1.1. Векторы - Факультет прикладной математики

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
векторы
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 15
Основные определения I
Определение
Вектором (геометрическим вектором) называется отрезок, для которого
указано, какая из его граничных точек является начальной и какая — конечной.
Определение
Длина или модуль вектора, есть длина соответствующего отрезка,
определяющего данный вектор.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 15
Основные определения II
Определение
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.
Определение
Вектор называется единичным, если его длина равна единице в принятой
системе измерения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 15
Основные определения III
Определение
Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости
или в параллельных плоскостях.
Определение
Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на
параллельных прямых.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 15
Основные определения IV
Определение
Коллинеарные векторы одинаково направлены (сонаправлены), если у векторов,
имеющих общее начало и длины, равные длинам исходных векторов, и
расположенных на прямой, параллельной прямым, на которых находятся
исходные векторы, концы расположены по одну сторону от общего начала. В
противном случае коллинеарные векторы противоположно направлены.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 15
Основные определения V
Определение
Ортом произвольного ненулевого вектора называют единичный вектор,
коллинеарный исходному и имеющий то же направление, что и исходный вектор.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
6 / 15
Основные определения VI
Определение
Векторы равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое
направление.
Определение
Векторы противоположны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину, но
направления их противоположны.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
7 / 15
Сумма векторов I
Определение
Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало
которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего
вектора.
−−→ −→ −
−→ −−→ −→ −−→
s = AK = AB + BC + CD + DL + LK
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 15
Сумма векторов II
Определение
Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов,
следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки O, и
равных соответственно данным векторам.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
9 / 15
Сумма векторов III
Свойства суммы векторов
1
a + b = b + a (коммутативность);
2
(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);
3
a + 0 = a (нулевой вектор);
4
a + (−a) = 0 (свойство противоположного вектора).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
10 / 15
Сумма векторов IV
Определение
Разностью векторов a и b называют такой вектор d, который в сумме с
вектором b даёт вектор a, т. е. d + b = a. Разность векторов d обозначается
d = a − b.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
11 / 15
Произведение вектора на число I
Определение
Произведением вектора a на вещественное число α называется вектор p = αa,
определяемый следующим образом: вектор p коллинеарен вектору a, имеет
направление вектора a, если α > 0, и направление, противоположное вектору a,
если α < 0, при этом |p| = |α| · |a|.
Теорема.
Если ненулевые векторы a и b коллинеарны, то любой из них представим через
другой, т. е. найдётся такое число α 6= 0, что вектор b = αa.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
12 / 15
Произведение вектора на число II
Свойства произведения вектора на число
1
λ(µa) = (λµ)a (ассоциативность);
2
(λ + µ)a = λa + µa (дистрибутивность относительно суммы чисел);
3
λ(a + b) = λa + λb (дистрибутивность относительно суммы векторов);
4
1 · a = a (свойство единицы).
Определение
Операции сложения (свойства суммы векторов) и операции умножения вектора
на вещественное число (свойства произведения вектора на число) называются
линейными операциями над векторами.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
13 / 15
Деление вектора в заданном отношении I
Определение
−→
Точка M , не совпадающая с точкой B, делит вектор AB в отношении λ 6= −1,
если
−−→
−−→
AM = λM B.
rM − rA = λ(rB − rM )
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
или
rM =
rA + λrB
.
1+λ
2013г.
14 / 15
Деление вектора в заданном отношении II
Если M лежит внутри отрезка AB, то λ > 0;
Если M лежит вне отрезка AB, то λ < 0;
Если M совпадает с A, то λ = 0;
Если M → B, то λ → ∞;
Если M совпадает с B, то λ @.
−→
Если M делит вектор AB в отношении λ, то
λ=
λ=
AM
MB
Если точка M → ±∞, то
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
Л.Ш.
=
AM
.
MB
AB + BM
AB
=
+ (−1).
MB
MB
AB
→ 0, тогда limM →±∞ λ = −1.
MB
2013г.
15 / 15