x2. wEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO aKSIOMATI^ESKOE POSTROENIE TEORII WEROQTNOSTEJ NA^INAETSQ S FORMALIZACII (OPISANIQ) PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW ! NEKOTOROGO STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA. oPREDELENNYE (SM.NIVE) PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI; GOWORQT, ^TO PROIZO[LO SOBYTIE A( ), ESLI STATISTI^ESKIJ \KSPERIMENT ZAKON^ILSQ \LEMENTARNYM ISHODOM ! 2 A. nAD SOBYTIQMI A, KAK PODMNOVESTWAMI PROSTRANSTWA , WWODQTSQ TEORETIKO-MNOVESTWENNYE oPERACII, WEROQTNOSTNAQ TRAKTOWKA KOTORYH PRIWODITSQ W SLEDU@]EJ TABLICE. tEORETIKOMNOVESTWENNYE OB_EKTY I OPERACII wEROQTNOSTNAQ TRAKTOWKA { MNOVESTWO PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW, DOSTOWERNOE SOBYTIE ! { \LEMENT A { PODMNOVESTWO MNOVESTWA \LEMENTARNYJ ISHOD \KSPERIMENTA, \LEMENTARNOE SOBYTIE SOBYTIE ; { PUSTOE MNOVESTWO NEWOZMOVNOE SOBYTIE A B { PODMNOVESTWO A ESTX ^ASTX (PRINADLEVIT) B SOBYTIE BYTIE B 1 A WLE^ET SO- gEOMETRI^ESKAQ INTERPRETACIQ ! A { DOPOLNENIE PODMNOVESTWA A DO c A [ B { OB_EDINENIE PODMNOVESTW A I B A \ B { PERESE^ENIE PODMNOVESTW A I B AnB { RAZNOSTX: IZ PODMNOVESTWA A WY^ITAETSQ PODMNOVESTWO B A \ B = ; { MNOVESTWA A I B NE IME@T OB]IH TO^EK (NE PERESEKA@TSQ) SOBYTIE PROIZO[LO A NE pROIZO[LO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ SOBYTIJ A ILI B pROIZO[LI ODNOWREMENNO OBA SOBYTIQ AIB pROIZO[LO SOBYTIE A, W TO WREMQ KAK SOBYTIE B NE PROIZO[LO SOBYTIQ A NESOWMESTNY B I eSLI RASSMATRIWATX WWEDENNYE OPERACII NAD MNOVESTWAMI KAK ALGEBRAI^ESKIE, TO WYSTUPAET W ROLI , ,EDINICY" ALGEBRY, A { W ROLI EE , ,NULQ", ^TO WIDNO IZ SLEDU@]IH RAWENSTW: A ; = ; = ; (A ) = A; A [ = A; A [ A = A; A [ = ; A [ A = ; A \ = ; A \ A = A; A \ = A; A \ A = : c c c c c c oPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ RASPROSTRANQ@TSQ NA L@BOE, WOZMOVNO NES^ETNOE SEMEJSTWO fAi ; i 2 I g SOBYTIJ: S 2 Ai { T 2 Ai { i I i I PROIZO[LO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ SOBYTIJ SEMEJSTWA fAi ; i 2 I g, PROIZO[LI ODNOWREMENNO WSE SOBYTIQ SEMEJSTWA fA ; i 2 I g. i fA ; i 2 I g NAZYWAETSQ SEMEJSTWOM NESOWMESTNYH SOBYTIJ, ESLI A \ A = PRI L@BYH i 6= j; i; j 2 I: oPREDELENIE 2.1. sEMEJSTWO SOBYTIJ i i 2 j eSLI Ai ; i 2 I , NESOWMESTNY, TO WMESTO ZNAKA \PRQMOJ SUMMY" P (ILI +): [ 2 i I A = XA ; i 2 i I A [ B = A + B: i iMEET MESTO PRAWILO DWOJSTWENNOSTI: [ \ I I S ISPOLXZUETSQ ZNAK ( Ai )c = Aci; \ [ I I ( Ai)c = Aci: nAPOMNIM, ^TO OPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ OBLADA@T SWOJSTWAMI KOMMUTATIWNOSTI A [\ B = B [\ A, ASSOCIATIWNOSTI (A [\ B ) [\ C = A [\ (B [\ C ) I DISTRIBUTIWNOSTI B \ ([I Ai) = [I (Ai \ B ). oTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI A B POROVDAET ^ASTI^NYJ PORQDOK NA PODMNOVESTWAH PROSTRANSTWA , TAK ^TO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI (RAWENSTWA) A = B DWUH SOBYTIJ OZNA^AET, ^TO ODNOWREMENNO A B I B A. wWEDENNYE WY[E OPERACII NAD MNOVESTWAMI OPREDELQ@T STRUKTURU BULEWOJ ALGEBRY: IMEET MESTO oPREDELENIE 2.2. bULEWOJ ALGEBROJ NAZYWAETSQ TAKOJ KLASS A , ^TO (A1) 2 A, (A2) A 2 A =) Ac 2 A, (A3) A; B 2 A =) A [ B 2 A. PODMNOVESTW lEKCIQ 3 pREDLOVENIE 2.1. eSLI A { BULEWA ALGEBRA, TO (1) 2 A; (2) A1; : : : ; An 2 A =) Sn1 Ai 2 A; Tn1 Ai 2 A; (3) A; B 2 A =) A n B 2 A: d O K A Z A T E L X S T W O. (1) tAK KAK = c ; TO W SILU (A1) I (A2) 2 A: (2) iSPOLXZUQ METOD INDUKCII, LEGKO POKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO S n n = 1; 2; : : : WKL@^ENIE fAi ; i = 1; : : : ; ng A WLE^ET 1 Ai 2 A (n ; 1 RAZ ISPOLXZUETSQ AKSIOMA (A3) BULEWOJ ALGEBRY). s DRUGOJ STORONY, IZ PRAWILA DWOJSTWENNOSTI WYTEKAET, ^TO fA ; i = 1; ng A =) Tn A 2 A, IBO fAc; i = 1; ng A =) Sn Ac = (Tni A )c 2 A =) Tn A = 1T i i 1 i 1 i 1 i n c c [( 1 Ai) ] 2 A: (3) |TO SWOJSTWO NEMEDLENNO SLEDUET IZ O^EWIDNOGO RAWENSTWA A n B = A \ B c (RAZNOSTX MNOVESTW OZNA^AET, ^TO ! ODNOWREMENNO PRINADLEVIT DOPOLNENI@ MNOVESTWA B I MNOVESTWU A). 3 tAKIM OBRAZOM, BULEWA ALGEBRA SODERVIT \EDINICU" ; \NOLX" I ZAMKNUTA OTNOSITELXNO KONE^NOGO ^ISLA OPERACIJ OB_EDINENIQ, PERESE^ENIQ I WY^ITANIQ (WZQTIQ DOPOLNENIQ). p R I M E R Y B U L E W Y H A L G E B R. 1. sAMAQ \TONKAQ" BULEWA ALGEBRA: MNOVESTWO P ( ) WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA , WKL@^AQ PUSTOE MNOVESTWO , KAK PODMNOVESTWO L@BOGO A 2 : 2. sAMAQ \GRUBAQ" BULEWA ALGEBRA A = f; g. 3. bULEWA ALGEBRA, POROVDENNAQ SOBYTIEM A : A = f; ; A; Acg. oPREDELENIE 2.3. wEROQTNOSTX@ P NA BULEWOJ ALGEBRE A PODW OTREZOK [0; 1], OBLADA@]EE MNOVESTW NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE A SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: (P 1) NORMIRUEMOSTX: P ( ) = 1; (P 2) KONE^NAQ ADDITIWNOSTX: ESLI SOBYTIQ NY, TO 0 1 A1; : : :; A n NESOWMEST- P @X A A = X P (A ); 1 1 (P 3) NEPRERYWNOSTX: ESLI fA ; n 1g { MONOTONNO UBYWA@]AQ PO T1 WKL@^ENI@ POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ A I 1 A = (W \TOM SLU^AE PI[UT A # ; KOGDA n ! 1), TO lim !1 P (A ) = 0: n n i i n n n n n w SLEDU@]EM PREDLOVENII PREDPOLAGAETSQ, ^TO WSE SOBYTIQ PRINADLEVAT BULEWOJ ALGEBRE A: pREDLOVENIE 2.2. wEROQTNOSTX P NA BULEWOJ ALGEBRE A OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: (1) P () = 0; (2) P (Ac) = 1 ; P (A); (3) ESLI A B; TO P (A) P (B ) (SWOJSTWO MONOTONNOSTI) I P (B n A) = P (B ) ; P (A); (4) P (A [ B ) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B ) (SWOJSTWO SILXNOJ ADDITIWNOSTI); (5) P (Sn1 Ai) Pn1 P (Ai ) (SWOJSTWO POLUADDITIWNOSTI); (6) ESLI An # A ILI An " A; TO SPRAWEDLIWO SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI OTNOSITELXNO MONOTONNOJ SHODIMOSTI lim !1 P (An ) = P (A); n 4 (7) ESLI fAn; n 1g { BESKONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX NESOWMEST- NYH SOBYTIJ, TO IMEET MESTO SWOJSTWO -ADDITIWNOSTI 01 1 1 P @X AnA = X P (An); 1 1 P1 (8) P (S1 1 An) 1 P (An ) (SWOJSTWO -POLUADDITIWNOSTI.) d O K A Z A T E L X S T W O. (1) iSPOLXZUQ W NUVNOM MESTE AKSIOMY (P 2) I (P 1); POLU^AEM 1 = P ( ) = P ( + ) = P ( ) + P () = 1 + P (); OTKUDA P () = 0: (2) iSPOLXZUQ AKSIOMU ADDITIWNOSTI (P 2); IMEEM 1 = P ( ) = P (A + Ac) = P (A) + P (Ac ); OTKUDA P (Ac ) = 1 ; P (A): (3) tAK KAK B = A + (B n A); TO, W SILU (P 2); P (B ) = P (A) + P (B nA); OTKUDA P (B nA) = P (B );P (A): pOSKOLXKU P (B nA) 0; TO IZ POSLEDNEGO RAWENSTWA WYTEKAET SWOJSTWO MONOTONNOSTI P (A) P (B ): (4) lEGKO WIDETX, ^TO A [ B = A + (B n (A \ B )); I POSKOLXKU A \ B B; TO W SILU AKSIOMY ADDITIWNOSTI I DOKAZANNOGO SWOJSTWA (3) MONOTONNOSTI WEROQTNOSTI POLU^AEM P (A [ B ) = P (A) + P (B n (A \ B )) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B ): (5) dOKAZATELXSTWO PROWEDEM PO INDUKCII. pRI n = 2 IZ DOKAZAN- NOGO SWOJSTWA (4) SILXNOJ ADDITIWNOSTI I POLOVITELXNOSTI WEROQTNOSTI WYTEKAET, ^TO P (A1 [ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) ; P (A1 \ A2 ) P (A1 )+ P (A2 ): tEPERX, POLAGAQ, ^TO DOKAZYWAEMOE NERAWENSTWO IMEET MESTO DLQ NEKOTOROGO CELOGO n; UBEVDAEMSQ, ^TO ONO SPRAWEDLIWO DLQ n + 1; ISPOLXZUQ PREDSTAWLENIE +1 [ n 1 0n 1 Ai = @[ AiA [ An+1: 1 eSLI An # A; TO An n A # ; I TREBUEMOE SWOJSTWO WYTEKAET IZ PREDSTAWLENIQ An = A + (An n A) I AKSIOM ADDITIWNOSTI (P 2) I NEPRERYWNOSTI (P 3) WEROQTNOSTI P: sLU^AJ An " A RASSMATRIWAETSQ ANALOGI^NO I PRI \TOM ISPOLXZUETSQ PREDSTAWLENIE A = An +(A n An ): (7) sWOJSTWO -ADDITIWNOSTI WYTEKAET IZ DOKAZANNOGO SWOJSTWA (6) I SWOJSTWA (P 2) KONE^NOJ ADDITIWNOSTI: (6) 01 1 0 X P @ AkA = P @ lim 1 !1 " n n X 1 5 1 0n 1 @X Ak A = Ak A = nlim P !1 1 n 1 X X lim P ( A ) = P ( Ak ) : k n!1 1 1 (8) iSPOLXZUQ, KAK I W (7), SWOJSTWO (6), A TAKVE SWOJSTWO POLUADDITIWNOSTI (5), POLU^AEM 01 1 0 1 0n 1 n [ [ A = lim P @[ Ak A P @ AnA = P @nlim " A k !1 1 n!1 1 1 n 1 X X lim P ( A ) = P (Ak ): k n!1 1 1 iZ DOKAZANNYH SWOJSTW WEROQTNOSTI SLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA SWOJSTWO (6) -ADDITIWNOSTI. dELO W TOM, ^TO \TO SWOJSTWO ^ASTO KLADETSQ W OSNOWU OPREDELENIQ WEROQTNOSTI WMESTO AKSIOM (P 2) I (P 3): iMEET MESTO oPREDELENIE 2.4. wEROQTNOSTX@ P NA BULEWOJ ALGEBRE A PODMNOVESTW NAZYWAETSQ TAKOE OTOBRAVENIE A W OTREZOK [0; 1], ^TO (P 1) (NORMIRUEMOSTX) P ( ) = 1; (P 20 ) (-ADDITIWNOSTX) ESLI OB_EDINENIE P1 1 An S^ETNOGO SEMEJSTWA fAn ; n 1g NESOWMESTNYH SOBYTIJ PRINADLEVIT BULEWOJ ALGEBRE A; TO 0 1 1 1 1 1 P @X AnA = X P (An): iMEET MESTO pREDLOVENIE 2.3.oPREDELENIQ 2.3 I 2.4 WEROQTNOSTI WOJ ALGEBRE A \KWIWALENTNY. P NA BULE- d O K A Z A T E L X S T W O. tO, ^TO (P 2) I (P 3) WLE^ET (P 20 ) BYLO USTANOWLENO W UTWERVDENII (7) PREDLOVENIQ 2.2. dOKAVEM OBRATNOE { ADDITIWNOSTX WLE^ET NEPRERYWNOSTX P: pUSTX An # ; TREBUETSQ DOKAZATX, ^TO P (An ) ! 0; KOGDA n ! 1: pREDSTAWIM An W WIDE OB_EDINENIQ POSLEDOWATELXNOSTI NESOWMESTNYH SOBYTIJ: 1 A = n w SILU AKSIOMY X = (Ak n Ak+1): k n -ADDITIWNOSTI 1 P (A ) = X P (A n A +1): n k = k n 6 k pRAWAQ ^ASTX \TOGO RAWENSTWA PREDSTAWLQET OSTATO^NYJ ^LEN SHODQ]EGOSQ RQDA 1 X S = P (A n A +1); =1 POSKOLXKU IZ WKL@^ENIQ A +1 A (NAPOMNIM, POSLEDOWATELXNOSTX fA ; n 1g MONOTONNO UBYWA@]AQ) SLEDUET k k k n k k 1 S = X [P (A ) ; P (A +1 )] = P (A1) 1: k =1 k k iTAK, RQD SHODITSQ I, SLEDOWATELXNO, EGO OSTATO^NYJ ^LEN P (An ) ! 0; KOGDA n ! 1: oPREDELENIE 2.4 POSTULIRUET, ^TO P ESTX NORMIROWANNAQ S^ETNO ADDITIWNAQ MERA NA BULEWOJ ALGEBRE A PODMNOVESTW (SOBYTIJ) PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW : pOSKOLXKU NAM PRIDETSQ DOWOLXNO ^ASTO WY^ISLQTX WEROQTNOSTI OB_EDINENIJ BESKONE^NOGO ^ISLA SOBYTIJ, A TAKIE OB_EDINENIQ NE OBQZATELXNO PRINADLEVAT A; TO ESTESTWENNO, KAK \TO PRINQTO W TEORII MERY, RAS[IRITX BULEWU ALGEBRU A; WKL@^IW W NEE PREDELY MONOTONNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ EE \LEMENTOW, POSLE ^EGO PRODOLVITX WEROQTNOSTX P NA RAS[IRENNYJ TAKIM OBRAZOM KLASS PODMNOVESTW : oPREDELENIE 2.5. sOWOKUPNOSTX A PODMNOVESTW PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ BULEWOJ ALGEBROJ, ESLI - (A1) 2 A; (A2) A 2 A =) Ac 2 A; S (A3)S fAn; n 1g A =) 1 1 An 2 A: iSPOLXZUQ PRAWILO DWOJSTWENNOSTI PO ANALOGII S DOKAZATELXSTWOM PREDLOVENIQ 2.1, LEGKO UBEDITXSQ, ^TO BULEWA -ALGEBRA ZAMKNUTA NE TOLXKO OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ S^ETNOGO ^ISLA SWOIH \LEMENTOW, NO I OTNOSITELXNO IH PERESE^ENIQ. wSEGDA SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA -ALGEBRA PODMNOVESTW L@BOGO PROSTRANSTWA ; NAPRIMER, TAKOWOJ QWLQETSQ SOWOKUPNOSTX P ( ) WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW ; WKL@^AQ (SAMAQ \TONKAQ" BULEWA ALGEBRA { SM. PRIMER 1). wSPOMINAQ NA[I RASSUVDENIQ O POPOLNENII BULEWOJ ALGEBRY PREDELAMI MONOTONNYH (PO WKL@^ENI@) POSLEDOWATELXNOSTEJ EE \LEMENTOW, WWEDEM 7 oPREDELENIE 2.6. nAIMENX[AQ -ALGEBRA B(A); SODERVA]AQ BULE- WU ALGEBRU A; NAZYWAETSQ -ALGEBROJ, POROVDENNOJ BULEWOJ ALGEBROJ A: iZ KURSA ANALIZA WAM HORO[O IZWESTNA ZNAMENITAQ TEOREMA O PRODOLVENII MERY. w TERMINAH WEROQTNOSTNOJ MERY ONA FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM tEOREMA (O PRODOLVENII WEROQTNOSTI). l@BAQ WEROQTNOSTX P; ZADANNAQ NA BULEWOJ ALGEBRE A; IMEET EDINSTWENNOE PRODOLVENIE NA POROVDENNU@ A -ALGEBRU B(A): oPREDELENIE 2.7. pARA ( ; A); SOSTOQ]AQ IZ PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW I BULEWOJ -ALGEBRY A EE PODMNOVESTW, NAZYWA- ETSQ IZMERIMYM PROSTRANSTWOM. tOLXKO \LEMENTY A NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI, OSTALXNYE PODMNOVESTWA ; NE PRINADLEVA]IE A; NAZYWA@TSQ NEIZMERIMYMI PODMNOVESTWAMI. nAKONEC, TRIPLET ( ; A; P ); W KOTOROM P { WEROQTNOSTX NA -ALGEBRE A; NAZYWAETSQ WEROQTNOSTNYM PROSTRANSTWOM. 8