поверхности второго порядка к каноническому виду

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
приведение общего уравнения поверхности второго
порядка к каноническому виду
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 7
Упрощение общего уравнения поверхности I
Общее уравнение поверхности второго порядка
a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a23 yz + 2a13 xz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0,
где a11 , a22 , a33 , a12 , a23 , a13 не равны нулю одновременно.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 7
Упрощение общего уравнения поверхности II
Теорема
Всякая квадратичная форма однородным ортогональным преобразованием
может быть приведена к такому виду (каноническому), при котором
преобразованная форма не содержит членов с произведением новых
переменных, взятых попарно. Причём коэффициентами преобразованной формы
будут корни характеристического уравнения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 7
Упрощение общего уравнения поверхности III
Рассмотрим квадратичную форму
f = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a23 yz + 2a13 xz.
Составим матрицу квадратичной формы f :

a11
A =  a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23  .
a33
Замечание
Если матрица квадратичной формы диагональна, то базис исходной системы
координат является каноническим.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 7
Упрощение общего уравнения поверхности IV
Теорема
Если матрица A квадратичной формы f симметричная, то её собственные числа
являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из
собственных векторов.
Обозначим ортонормированный базис как i1 , j 1 , k1 . Пусть эти векторы
имеют координаты

α1
i1 =  α2  ,
α3


β1
j 1 =  β2  ,
β3


γ1
k 1 =  γ2  .
γ3

Обозначим i, j, k и i1 , j 1 , k1 соответственно базис исходной и новой
систем координат. Тогда формулы преобразования координат
представляются в виде
 
α1
x
 y  =  α2
z
α3

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
β1
β2
β3


x1
γ1
γ 2   y2  .
z3
γ3
2013г.
5 / 7
Упрощение общего уравнения поверхности V
Теорема
Пусть собственные векторы i1 , j 1 , k 1 матрицы квадратичной формы f ,
образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам λ1 ,
λ2 , λ3 . Тогда в системе координат Ox1 y1 z1 квадратичная форма принимает вид
f = λ1 x21 + λ2 y12 + λ3 z12 .
Замечание
При подстановке формул преобразования координат x, y, z через новые
переменные x1 , y1 , z1 в общее уравнение поверхности, квадратичная и
линейная части преобразуются независимо друг от друга,
Общее уравнение поверхности в системе координат Ox1 y1 z1 примет вид
λ1 x21 + λ2 y12 + λ3 z12 + 2b14 x1 + 2b24 y1 + 2b34 z1 + a44 = 0,
Хотя бы одно из чисел λ1 , λ2 , λ3 отлично от нуля, т. к. матрица A ненулевая,
Дальнейшее упрощение уравнения поверхности связано с методом
выделения полных квадратов (параллельным переносом системы координат
Ox1 y1 z1 ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
6 / 7
Каноническое уравнение поверхности I
Теорема
Общее уравнение поверхности второго порядка, заданное относительно общей
ДСК, при помощи преобразования системы координат в прямоугольную систему
можно преобразовать к одному из следующих пяти простейших уравнений:
I λ1 x22 + λ2 y22 + λ3 z22 + b44 = 0,
II
III
IV
V
λ1 x22
λ1 x22
λ1 x22
λ1 x22
+
+
λ2 y22
λ2 y22
+ 2b34 z2 = 0,
+ b44 = 0,
+ 2b24 y2 = 0,
+ b44 = 0,
λ1 6= 0, λ2 6= 0, λ3 6= 0,
λ1 6= 0, λ2 6= 0, b34 6= 0,
λ1 6= 0, λ2 6= 0,
λ1 6= 0, b24 6= 0,
λ1 6= 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
7 / 7