x ; )(y ; ) + (y ; ) A = c 2(1 ; ) IGRA@T ROLX KRIWYH RAWNYH WEROQTNOSTEJ: NETRUDNO WY^ISLITX, ^TO WEROQTNOSTX POPADANIQ (X; Y ) W OBLASTX, OGRANI^ENNU@ \TIM \LLIPSOM, RAWNA 1 ; expf;c g: fORMA \LLIPSA RAWNYH WEROQTNOSTEJ DAET HORO[EE PREDSTAWLENIE O WIDE POWERHNOSTI z = ' (x; y j ; ) NORMALXNOJ PLOTNOSTI. pRI = 0; = \LLIPSY PREWRA]A@TSQ W OKRUVNOSTI. kOGDA PRIBLIVAETSQ K +1 ILI {1, \LLIPSY STANOWQTSQ BOLEE TONKIMI I WYTQNUTYMI, ^TO QWLQETSQ POKAZATELEM STREMLENIQ WEROQTNOSTNOJ MASSY SOSREDOTA^IWATXSQ OKOLO OB]EJ BOLX[OJ OSI \TIH \LLIPSOW. oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET \LLIPS S c = 2; KOTORYJ NAZYWAETSQ \LLIPSOM RASSEQNIQ. oN OBLADAET DOSTATO^NO WYSOKOJ WEROQTNOSTX@ 1 ; e; 0:98 POPADANIQ SLU^AJNOJ TO^KI (X; Y ) WNUTRX \LLIPSA I E]E ODNIM ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM: RAWNOMERNOE RASPREDELENIE 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 4 8 2 2 2 2 2 2 2 PO OBLASTI, OGRANI^ENNOJ \LLIPSOM RASSEQNIQ, IMEET TE VE MOMENTY PERWOGO ( ; ) I WTOROGO ( ; ; ) PORQDKOW, ^TO I NORMALXNOE RASPREDELENIE. w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO DWUMERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE IGRAET WAVNU@ ROLX W TEORII STRELXB: RASPREDELENIE KOORDINAT TO^EK POPADANIQ PRI STRELXBE IZ ZAKREPLENNOGO STWOLA HORO[O SOGLASUETSQ S NORMALXNYM ZAKONOM. 1 2 2 1 2 2 1 9 2