kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet iGUDESMAN k b . . zada~i po analiti~eskoj geometrii. ~astx 1. u^EBNOE POSOBIE K KURSU aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ kAZANX | 2003 pE^ATAETSQ PO REENI@ U^EBNO METODI^ESKOJ KOMISSII MEHANIKO MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu - iGUDESMAN k.b. zADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII ~ASTX . kAZANX , 2003. 63 1. S . rECENZENT DOKTOR FIZ MAT NAUK {URYGIN w w : - .- . . . u^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW KURSA MEHANIKO MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu I - pREDISLOWIE w NASTOQ]EM pOSOBII PODOBRANY I METODI^ESKI RASPREDELENY ZADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII w NA^ALE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY FORMULY OPREDELENIQ I DRUGIE KRATKIE POQSNENIQ TEORII NEOBHODIMYE DLQ REENIQ POSLE DU@]IH ZADA^ w KONCE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY POSLE ^ERTY ZADA^I DLQ POWTORENIQ |TA OSOBENNOSTX POMOVET PREPODAWATEL@ W PODBORE ZA DA^ DLQ RABOTY W KLASSE I DLQ DOMANIH ZADANIJ ILI DLQ POWTORE NIJ PERED KONTROLXNYMI RABOTAMI " " . , , - . ( . ) - - . 3 1 wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE wEKTOROM NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNAQ PARA TO^EK T E PARA TO^EK WZQTYH W OPREDELENNOM PORQDKE pERWAQ TO^KA NAZYWAETSQ NA^ALOM WEKTORA WTORAQ EGO KONCOM eSLI OBE TO^KI SOWPADA@T TO WEKTOR NAZYWAETSQ NULEWYM ;! mODULEM WEKTORA AB NE RAWNOGO NUL@ NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA AB mODULX NULX WEKTORA RAWEN NUL@ PO OPREDELENI@ eSLI MODULX WEKTORA RAWEN TO WEKTOR NAZYWAETSQ EDINI^NYM ;;! dWA NENULEWYH WEKTORA ;! AB I CD NAZYWA@TSQ RAWNYMI ESLI ONI KOLLINEARNY NAPRAWLENY W ODNU STORONU I IH MODULI RAWNY sUMMOJ a b WEKTOROW a I b NAZYWAETSQ WEKTOR KOTORYJ STROIT SQ TAK OT PROIZWOLXNOJ TO^KI O OTKLADYWA@T WEKTOR a OT KONCA OTLOVENNOGO WEKTORA a OTKLADYWA@T WEKTOR b tO^KA O BUDET NA ^ALOM WEKTORA a b A KONEC WEKTORA b KONCOM WEKTORA a b wEKTOROM ;a PROTIWOPOLOVNYM WEKTORU a 6 0 NAZYWAETSQ WEK TOR KOLLINEARNYJ WEKTORU a IME@]IJ TOT VE MODULX I NAPRAW LENNYJ W STORONU PROTIWOPOLOVNU@ a eSLI a 0 TO ;a 0 sWOJSTWA SLOVENIQ a b c a b c ASSOCIATIWNOSTX , . . , . , . , . , . - . 1, . , , . + , - : , . + - , + , = , . , - , - , . = , = . : + ( + ) = ( + ) + ( ) a 0 a a ;a 0 a b b a KOMMUTATIWNOSTX pROIZWEDENIEM a ^ISLA 6 NA WEKTOR a 6 0 NAZYWAETSQ WEK TOR KOLLINEARNYJ WEKTORU a MODULX KOTOROGO RAWEN j j jaj I KO TORYJ NAPRAWLEN W TU VE STORONU ^TO I WEKTOR a ESLI > I W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU ESLI < eSLI ILI a 0 TO a 0 + = + ( + ) = = + ( ). = 0 , = , - , , = - , 0. . 4 = 0 0, = , sWOJSTWA UMNOVENIQ WEKTORA NA ^ISLO a a a a a b a b a a a: : 1 = ( ( ( ) = ( + + ) ) = + = + ) zada~i ;;! 1. wEKTORY ;! AC a I BD b SLUVAT DIAGONALQMI PARALLELO ;! ;;! GRAMMA ABCD wYRAZITX ^EREZ WEKTORY a I b WEKTORY ;! AB BC CD I ;! DA QWLQ@]IESQ STORONAMI \TOGO PARALLELOGRAMMA 2. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA MEDIANA AD wYRAZITX WEKTOR ;! ;! ;! AD ^EREZ WEKTORY AB I AC 3. tO^KI E I P SLUVAT SEREDINAMI STORON AB I CD ^ETYREH ; ; ! ; ; ! ;! UGOLXNIKA ABCD dOKAZATX ^TO EP B C +2 AD : wYWESTI OTS@DA TEOREMU O SREDNEJ LINII TRAPECII 4. dOKAZATX ^TO SUMMA WEKTOROW IDU]IH IZ CENTRA PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA K EGO WERINAM RAWNA 5. w TREUGOLXNIKE NAJTI TAKU@ TO^KU ^TOBY SUMMA WEKTOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM TREUGOLXNIKA BYLA RAWNA ;! 6. iZ TO^KI O WYHODQT DWA WEKTORA ;! OA a OB b nAJTI ;! KAKOJ NIBUDX WEKTOR ; OM IDU]IJ PO BISSEKTRISE UGLA AOB 7. nA TREH NEKOMPLANARNYH WEKTORAH ;! ;! ;;! AB p AD q AA0 r POSTROEN PARALLELEPIPED ABCDA0B 0 C 0 D0 wYRAZITX ^EREZ p q I r WEKTORY SOWPADA@]IE S REBRAMI DIAGONALX@ PARALLELEPIPEDA I DIAGONALQMI GRANEJ \TOGO PARALLELEPIPEDA DLQ KOTORYH WERINA A0 SLUVIT NA^ALOM ;! ;! 8. dAN TETRA\DR OABC pOLAGAQ ;! OA a OB b OC ;! ;! c WYRAZITX ^EREZ a b I c WEKTORY ;;! M N P Q I RS GDE M P = = - . , . . . - . , = . , , , 0. , , , = - 0. = , . . = = = . , , , . . = = , 5 = I R SEREDINY REBER OA OB I OC A N Q I S SOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYH REBER | , | SEREDINY . ||||||||||||||{ 9. tO^KI K I L SLUVAT SEREDINAMI STORON BC I CD PARALLELO ;! ;! GRAMMA ABCD pOLAGAQ ; AK k I AL l WYRAZITX ^EREZ WEKTORY ;;! k I l WEKTORY ;! BC I CD 10. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF ;! ;! nAJTI SUMMU WEKTOROW ;! AD BE CF ;! 11. wEKTORY ;! AB p I AF q SLUVAT DWUMQ SMEVNYMI STO RONAMI PRAWILXNOGO ESTIUGOLXNIKA ABCDEF wYRAZITX ^EREZ p ;;! ;;! ;! I q WEKTORY ;! BC CD DE EF IDU]IE PO STORONAM \TOGO ESTI UGOLXNIKA 12. dOKAZATX ^TO WEKTOR IDU]IJ IZ PROIZWOLXNOJ TO^KI PLOS KOSTI W CENTR PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA ESTX SREDNEE ARIFMETI ^ESKOE WEKTOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM MNOGOUGOLXNIKA 13. w PARALLELOGRAMME NAJTI TAKU@ TO^KU ^TOBY SUMMA WEK TOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM PARALLELOGRAMMA BYLA RAWNA 0 14. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA BISSEKTRISA AD UGLA A ;! ;! wYRAZITX WEKTOR ;! AD ^EREZ WEKTORY AB I AC 15. w TETRA\DRE ABCD DANY REBRA WYHODQ]IE IZ WERINY A ;! ;! ;! AB b AC c AD d: wYRAZITX ^EREZ \TI WEKTORY OSTALXNYE REBRA TETRA\DRA MEDIANU ;;! ;! DM GRANI BCD I WEKTOR AQ GDE Q CENTR TQVESTI GRANI BCD 16. w ^ETYREHUGOLXNIKE ABCD PLOSKOM ILI PROSTRANSTWEN ;! ;;! ;! NOM POLOVIM ;! AB m BC n CD p DA q: nAJTI WEKTOR ;! EF SOEDINQ@]IJ SEREDINY DIAGONALEJ AC I BD ;! ;! 17. nA WEKTORAH ;! OA OB I OC POSTROEN PARALLELEPIPED dOKA ZATX ^TO DIAGONALX OD PROHODIT ^EREZ CENTR TQVESTI E TREUGOLX - . = = , . . + + = . = - . - . , , - , - , . , - , , . . . , = = : = , , ) = = | . ( - = , = . , . , - - 6 NIKA ABC 2 . rADIUS-WEKTOR ;;! rADIUSOM-WEKTOROM r TO^KI M NAZYWAETSQ WEKTOR OM GDE O FIKSIROWANNAQ TO^KA , | . zada~i 18. dANY RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WERIN A B I C PARALLELOGRAMMA nAJTI RADIUS WEKTOR ^ETWERTOJ WERINY D 19. zNAQ RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 WERIN TREUGOLXNIKA NAJTI RADIUS WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ EGO MEDIAN 20. dANY TRI POSLEDOWATELXNYE WERINY TRAPECII A r1 B r2 I C r3 nAJTI RADIUSY WEKTORY r4 ^ETWERTOJ WERINY D r0 TO^ KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ I r00 TO^KI PERESE^ENIQ BOKOWYH STORON ZNAQ ^TO OSNOWANIE AD W RAZ BOLXE OSNOWANIQ BC 21. dOKAZATX ^TO PRQMYE SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO LOVNYH REBER TETRA\DRA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W NEJ POPOLAM dOKAZATX ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ I PRQMYE SOEDINQ@]IE WERINY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO LOVNYH GRANEJ - . - . - , - . ( ( ). - : ) , ( ) , , . , , - , . , , - . ||||||||||||||{ 22. zNAQ RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WER IN PARALLELOGRAMMA NAJTI RADIUS WEKTOR r TO^KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA 23. zNAQ RADIUSY WEKTORY rA rB rD I rA ^ETYREH WERIN PARALLELEPIPEDA ABCDA0B 0 C 0 D0 NAJTI RADIUSY WEKTORY ^ETYREH OSTALXNYH EGO WERIN ;! ;! 24. rADIUSY WEKTORY ;! OA r1 OB r2 I OC r3 SLUVAT - - , - . - 0 , - . - = = 7 = REBRAMI PARALLELEPIPEDA nAJTI RADIUS WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ DIAGONALI PARALLELEPIPEDA WYHODQ]EJ IZ WERINY O S PLOSKOS TX@ PROHODQ]EJ ^EREZ WERINY A B I C . - , , , 3 - . kOORDINATY WEKTOROW lINEJNOJ KOMBINACIEJ WEKTOROW a1 a2 : : : ak S KO\FFICIENTAMI 1 2 : : : k NAZYWAETSQ WEKTOR 1a 1+ 2a 2 + ::: + ka k: lINEJNAQ KOMBINACIQ WSE KO\FFICIENTY KOTOROJ RAWNY NUL@ 1 2 ::: k NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ wEKTORY a1 a2 : : : ak NAZYWA@TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI ESLI SU]ESTWUET NETRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH WEKTOROW RAW NAQ NUL@ 1a 2a : : : ka 1 2 k 0: eSLI VE RAWNA NUL@ TOLXKO TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK TOROW a1 a2 : : : ak \TI WEKTORY NAZYWA@TSQ LINEJNO NEZAWISIMYMI uPORQDO^ENNAQ PARA e1 e2 NEKOLLINEARNYH WEKTOROW NAZYWAETSQ BAZISOM NA PLOSKOSTI kOORDINATAMI WEKTORA a PO OTNOENI@ K BAZISU e1 e2 NAZY WA@TSQ ^ISLA X Y TAKIE ^TO a X e1 Y e2: dWA WEKTORA a fX Y g b fX 0 Y 0g RAWNY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA RAWNY IH SOOTWETSTWU@]IE KOORDINATY X X 0 Y , = = : = 0, = . , - : + + + = - , . . - , , = = + = , : = = Y 0: nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOLLINEARNOSTI DWUH WEK TOROW a fX Y g 6 0 b fX 0 Y 0g 6 0 QWLQETSQ PROPORCIONALX NOSTX IH SOOTWETSTWU@]IH KOORDINAT X 0 X Y 0 Y: - = = = = : 8 = = - eSLI a fX Y g b fX 0 Y 0g TO a b fX X 0 Y Y 0g a ; b fX ; X 0 Y ; Y 0g a f X Y g: uPORQDO^ENNAQ TROJKA e1 e2 e3 NEKOMPLANARNYH WEKTOROW NAZY WAETSQ BAZISOM W PROSTRANSTWE rAWENSTWO KOLLINEARNOSTX PROIZWEDENIE WEKTORA NA ^ISLO SUM MA WEKTOROW W PROSTRANSTWE OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO PLOSKOSTI S TOJ LIX RAZNICEJ ^TO W PROSTRANSTWE WEKTOR IMEET NE DWE A TRI KOORDINATY a fX Y Z g = = , + = + + = = - . , , , - , , , = . Z e3 e1 e2 a a Y e2 Y X e1 X rIS nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOMPLANARNOSTI TREH WEK TOROW a fX Y Z g b fX 0 Y 0 Z 0 g c fX 00 Y 00 Z 00 g QWLQETSQ RAWENSTWO . 1. - = = = X Y Z X0 Y 0 Z0 X 00 Y 00 Z 00 : = 0 zada~i 25. dANY TRI WEKTORA a f g b f; g c f ; g: nAJTI WEKTORY a b ; c a b c 26. pREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a I b W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW = 1) 2 + 3 2 5 2) 4 = + 24 + 14 . : 9 3 1 = 5 2 a f ; g b f g c f ; g a f g b f; g c f g a f; g b f g c f ; g: 27. uSTANOWITX W KAKIH IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TROJKI WEK TOROW a b I c BUDUT LINEJNO ZAWISIMY I W TOM SLU^AE KOGDA \TO WOZMOVNO PREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTO ROW a I b a f g b f; g c f; ; g a f g b f; g c f; g a f ; g b f; ; g c f g 28. dAN PARALLELOGRAMM ABCD tO^KI E I F DELQT STORONU AB NA TRI RAWNYE ^ASTI A TO^KI K L I M STORONU BC NA ^ETYRE ;! ;;! RAWNYE ^ASTI pRINIMAQ ZA BAZIS WEKTORY ; DE e1 I F M e2 ;! NAJTI KOORDINATY WEKTORA ; AK 1) = 4 2) = 5 3) = 2 = 4 6 = 2 = 3 5 = 1 7 3 0 = 19 4 7 = 9 8 3 , - , , , - : 1) = 5 2 1 = 1 4 2 = 1 2) = 6 4 2 = 9 6 3 = 3 3) = 6 18 12 = 8 24 16 1 6 6 3 = 8 7 3 . . , . = = , . ||||||||||||||{ 29. dANY TRI WEKTORA a f g b f g c f g: pODOBRATX ^ISLA I TAK ^TOBY TRI WEKTORA a b I c SOSTAWILI TREUGOLXNIK ESLI NA^ALO WEKTORA b SOWMESTITX S KONCOM WEKTORA a A NA^ALO WEKTORA c S KONCOM WEKTORA b 30. dANY TRI WEKTORA a f g b f g c f; ; g: nAJTI WEKTORY a ; b c a b c 31. pREDSTAWITX WEKTOR d KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a b I c W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW a f g b f g c f ; g d f ; g a f ; g b f ; g c f; g d f ; g a f g b f ; g c f g d f g 32. pOKAZATX ^TO KAKOWY BY NI BYLI TRI WEKTORA a b I c I TRI ^ISLA WEKTORY a ; b b ; c c ; a KOMPLANARNY 33. dANY ^ETYRE WEKTORA a f g b f ; ; g c = 5 3 = 2 0 = 4 2 , , , . = 6 1 1 5 1) 3 7 2 2 + = 2) 5 3 0 +6 4 = + 4 . : 1) = 2 2) = 5 3) = 3 3 1 2 5 = 0 = 6 = 5 0 2 7 0 3 7 = 3 4 = 1 = 2 6 12 4 0 0 = 4 12 1 = 25 6 = 0 3 22 20 16 18 . , , . = 10 1 5 3 = 6 4 2 = f ; g d f; ; g: pODOBRATX ^ISLA I TAK ^TOBY WEKTORY a b c I d OBRAZOWYWALI ZAMKNUTU@ LOMANU@ LINI@ ESLI NA^ALO KAVDOGO POSLEDU@]EGO WEKTORA SOWMESTITX S KONCOM PREDYDU]EGO 34. dOKAZATX ^TO STORONY AB I DC ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD PARALLELXNY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA OTREZOK MN SOEDINQ@ ]IJ SEREDINY IH STORON PROHODIT ^EREZ TO^KU O PERESE^ENIQ DIA GONALEJ 0 5 7 = 20 27 35 , , . , , , - , - . 4 aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE aFFINNYM REPEROM NA PLOSKOSTI NAZYWAETSQ NABOR fO e1 e2g SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2g NAZYWA @TSQ KOORDINATY fX Y g EE RADIUSA WEKTORA rA OTNOSITELXNO WEK TORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI tAKIM OBRAZOM rA X e1 Y e2: ~TOBY OTLI^ATX W KOORDINAT NOJ ZAPISI TO^KI OT WEKTOROW KOORDINATY TO^EK BUDEM ZAKL@^ATX W KRUGLYE SKOBKI A X Y eSLI A X Y B X 0 Y 0 TO ;! AB fX 0 ; X Y 0 ; Y g: aFFINNYM REPEROM W PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NABOR fO e1 e2 e3g SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2 e3g NA ZYWA@TSQ KOORDINATY fX Y Z g EE RADIUSA WEKTORA rA OTNOSITELX NO WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA eSLI A X Y Z B X 0 Y 0 Z 0 TO ;! AB fX 0 ;X Y 0 ;Y Z 0 ;Z g: , . - - - . , = + - , : ( ( ) ). ( ), = , . - - - . ( ) ( ), 11 = zada~i 35. dAN PRAWILXNYJ ESTIUGOLXNIK ABCDEF nAJTI KOORDI NATY EGO WERIN PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT WERINU A ZA PO LOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS NAPRAWLENIE STORONY AB ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT NAPRAWLENIE DIAGO NALI AE A ZA EDINICU MASTABA PO OBEIM OSQM STORONU ESTI UGOLXNIKA 36. w TRAPECII ABCD NIVNEE OSNOWANIE AB W TRI RAZA BOLXE EE WERHNEGO OSNOWANIQ CD pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU A ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS NAPRAWLENIE OSNOWA NIQ AB ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT NAPRAWLENIE BOKOWOJ STORONY AD A STORONY AB I AD ZA EDINI^NYE OTREZKI NA \TIH OSQH NAJTI KOORDINATY WERIN TRAPECII A TAKVE KOOR DINATY TO^KI O PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I KOORDINATY TO^KI S PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON 37. dANY DWE WERINY PARALLELOGRAMMA A ; B ; nAJTI DWE DRUGIE EGO WERINY PRI USLOWII ^TO DIAGONALI PARAL LELOGRAMMA PARALLELXNY OSQM KOORDINAT 38. dANA TO^KA M x y z nAJTI EE PROEKCI@ NA OSX Ox NA PLOSKOSTX Oyz 39. dAN PARALLELOGRAMM ABCD tO^KI E I F DELQT STORONU AB NA TRI RAWNYE ^ASTI A TO^KI K L I M STORONU BC NA ^ETY RE RAWNYE ^ASTI pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU E ZA BAZIS ;! ;;! WEKTORY ; EK e1 I ED e2 NAJTI KOORDINATY TO^KI M . - , , | , | , - | - . . , | - , | , | , , - . ( 1 3), (2 , 1). - . ( ). : 1) 2) . . , - . = , = , . ||||||||||||||{ 40. w RAWNOBO^NOJ TRAPECII BOLXEE EE OSNOWANIE AB WY SOTA RAWNA A UGOL PRI OSNOWANII RAWEN pRINIMAQ ZA OSX AB SCISS PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT BOLXEE OSNOWANIE TRAPE CII A ZA OSX ORDINAT PERPENDIKULQR W EGO SEREDINE I WYBIRAQ = 8, 3, 45 . - , | 12 ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT TO NAPRAWLENIE \TOGO PERPENDIKULQRA KOTOROE IDET WNUTRX TRAPECII NAJTI KOORDINATY WERIN TRAPECII TO^KI M PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I TO^KI S PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON 41. dANY TRI WERINY PARALLELOGRAMMA A ; B C nAJTI ^ETWERTU@ EGO WERINU 42. tRI REBRA PARALLELEPIPEDA WYHODQ]IH IZ ODNOJ WERINY PRINQTY ZA EDINI^NYE WEKTORY OSEJ KOORDINAT nAJTI W \TOJ SIS TEME KOORDINATY WSEH EGO WERIN 43. dANA TO^KA M x y z nAJTI KOORDINATY TO^KI SIMMET RI^NOJ S TO^KOJ M OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT OTNOSI TELXNO PLOSKOSTI Oxy OTNOSITELXNO OSI Oz , , , . ( (4 0). 2 1), (1 3), . , , . - . ( ). , : 1) 2) 3) 5 - . pROSTOE OTNO ENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ pROSTYM OTNOENIEM TREH TO^EK ABC LEVA]IH NA PRQMOJ I TA KIH ^TO B 6 C NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO ;! AC : ABC ;! CB |TO ^ISLO ABC NAZYWA@T TAKVE OTNOENIEM W KOTOROM TO^KA C DELIT NAPRAWLENNYJ OTREZOK AB eSLI TO^KA C DELIT OTREZOK AB W OTNOENII TO rC rA rB W KOORDINATAH NA PLOSKOSTI XC XA XB YC YA YB W PROSTRANSTWE XC XA XB YC YA YB ZC ZA ZB : , , = , : ( ( - ) = ) ( , ) . , = = = + 1 + + 1 + + = 1 + = + 1 + 13 + 1 + = + 1 + zada~i 44. dOKAZATX ^TO W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TO^KI A B C NAHODQTSQ NA ODNOJ PRQMOJ I NAJTI PROSTOE OTNOENIE , , ABC A B; C A B C; A B;; C 45. dANY DWE TO^KI A I B ; nAJTI TO^KI PERESE^ENIQ PRQMOJ AB S OSQMI KOORDINAT 46. dANY SEREDINY STORON TREUGOLXNIKA M1 M2 ; M3 nAJTI EGO WERINY 47. dANY DWE TO^KI A ; B ; nAJTI TO^KI C I D DELQ]IE OTREZOK AB NA TRI RAWNYE ^ASTI 48. dANY DWE WERINY TREUGOLXNIKA A ; ; I B ; nAJTI TRETX@ WERINU C ZNAQ ^TO SEREDINA STORONY AC LEVIT NA OSI Oy A SEREDINA STORONY BC NA PLOSKOSTI Oxz : 1) (2 1) ( 2) (1 6) (5 3) (0 0) ( 2 5) 10) 3 (0 ( 3) 3 3) (1 (3 2) 1). 4) (2 1). . (2 (2 1). 4) ( 3 0) . ( 4 2) (8 7). , . : , ( 4 1 2) (3 5 16). , , | . 49. dOKAZATX ^TO PRQMYE SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO LOVNYH REBER TETRA\DRA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W NEJ POPOLAM dOKAZATX ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ PRQMYE SOEDINQ@]IE WERINY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO LOVNYH GRANEJ nAJTI OTNOENIE W KOTOROM \TA TO^KA DELIT OT REZKI UKAZANNYH PRQMYH 50. tEOREMA mENELAQ nA STORONAH AB BC I CA TREUGOLXNIKA ABC DANY TO^KI C0 A0 I B0 TAKIE ^TO BCA0 1 CAB0 2 I ABC0 3 dOKAZATX ^TO TO^KI A0 B0 I C0 LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA 1 2 3 ; , , - , . , , - . , - . ( ). , , ( ) = , . ( , ) = , ( ) = , , = 1. ||||||||||||||{ 51. nAJTI KOORDINATY TO^KI M DELQ]EJ OTREZOK M1M2 OGRA NI^ENNYJ TO^KAMI M1 I M2 ; W OTNOENII , (2 3) ( 14 5 , 1), : - 1 ; 21 ; 3 52. oDIN IZ KONCOW OTREZKA AB NAHODITSQ W TO^KE A EGO SEREDINOJ SLUVIT TO^KA M ; nAJTI DRUGOJ KONEC OTREZKA 53. dANY DWE SMEVNYE WERINY PARALLELOGRAMMA A ; ; I B I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M nAJTI DWE DRUGIE WERINY PARALLELOGRAMMA 54. oPREDELITX KOORDINATY KONCOW A I B OTREZKA KOTORYJ TO^ KAMI C D RAZDELEN NA TRI RAWNYE ^ASTI 55. nAJTI OTNOENIE W KOTOROM KAVDAQ IZ PLOSKOSTEJ KOORDI NAT DELIT OTREZOK AB A ; I B ; 56. w KAKOM OTNOENII PLOSKOSTX PROWEDENNAQ ^EREZ KONCY TREH REBER PARALLELEPIPEDA ISHODQ]IH IZ ODNOJ TO^KI DELIT DIAGONALX ISHODQ]U@ IZ \TOJ VE TO^KI 1) = 2 2) = 3) = 4 4) = . (2 (1 2). . ( (2 3), 6) (3 4 7) 1). . , (2 2) (1 5) - . , : - (2 1 7) (4 5 2). , , , , ? 6 rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI eSLI BAZISNYE WEKTORY fe1 e2g NA PLOSKOSTI SOOTWETSTWENNO fe1 e2 e3g W PROSTRANSTWE POPARNO ORTOGONALXNY A MODULI IH RAWNY TO SISTEMA KOORDINAT NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNOJ w \TOM SLU^AE BAZISNYE WEKTORY OBY^NO OBOZNA^A@T TAK fi jg SOOTWET SWENNO fi j kg w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT RASSTOQNIE d MEVDU DWUMQ TO^KAMI M1 x1 y1 I M2 x2 y2 NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FOR MULE d x2 ; x1 2 y2 ; y1 2 W PROSTRANSTWE ( ) , , 1, . : , ( - ). ( ) ( ) - q = d q = ( ) x2 ; x1 2 ( ) + ( ) y2 ; y1 2 + ( ) 15 + ( z2 ; z1 2 : ) zada~i 57. nAJTI RASSTOQNIE d MEVDU TO^KAMI A I B W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW A B A ; B A B; A B 58. nA OSQH KOORDINAT NAJTI TO^KI KAVDAQ IZ KOTORYH RAWNO UDALENA OT TO^EK I 59. nAJTI CENTR OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A ; I KASA@]EJSQ OSI Ox W TO^KE B 60. nA OSI Oy NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT DWUH TO^EK A IB ; 61. nA^ALO WEKTORA NAHODITSQ W TO^KE A ; dLINA WEK TORA RAWNA nAJTI KONEC \TOGO WEKTORA ZNAQ ^TO PERWYE DWE EGO KOORDINATY RAWNY SOOTWETSTWENNO x y : 1) (4 3) (7 2) (3 1) ( 7) 2 4) 3) (12 4) (3 1) 5) (0 (4 4) 6). , (1 1) (3 - 7). , ( (2 4 2) 0). , (3 1 0) ( 2 4 1). (2 11. , = 7, 1 5). - , = 6. ||||||||||||||{ 62. nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT KAVDOJ IZ SLEDU@ ]IH TO^EK A B;; C; D 63. nA OSI Oy NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT TO^KI ; ; I OT NA^ALA KOORDINAT 64. nAJTI CENTR I RADIUS OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A ; I KASA@]EJSQ OBEIH OSEJ KOORDINAT 65. nAJTI W PLOSKOSTI Oxz TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT TREH TO^EK A B; C ; 66. dANY ^ETYRE TO^KI A B C D ; nAJTI CENTR I RADIUS SFERY PROHODQ]EJ ^EREZ \TI TO^KI - : 1) (11 4) 2) ( 3 4) 3) ( 11 0) 4) , (5 ( 12). 8 4) . , (2 1) . , (1 1 1) ( 1 1 0) (3 1 1). (1 (1 2 1). 2 3) (5 , . 16 2 3) (2 5 3) 7 sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW sKALQRNYM PROIZWEDENIEM ab ^ASTO ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ a b ILI a b DWUH WEKTOROW a 6 0 I b 6 0 NAZYWAETSQ ^ISLO RAWNOE PROIZWEDENI@ MODULEJ \TIH WEKTOROW NA KOSINUS UGLA MEVDU NIMI ( ) ( = = , : ab jaj jbj ' : eSLI a 0 ILI b 0 TO ab 0 PO OPREDELENI@ sKALQRNOE PROIZWEDENIE ab RAWNO NUL@ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA a?b ILI a 0 ILI b 0 sWOJSTWA SKALQRNOGO UMNOVENIQ ab ba KOMMUTATIWNOSTX ab ab a b c ac bc DISTRIBUTIWNOSTX aa a2 jaj2 PRI^EM aa TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA a 0 = = = cos , = . , = = . : = ( ( ( ) ) = ( + ) = ) = + = ( ) 0 = 0 , = . zada~i 67. nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW jaj jbj 6 a b jaj jbj 6 a b a?b jaj jbj a "" b jaj jbj a "# b 68. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE ABC MEDIANY AA1 I BB1 PROWEDENNYE K BOKOWYM RAWNYM STORONAM CB I CA PERESEKA@TSQ POD PRQMYM UGLOM nAJTI UGLY \TOGO TREUGOLXNIKA 69. dOKAZATX ^TO WEKTORY p a bc ; b ac I c PERPENDIKU LQRNY DRUG DRUGU : 1) = 8 = 5 ( ) = 60 2) = 1 = 1 ( ) = 135 3) 4) = 3 = 6 5) = 3 = 1 . , ( ) , . , . = . 17 ( ) ( ) - ) 70. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF ;! ;! ;! ;! ;! wY^ISLITX ;! BC AD CA BE AB CF 71. w PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE ABC OPU]EN PERPENDIKULQR ;;! ;! CH NA GIPOTENUZU AB wYRAZITX WEKTOR CH ^EREZ WEKTORY a CB I b ;! CA 72. dOKAZATX ^TO ESLI W TETRA\DRE ABCD DWA REBRA PERPEN DIKULQRNY SOOTWETSWENNO SWOIM PROTIWOPOLOVNYM TO I OSTALXNYE DWA REBRA WZAIMNO PERPENDIKULQRNY 73. dOKAZATX ^TO SUMMA KWADRATOW STORON ^ETYREHUGOLXNIKA A1A2A3A4 RAWNA SUMME KWADRATOW EGO DIAGONALEJ I U^ETWERENNOGO KWADRATA RASSTOQNIQ MEVDU SEREDINAMI DIAGONALEJ . ( ) + ( ) + ( ). . = = . , - , - . , . ||||||||||||||{ 74. w TREUGOLXNIKE ABC DANY DLINY EGO STORON BC CA ;! AB nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ;! BA I BC 75. kAKOJ UGOL OBRAZU@T EDINI^NYE WEKTORY s I t ESLI IZWESTNO ^TO WEKTORY p s t I q s ; t WZAIMNO PERPENDIKULQRNY 76. dAN RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK ABC U KOTOROGO DLINY ;! ;! STORON RAWNY pOLAGAQ ;! BC a CA b AB c WY^ISLITX WYRAVENIE ab bc ca 77. dAN PRQMOUGOLXNIK ABCD I TO^KA M KOTORAQ MOVET LE VATX KAK W PLOSKOSTI PRQMOUGOLXNIKA TAK I WNE EE pOKAZATX ^TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW IDU]IH OT TO^KI M K DWUM NESMEVNYM WERINAM PRQMOUGOLXNIKA RAWNO SKALQRNOMU PROIZWE DENI@ WEKTOROW IDU]IH OT TOJ VE TO^KI K DWUM DRUGIM WERINAM ; ;! ;;! ;M;! ;;! M A M C B M D = 5 6 = 7. = . , = + 2 = 5 4 , - . , 1. = + + = = , . ( , 1) - ). , : , , - , ( ) = ( ) SUMMA KWADRATOW WEKTOROW ODNOJ PARY RAWNA SUMME KWADRATOW ;!2 ;;!2 ;;!2 ;;!2 DRUGOJ PARY ; MA MC MB MD 78. w TREUGOLXNIKE ABC TO^KA D DELIT STORONU AB W OTNOE ;;! NII ;! AD DB wYRAZITX DLINU OTREZKA CD ^EREZ TRI STORONY 2) ( + = + ). - : = . 18 TREUGOLXNIKA I ^ISLO 79. dOKAZATX ^TO PRI L@BOM RASPOLOVENII TO^EK ABCD NA ;! PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE IMEET MESTO RAWENSTWO ;! BC AD ;! ;;! ;! ;;! CA BD AB CD . , ( ( )+( )+ ) = 0. 80. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE UGOL PROTIW OSNOWANIQ RAWEN 6 nAJTI UGLOL MEVDU MEDIANAMI \TOGO TREUGOLXNIKA PROWEDENNY MI K BOKOWYM STORONAM 81. tO^KA M RASPOLOVENA WNUTRI WYPUKLOGO n UGOLXNIKA P A1A2 : : : An dOKAZATX ^TO NAJDETSQ TAKAQ STORONA AiAi+1 \TOGO n UGOLXNIKA ^TO OSNOWANIE PERPENDIKULQRA OPU]ENNOGO IZ TO^KI M NA Ai Ai+1 QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AiAi+1 . , - . - . = , - , , . 8 sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a fX Y g I b fX 0 Y 0 g W PRO IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FORMULE = = - : ab g11XX 0 g12 XY 0 Y X 0 g22Y Y 0 eiej i j SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO = GDE gij ROW w PROSTRANSTWE = + ( + ) + = 1 2 | - . : ab g11XX 0 g12 XY 0 Y X 0 = + ( + ) + g13 XZ 0 ZX 0 ( + )+ g22Y Y 0 g23 Y Z 0 ZY 0 g33ZZ 0 eiej i j SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO + ( + ) + GDE gij ROW w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT \TI FORMULY PRINIMA@T WID ab XX 0 Y Y 0 = = 1 3 | - . : = + 19 NA PLOSKOSTI I ab XX 0 Y Y 0 ZZ 0 = + + W PROSTRANSTWE . zada~i 82. pOSTROITX AFFINNU@ SISTEMU KOORDINAT ESLI 1) 2) 3) 4) g11 g11 g11 g11 = 4 = 1 = 4 = 4 g12 g12 12 g12 g12 ; = 0 = = 8 = 8 g22 g22 g22 g22 , = 1 = 1 = 25 : = 25 83. oPREDELITX DLINU WEKTORA a f ; g ESLI g11 = g22 8 56 10 , g12 = 4 = = 25. 84. oPREDELITX EDINI^NYJ WEKTOR b PERPENDIKULQRNYJ K WEK TORU a f ; g ESLI g11 g12 g22 85. dLINY EDINI^NYH WEKTOROW AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT p SUTX SOOTWETSTWENNO je1j je2j A UGOL MEVDU NIMI ! 5 oTNOSITELXNO \TOJ SISTEMY KOORDINAT DANY DWA WEKTORA a 6 f g b f g nAJTI UGOL OT PERWOGO WEKTORA DO WTOROGO 86. oTNOSITELXNO AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT DAN TREUGOLX NIK ABC S WERINAMI W TO^KAH A B C DLINY p p AC BC oPREDELITX STORON KOTOROGO SUTX AB DLINY EDINI^NYH WEKTOROW \TOJ SISTEMY KOORDINAT I UGOL MEVDU NIMI 87. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b ZADAN NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE DU@]IH SLU^AEW a f g b f; g a f ; g b f g a f ; g b f g: 88. oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ WEKTORAMI a I b ZADANNY , = 7 8 , = 4 = 8 = 2 = - = 25. 3, = . 1 = 2 = 2 2 . . - (1 = 52 1) = 4 (5 3) = (3 5), 28. . , - - : 1) = 5 2 = 3 2) = 6 8 = 12 3) = 3 5 = 7 6 9 4 , 20 - MI SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLEDU @]IH SLU^AEW a f g b f ; g a f g b f g: 89. w PRAWILXNOM TETRA\DRE ABCD NAJTI UGOL MEVDU MEDI ANAMI BB1 I CC1 GRANEJ ABC I ACD - : 1) = 8 4 1 = 2 2) = 2 5 4 = 6 2 1 0 3 - . ||||||||||||||{ 90. oPREDELITX DLINU WEKTORA a f ; g ESLI g11 = g22 8 7 8 , = 4 g12 = = 25. 91. dANY DLINY EDINI^NYH WEKTOROW REPERA je1j je2j I UGOL MEVDU NIMI ! 3 oPREDELITX g11 g12 g22 I RASSTOQNIE d MEVDU TO^KAMI A ; B ; 92. dLINY EDINI^NYH WEKTOROW AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT SUTX SOOTWETSTWENNO je1j je2j uGOL MEVDU NIMI ! 3 oTNOSITELXNO \TOJ SISTEMY KOORDINAT WERINY TREUGOLXNIKA ABC IME@T KOORDINATY A B C oPREDELITX DLINY STORON AB I AC \TOGO TREUGOLXNIKA I UGOL A MEVDU NIMI 93. oTNOSITELXNO AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT DAN PRQMOUGOLX NYJ TREUGOLXNIK ABC S WERINAMI W TO^KAH A B C PRQMYM UGLOM PRI WERINE C I KATETAMI CA CB oPREDELITX DLINY STORON A0 B 0 I A0C 0 TREUGOLXNIKA A0B 0 C 0 I UGOL MEVDU NIMI ESLI WERINY \TOGO TREUGOLXNIKA IME@T KOORDINATY = 2 = (1 = 3 . 2) ( 3 4). = 4 (1 3) = 2. (1 0) = (2 . 1). . - (1 (3 2), 0), = 2 (0 1), = 3. , A0 B 0 C 0 (1 1) (2 2) (2 4). 94. oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ WEKTORAMI a I b ZADANNY MI SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLEDU @]IH SLU^AEW a f g b f g a f ; g b f g a f g b f ; g a f ; g b f; g: , - : 1) = 4 2) = 6 3) = 2 4) = 2 3 8 5 6 = 1 7 = 12 9 = 3 7 = 3 9 21 95. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b ZADAN NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE DU@]IH SLU^AEW a f g b f; g a f ; g b f ; g a f g b f ; g: 96. nAJTI ^ISLENNU@ WELI^INU PROEKCII WEKTORA f g NA OSX PARALLELXNU@ WEKTORU f ; g 97. w TREUGOLXNIKE ABC DLINY STORON CA I CB RAWNY SOOT WETSTWENNO I A UGOL PRI WERINE C RAWEN 6 nAJTI UGOL ' MEVDU MEDIANAMI AA1 I BB1 nAJTI DLINU MEDIANY CC1 , - : 1) = 3 5 2) = 3 0 3) = 2 5 7 = 6 1 2 6 1 = 2 4 0 = 3 2 4 8 , 2 2 4 1 1 . , , 4 6, . 1) . 2) 9 - . pOWOROT WEKTORA NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI pUSTX fO i jg ORTONORMIROWANNYJ REPER NA PLOSKOSTI wEKTOR e ' POLU^A@]IJSQ POWOROTOM WEKTORA i NA UGOL ' IMEET SLEDU@ ]IJ WID e ' i ' j ': y iSPOLXZUQ \TOT WEKTOR PROIZWOLXNYJ a WEKTOR a fX Y g MOVNO PREDSTAWITX ' W WIDE x a jaje ' rIS GDE ' UGOL NA KOTORYJ NUVNO POWERNUTX WEKTOR i ^TOBY EGO NAPRAWLENIE SOWPALO S NAPRAWLENIEM WEKTORA a pRI \TOM ( | . ), , - : ( ) = cos + sin , = : = ( ) . 2. | , , . X jaj = cos ' Y = jaj ': sin rASSMOTRIM WEKTOR b fX 0 Y 0g POLU^ENNYJ POWOROTOM WEKTORA = , 22 a NA UGOL tOGDA b jaje ' W KOORDINATAH X0 X ;Y . = 8 > > < ( + = Y0 > > : ), cos X = sin sin Y + cos : w ^ASTNOM SLU^AE WEKTOR POLU^ENNYJ POWOROTOM WEKTORA a NA UGOL 2 BUDEM OBOZNA^ATX a W KOORDINATAH a f;Y X g , , , ], ] = . zada~i 98. dANY DWE TO^KI A I B nAJTI KONEC WEKTORA ;! AC POLU^A@]EGOSQ IZ WEKTORA ;! AB POWOROTOM NA UGOL 56 99. dANY DWE SOSEDNIE WERINY KWADRATA A ; I B nAJTI DWE DRUGIE WERINY 100. oSNOWANIEM RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA SLUVIT OTREZOK AC A ; C ; nAJTI KOORDINATY WERINY B \TOGO 5 TREUGOLXNIKA ZNAQ ^TO UGLY PRI EGO OSNOWANII RAWNY 6 101. oPREDELITX KOORDINATY k OJ WERINY PRAWILXNOGO n UGOLXNIKA ESLI DANY KOORDINATY PERWOJ WERINY A1 x1 y1 I KOORDINATY CENTRA S x0 y0 102. sOSTAWITX URAWNENIQ TRAEKTORII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M LEVA]EJ NA OKRUVNOSTI ! RADIUSA R KATQ]EJSQ BEZ SKOLXVENIQ PO DANNOJ PRQMOJ ` CIKLOIDA 103. kRUG RADIUSA r KATITSQ PO KRUGU RADIUSA R OSTAWAQSX WNUTRI NEGO nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ LINII OPISY WAEMOJ TO^KOJ KATQ]EGOSQ KRUGA GIPOCIKLOIDA 104. pO OKRUVNOSTI ! ZADANNOJ URAWNENIEM x2 y2 R2 KATIT SQ BEZ SKOLXVENIQ PRQMAQ ` NA^ALXNOE POLOVENIE KOTOROJ x R sOSTAWITX URAWNENIQ TRAEKTORII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M LEVA]EJ NA ` PRINIMAQ ZA NA^ALXNOE EE POLOVENIE TO^KU M0 R \WOLX WENTA OKRUVNOSTI (2 1) (5 5). , . ( 3 2) (2 4). . : ( 4 2) (4 , 4). , arctg . - - , ( ( ) ). , , , ( ). , . , ( - ). , + = , , - = , , , ( ). ||||||||||||||{ 23 . 0). ( - 105. dANY DWE PROTIWOPOLOVNYE WERINY KWADRATA A ; I B ; nAJTI DWE DRUGIE WERINY 106. dANY DWE WERINY RAWNOSTORONNEGO TREUGOLXNIKA A B nAJTI EGO TRETX@ WERINU ! ; ;;A! ; ;;A! IME@T DLINY a a a I OB 107. wEKTORY ;A;; A A A 0 1 1 2 2 3 1 2 3 RAZU@T UGLY !1 !2 !3 S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI Ox ;;! oPREDELITX KOORDINATY WEKTORA ; A0 A3 ! ;;;! ;;;;! 108. wEKTORY ;A;; 0 A1 A1 A2 : : : An;1 An IME@T DLINY d1 d2 : : : dn I OBRAZU@T UGLY 1 2 : : : n S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI Ox oPREDELITX KOORDINATY TO^KI An ESLI A0 x0 y0 109. kRUG RADIUSA r KATITSQ PO KRUGU RADIUSA R OSTAWAQSX WNE EGO nAJTI PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ LINII OPISYWAEMOJ TO^ KOJ KATQ]EGOSQ KRUGA \PICIKLOIDA PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT CENTR NEPODWIVNOGO KRUGA A ZA PARAMETR UGOL t MEVDU POLOVITELX NYM NAPRAWLENIEM OSI ABSCISS I S RADIUSOM NEPODWIVNOGO KRUGA IDU]IM W TO^KU KASANIQ PODWIVNOGO KRUGA S NEPODWIVNYM w NA ^ALXNOM POLOVENII PODWIVNAQ OKRUVNOSTX KASALASX NEPODWIVNOJ W TO^KE A PERESE^ENIQ POSLEDNEJ S OSX@ ABSCISS ( (5 4). 3 2) . (2 (6 3). 1) . - . . . , ( ). , . , ( - ), , - , . - . 10 kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW NA PLOSKOSTI kOSYM PROIZWEDENIEM WEKTOROW a I b NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO : < a b > a b jajjbj = ] = sin GDE UGOL OT WEKTORA a DO WEKTORA b tAKIM OBRAZOM j< a b >j PLO]ADX PARALLELOGRAMMA POSTROENNOGO NA WEKTORAH a I b | | . , , . 24 sWOJSTWA KOSOGO PROIZWEDENIQ < a b > ; < b a > KOSOSIMMETRI^NOSTX < a b > < a b > < a b c > < a c > < b c > DISTRIBUTIWNOSTX : kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a fX Y g I b fX 0 Y 0g W PRO IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FORMULE X Y < a b > "12 0 0 : = ( = ( + ( ) ) ) = + ( ) = = - : = X Y GDE "12 < e1 e2 > KOSOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTOROW w PRQ MOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT = | . - X Y X0 Y 0 < a b > = iMEET MESTO SLEDU@]AQ FORMULA DLQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA ABC NA PLOSKOSTI ;! ;! XB ; XA YB ; YA S4ABC j < AB AC > j XC ; XA YC ; YA : = 1 = 2 1 2 zada~i 110. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA WERINAMI KOTOROGO SLUVAT TO^KI A B I C 111. wY^ISLITX PLO]ADX PQTIUGOLXNIKA WERINAMI KOTOROGO SLUVAT TO^KI A ; B ; C D I E ; 112. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI DO PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI I 113. dWE WERINY TREUGOLXNIKA NAHODQTSQ W TO^KAH I ; TRETXQ WERINA NA OSI Ox zNAQ ^TO PLO]ADX TREUGOLX NIKA RAWNA NAJTI TRETX@ WERINU , (4 2) (9 4) (7 6). , ( 2 0) (0 1) (2 0) (3 (2, 0) (1, 1) 2) ( 1 , (5, 4). (5 ( 2 2), 3). | . 10, , . ||||||||||||||{ 25 1) - 114. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA ABC W KAVDOM IZ SLE DU@]IH SLU^AEW - : 1) 2) 3) A B C A; B ; A B C : (2 ( 1) 2 (5 (3 4) 4) (1 (0 4) (11 3) 0) 6) (1 (0 7) 3) 115. nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ PROHO DQ]EJ ^EREZ TO^KI I 116. pLO]ADX TREUGOLXNIKA S DWE EGO WERINY SUTX TO^KI A I B ; CENTR TQVESTI \TOGO TREUGOLXNIKA LEVIT NA OSI Ox oPREDELITX KOORDINATY TRETXEJ WERINY C , (1, 5) - (2, 4). = 3, (3 1) (1 3), . 11 . pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOSKOSTI pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOS M ' KOSTI OPREDELQETSQ TO^KOJ O POL@S ISHODQ]IM IZ NEE LU^OM Ox POLQRNAQ O x OSX MASTABNYM OTREZKOM e I NAPRAW rIS LENIEM OTS^ETA UGLOW pOLQRNYMI KOORDINATAMI TO^KI M NE SOWPADA@]EJ S POL@SOM NAZYWA@TSQ RASSTOQNIE POLQRNYJ RADIUS OT TO^KI M DO POL@SA O I UGOL ' POLQRNYJ UGOL OT POLQRNOJ OSI Ox DO LU^A OM eSLI POL@S O PRINQTX ZA NA^ALO DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SIS TEMY KOORDINAT NAPRAWLENIE POLQRNOJ OSI ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI Ox TO MEVDU DEKARTOWYMI KOORDINATAMI x I y TO^KI I EE POLQRNYMI KOORDINATAMI I ' IME@T MESTO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ p2 2 x y x ' ' px x+y y ' ' px y+y : - ( ), ( ), - . 3. . , : , ( ( ) ) . - , | , : 8 > > < > > : = = cos sin 8 > > > > > > > < cos = > > > > > > > : sin = 26 + = 2 2 2 2 zada~i 117. dAN PRAWILXNYJ ESTIUGOLXNIK STORONA KOTOROGO RAWNA a wZQW ZA POL@S ODNU IZ EGO WERIN A ZA POLQRNU@ OSX STORONU ^EREZ NEE PROHODQ]U@ OPREDELITX POLQRNYE KOORDINATY OSTALXNYH PQTI WERIN 118. wY^ISLITX RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ DANNYMI TO^KAMI A 12 I B 512 C 5 I D 65 E 1118 I F 49 : 119. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA ODNA IZ WERIN KOTORO GO POME]AETSQ W POL@SE A DWE DRUGIE IME@T POLQRNYE KOORDINATY , . , | , , . : 1) (2 2) (4 3) (3 ) (1 ) ) (6 ) ) (4 ) , - , (4 9 ) (1 5 ). 18 120. nAJTI POLQRNYE KOORDINATY TO^KI M ZNAQ EE DEKARTOWY KOORDINATY x y ; 121. nAPISATX W POLQRNYH KOORDINATAH URAWNENIE PRQMOJ PER PENDIKULQRNOJ K POLQRNOJ OSI I OTSEKA@]EJ NA NEJ OTREZOK OA a 122. dANY TO^KA O I PRQMAQ NAHODQ]AQSQ OT TO^KI O NA RAS STOQNII OA a wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ DANNU@ PRQMU@ W PEREMENNOJ TO^KE B nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^KI B OTKLADYWA@TSQ OTREZKI BM1 BM2 b nAPISATX W POLQRNYH KOORDINATAH URAWNENIE LINII KONHOIDA nIKOMEDA OPI SYWAEMOJ TO^KAMI M1 I M2 PRI WRA]ENII LU^A PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PERPENDIKULQR OA OPU]ENNYJ IZ TO^KI O NA DANNU@ PRQMU@ 123. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a DANA TO^KA O wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ OKRUVNOSTX W PEREMENNOJ TO^KE A nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^KI A OTKLADYWA@TSQ OTREZKI AM1 AM2 a lINIQ OPISYWAEMAQ TO^KAMI M1 I M2 NAZYWAET SQ KARDIOIDOJ nAPISATX URAWNENIE \TOJ LINII W POLQRNYH KOORDI , = 8 = 6. , - = , = . - . , . = = . ( ), , - , , , . . , = = 2 . . , , . - - 27 NATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PROHODQ]IJ ^EREZ NEE DIAMETR OK , , . ||||||||||||||{ 124. oTNOSITELXNO POLQRNOJ SISTEMY KOORDINAT DANA TO^KA A 23 nAJTI TO^KU B SIMMETRI^NU@ TO^KE A OTNOSITELXNO POL@SA TO^KU C SIMMETRI^NU@ TO^KE A OTNOSITELXNO POLQRNOJ OSI 125. nAJTI PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY TO^EK KOTORYE DANY p SWOIMI POLQRNYMI KOORDINATAMI A 3 B 34 C 2 D ; 6 PRI^EM OSX ABSCISS SOWPADAET S POLQRNOJ OSX@ A NA^ALO KOORDINAT S POL@SOM 126. nAPISATX URAWNENIE OKRUVNOSTI RADIUSA a W POLQRNYH KO ORDINATAH PRINQW ZA POL@S TO^KU O NA OKRUVNOSTI A ZA POLQRNU@ OSX PROHODQ]IJ ^EREZ NEE DIAMETR OA 127. dANY TO^KA O I PRQMAQ NAHODQ]AQSQ OT TO^KI O NA RAS STOQNII OA a wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ PRQMU@ W PEREMENNOJ TO^KE B nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^ KI B OTKLADYWA@TSQ RAWNYE OTREZKI BM1 BM2 AB nAPISATX URAWNENIE LINII STROFOIDA OPISYWAEMOJ TO^KAMI M1 I M2 PRI WRA]ENII LU^A W POLQRNYH KOORDINATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PERPENDIKULQR OA OPU]ENNYJ IZ TO^KI O NA DANNU@ PRQMU@ 128. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a WZQTA TO^KA O I ^EREZ TO^KU K DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ O K OKRUVNOSTI PROWEDENA KASA TELXNAQ wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ OKRUVNOSTX I KASATELXNU@ SOOTWETSTWENNO W TO^KAH A I B nA \TOM LU^E OT TO^ KI O OTKLADYWAETSQ OTREZOK OM RAWNYJ OTREZKU AB LU^A ZAKL@ ^ENNOMU MEVDU OKRUVNOSTX@ I KASATELXNOJ lINIQ OPISYWAEMAQ TO^KOJ M PRI WRA]ENII LU^A NAZYWAETSQ CISSOIDOJ dIOKLESA nA (5 ). : 1) , 2) , . , : (3 (2 ) ( 2 ) (5 ), ) , | . - , , . , = - . , . - = ( = . ), , , , , , . , , . - , . - , , . , - , . 28 - PISATX EE URAWNENIE W POLQRNYH KOORDINATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O I ZA POLQRNU@ OSX DIAMETR OK 129. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a WZQTA TO^KA O ~EREZ TO^KU K DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ O K OKRUVNOSTI PROWEDENA KASA TELXNAQ wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ PRQMAQ PERESEKA@]AQ OKRUV NOSTX I KASATELXNU@ SOOTWETSTWENNO W TO^KAH A I B iZ TO^KI A PROWODITSQ PRQMAQ PARALLELXNAQ KASATELXNOJ A IZ TO^KI B PRQ MAQ PARALLELXNAQ DIAMETRU OK nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK PERESE^ENIQ \TIH PRQMYH WERZXERA mARII aNXEZI PRINIMAQ ZA NA ^ALO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT TO^KU O A ZA OSX ABSCISS DIAMETR OK 130. wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ S POSTOQNNOJ UGLOWOJ SKO ROSTX@ ! pO \TOMU LU^U DWIVETSQ TO^KA M S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ v sOSTAWITX URAWNENIE LINII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M W POLQRNYH KOORDINATAH ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT DWIVENIQ LU^ SOWPADAET S POLQRNOJ OSX@ A TO^KA M S TO^KOJ O lINIQ OPISYWAEMAQ TO^ KOJ M NAZYWAETSQ SPIRALX@ aRHIMEDA , . . , - . , - . , , , | - . ( ), - , . - . . , , , , | . , 12 , - . pRQMAQ LINIQ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI oB]IM URAWNENIEM PRQMOJ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ URAW NENIE WIDA Ax By C PRI \TOM WEKTOR f;B Ag PARALLELEN PRQMOJ uRAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU x1 y1 PARALLELXNO WEKTORU fl mg MOVET BYTX ZAPISANO TAK - : + + = 0 . , ( , : x ; x1 y ; y1 l m 29 = 0 ) ILI y ; y1 m POSLEDNEE URAWNENIE NAZYWAETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM PRQMOJ eSLI ZADANY PROIZWOLXNAQ TO^KA x1 y1 I PROIZWOLXNYJ WEKTOR fl mg 6 0 TO PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ PROHODQ]EJ x ; x1 l = . ( = ) , , ^EREZ DANNU@ TO^KU PARALLELXNO DANNOMU WEKTORU BUDUT , x y = = : x1 lt y1 mt : + + uRAWNENIE PRQMOJ NE PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KOORDINAT I PE RESEKA@]EJ OSI KOORDINAT W TO^KAH a I b MOVET BYTX ZA PISANO W WIDE URAWNENIE PRQMOJ W OTREZKAH , - ( 0) (0 ( ) - ): x y a b + : = 1 eSLI PRQMAQ ZADANA SWOIM OB]IM URAWNENIEM TO DLQ KOORDINAT WSEH TO^EK LEVA]IH PO ODNU STORONU OT NEE , , , Ax By C > + + 0 A DLQ KOORDINAT x y WSEH TO^EK LEVA]IH PO DRUGU@ STORONU OT NEE , , Ax By C < : + + 0 zada~i 131. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU ; PARALLELXNO OSQM KOORDINAT 132. dAN TREUGOLXNIK ABC A ; B C ; nAPISATX URAWNENIE MEDIANY \TOGO TREUGOLXNIKA PROWEDENNOJ IZ WERINY A 133. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ OTSEKA@]EJ NA OSQH KOORDI NAT OTREZKI I , (3 2) . : ( 2 3) (4 1) (6 5). , . , 3 5. 30 - 134. nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PARALLELXNO WEKTORU f g 135. nAPISATX W PARAMETRI^ESKOJ FORME URAWNENIQ SLEDU@]IH PRQMYH , (3, -5) : -4, 2 . x y x; y; y ;x 1) 3 2) 3) x y ; x y +6 + 5 = 0 4) 2 4 = 0 5) + 5 6) 2 = 3 = 2 = 3 + 3 = 0 : 136. zAPISATX W WIDE Ax By C URAWNENIQ SLEDU@]IH PRQMYH x t y ; t x t y ; t: 137. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA @T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ x y; x y; x;y x; y x; y ; x y; + : 1) = = 1 3 + 2) = 0 = 2 + 5 = 4 7 , - , : 1) + 2) 3) 4) 9) +3 8 = 0 +5 = 0 2 2 + 3 = 0 + 4 = 0 2 x y x y; x; y x y; x p x;y + + 3 1 = 0 = 0 + 9 + 4 8 = 0 x y x y; x; y x y x p x ; y +5 = 0 5 7) 7 8) 2 2 5) 2 6) 3 = 0 2 +3 4 +6 2 62 = 0 + 2 = 0 3 = 0 + 10 = 0 10 7 = 0 = 0 8 +3 2 + 3 = 0 3 + 2 = 0 3 = 0 : 138. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA @T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ x t y ; t x t y ;t x t y ; ; t x ; t y t x ; t y t x ; t y ; t: 139. dANY SEREDINY M1 M2 ; I M3 STORON TREUGOLXNIKA sOSTAWITX URAWNENIQ STORON , - , : 1) = 3 + = 2 2) = 5 + 4 = 3) = 4 = 2 + 6 8 2 = 3 2 (2 = 1 = 3) . = ( 2 4 + 4 1 . 31 2) 2 = 7 + = 8 (4 3 5) 140. dANY URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y ; x; y I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M ; nAPI SATX URAWNENIE DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA 141. w KAKOM OTNOENII PRQMAQ x ; y DELIT OTREZOK NA^ALO KOTOROGO NAHODITSX W TO^KE A KONEC W TO^KE 142. dOKAZATX ^TO PRQMAQ x ; y ; PERESEKAET OTREZOK PRQMOJ x ; y ; ZAKL@^ENNYJ MEVDU OSQMI KOORDINAT 143. oPREDELITX POLOVENIE PRQMOJ x ; y OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA WERINY KOTOROGO A B ; C 1 = 0 2 = 0 (3 , 1). - . 2 + 5 = 0 (-5, 4), , 3 2 5 , | (2, 1)? 5 = 0 6 = 0, . 7 , (3 1) ( +5 = 0 2 4) (1 0). ||||||||||||||{ 144. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO ORDINAT I ^EREZ TO^KU 145. sOSTAWITX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ OTSEKA@ ]EJ NA OSQH Ox I Oy OTREZKI I 146. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA @T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ x y x ; t y ; t x; y; x t y ; ;t x; y x t y ; t x y; x ; t y ; t x y x t y ;t x y; x ; t y ; t: 147. ~EREZ TO^KU PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PRQMOJ x; y 148. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU ; PARALLELXNO PRQMOJ x y 149. zNAQ URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y I x y I ODNU IZ EGO WERIN C ; SOSTAWITX URAWNENIQ , - (-1, -8). , 3 - -5. , - , : 1) 3 + 4 + 5 = 0 = 2) 2 5 7 = 0 = 2 + = 9 3) 6 3 + 5 = 0 = 5 + = 3 + 2 4) 2 + 5 = = 9 + 5 5) 3 + 9 + 5 = 0 6) 4 + 5 6 = 0 38 = 0 3 + 4 2 + 2 = 2 + 3 = = = 6 6 + 5 (7, 4) 3 2 = 1 3 4 , + 4 = 0. , ( 8 1) + + 7 = 0. 3 2 +5 +6 = 0 (4 32 1) = 0 DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA 150. dANY WERINY TREUGOLXNIKA A ; B ; I C ~EREZ KAVDU@ IZ NIH PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PROTIWOLE VA]EJ STORONE 151. sOSTAWITX URAWNENIQ STORON PARALLELOGRAMMA ABCD ZNAQ ^TO EGO DIAGONALI PERESEKA@TSQ W TO^KE M A STORONY AB BC CD I DA PROHODQT SOOTWETSTWENNO ^EREZ TO^KI P Q R S ; 152. w PARALLELOGRAMME ABCD DANY URAWNENIQ STORON AB x y; I AD x ; y ; I TO^KA E ; 136 SEREDINA STORONY BC nAJTI URAWNENIQ DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA 153. dANY DWE TO^KI A ; I B I PRQMAQ x ; y dOKAZATX ^TO DANNAQ PRQMAQ PERESEKAET PRODOLVENIE OTREZKA AB ZA TO^KU B 154. oPREDELITX POLOVENIE TO^EK A B ; C ; D OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA URAWNENIQ STORON KOTOROGO x;y x y; x y . : ( 1 2) (3 1) (0 4). , - . , (1 6), (3 (5 9) ( 5 , 0) (6 6) 4). : 3 +4 12 = 0 : 5 12 6 = 0 ( 2 ) | . . ( 3 1) (5 4) 2 = 0. , . (3 (3 2) 2 (7 6) ( 1 1) , +2 = 0 13 1) + 4 = 0 2 + = 0. uRAWNENIE PU^KA PRQMYH sOWOKUPNOSTX PRQMYH PROHODQ]IH ^EREZ ODNU TO^KU M x0 y0 NA ZYWAETSQ PU^KOM PRQMYH tO^KA M x0 y0 PRI \TOM NAZYWAETSQ CENTROM PU^KA o^EWIDNO PU^OK PRQMYH S CENTROM M x0 y0 ZA DAETSQ URAWNENIEM , ( . . ( ( ( ) + B y ; y0 ( - ) - ) , A x ; x0 ), : ) = 0 pUSTX DANY DWE PERESEKA@]IESQ RAZLI^NYE PRQMYE `1 I `2 ZA DANNYE SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1 I A2x B2y C2 l@BAQ PRQMAQ PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU PERESE^ENIQ ( , + , = 0. ) + , 33 , + = 0 - + DWUH DANNYH PRQMYH MOVET BYTX OPREDELENA URAWNENIEM WIDA : A1x B1 y C1 ( + + ) + A2x B2y C2 ( + + : ) = 0 PRI NEKOTORYH I NE RAWNYH NUL@ ODNOWREMENNO pOSLEDNEE URAW NENIE NAZYWA@T URAWNENIEM PU^KA PRQMYH eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANNYE SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1 I A2x B2 y C2 PARALLELXNY NO NE SOWPADA@T TO WSQKAQ PRQMAQ IME@]AQ URAWNENIE , . - . , + = 0 , + + , = 0 + ( ), , A1x B1 y C1 ( + + ) + A2x B2y C2 ( + + : ) = 0 PRI NEKOTORYH I PARALLELXNA `1 I `2 wS@ SOWOKUPNOSTX PRQMYH PRI \TOM TAKVE NAZYWA@T PU^KOM NESOBSTWENNYM PRQMYH , . ( ) . zada~i 155. oPREDELITX WZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH W KAVDOJ IZ SLEDU@]IH TROEK PRQMYH x y; x; y x;y x; y x; y x; y x y; x; y x y; y y x;y x; y x; y x y x;y x; y; x y x y; x;y : 156. nAPISATX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PE RESE^ENIQ PRQMYH x ; y I x y; I ^EREZ TO^KU A ; 157. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x ; y x y; PROWESTI PRQMYE PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT 158. tEOREMA ~EWY nA STORONAH AB BC I CA TREUGOLXNIKA ABC DANY TO^KI C0 A0 I B0 TAKIE ^TO BCA0 1 CAB0 2 : 1) 2 + 3 = 0 3 2 + 5 = 0 5 2 4 + 7 = 0 3 2) 2 +3 = 0 3) +4 5 = 0 4) 2 5 = 0 5) + 7 = 0 6) 2 + 3 + 5 = 0 7) 3 + 2 + 6 = 0 2 2 + 7 = 0 + 6 + 4 = 0 = 0 + 1 = 0 9 6 + 3 = 0 + 2 = 0 + 3 = 0 + 2 = 0 5 = 0 4 4 3 4 5 + 1 = 0 12 = 0 + 3 = 0 , : 7 (2 + 3 = 0 3 - + 5 4 = 0, 1). 2 0 , 6 +3 = 0 5 + 2 = . ( ). , , , 34 ( ) = , ( ) = I ABC0 3 dOKAZATX ^TO PRQMYE AA0 BB0 I CC0 PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA 1 2 3 ( ) = . , , , = 1. ||||||||||||||{ 159. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO ORDINAT I TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x y ; x; y 160. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x; y x; y PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PRQMOJ x ; y 161. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI PE RESE^ENIQ PAR PRQMYH x ; y x y ; Ix y x; y , - 2 + 3 = 0 3 0 , 5 7 4 +2 = 0 2 + 2 = 0. 5 2 + 4 = 0. , 2 3 7 14 = 0 +4 = - + 4 2 = 0 + 2 = 0 + 4 = 0. pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT dLQ PRQMOJ ` IME@]EJ URAWNENIE Ax By C W PRQMOUGOLX NOJ SISTEME KOORDINAT WEKTOR N fA B g QWLQETSQ NORMALXNYM WEKTOROM A WEKTOR a f;B Ag NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANY SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1 I A2x B2y C2 TO KOSINUS UGLA MEVDU NIMI RAWEN ' A2 1A2 2 B12B2 2 : , + , , + - = = . , + = 0 = 0 + + , + = 0, + q q A1 B1 A2 B2 rASSTOQNIE d OT TO^KI M x0 y0 DO PRQMOJ ZADANNOJ OTNOSITELX NO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT URAWNENIEM Ax By C cos = + ( + ) , + + - = 0 OPREDELQETSQ PO FORMULE d jAxp0 2By0 2 C j : A B + = + + pUSTX UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox DO LU ^A OP PROHODQ]EGO ^EREZ NA^ALO KOORDINAT PERPENDIKULQRNOGO K PRQMOJ AB I PERESEKA@]EGO \TU PRQMU@ A p RASSTOQNIE OT NA ^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ AB tOGDA URAWNENIE PRQMOJ AB MOVET | - , , , . 35 | - BYTX ZAPISANO W WIDE : x cos y + sin ;p = 0 : |TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM PRQMOJ . zada~i 162. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PERPENDIKULQRNO K PRQMOJ x ; y 163. dANY WERINY TREUGOLXNIKA A B ; I C ; ; sOSTAWITX URAWNENIE WYSOTY OPU]ENNOJ IZ WERINY A NA STORONU , 4) 3 2 (7, + 4 = 0. : (4 6) ( 4 0) ( 1 4). , BC . 164. nAJTI PROEKCI@ TO^KI NA PRQMU@ x ; y ; 165. nAJTI TO^KU SIMMETRI^NU@ TO^KE M ; OTNOSITELXNO PRQMOJ x ; y 166. oPREDELITX UGLY MEVDU DWUMQ PRQMYMI ESLI IZWESTNY IH UGLOWYE KO\FFICIENTY k1 31 k2 ; 21 167. sOSTAWITX URAWNENIE BISSEKTRISY UGLA 6 A TREUGOLXNIKA ABC S WERINAMI A B ; I C 168. nAJTI RASSTOQNIQ OT TO^EK DO PRQMOJ x y 169. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH PARALLELXNYH PRQMOJ x ; p y I OTSTOQ]IH OT NEE NA RASSTOQNII 170. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI M DO PRQMOJ ` ZADANNOJ URAWNENIEM x ; y ; W NEKOTOROJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT ESLI IZWESTNY g11 g12 g22 171. dOKAZATX ^TO WYSOTY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE PRINADLEVAT ODNOMU PU^KU PRQMYH (-5, 6) 7 , 2 3 ( 2 13 105 = 0. 9) + 18 = 0. , = (3 1), = (0 . 3) (7 4). (3, 1), (2, -4), (5, -1), (0, -3), (0, 0) 3 + 4 = 0. , 2 7 + 4 = 0 53. (2 2 3 1) 5 = 0 = 4, , , = 8, = 25. , ( ). ||||||||||||||{ 172. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH BUDUT , 36 WZAIMNO PERPENDIKULQRNY x; y x y; : x y; x; y x y x; y x y; x y x;y x y x y; : 173. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x ; y 1) 2 + 3 = 0 2 + 5 = 0 2) 2 + 3 6 = 0 2 3 + 4 = 0 3) 3 + 7 + 4 = 0 7 3 + 2 = 0 4) 5 + 6 8 = 0 6 + 5 + 2 = 0 5) = 0 6) + 3 = 0 + = 0 2 = 0 x y; PROWESTI PRQMU@ PERPENDIKULQRNU@ K PRQMOJ x y 174. nA PRQMOJ x ; y NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT 3 , = 0 2 3 +1 = 0 +4 +7 2 = 0 = 0. , DWUH TO^EK I 175. dANY DWE WERINY TREUGOLXNIKA A ; B ; I TO^ KA H PERESE^ENIQ EGO WYSOT wY^ISLITX KOORDINATY TRETXEJ WERINY C 176. ~EREZ TO^KU PROWESTI PRQMYE NAKLONENNYE K PRQMOJ x y; POD UGLOM 177. oPREDELITX RASSTOQNIQ OT TO^EK I DO PRQMOJ x;y 178. dOKAZATX ^TO PRQMYE x ; y x; y PARALLELXNY I NAJTI RASSTOQNIE I MEVDU NIMI 179. cENTR SIMMETRII KWADRATA NAHODITSQ W TO^KE URAW NENIE ODNOJ IZ EGO STORON x y ; sOSTAWITX URAWNENIQ TREH DRUGIH STORON (-3, 1) (5, 4). ( (1 2) 6 2) (2 2) - . . (3, 1) 2 + 3 1 = 0 , 45 . (1, 0) 3 (-1, 2) + 4 = 0. , 3 7 + 2 = 0 , 3 7 + 3 = 0 . (-1, 0) +3 - 5 = 0. . 15 oKRUVNOSTX uRAWNENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE C a b I RADIUSOM r OT NOSITELXNO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT IMEET WID ( ) - : ( x;a 2 ) + ( y ; b 2 r2 : 37 ) = |TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM OKRUVNOSTI uRAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI W TO^KE M0 x0 y0 IMEET WID x ; x0 x0 ; a y ; y0 y0 ; b : . ( ) : ( )( ) + ( )( ) = 0 zada~i 180. oPREDELITX KOORDINATY CENTRA S I RADIUS r KAVDOJ IZ SLEDU@]IH OKRUVNOSTEJ x2 y2 ; x x2 y2 x ; y x2 y2 ; x y; x2 y2 x ; y ; 181. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI I ESLI EE CENTR LEVIT NA PRQMOJ x ; y 182. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI KASA@]EJSQ DWUH PRQ MYH x y ; x;y I PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KOORDINAT 183. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 y2 ; x y W NA^ALE KOORDINAT 184. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax By C KASAETSQ OKRUVNOSTI x2 y2 R2 185. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K OKRUVNOSTI x ; 2 y 2 PARALLELXNYH PRQMOJ x ; y : 1) + 6 2) + +6 3) + 4) 3 = 0 8 10 + 3 = 0 + 24 + 6 56 = 0 4 1 = 0. , (2, 1) (3, 4), 2 + 1 = 0. , 2 + 1 = 0 2 - + 2 = 0 . + 2 + 6 = 0 . + + = 0 + = ? ( ( + 2) = 25, 3 4 1) + = 0. ||||||||||||||{ 186. pRIWESTI K NORMALXNOMU WIDU URAWNENIQ OKRUVNOSTEJ x2 y2 ; x y x2 y2 x ; y ; x2 y2 ; x y 187. oKRUVNOSTX PROHODIT ^EREZ TO^KI I : 1) 2) 3) 3 + + + 3 2 + 4 + = 0 5 2 3 = 0 + 7 + 1 = 0. (1, 4), (-7, 4) 38 (2, -5). y x ; ae = x d1 M x y ( r1 F1 ;c ( O F2 c ( a e ) r2 0) = d2 x 0) rIS . 4. nAJTI EE CENTR RADIUS I URAWNENIE 188. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI KASA@]EJSQ PRQMOJ x y I PRQMOJ x ; y W TO^KE 189. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 y2 Ax By W NA^ALE KOORDINAT 190. oPREDELITX DLINU OTREZKA KASATELXNOJ PROWEDENNOJ IZ TO^KI K OKRUVNOSTI x2 y2 ; x , . , 2 = 0 2 + 1 = 0 + (-1, 0). + + = 0 + . , (7, 1) 16 + 6 = 0. |LLIPS |LLIPS ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK SUMMA RASSTOQNIJ KOTORYH OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK FOKUSOW \LLIPSA ESTX WELI^INA POSTO QNNAQ RAWNAQ a rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 c RIS pROSTEJEE URAWNENIE \LLIPSA MY POLU^IM WYBRAW PRQMU@ SO EDINQ@]U@ FOKUSY ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W , | , - 2 . = 2 , , 39 ( .4). , - SEREDINE MEVDU NIMI tOGDA URAWNENIE \LLIPSA PRIMET WID . x2 y 2 a2 b2 + = 1 : GDE b2 a2 ; c2 pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T S OSQMI SIMMETRII \LLIPSA A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM SIMMET RII tO^KI PERESE^ENIQ \LLIPSA S EGO OSQMI A1 I A2 B1 I B2 NAZY WA@TSQ WERINAMI \LLIPSA oTREZKI ZAKL@^ENNYE MEVDU WERINAMI NAZYWA@TSQ OSQMI \L LIPSA BOLXAQ FOKALXNAQ OSX A2A1 a I MALAQ OSX B2 B1 b ~ISLO = . , - . ( , ) - . , : , ( ) - = 2 = 2 . e ac < NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM \LLIPSA rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M x y \LLIPSA DO FOKUSOW NAZYWA@TSQ EE FOKALXNYMI RADIUSAMI-WEKTORAMI r1 I r2 MY IMEEM = 1 . ( ) r2 a ; ex : r1 a ex = : + = pRQMYE OPREDELQEMYE URAWNENIQMI , x ae = NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI \LLIPSA oTNOENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI \LLIPSA DO FOKUSA r1 ILI r2 K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY d1 ILI d2 RAWNO \KSCENTRISITETU . ( ) ( ) : r1 d1 = r2 d2 = e: sEREDINY PARALLELXNYH HORD \LLIPSA LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ NAZYWAEMOJ DIAMETROM \LLIPSA SOPRQVENNYM \TIM HORDAM eSLI , , 40 . UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD \LLIPSA TO URAWNENIE SOPRQVENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID k | , : x ky a2 b2 + = 0 : dWA DIAMETRA IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY PARAL LELXNYE DRUGOMU NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI eSLI k1 k2 IH UG LOWYE KO\FFICIENTY TO , , . , - | - , 2 b r1r2 ; a2 : kASATELXNAQ K \LLIPSU W EGO TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAW = ( NENIEM : xx0 yy0 a2 b2 + = 1 ) - : zada~i 191. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSA ESLI POLUOSI EGO SOOTWETSTWENNO RAWNY I RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO I BOLXAQ OSX RAWNA BOLXAQ OSX RAWNA I \KSCENTRISITET e 1312 y 192. oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA x25 169 193. dAN \LLIPS 36x 20y nAPISATX URAWNENIQ EGO DIREKTRIS 194. oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA ZNAQ ^TO MALAQ OSX EGO WIDNA IZ FOKUSA POD PRQMYM UGLOM RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO RASSTOQNI@ MEVDU WERINAMI MALOJ I BOLXOJ OSEJ RASSTOQNIE MEVDU DIREKTRISAMI W ^ETYRE RAZA BOLXE RASSTOQ NIQ MEVDU FOKUSAMI y x 195. nA \LLIPSE 100 NAJTI TO^KU RASSTOQNIE KOTOROJ 36 OT PRAWOGO FOKUSA W ^ETYRE RAZA BOLXE RASSTOQNIQ EE OT LEWOGO FOKUSA , 1) 5 2) 8 3) 4 10 26 . = 2 2 + 2 : + 2 = 1. = 1. . , , 1) : 2) 3) - . 2 + 2 = 1 . 41 , SOPRQVENNYJ 196. oPREDELITX DIAMETR \LLIPSA x25 16y HORDAM IME@]IM UGLOWOJ KO\FFICIENT k 32 197. sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY \LLIPSA x25 16y KOTORAQ TO^KOJ M DELITSQ POPOLAM 198. dOKAZATX ^TO STORONY PRQMOUGOLXNIKA WPISANNOGO W \L LIPS PARALLELXNY EGO OSQM W 199. nAPISATX URAWNENIE KASATELXNOJ K \LLIPSU 32x 18y TO^KE M 200. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K \LLIPSU x25 16y PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU N 201. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax By C KASAETSQ \LLIPSA xa yb 202. nAJTI OB]IE KASATELXNYE K SLEDU@]IM DWUM \LLIPSAM y x I x4 y5 5 4 203. dOKAZATX ^TO OTREZKI KASATELXNYH K \LLIPSU xa yb ZAKL@^ENNYE MEVDU KASATELXNYMI PROWEDENNYMI W WERINAH BOLX OJ OSI WIDNY IZ FOKUSOW POD PRQMYM UGLOM 204. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO PROEKCIJ KAKOGO LIBO FOKUSA \LLIPSA NA KASATELXNYE K \TOMU \LLIPSU 205. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ KASA@ ]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU LEVA ]U@ WNUTRI \TOJ OKRUVNOSTI 2 , 2 + = = 1, . 2 (2 1) 2 + = 1, . , , - . 2 (4 2 + = 1 3). 2 (10 2 + = 1, 4). + + 2 2 + = 0 2 2 = 1? : 2 + 2 = 1 2 2 + = 1. 2 2 = 1, 2 2 + , , - , . - . , - , - . ||||||||||||||{ 206. oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA 25x y16 207. oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA ESLI OTREZOK MEVDU FOKUSAMI WIDEN IZ WERIN MALOJ OSI POD UGLOM 2 + 2 = 1. , 1) : 60 RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ WERINAMI \LLIPSA RAZLI^NYH OSEJ W DWA RAZA BOLXE RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI 2) 42 RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI ESTX SREDNEE ARIFMETI^ESKOE DLIN OSEJ 208. pRQMYE x SLUVAT DIREKTRISAMI \LLIPSA MALAQ OSX KOTOROGO RAWNA nAJTI URAWNENIE \TOGO \LLIPSA 209. ~EREZ FOKUS F c \LLIPSA xa yb PROWEDENA HORDA PERPENDIKULQRNAQ K BOLXOJ OSI nAJTI DLINU \TOJ HORDY 210. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ SEREDINY y x HORD x ; y x;y; \LLIPSA 100 64 211. oPREDELITX KASATELXNYE K \LLIPSU x16 y9 PARALLELX NYE PRQMOJ x y ; PROWEDEN 212. dOKAZATX ^TO KASATELXNYE K \LLIPSU xa yb NYE W KONCAH ODNOGO I TOGO VE DIAMETRA PARALLELXNY MEVDU SOBOJ I OBRATNO ESLI DWE KASATELXNYE K \LLIPSU PARALLELXNY TO TO^KI I KASANIQ LEVAT NA ODNOM I TOM VE DIAMETRE 213. dOKAZATX ^TO PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ L@BOJ KASATELX NOJ \LLIPSA OT DWUH EGO FOKUSOW ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ KWADRATU MALOJ POLUOSI 214. dOKAZATX ^TO KASATELXNYE K \LLIPSU xa yb OTSEKA@T NA DWUH KASATELXNYH PROWEDENNYH W KONCAH BOLXOJ OSI OTREZKI PROIZWEDENIE KOTORYH ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ b2 215. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax 3) . = 8 , 8. . ( 2 2 + 0) 2 2 = 1 , . . , 2 + 7 = 0 2 2 1 = 0 2 + + + 2 2 = 1. = 1, - 2 2 = 1, - 1 = 0. 2 2 + , , , , , . , - , . 2 2 + , , 2 2 = 1 , , , . + By C + = 0: PERESEKAET \LLIPS xa yb NE PERESEKAET \TOT \LLIPS 216. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOGO \LLIPSA DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOMU \LLIPSU 1) 2) 2 2 + 2 2 = 1? ? . 43 y x ; ae = F1 ;c ( x a e F2 c O 0) = ( x 0) rIS . 5. 17 gIPERBOLA gIPERBOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK DLQ KOTORYH ABSOL@T NAQ WELI^INA RAZNOSTI RASSTOQNIJ OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK FOKUSOW GIPERBOLY ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ a rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 c RIS pROSTEJEE URAWNENIE GIPERBOLY MY POLU^IM WYBRAW PRQMU@ SOEDINQ@]U@ FOKUSY ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W SEREDINE MEVDU NIMI tOGDA URAWNENIE GIPERBOLY PRIMET WID x2 ; y2 a2 b2 GDE b2 c2 ; a2 pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T S OSQMI SIMMETRII GIPERBOLY A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM SIMMETRII gIPERBOLA IMEET DWE DEJSTWITELXNYE WERINY TO^KI PERESE^E , - | , = 2 ( 2 . . 5). , , , . : = 1 = . , | . | 44 - NIQ GIPERBOLY S OSX@ Ox OTREZOK ZAKL@^ENNYJ MEVDU NIMI NAZY WAETSQ DEJSTWITELXNOJ WE]ESTWENNOJ OSX@ GIPERBOLY sO WTOROJ OSX@ GIPERBOLA PERESEKAETSQ W DWUH MNIMYH TO^KAH ib uSLOW NO DEJSTWITELXNYJ OTREZOK b NAZYWAETSQ MNIMOJ OSX@ GIPERBOLY ~ISLO , - ( ) . (0 , ). - 2 . e ac > NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM GIPERBOLY rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M x y GIPERBOLY DO FOKUSOW NAZYWA @TSQ EE FOKALXNYMI RADIUSAMI-WEKTORAMI r1 I r2 DLQ LEWOJ WETWI = 1 . ( ) - GIPERBOLY MY IMEEM : r1 ;a ; ex r2 a ; ex r1 a ex r2 ;a ex : = = DLQ PRAWOJ WETWI : = + = + pRQMYE OPREDELQEMYE URAWNENIQMI , x ae = NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI GIPERBOLY oTNOENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI GIPERBOLY DO FOKUSA r1 ILI r2 K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY d1 ILI d2 RAWNO \KSCENTRISITETU . ( ) ( ) : r1 d1 = r2 d2 = e: sEREDINY PARALLELXNYH HORD GIPERBOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ NAZYWAEMOJ DIAMETROM GIPERBOLY SOPRQVENNYM \TIM HORDAM eS LI k UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD GIPERBOLY TO URAWNENIE SOPRQ VENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID , . | , : x ;ky a2 b2 45 = 0 : , - dWA DIAMETRA IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY PARAL LELXNYE DRUGOMU NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI eSLI k1 k2 IH UG LOWYE KO\FFICIENTY TO , , . , - | - , k1 k2 = b2 : a2 kASATELXNAQ K GIPERBOLE W EGO TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAWNENIEM xx0 ; yy0 : a2 b2 aSIMPTOTY GIPERBOLY OPREDELQ@TSQ URAWNENIQMI y ab x : dWE GIPERBOLY 2 y2 x2 ; y2 x I a2 ; b2 ; a2 b2 NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI ( ) : = 1 : = = 1 = 1 . zada~i 217. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY ESLI DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA I \KSCENTRISITET e 1213 DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA I UGOL MEVDU ASIMPTOTOJ I OSX@ ABSCISS OPREDELQETSQ USLOWIEM 34 218. dANY URAWNENIQ ASIMPTOT GIPERBOLY y 125 x I KOORD NATY TO^KI M LEVA]EJ NA GIPERBOLE sOSTAWITX URAWNENIE GIPERBOLY y 219. oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 25x ; 144 220. dOKAZATX ^TO DIREKTRISA GIPERBOLY PROHODIT ^EREZ OSNO WANIE PERPENDIKULQRA OPU]ENNOGO IZ SOOTWETSTWU@]EGO FOKUSA NA ASIMPTOTU GIPERBOLY wY^ISLITX DLINU \TOGO PERPENDIKULQRA 221. sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY GIPERBOLY x9 ; y4 KOTORAQ TO^KOJ M DELITSQ POPOLAM , 1) 48 2) 16 = tg = : . - = (24 5), . . 2 2 = 1. , - , . . 2 (5 1) . 46 2 = 1, 222. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GIPERBOLE x5 ; y4 W TO^KE M ; 223. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GIPERBOLE x9 ; y36 ESLI KASATELXNAQ PARALLELXNA PRQMOJ x ; y ; PERPENDIKULQRNA K PRQMOJ x y 224. oPREDELITX PROIZWEDENIE RASSTOQNIQ OT FOKUSOW GIPERBOLY x ;y DO KASATELXNOJ a b 225. dOKAZATX ^TO PROIZWEDENIE OTREZKOW OTSEKAEMYH KASATELX NOJ K GIPERBOLE NA EE ASIMPTOTAH S^ITAQ OT CENTRA RAWNO KWAD RATU POLOWINY RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI 226. dOKAZATX ^TO TO^KA GIPERBOLY SLUVIT SEREDINOJ OTREZKA KASATELXNOI K \TOJ GIPERBOLE ZAKL@^ENNOGO MEVDU ASIMPTOTAMI 2 2 (5 = 1 4). 2 2 = 1, : 1) 3 17 = 0 2) 2 2 2 2 2 = 1 + 5 + 11 = 0. . , , - ( ), - . , , . ||||||||||||||{ 227. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY ESLI DEJSTWITELXNAQ POLUOSX a I MNIMAQ b RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO I DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA , 1) 2) = 5 : = 3 10 8. x ;y 228. oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 225 64 229. sOSTAWITX URAWNENIE GIPERBOLY IME@]EJ OB]IE FOKUSY S \LLIPSOM 49x 24y PRI USLOWII ^TO \KSCENTRISITET EE e 45 tREBUETSQ 230. dANA GIPERBOLA x9 ; 16y WY^ISLITX KOORDINATY FOKUSOW WY^ISLITX \KSCENTRISITET NAPISATX URAWNENIQ ASIMPTOT I DIREKTRIS NAPISATX URAWNE NIE SOPRQVENII GIPERBOLY I WY^ISLITX EE \KSCENTRISITET 231. nAJTI WERINY KWADRATA WPISANNOGO W GIPERBOLU xa ; yb I ISSLEDOWATX W KAKIE GIPERBOLY WOZMOVNO WPISATX KWADRAT 232. nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ 2 2 = 1. , 2 2 + = 1 , 2 2 1) = 1. = . : 2) 3) 4) - . , 1, , 2 2 2 2 = . 47 S GIPERBOLOJ xa ; yb 233. dANY FOKUSY GIPERBOLY F1 F2 ; ; I URAWNENIE KASATELXNOJ x y ; oPREDELITX POLUOSI 234. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ KASA@ ]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU LEVA ]U@ WNE \TOJ OKRUVNOSTI 235. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOJ GIPERBO LY DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOJ GIPERBOLE 236. nAJTI PLO]ADX TREUGOLXNIKA OBRAZOWANNOGO ASIMPTOTAMI GIPERBOLY xa ; yb I PROIZWOLXNOJ KASATELXNOJ K \TOJ GIPERBOLE Ax By C + + 2 2 = 1. 2 2 = 0 (4 3 + 4 2) ( 1 5 = 0. 10) . , - , - . - , . , 2 2 18 2 2 = 1 . pARABOLA pARABOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK RAWNOUDALENNYH OT PO STOQNNOJ TO^KI FOKUSA PARABOLY I POSTOQNNOJ PRQMOJ DIREKTRISY PARABOLY RIS eSLI ZA OSX ABSCISS PRINQTX PERPENDIKULQR OPU]ENNYJ IZ FOKU SA NA DIREKTRISU A NA^ALO KOORDINAT POMESTITX POSREDINE MEVDU FOKUSOM I DIREKTRISOJ TO URAWNENIE PARABOLY BUDET , | - | ( | . 6). , - , , : y2 px = 2 GDE PARAMETR p ESTX RASSTOQNIE FOKUSA OT DIREKTRISY pARABOLA IMEET ODNU OSX SIMMETRII KOTORAQ SOWPADAET PRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT S OSX@ Ox eDINSTWENNAQ WERINA PARABOLY SOWPADAET S NA^ALOM KOORDINAT dIREKTRISA PARABOLY OPREDELQETSQ URAWNENIEM . , , , . . : x ;p : = 2 rASSTOQNIE r L@BOJ TO^KI M x y PARABOLY DO FOKUSA OPREDE ( 48 ) - x ; 2p = y M x y ( O F 2p ( rIS LQETSQ FORMULOJ r ) x 0) . 6. = p x: 2 + sEREDINY PARALLELXNYH HORD PARABOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ NAZYWAEMOJ DIAMETROM PARABOLY SOPRQVENNYM \TIM HORDAM wSE DIAMETRY PARABOLY PARALLELXNY EE OSI SIMMETRII I OPREDELQ@TSQ URAWNENIEM , , . y kp = GDE k UGLOWOJ KO\FFICIENT SOPRQVENNYH EMU HORD kASATELXNAQ K PARABOLE W TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAWNE NIEM | . ( ) - y0y p x x0 : = ( + ) zada~i 237. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2 49 = 4 x . 238. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLY ESLI RASSTO QNIE FOKUSA OT WERINY RAWNO 239. nA PARABOLE y2 x NAJTI TO^KU FOKALXNYJ RADIUS WEKTOR KOTOROJ RAWEN 240. ~EREZ FOKUS PARABOLY y2 px PROWEDENA HORDA PERPENDI KULQRNAQ K EE OSI oPREDELITX DLINU \TOJ HORDY 241. nAJTI TAKU@ HORDU PARABOLY y2 x KOTORAQ TO^KOJ DELITSQ POPOLAM 242. nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ Ax By C I PARABOLY y2 px 243. oPREDELITX GEOMETRI^ESKOE MESTO OSNOWANIJ PERPENDIKU LQROW OPU]ENNYH IZ FOKUSA PARABOLY y2 px NA KASATELXNYE 244. nAJTI KRAT^AJEE RASSTOQNIE PARABOLY y2 x OT PRQMOJ , - 3. = 6 , - 20. = 2 , . - . = 4 , (3 1) . + + = 0 = 2 . - , = 2 . = 4 x 4 + 3 y + 46 = 0. 245. mOSTOWAQ ARKA IMEET FORMU PARABOLY oPREDELITX PARA METR \TOJ PARABOLY ZNAQ ^TO PROLET ARKI RAWEN M A WYSOTA M 246. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU I KASA@]IHSQ DANNOJ PRQMOJ . , 6 - , 24 , . , . ||||||||||||||{ 247. oPREDELQTX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY x2 y 248. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2 ; x 249. sOSTAWITX URAWNENIE DIREKTRISY PARABOLY y2 x 250. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K PARABOLE y2 x W TO^KE M 251. dANO URAWNENIE KASATELXNOJ x ; y K PARABOLE y2 px sOSTAWITX URAWNENIE PARABOLY 252. dOKAZATX ^TO L@BAQ KASATELXNAQ PARABOLY PERESEKAET DI REKTRISU I FOKALXNU@ HORDU PERPENDIKULQRNU@ K OSI W TO^KAH = 4 . = 8 . = 6 . = 4 (9 6). 3 = 2 . + 9 = 0 . , - , , 50 , RAWNOUDALENNYH OT FOKUSA 253. kAMENX BROENNYJ POD OSTRYM UGLOM K GORIZONTU OPISAL DUGU PARABOLY I UPAL NA RASSTOQNII M OT NA^ALXNOGO POLOVE NIQ oPREDELITX PARAMETR PARABOLI^ESKOJ TRAEKTORII ZNAQ ^TO NAIBOLXAQ WYSOTA DOSTIGNUTAQ KAMNEM RAWNA M 254. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW KASA@]IHSQ OSI ORDINAT I KRUGA x2 y2 . , , 16 - . , , , 12 , . , + 19 = 1. pREOBRAZOWANIQ AFFINNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE oB]EE PREOBRAZOWANIE ODNOJ AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT NA PLOS KOSTI W DRUGU@ OPREDELQETSQ PO FORMULAM - : x y a1x0 b1y0 c1 a2x0 b2y0 c2 = = + + + + ;;! GDE RIS a1 a2 KOORDINATY WEKTORA ; O0 E10 b1 b2 KOORDINATY ;;! WEKTORA ; O0 E20 c1 c2 KOORDINATY TO^KI O0 OTNOSITELXNO SISTEMY KOORDINAT Oxy x y KOORDINATY PROIZWOLXNOJ TO^KI M PLOSKOS TI OTNOSITELXNO SISTEMY Oxy I x0 y0 KOORDINATY TOJ VE TO^KI M OTNOSITELXNO SISTEMY O0x0 y0 w SLU^AE PARALLELXNOGO PERENOSA FORMULY IME@T WID ( .7) | , , | | , | - . : x y x0 c1 y0 c2 : = + = + fORMULY PREOBRAZOWANIQ POWOROTA ODNOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT Oxy W DRUGU@ PRQMOUGOLXNU@ SISTEMU O0x0 y0 IME@T WID x x0 ; y 0 : = y = cos x0 sin sin y0 51 + cos y0 x0 y E20 E10 O0 E2 O x E1 rIS GDE UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox DO POLOVI TELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox0 sISTEMY Oxy I O0x0 y0 W \TOM SLU^AE NAZYWA@TSQ SISTEMAMI ODNOGO KLASSA eSLI VE NOWAQ SISTEMA KOOR DINAT O0x0y0 POLU^AETSQ IZ STAROJ SISTEMY Oxy POWOROTOM NA UGOL I POSLEDU@]EJ SIMMETRIEJ OTNOSITELXNO Ox0 TO FORMULY PRE OBRAZOWANIQ BUDUT . 7. | - . . - , - : x y = = x0 x0 cos sin y0 ; y0 + sin cos : w \TOM SLU^AE SISTEMY Oxy I O0x0y0 NAZYWA@TSQ SISTEMAMI RAZNYH KLASSOW eSLI NAM DANY DWE SISTEMY KOORDINAT W PROSTRANSTWE Oxyz I ;;;! ;;;! ;;;! O0x0 y0z 0 PRI^EM O0 E10 fa1 a2 a3g O0 E20 fb1 b2 b3g O0 E30 fc1 c2 c3g O0 d1 d2 d3 TO KOORDINATY x y z TO^KI M OTNOSI TELXNO SISTEMY Oxyz ^EREZ KOORDINATY x0 y0 z 0 TOJ VE TO^KI OTNO . , = , ( , ), = , = - 52 SITELXNO SISTEMY O0x0y0z 0 WYRAVA@TSQ FORMULAMI : x y z = = = a1x0 b1y0 c1z 0 d1 a2x0 b2y0 c2z 0 d2 a3x0 b3y0 c3z 0 d3 : + + + + + + + + + zada~i 255. nAJTI NOWYE KOORDINATY TO^EK A B ; C W SISTEME POLU^ENNOJ PERENOSOM DANNOJ AFFINNOJ ESLI ZA NOWOE NA^ALO KOORDINAT PRINIMAETSQ TO^KA O0 ; 256. nAJTI FORMULY PREOBRAZOWANIQ AFFINNOJ SISTEMY KOORDI NAT NA PLOSKOSTI W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW ESLI DANY STARYE KOORDINATY NOWYH EDINI^NYH WEKTOROW I STARYE KOORDINATY NOWO GO NA^ALA KOORDINAT;;;! ; ;; ! 0 0 O E1 f g O0 E20 f g O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 f g O0 E20 f g O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 f g O0 E20 f; g O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 fa g O0 E20 f bg O0 ; ;;! ;;;! O0 E10 f ag O0 E20 fb g O0 : 257. dANY DWE SISTEMY KOORDINAT Oxy I O0x0 y0 pO OTNOENI@ K PERWOJ SISTEME NA^ALO WTOROJ NAHODITSQ W TO^KE O0 A EDINI^NYE WEKTORY WTOROJ SISTEMY SUTX e01f g e02f g e03f g NAPISATX WYRAVENIQ KOORDINAT TO^EK OTNOSITELXNO PERWOJ SIS TEMY ^EREZ IH KOORDINATY WO WTOROJ SISTEME WYRAZITX KOORDINATY TO^EK OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY ^EREZ IH KOORDINATY W PERWOJ SISTEME NAJTI KOORDINATY NA^ALA O I EDINI^NYH WEKTOROW e1 e2 e3 PERWOJ SISTEMY OTNOSITELXNO WTOROJ 258. nAJTI URAWNENIE GIPERBOLY W SISTEME KOORDINAT KOORDI NATNYMI OSQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ ASIMPTOTY (2 3) ( , 5 4) (0 2) , (7 1). - , - : 1) = 2 5 = 7 9 (3 1) 2) = 5 0 = 0 4 (3 5) 3) = 0 2 = (0 2) 4) = 0 = (0 0) 5) = (0 0) 0 = 7 0 0 0 .. (2 2 1 1 4 1 , 1 0 3), 4 4 , 0 1) - 2) 3) . , . 53 - 259. nA^ALO I WEKTORY BAZISA NOWOGO REPERA NA PLOSKOSTI ZA DANY SWOIMI KOORDINATAMI OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOGO REPERA O0 ; e01 f g e02 f g kAKOE URAWNENIE W NOWOJ SISTEME KOORDINAT BUDET IMETX PRQ MAQ ` x ; y kAKOE URAWNENIE OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOJ SISTEMY KOOR DINAT IMEET KOORDINATNAQ OSX O0y0 kAKIE KOORDINATY IME@T TO^KI O I A ; W NOWOJ SISTEME KOORDINAT 260. wEKTORY e1 e2 : : : en I x ZADANY SWOIMI KORDINATAMI W NE KOTOROM BAZISE pOKAZATX ^TO WEKTORY e1 e2 : : : en SAMI OBRAZU@T BAZIS I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x W \TOM BAZISE e1 f g e2 f g e3 f g x f g 261. dOKAZATX ^TO KAVDAQ IZ DWUH SISTEM WEKTOROW QWLQETSQ BAZISOM I NAJTI SWQZX KOORDINAT ODNOGO I TOGO VE WEKTORA W \TIH DWUH BAZISAH e1 f g e2 f g e3 f g e01 f g e02 f g e03 f ; g 262. pO OTNOENI@ K KOSOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT ! 3 DANA TO^KA M ; nAJTI KOORDINATY \TOJ VE TO^KI PRINQW ZA NOWYE OSI KOORDINAT BISSEKTRISY PREVNIH KOORDINATNYH UGLOW 263. kOORDINATY RQDA TO^EK UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ x2 y2 x ; y kAKOMU URAWNENI@ BUDUT UDOWLETWORQTX KOORDINATY TEH VE TO^EK ESLI PREVNQQ SISTEMA KOORDINAT ZAMENENA NOWOJ A IMENNO NA^ALO KOORDINAT PERENESENO W TO^KU O0 ; A NAPRAWLENIE OSEJ NE IZMENILOSX - : (1 1), = 2 3 , = 1 2 . 1) - : 2 3 + 5 = 0? 2) - ? 3) (0 0) ( 2 1) ? - . , , = : 1 1 2 = 1 2 3 1 2 1 = 6 9 = 1 1 1 14 . , , : 3 1 4 = = 5 2 1 = = 1 1 2 3 3 = 3 7 1 6 . ( ( 1 = 4). = ) , . + + 2 10 + 22 = 0. , , | ( 1 5), ? ||||||||||||||{ 264. w AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT ZADANA TO^KA M eE KOORNATY POSLE PERENOSA SOOTWETSTWENNO RAWNY I nAJTI STARYE KOORDINATY NOWOGO NA^ALA O0 I NOWYK EDINI^NYH TO^EK E10 E20 E 0 (2 -4 54 7. 5). I NOWYE KOORDINATY STAROGO NA^ALA O I STARYH EDINI^NYH TO^EK E1 E2 E . 265. dANY DWE SISTEMY KOORDINAT Oxy I O0x0 y0 kOORDINATY x I y PROIZWOLXNOJ TO^KI OTNOSITELXNO PERWOJ SISTEMY WYRAVA@TSQ ^EREZ EE KOORDINATY x0 I y0 OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY SLEDU@ ]IMI FORMULAMI . - : x x0 ; y 0 = 2 5 +3 y ;x0 = y0 ; : + 2 2 nAJTI KOORDINATY NA^ALA WTOROJ SISTEMY I EDINI^NYH WEKTOROW EE OSEJ OTNOSITELXNO PERWOJ SISTEMY 266. kOORDINATY x y z TO^EK W SISTEME Oxyz WYRAVA@TSQ ^EREZ KOORDINATY x0 y0 z 0 \TIH TO^EK W SISTEME O0x0y0z 0 SOOTNOE NIQMI . - x ; x0 ; y0 ; z 0 ; y ;y0 ; z 0 z x0 = 2 1 = = y0 z 0 +3 + +1 WYRAZITX KOORDINATY x0 y0 z 0 ^EREZ KOORDINATY x y z NAJTI KOORDINATY NA^ALA O0 I EDINI^NYH WEKTOROW e01 e02 e03 WTOROJ SISTEMY OTNOSITELXNO PERWOJ NAJTI KOORDINATY NA^ALA O I EDINI^NYH WEKTOROW e1 e2 e3 WTOROJ SISTEMY OTNOSITELXNO PERWOJ 267. wEKTORY e1 e2 : : : en I x ZADANY SWOIMI KORDINATAMI W NE KOTOROM BAZISE pOKAZATX ^TO WEKTORY e1 e2 : : : en SAMI OBRAZU@T BAZIS I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x W \TOM BAZISE e1 f ; g e2 f ; g e3 f ; g x f ; g 268. dOKAZATX ^TO KAVDAQ IZ DWUH SISTEM WEKTOROW QWLQETSQ BAZISOM I NAJTI SWQZX KOORDINAT ODNOGO I TOGO VE WEKTORA W \TIH DWUH BAZISAH e1 f g e2 f g e3 f g e4 f g e01 f g e02 f; ; ; ; g e03 f g e4 f; ; ; ; g 1) 2) , 3) , . - . , , = : 3 2 5 = 1 1 1 1 1 = 6 2 = 2 1 3 7 . , , : = = 1 2 3 2 = 2 5 4 3 1 = = 1 1 2 = 0 3 3 4 55 1 2 3 1 = 4 . 1 = 2 1 3 1 5 2 1 4 269. dAN ROMB STORONA KOTOROGO a oSI KOORDINAT SNA ^ALA SOWPADALI S DWUMQ STORONAMI UGOL MEVDU KOTORYMI ! 23 I ZATEM S EGO DIAGONALQMI oPREDELITX KOORDINATY WERIN ROM BA OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY I DATX SOOTWETSTWU@]IE FORMULY PREOBRAZOWANIQ KOORDINAT 270. kOORDINATY NEKOTORYH TO^EK UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ xy x ; y ; kAKOMU URAWNENI@ BUDUT UDOWLETWORQTX KOOR DINATY TEH VE TO^EK POSLE TOGO KAK NA^ALO KOORDINAT BUDET PERE NESENO W TO^KU O0 ; , = 2. , . - = , - . +3 2 6 = 0. - , (2 - 3)? 56 otwety ;! ;;! ;! ;! ;! 1. AB a;2 b BC a+2 b CD b;2 a DA ; a+2 b : 2. AD ; ;!+;! ;! AB AC : 5. tO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN TREUGOLXNIKA 6. ; OM 2 ;;! ;;! ; ;0! 0 B0 0 D0 0 C0 b : 7. ;;! a A p A q A p q A B p; jaj jbj ;;! ;! ;;! k r ;A;0! D q ; r A0 C p q ; r: 9. BC 4l;23 k CD 2l;4 3 : ;;! ;;! ;! ;p ; q: 10. : 11. ;! BC p q CD ;q DE ;p ;;EF !j;! ;! ; ;!j ;! AB AC j+ AC j AB : 13. tO^KA PERESE^ENIQ DIAGONALEJ 14. AD ;!j+j;! j; AB AC j ;;! ;;! ;;! ;! 15. ;! BC c ; b CD d ; c DB b ; d DM b+2 c ; d AQ b+c+d : 16. ;! EF m2+p ; n+2 q : 18. r1 r3 ; r2 : 19. r r +r3 +r : 3 20. r4 r1 r3 ; r2 r0 r 1++r r00 r 1;;r : 22. r r +2 r : 23. rC rB rD ;rA rB rB ;rA rA rC rB rD rA ; rA rD rD ; rA rA : 24. r r +r3 +r : 25. f; g f g: 26. c a ; b c a ; b c ; 23 a: 27. wEKTORY a b I c LINEJNO NEZAWISIMY WEKTORY a b I c LINEJNO ZA WISIMY c 21 a 23 b WEKTORY a b I c LINEJNO ZAWISIMY NO WEKTOR c NE MOVET BYTX PREDSTAWLEN KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK TOROW a I b TAK KAK \TI POSLEDNIE KOLLINEARNY MEVDU SOBOJ A ;! WEKTOR c IM NE KOLLINEAREN 28. ; AK f 78 137 g: 29. ; : 30. f ; g f g: 31. d a b ; c d a b d pa ; c 33. p : p p 35. A B 23 23 D E F ; 12 23 : 36. A B 31 D O 14 34 S 32 : 37. C D ILI C ; ; D ; ; : 38. x y z 39. M 109 29 40. A ; B D; M 125 S : 41. D ; 42. : 43. ;x ;y ;z x y ;z ;x ;y z 44. ; 12 ; 14 45. 115 I ; 46. ; ; ; 47. C ; D ; = = = = = . + = = = = 0 = = + + = = = = = = + = 1) ( ) 0 2) 1 = = = 2 = 2 1 = 0 0 3 3) 3 = = + 1) 3 1 = 3 + 1 = 0 = = + + + = = . = = = + = = + 30 3 1 3 2 0 0 21 2) = 2 0 = 0 1) 2) + = - 3) , - , , . 3 1) 2) = 5 (0 (0 (2 (0 0) = 0) (1 ( 3 2) 3) (1 0) 1 ). 0 ( 4 5), (4 (0 1 3) (7 5) 0), (1 1 1) 1) 1 2) ( 3 57 ) 3). = 0 ( 0), (0 (0 = 5 ( ) ) (5 0), 2) (0 1 3), 1 3), ). (0 0), (0 1) ( 3) = + 3 3) 3), 0 = (0 1) ( 0), (1 0), (1 ). 3 0 2 (0 ( 1) 0), 2). 3) 1) 4 1) = (1 (0 ( 4 30 . 1) ( 1), (1 39 ) ) 3) ( 11). 19 ( ( (1 1), (1 ( (0 0) 4) 1 22 + 4 7) ( (0 3 = 2 = ), 0 1), ) 2) . 1) ( 0) (4 4). 48. C ; ; 49. 51. ; 83 53 ; 223 13 ; 14 52 52. B ; 53. C D ; 54. A ; B p p 55. 1 27 2 15 3 ; 12 56. 21 57. 60. 116 61. B1 58. I 143 59. M p B2 ; 62. 63. ; 64. M1 ; r1 M2 ;p r2 65. 65 ; 67 66. R ; 2 67. ; : 68. 45 70. 2 ;! a b+b a 73. 74. 75. 3 76. ; 32 78. CD2 71. ;CH c 2 1 2 1 2 DLINY STORON TREUGOLXNI 1+ a 1+ b ; (1+)pc GDE a b c 9 3;10 82. ! KA 80. je2j ! 26 2 je1j je2j ! 54 je1j je2j ! 3 je1j 4 1 ; 45 je1j je2j : 83. jaj 84. b1 5 ; 5 b2 ; 54 15 85. 53 86. je1j je2j 6 e1 e2 23 p87. 89. 88. 13 3 123;4 p 90. jaj 91. g11 g22 g12 d : 92. AB A0 C 0 A0 54 AC 6 A 3 93. A0B 0 95. 94. 96. p p 99. D ; C 97. ; p1311p28 98. C ; 3 2 3 25 ; ILI D0 ; ; C 0 ; 100. B1 25 73 B2 ; 52 ; 133 101. x0 2 (k;1) ; y ; y 2 (k;1) y 2 (k;1) y ; x1 ; x0 1 0 0 x1 ; x0 1 n n n 2 (k;1) 102. Rt ; R t R ; R t 103. R ; r t y0 n r R;r r t R ; r t r R;r r t 104. R t Rt t R t ; p p Rt t 105. C D ; ; 106. C1 ; C2 p p ; 107. fa1 !1 a2 !2 a3 !3 a1 !1 a2 !2 a3 !3 g 108. x0 d1 1 : : : dn n y0 d1 1 : : : dn n 109. R r t ; r Rr+r t R r t ; r Rr+r t 27 110. 111. 112. 57 113. ; 114. p p 2 115. 116. ILI 117. a a 6 p p a 3 a 2 a 23 118. AB (4 ( 5 2). ). (0 = (14 (9 3. 7). (10 = 0) = 1). = 1 (5 1) 20 2 = 2 2 3) 0 4) 18 ). 5) 1) = . 1), = 3. . 0. . = . 1) 3) cos - = = 2 = = 1 = 2 = 5 = 5 = 78. 2) = 4) cos n = 2 11), (1 3 cos 2. 5 10). 8). | = arccos = 1 (0 (9 (3 3 , 1) 34 3) 13 4) (0 0 ) 4) 0). -19. 2 = 1 (0 ( . + . (3 1) 5 2) 10). = 5. 5) 3) ( 4). 137 2) 5 3) 11 4) 13. 5), 2) (4 . (2 1) ) 2) (9 9) . . 0 5 1) ( = o = = o n . = -3 2) 0 3)1. . 1) cos = 30. 6 = cos ( = 2)90 3) ). cos ( cos 3 ) sin ). 2 (4 2 3). sin . sin ). 3) 13. 3 ) ( ( cos (( + ) cos 3 2. ) (5 ( ). = . ( + + + (2 1) 58 + 3 0) ( 2). = sin 8 ( + sin (4 + sin + + + sin 0). ( 3) + ) sin + sin 2+2 + + 9) ) cos sin cos ( (32 2) cos (0 +( (( cos cos 7) ) sin (4 cos 5 3. ). cos ). 5). . . = cos ( +( + + ( ) ). 2 ( 12,5. ( sin cos 7. (2 3) 5 3). 2 sin = 244 = ) sin + 1) 1) 31 2) 6 3) 0. 1). ( = 1 4)180 . . ) = cos = 3 = ( ( = 90 . ( (4 ) cos 2) . . 1 ) cos = 1 = 9 3)135 = ( = = 4 4 1)45 = 2 ). 1) 4 2) 0) ( 3 ) 3 2) CD=10 3) EF=5. 119. S 122. r 125. A 127. r 130. r 133. x y ; 65 120. 54 ; 35 121. r cosa a 5 4 a 124. B C cosp b 123. r 3 3 p 3 3 3 B ; C D 2 ; 2 126. r a 2a sin 129. x a a 2 y a cos a 128. r cos v y 132. x y ; ! 131. x ; y; 134. x ; t y ; t 135. x ; t t x t y t x t y ; t x y t x t y ; x t y ; t 136. x y ; x y; 137. PERESEKA@TSQ W TO^KE PARALLELX NY SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELXNY SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELXNY SOWPADA@T 138. PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARAL LELXNY SOWPADA@T 139. x ; y x;y 140. x ; y ; x; y; 141. 89 143. dANNAQ PRQ MAQ PERESEKAET STORONY CB I BA A TAKVE PRODOLVENIE STORNY CA ZA TO^KU A 144. x ; y 145. x t y ; t 146. SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELX NY PERESEKA@TSQ W TO^KE PARALLELXNY SOWPADA@T 147. x; y ; 148. tAKOJ PRQMOJ NE SU]ESTWUET TAK KAK DAN NAQ TO^KA LEVIT NA DANNOJ PRQMOJ 149. x; y ; x y; 150. x ; y x y; x;y ; 151. x y ; x;y; x y; x;y 152. x y x; y 154. tO^KA A LEVIT NA WTOROJ STORONE NA EE PRODOLVENII ZA TRETX@ WERINU tO^KA B LEVIT W OBLASTI OGRANI ^ENNOJ PERWOJ STORONOJ I PRODOLVENIQMI WTOROJ I TRETXEJ STORON SOOTWETSWENNO ZA TRETX@ I WTORU@ WERINY tO^KA C LEVIT W OB LASTI OGRANI^ENNOJ TRETXEJ STORONOJ I PRODOLVENIQMI PERWOJ I WTOROJ STORON SOOTWETSWENNO ZA WTORU@ I PERWU@ WERINY tO^KA D LEVIT W OBLASTI OGRANI^ENNOJ PRODOLVENIQMI PERWOJ I WTOROJ = 1. = 10 = . (1 3) = 7 1 1) (0 . 1). 5) = . 1) (5 ( = . 2) ). + . 3 = 0 +3 5) +5 arcsin = . (5 ). = 2 cos . 2 tg = = = = 2 (cos ( = 5 arccos 15 = 0. 2) = = = 3 6) 34 = 0. 3) + 2 = 0. = 3 = 4 + 2 = 2 4 5 = 3) = 3 = 7) 9) . 3 (1 ( ( 5 4 1) 3 7 = 0 2 5 + 9 + . 2 = 2 1 = 0, 2) 2) - 0) 5) 10) 8) 10) 2) = 0 10 = 0. = + 5 4) (15 . tg 11 = 0. 1) 3 1) 3) + 7 2 . 4) 6) = 2 5+2 . = = cos - + 3 = 0 . - , . 1) 8 ( (4 2 2 5 4 +16 = 0 5 +2 = 5 . 3) 3) - 6) 13 = 0. 6 = 0 12 4 6) 5) . , . 3 = 3 + 3 2) 4) 3 = 0. +3 3 1 = 0 2 23 = 0 2 7 = 0 2 7 = 0. + 14 = 0. 9 - +5 3 = 0. +2 3 = 0 + 12 + 20 = 0, + 36 = 0. , , - . - , . , 59 STORON ZA TRETX@ WERINU 155. TRI PRQMYE PROHODQT ^EREZ OD NU TO^KU TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ TRI PRQMYE PROHODQT ^EREZ ODNU TO^KU TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SO BOJ TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ PRQMYE OBRAZU@T TREUGOLXNIK PERWYE DWE PRQMYE PARALLELXNY TRQTXQ IH PERESE KAET 156. x y; 157. x ; y; 159. x ; y 160. x ; y 161. x ; y 162. x y ; 163. x ; y 164. 165. M 0 166. I 167. x y ; 168. 135 115 125 169. x ; y x; y; 170. p1258 172. 173. x ; y ; 174. 2918 5447 175. C 176. x y ; x; y 177. p710 p110 178. p158 179. x;y x;y ; x y 180. S r S; r S ; r S ; 32 r 43 p 181. x2 y2 ; x ; y 182. x2 y2 x y 183. x ; y 184. A2 B 2 R2 ; C 2 185. x ; y x; y; 186. x; 2 y 2; x 12 2 y ; 25 2; 192 p x ; 13 2 y 67 2 ; 4136 187. S ; ; r 2;5 x 12 2 y 188. x 98 2 y ; 14 2 ; 645 4 p y y x x 189. Ax By 190. 191. 25 16 25 9 p y x 192. 193.p x 194. A e 22 169 p25 10 1 195. ; 15 3 7 B e 196. x y 5 W e 2 2 2 197. x y ; 199. x y ; 200. y x; y; 201. A2a2 B 2b2 ; C 2 202. x y 204. oKRUVNOSTX 205. |LLIPS 206. 207. e 21 e e 45 208. x36 y16 209. 2ab 210. x y sqrt 172 211. x y 215. A2a2 B 2b2 ;C 2 > A2a2 B 2b2 ;C 2 < x ; y 216. b2 GDE b MENXAQ POLUOSX \LLIPSA 217. 576 100 y y x ; x ; 218. 432 219. F1 ; F2 64 36 75 . 1) - 2) 3) 4) - 5) 6) 7) . 25 5 2 2 91 3 3 2 3 = 0. ) + ( ) + 2 ) = 32 16 ) 5 2 2) 2 + 5 = 0. , | 2 = 1. + + 4 1) ( = 1. + 2 1 ) 2 4 + ( 2 + 3 = 60 = 0 41. = + 1) = 0. 2 9. 2 + ) + 25 1) = 1 = = 0. = 4 2) 3 = 0. 0). 1) . 8 = 2) + 25 13 0) = = 0. + 1) ( 3 ) = 1 2) 0 2) = 1. . = 0. +14 = 0 24 2 = 3 10) 1) . 2 0) = 0. . + (3 24 = 0. + 2 3 ) 2 1) + (3 ). 3 4). . + ) +( = ( . . ( 12). . 2 (2 ( 3 ( 1) 89 = 0. = +2 0. 2. 100 = 0. 3) +4 5 = 0 2) ( = 0 (0 = + 25 +2) 1), 3), . = 0. ) = 1. ) 0. ). = 15 4) 4 = = 0. 2 + ) + ( + 3) + 1) +( 2 +7 = 0. 12) + 5 = 0. 1) ( (2, -7). + 2 = 0. (5 + 0. . ( +3 + 20 = 0. 4 = 0. 0. 3 = 0 ( = 19 = 0. 49 49 = 0. = 5 3 6 36 = 0. ( 2 = 5 3) + ( 2 32 8 + 12 + 7 16 = 0 4) 4 - 9 = 0 + 30 = 0. 135 . 26 +9 = 0 ( 19 3 45 + 32 = 0. + 57 = 0 5), 6). 3) 38 26 2 5 21 = 0. = 0. 3). 7 4 + 29 + 3 (2 2) , 0. 2 2 (13 = 1 0). 220. b 221. x ; y ; 222. x y ; 223. p x;y x; y 224. b2 227. 25x ; y9 x ;y 228. F1 F2 ; 229. x16 ; y9 16 9 y 34 x x 95 230. F1 F2 ; e 35 y x e 54 231. pbab;a pbab;a ZADA^Ap IMEET REE 16 ; 9 NIE ESLI b > a 232. a2A2 ; b2B 2 C 2 233. a 2p2695 b p125 234. gIPERBOLA 235. b2 GDE b DLINA MNIMOJ POLUOSI 236. ab 237. 238. y2 x 239. I 240. p 241. y x ; 242. B 2 p AC 243. kASATELXNYE K PARABOLE I EE WERINE 244. 245. 246. pARABOLA IME@]AQ DANNU@ TO^KU FOKUSOM I DANNU@ PRQMU@ DIREKTRISOJ 247. 248. 249. x ; 23 250. x ; y 251. y2 x 253. 83 254. dWE PARABOLY y2 x 255. 256. . 20 3 3 2) 1) 2 2 91 5 = 0. 2) 5 2 2 9 2 = 1. (5 = 1 ( = 5 0. + 9 = 0. (0 0) , = 17) . ( . . , (1, 0). 2. - . = = = = 2 2 . , 3 : . . 12. . . (18, -12). . 2, 0). 4) 2 ) (18, 12) = 2 . = 1. . . 5. = 1 = | = 12 = 2 2 = 2 = 1) 2 2 2 3) 2 0. 1) 17). = 2 = . (0 0) 2) 1 (0, 1). + 9 = 0. +1. = 4 (- . . (-5, 4), (-12, 5), (-7, 3). 1) x x0 y 0 y x 0 y 0 x x0 y y0 x ; y 0 y x0 x ax0 y by0 x by0 y ax0 257. x x0 z 0 y x0 y0 z 0 z x0 y0 x0 ;x y ; z O ; 47 ; e1 y0 41 x ; 41 y 21 z ; 74 z 0 x ; y z ; f; 41 g e2 f ; 14 ; g e3 f; 21 g 258. x0 y0 259. x0 ; y0 x;y ; O0 ; A0 ; 260. f g 261. x ; x0 ;p y0 ; z 0 y x0 y0 z 0 z x0 y0 z 0 262. x0 3 2 3 y0 25 263. x02 y02 264. O0 ; E10 ; E20 ; O ; E1 ; E2 ; 265. O0 ; e01 f ; g e02 f; g 266. x0 ; 21 x 1 y ; 1 y0 1 x 1 y 1 z ; 1 z 0 ; 1 x; 5 y ; 1 z 1 O0 ; e01 2 2 4 4 2 4 4 4 2 4 f; g e02 f; ; g e03 f; ; g O ; 21 ; 41 14 e1 g f; 12 14 ; 14 g e2 f 12 41 ; 45 g e3 f 12 ; 21 g 267. f 268. x1 x01 x03 ; x04 x2 ; x01 x02 ; x03 x04 x3 x01 ; x02 x03 ; p p x04 x4 x01 ; x02 x03 ; x04 269. ; ; x x0 ; py 3 y x0 py 3 270. x0y0 = 2 = + 7 7 = 2 4 + 3 = 2 + = 5 + 2, 4) +2 = 4 1 3 4 + 12 (3 = 2 0 1 = 2 +2 2 = 2) 2) + 2) = (6 2 = 1 3 = = = 2 = = + = + . 0 ( 6 5 1 3 ( + 1 0) = + + 1. 5) ( + 20 ( 5 + 10) = 8 1) ( 1 3) ( 1 + 0) = = 4. ( 6 = 0 3). + 1) = ) = 1, 1, 1 . = (0 13). +9 2) . = 0. 61 3 + 2) 0 2 + = 1. 2 . 0 +1 ( 2) 1 (1 = 1) + = 1 . (4 = 9 . = + 5, 3) 2 . = 1) 1 + 1 41 = + 3 2) 10 3) 71 = 4 = +4 = = (7 + 3 3 = 0, 3) 27 . = 5 , 5) +1 + 5 = 0, 2) 2 + 8 (6 + 1 1, 2, 3 . 4 +4 = = 3 = 1) 5 + 1, 2) = + = + 9 3) 2 (0 +2 3) = lITERATURA 1] bAHWALOW s w mODENOW p s pARHOMENKO a s sBORNIK ZADA^ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII m nAUKA . ., . ., . . 2] . . . . . . . . . 1964. {URYGIN w w wEKTORNAQ ALGEBRA I EE PRIMENENIE W ANALITI^ESKOJ GEOMETRII PLOSKOSTI u^EBNOE POSOBIE K KURSU ANALITI ^ESKOJ GEOMETRII kAZANSK UN T S . . . . 5] . cUBERBILLER o n zADA^I I UPRAVNENIQ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII m nAUKA . 4] . 1964. pROSKURQKOW i w sBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE m nAUKA S 1967. 384 3] . . . - - . 2001. 50 . {URYGIN w w wEKTORNAQ ALGEBRA I EE PRIMENENIE W ANALITI^ESKOJ GEOMETRII PROSTRANSTWA u^EBNOE POSOBIE K KURSU ANA LITI^ESKOJ GEOMETRII kAZANSK UN T S . . . . . 62 - - . 2002. 72 . sODERVANIE 1 wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE 4 2 rADIUS-WEKTOR 7 3 kOORDINATY WEKTOROW 8 4 aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PRO- STRANSTWE 5 pROSTOE OTNOENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ 6 rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI 7 sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW 8 sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH 9 pOWOROT WEKTORA NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI 10 kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW NA PLOSKOSTI 11 pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOSKOSTI 12 pRQMAQ LINIQ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI 13 uRAWNENIE PU^KA PRQMYH 14 pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT 15 oKRUVNOSTX 16 |LLIPS 17 gIPERBOLA 63 11 13 15 17 19 22 24 26 29 33 35 37 39 44 18 pARABOLA 48 19 pREOBRAZOWANIQ AFFINNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE 64 51