ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА кинематика твёрдого тела

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
кинематика твёрдого тела
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 56
Задача кинематики твёрдого тела I
Абсолютно твёрдое тело
Механическая система, у которой взаимные расстояния между точками
постоянны.
Замечание
Если в ДПСК точка Pk твёрдого тела имеет радиус-вектор rk , то по определению
при любых i, j величины |ri − rj | = rij постоянны во всё время движения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 56
Задача кинематики твёрдого тела II
Свободное твёрдое тело
Если помимо связей, обеспечивающих постоянство расстояний rij , на твёрдое
тело не наложено никаких других связей.
Число степеней свободы твёрдого тела равно шести, как бы ни было
велико число N образующих его точек
Твёрдое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы;
Если у тела неподвижны две точки, то оно имеет одну степень свободы;
Если свободное твёрдое тело представляет собой бесконечно тонкий
стержень (или связанные им две материальные точки), то оно имеет пять
степеней свободы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 56
Задача кинематики твёрдого тела III
Задача кинематики твёрдого тела
Разработка способов задания движения, а также способов, позволяющих по
небольшому числу кинематических характеристик, общих для всего тела,
находить кинематические характеристики каждой точки тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 56
Задача кинематики твёрдого тела IV
Поступательное перемещение твёрдого тела
Перемещение, при котором перемещения всех его точек геометрически равны.
Вращение твёрдого тела
Перемещение, при котором его конечное положение получается из начального
путём поворота вокруг неподвижной прямой (оси вращения).
Винтовое перемещение твёрдого тела
Совокупность поступательного перемещения и вращения, в которой
поступательное перемещение происходит вдоль оси вращения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера I
Введём системы координат:
Oa XY Z – абсолютная система координат, O – произвольная фиксированная
точка твёрдого тела (полюс), OXY Z – система координат, получающаяся из
Oa XY Z при помощи поступательного перемещения, Oxyz – система координат
жёстко связанная с твёрдым телом.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
6 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера II
Пусть P – некоторая точка тела. Векторы RO , R заданы в системе OXY Z, а
−
−→
−
−
→
вектор ρ = OP – в системе Oxyz. OP , заданный в системе OXY Z, обозначим r.
r = Aρ,
где A – матрица перехода от системы Oxyz к системе OXY Z.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
7 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера III
Положение точки P тела в абсолютной системе координат задаётся
равенством:
R = RO + Aρ,
RO и A – функции времени (дважды непрерывно дифференцируемы).
Матрица A, является ортогональной:
A−1 = A0
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера IV
Следствие
Элементы матрицы A связаны шестью независимыми соотношениями:
сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) равна единице;
сумма попарных произведений соответствующих элементов столбцов
(строк) равна нулю.
Из девяти элементов матрицы A независимых только три:
Матрицу A можно задать при помощи трёх независимых параметров.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
9 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера V
Углы Эйлера
Oxy пересекается с OXY по прямой ON – линии узлов;
Угол, составляемый линией узлов с осью OX: ψ – угол прецессии;
Угол между осями Oz и OZ: θ – угол нутации;
Угол между осью Ox и линией узлов: ϕ – угол собственного вращения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
10 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера VI
Замечание
Обычно 0 6 ψ 6 2π, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
11 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера VII
Переход от системы координат OXY Z к системе Oxyz
Три последовательных поворота:
1
На угол ψ вокруг OZ;
2
На угол θ вокруг ON ;
3
На угол ϕ вокруг Oz.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
12 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера VIII
При первом повороте
Система координат OXY Z переходит в промежуточную систему координат
OX1 Y1 Z:






X1
cos ψ − sin ψ 0
X
 Y  = A1  Y1  , A1 =  sin ψ
cos ψ
0 .
0
0
1
Z
Z
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
13 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера IX
При втором повороте
Система координат OX1 Y1 Z переходит в промежуточную систему OX1 Y2 z:






X1
X1
1
0
0
 Y1  = A2  Y2  , A2 =  0 cos θ − sin θ  .
0 sin θ
cos θ
z
Z
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
14 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера X
При третьем повороте
Система координат OX1 Y2 z переходит в систему координат Oxyz:






cos ϕ − sin ϕ 0
x
X1
 Y2  = A3  y  , A3 =  sin ϕ
cos ϕ
0 .
0
0
1
z
z
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
15 / 56
Векторно-матричное задание движения твёрдого тела. Углы
Эйлера XI
Матрица A перехода от системы координат Oxyz к системе OXY Z равна
произведению матриц A1 A2 A3 :

cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ
 sin ψ cos ϕ + cos ψ sin ϕ cos θ
sin ϕ sin θ
− cos ψ sin ϕ − sin ψ cos ϕ cos θ
− sin ψ sin ϕ + cos ψ cos ϕ cos θ
cos ϕ sin θ

sin ψ sin θ
− cos ψ sin θ  .
cos θ
Замечание
В общем случае ориентация твёрдого тела, получаемая им в результате двух
последовательных конечных поворотов, зависит от порядка выполнения этих
поворотов.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
16 / 56
Движение твёрдого тела с неподвижной точкой как
ортогональное преобразование I
Сферическое движение твёрдого тела
Если во всё время движения у твёрдого тела остаётся неподвижной одна точка
O, то говорят, что тело движется вокруг точки O.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
17 / 56
Движение твёрдого тела с неподвижной точкой как
ортогональное преобразование II
RO постоянен
Пусть при t = 0 оси Oxyz совпадает с соответствующими осями OXY Z ⇒ A = E
и R = r = ρ... причём эти векторы задаются в одной и той же системе координат
(либо в Oxyz, либо в OXY Z).
Через некоторое время t вектор ρ перейдёт в вектор r = A(t)ρ.
1
2
Матрица A ортогональна, т. е. AA0 = E ⇒ (det A)2 = 1;
det A = ±1, но, так как в начальный момент det A = 1, стать равным −1 при
каком-либо t он не может в силу своей непрерывности по t.
Следствие
Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки задаёт собственное
ортогональное преобразование.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
18 / 56
Основные теоремы о конечных перемещениях твёрдого тела I
Теорема (Эйлера)
Произвольное перемещение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку,
можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей
через эту точку.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
19 / 56
Основные теоремы о конечных перемещениях твёрдого тела II
Теорема (Шаля)
Самое общее перемещение твёрдого тела разлагается на поступательное
перемещение, при котором произвольно выбранный полюс переходит из своего
первоначального положения в конечное, и на вращение вокруг некоторой оси,
проходящей через этот полюс. Это разложение можно совершить не
единственным способом, выбирая за полюс различные точки тела; при этом
направление и длина поступательного перемещения будут изменяться при
выборе различных полюсов, а направление оси вращения и угол поворота вокруг
неё не зависят от выбора полюса.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
20 / 56
Основные теоремы о конечных перемещениях твёрдого тела III
Теорема (Моцци)
Самое общее перемещение твёрдого тела является винтовым перемещением.
Следствие (теорема Бернулли-Шаля)
Самое общее перемещение плоской фигуры в своей плоскости есть либо
поступательное перемещение, либо вращение вокруг точки. Эта точка
называется центром конечного вращения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
21 / 56
Скорость и ускорение твёрдого тела при поступательном
движении
Определение
Движение твёрдого тела в течение некоторого промежутка времени называется
поступательным, если поступательно его перемещение между положениями,
соответствующими двум произвольным моментам времени из этого промежутка.
Замечание
При поступательном перемещении любые две точки тела P1 и P2 за время ∆t
имеют геометрически равные перемещения ∆R1 и ∆R2 .
Следствие
При поступательном движении все точки тела имеют равные скорости и равные
ускорения, которые называют соответственно скоростью и ускорением
поступательного движения твёрдого тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
22 / 56
О мгновенном кинематическом состоянии твёрдого тела
Мгновенно поступательное движение
Если в данный момент времени скорости v всех точек твёрдого тела равны
между собой, то говорят, что тело совершает мгновенно поступательное
движение со скоростью v. В частности, если v = 0, то тело находится в
мгновенном покое.
Мгновенное вращение
Если в данный момент времени точки некоторой прямой в твёрдом теле имеют
скорости, равные нулю, то говорят, что тело совершает мгновенное вращение
вокруг этой прямой, а прямую называют мгновенной осью вращения.
Мгновенно винтовое движение
Если в данный момент тело участвует в совокупности двух мгновенных
движений, поступательном вдоль некоторой оси и вращении вокруг этой оси, то
говорят, что тело совершает мгновенно винтовое движение.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
23 / 56
Скорости и ускорения точек твёрдого тела в общем случае
движения I
Теорема
Существует единственный вектор ω, называемый угловой скоростью тела, с
помощью которого скорость v точки P тела может быть представлена в виде
v = v O + ω × r,
где vO — скорость полюса O; вектор ω от выбора полюса не зависит.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
24 / 56
Скорости и ускорения точек твёрдого тела в общем случае
движения II
Следствия
1
В каждый момент времени проекции скоростей любых двух точек твёрдого тела на
прямую, проходящую через эти точки, равны между собой;
2
Скорости трёх точек твёрдого тела, не лежащие на одной прямой, вполне
определяют скорость любой точки тела;
3
Если векторы скоростей трёх точек твёрдого тела, не лежащих на одной прямой, в
некоторый момент времени равны, то тело совершает мгновенно поступательное
движение;
4
Если в данный момент времени скорости двух точек тела равны нулю, то тело
либо находится в мгновенном покое, либо совершает мгновенное вращение вокруг
прямой, проходящей через эти точки;
5
Если скорость некоторой точки тела в данный момент времени равна нулю, то
тело находится либо в мгновенном покое, либо в мгновенном вращении вокруг оси,
проходящей через эту точку;
6
Мгновенное движение твёрдого тела в самом общем случае разлагается на два
движения: поступательное со скоростью, равной скорости произвольного полюса, и
вращение вокруг оси, проходящей через этот полюс.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
25 / 56
Скорости и ускорения точек твёрдого тела в общем случае
движения III
Для ускорения точки P
w = v̇O + ω̇ × r + ω × ṙ.
вектор ε = ω̇ называется угловым ускорением. Учитывая формулу Эйлера ṙ = ω × r,
получаем формулу Ривальса
w = v̇O + ε × r + ω × (ω × r).
Вектор wвр = ε × r называют вращательным ускорением, wос = ω × (ω × r) —
осестремительным ускорением.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
26 / 56
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси I
Пусть в твёрдом теле неподвижны две точки O и O1
r = Aρ,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

cos ϕ
A =  sin ϕ
0
− sin ϕ
cos ϕ
0

0
0 .
1
2013г.
27 / 56
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси II
Замечание
Угловая скорость ω направлена по оси вращения, причем так, что если
смотреть с конца вектора ω, то вращение тела видно происходящим против
часовой стрелки;
Угловое ускорение ε также направлено по оси вращения, причём в ту
сторону, что и ω, если ϕ̇ϕ̈ > 0, т. е. если вращение ускоренное, и
противоположно ω, если ϕ̇ϕ̈ < 0, т. е. если вращение замедленное.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
28 / 56
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси III
Для вычисления скорости и ускорения точки P примем начало координат
O за полюс
v = ω × r,
v = ωd = |ϕ̇|d,
где d – радиус окружности, по которой движется точка P .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
29 / 56
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси IV
Для ускорения
w = w вр + w ос .
w вр = ε × r,
wвр = εd = |ϕ̈|d.
w ос = ω × v,
wос = ω 2 d.
Модуль полного ускорения точки P и угол β между направлениями
осестремительного и полного ускорений
w=d
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
p
ε2 + ω 4 ,
tan β =
ε
.
ω2
2013г.
30 / 56
Движение вокруг неподвижной точки I
Пусть твёрдое тело имеет одну неподвижную точку O:
В данный момент времени скорости точек тела таковы, какими они были бы,
если бы тело вращалось с угловой скоростью ω (мгновенная угловая скорость)
вокруг неподвижной оси (мгновенная осью вращения), на которой в данный
момент лежит вектор ω.
Замечание
При движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случае
движения свободного твёрдого тела) ω не является производной некоторого угла
ϕ, так как нет такого направления, вокруг которого поворот на угол ϕ
совершался.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
31 / 56
Движение вокруг неподвижной точки II
Уравнения движения твёрдого тела при вращении около неподвижного
центра
Определяются заданием углов Эйлера как функций времени:
ψ = f1 (t),
ϕ = f2 (t),
θ = f3 (t).
Распределение скоростей в твёрдом теле (формула Эйлера)
v = ω × r.
Проекции скорости на неподвижные оси координат X, Y, Z
vX = ωY Z − ωZ Y,
vY = ωZ X − ωX Z,
vZ = ωX Y − ωY X.
Проекции скорости на подвижные оси координат x, y, z
vx = ωy z − ωz y,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
vy = ωz x − ωx z,
vz = ωx y − ωy x.
2013г.
32 / 56
Движение вокруг неподвижной точки III
Вектор угловой скорости вычисляется по известным углам Эйлера:
ω = ψ̇k + θ̇n + ϕ̇k1 ,
где k, n, k1 – орты оси OZ, линии узлов ON и оси Oz.
Проекции угловой скорости на неподвижные и подвижные оси координат
ωX = ϕ̇ sin ψ sin θ + θ̇ cos ψ,
ωY = −ϕ̇ cos ψ sin θ + θ̇ sin ψ,
ωZ = ϕ̇ cos θ + ψ̇,
ωx = ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ,
ωy = ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ,
ωz = ψ̇ cos θ + ϕ̇.
Модуль мгновенной угловой скорости
ω=
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
q
ψ̇ 2 + ϕ̇2 + θ̇2 + 2ψ̇ ϕ̇ cos θ.
2013г.
33 / 56
Движение вокруг неподвижной точки IV
Определение
Мгновенная ось вращения описывает в теле коническую поверхность –
подвижный аксоид ;
Уравнение подвижного аксоида:
x
y
z
=
=
.
ωx
ωy
ωz
Определение
Мгновенная ось вращения описывает в абсолютном пространстве
коническую поверхность – неподвижный аксоид ;
Уравнение неподвижного аксоида:
X
Y
Z
=
=
.
ωX
ωY
ωZ
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
34 / 56
Движение вокруг неподвижной точки V
Замечание
При движении тела подвижный аксоид катится по неподвижному без
скольжения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
35 / 56
Движение вокруг неподвижной точки VI
Замечание
Годограф вектора ω лежит на неподвижном аксоиде. Угловое ускорение ε
направлено по касательной к годографу и не обязательно по мгновенной оси
вращения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
36 / 56
Движение вокруг неподвижной точки VII
Положим ω = ωe, где e – единичный вектор, коллинеарный ω. Тогда
ε = ω̇e + ω ė = ε1 + ε2 ,
где вектор ε1 характеризует изменение ω по модулю, а ε2 – по направлению.
Если мгновенная ось вращения вращается вокруг точки O с угловой
de
= Ω × e, то
скоростью Ω, т. е.
dt
ε2 = Ω × ω.
Вектор ε можно найти через проекции углового ускорения:
dωX
,
dt
dωY
εY =
,
dt
dωZ
εZ =
,
dt
εX =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
dωx
,
dt
dωy
εy =
,
dt
dωz
εz =
.
dt
εx =
2013г.
37 / 56
Движение вокруг неподвижной точки VIII
Замечание
Ускорение w какой-либо точки P тела равно сумме вращательного и
осестремительного ускорений.
Вращательное ускорение
w вр = ε × r = ε1 × r + ε2 × r.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
38 / 56
Движение вокруг неподвижной точки IX
Для вычисления осестремительного ускорения
Примем Q – точка на мгновенной оси вращения, в которой её пересекает
опущенный на неё из точки P перпендикуляр.
Осестремительное ускорение
−
−→
w ос = ω × (ω × r) = ω 2 e × (e × r) = ω 2 (e(e · r) − r) = ω 2 (OQ − r) = ω 2 l.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
39 / 56
Движение вокруг неподвижной точки X
Замечание
В отличии от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, при вращении
тела вокруг неподвижной точки w вр и w ос не обязаны быть касательной и
нормальной составляющими ускорения точки P ... ГМТ твёрдого тела, для
которых эти ускорения в данный момент взаимно перпендикулярны,
является плоскость в твёрдом теле, проходящая через векторы ω и ε.
Зная осестремительное и вращательное ускорения, можно определить
модуль ускорения точки
w=
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
q
2 + w 2 − 2w w
wос
ос вр cos(wос , wвр ).
вр
2013г.
40 / 56
Движение вокруг неподвижной точки XI
Проекции ускорения точки на неподвижные оси
wX = εY Z − εZ Y + ωX (ωX X + ωY Y + ωZ Z) − ω 2 X,
wY = εZ X − εX Z + ωY (ωX X + ωY Y + ωZ Z) − ω 2 Y,
wZ = εX Y − εY X + ωZ (ωX X + ωY Y + ωZ Z) − ω 2 Z.
Проекции ускорения точки на подвижные оси
wx = εy z − εz y + ωx (ωx x + ωy y + ωz z) − ω 2 x,
wy = εz x − εx z + ωy (ωx x + ωy y + ωz z) − ω 2 y,
wz = εx y − εy x + ωz (ωx x + ωy y + ωz z) − ω 2 z.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
41 / 56
Движение вокруг неподвижной точки XII
Производные по времени от ортов подвижной системы координат
(формулы Пуассона)
di
= ω × i,
dt
dj
= ω × j,
dt
dk
= ω × k.
dt
Замечание
Формулы Пуассона – скорости точек, определяемых радиус-векторами i, j, k.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
42 / 56
Плоское движение тела I
Определение
Движение твёрдого тела называется плоским, если все точки тела перемещаются
в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Замечания
Изучение плоского движения тела сводится к изучению движения плоской
фигуры в её плоскости;
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
43 / 56
Плоское движение тела II
Замечания
1
Плоская фигура, вынужденная двигаться, оставаясь в своей плоскости,
имеет три степени свободы;
2
За обобщённые координаты примем две координаты XO , YO полюса O и
угол ϕ, образованный осью Ox с осью Oa X.
Замечание
Скорости и ускорения точек плоской фигуры могут быть найдены по формулам,
справедливым для самого общего случая движения твёрдого тела.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
44 / 56
Плоское движение тела III
Теорема
Если движение плоской фигуры в её плоскости в данный момент времени не
является мгновенно поступательным, то в этот момент времени
существует единственная точка C фигуры, скорость которой равна нулю.
Скорости остальных точек таковы, какими они были бы при мгновенном
вращении фигуры вокруг точки C.
Определение
Точка C называется мгновенным центром скоростей.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
45 / 56
Плоское движение тела IV
Замечание
−
−→
ω × vO
Формула OC =
даёт геометрический способ нахождения мгновенного
ω2
центра скоростей, если известны угловая скорость ω и скорость полюса v O
vO
(OC =
).
ω
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
46 / 56
Плоское движение тела V
Когда известны скорости v A и v B двух точек A и B плоской фигуры, при
построении мгновенного центра скоростей здесь следует рассматривать
следующие возможности:
1
Если v A = v B , то движение мгновенно поступательное, так как из формулы
−→
v B = v A + ω × AB следует, что ω = 0;
2
Если v A 6= v B , но скорость одной из точек, точки A, равна нулю, то A и
есть мгновенный центр скоростей.
3
Если векторы v A и v B неколлинеарны, то мгновенный цент скоростей
лежит на пересечении перпендикуляров, проведённых к векторам v A и v B в
точках A и B.
4
Пусть v A 6= v B , но вектор v A параллелен v B , то мгновенный центр
скоростей лежит на пересечении прямой, проходящей через точки A и B, и
прямой, проходящей через концы векторов v A и v B .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
47 / 56
Плоское движение тела VI
Замечание
При движении тела мгновенный центр скоростей перемещается и в теле, и в
абсолютном пространстве.
Определение
Геометрическое место его положений на неподвижной плоскости называется
неподвижной центроидой, а геометрическое место положений мгновенного
центра скоростей в самой движущейся плоской фигуре называется подвижной
центроидой.
Замечание
При движении тела подвижная центроида катится по неподвижной без
скольжения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
48 / 56
Плоское движение тела VII
Теорема
Пусть плоская фигура движется в своей плоскости. Если в некоторый
момент времени хотя бы одна из величин ϕ̇ или ϕ̈ отлична от нуля, то в
этот момент времени существует единственная точка Q фигуры, ускорение
которой равно нулю.
Определение
Точка Q называется мгновенным центром ускорений.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
49 / 56
Плоское движение тела VIII
Замечание
−
−
→
ω2wO + ε × wO
√
следует геометрический способ нахождения
Из формулы OQ =
ε2 + ω 4
мгновенного центра ускорений.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
50 / 56
Плоское движение тела IX
Нахождение мгновенного центра ускорений
1
Угол β, на который нужно повернуть вектор w O в направлении вращения
фигуры, если движение ускоренное, и в противоположном направлении,
если движение замедленное, определяется равенством:
tan β =
2
ε
;
ω2
От полюса O в направлении, которое занял вектор w O , надо отложить
отрезок
wO
.
OQ = √
ε2 + ω 4
Замечание
Если мгновенный центр ускорений Q принять за полюс, то ускорение любой
точки P в данный момент времени может быть определено так же, как и при
вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через Q.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
51 / 56
Кинематические инварианты. Кинематический винт I
Вернёмся к общему случаю движения твёрдого тела.
Замечание
В формуле для скорости произвольной точки P тела угловая скорость ω не
зависит от выбора точки P .
Определение
Вектор ω называют первым кинематическим инвариантом (I1 = ω 2 ).
Замечание
Для любых двух точек тела A и B скалярное произведение их скоростей v A и
v B на вектор ω одинаковы.
Определение
Скалярное произведение скоростей точек тела на его угловую скорость
называется вторым кинематическим инвариантом: I2 = v · ω.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
52 / 56
Кинематические инварианты. Кинематический винт II
Замечание
В самом общем случае движения твёрдого тела, когда I2 =
6 0, скорости его точек
таковы, как если бы тело совершало мгновенно винтовое движение.
Пусть выбран какой-либо полюс O и в данный момент известны его
скорость v O и угловая скорость тела ω
vO
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

vOX
=  vOY  ,
vOZ


ωX
ω =  ωY  .
ωZ

2013г.
53 / 56
Кинематические инварианты. Кинематический винт III
Если скорость точки S тела отлична от нуля и параллельна вектору ω, то
−→
v O + ω × OS = pω (p 6= 0).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
54 / 56
Кинематические инварианты. Кинематический винт IV
Замечание
Это равенство является векторным уравнением прямой M N .
Замечание
В скалярном виде
vOX + (ωY Z − ωZ Y )
vOY + (ωZ X − ωX Z)
vOZ + (ωX Y − ωY X)
=
=
= p.
ωX
ωY
ωZ
где X, Y, Z – координаты любой точки прямой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
55 / 56
Кинематические инварианты. Кинематический винт V
Определение
Прямая M N называется мгновенной винтовой осью тела.
Определение
Совокупность угловой скорости ω тела и скорости v любой точки мгновенной
I2
— параметром
винтовой оси называют кинематическим винтом, а число p =
I1
винта.
Определение
Кинематический винт называется правым или левым в зависимости от того,
положителен или отрицателен его параметр.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
56 / 56