А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я преобразование

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
преобразование координат и упрощение уравнений
кривых второго порядка
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 8
Цель
Основная задача преобразования координат:
Упрощение уравнения кривой.
Замечания
1
Уравнение одной и той же кривой может иметь различный вид в
зависимости от расположения системы координат, к которой отнесена
кривая,
2
Выбором расположения системы координат можно добиться простейшего
вида уравнения кривой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 8
Общее уравнение кривой второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
Задача упрощения уравнения кривой:
Необходимо так преобразовать общее уравнение кривой, чтобы в полученном
уравнении исчезли: член с произведением координат и члены линейной части.
Замечания
По преобразованному уравнению легко установить тип кривой и построить эту
кривую.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 8
Параллельный перенос системы координат
Пусть в общем уравнении отсутствует член с произведением координат:
a11 x2 + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,
тогда оно преобразуется к каноническому виду параллельным переносом
системы координат:
x = x1 + x0 ,
y = y1 + y0
или
x1 = x − x0 ,
y1 = y − y0 ,
где (x1 ; y1 ) – координаты кривой в новой системе координат, (x0 ; y0 ) –
координаты начала O1 новой системы координат.
Замечания
1
Параллельным переносом системы координат можно добиться уничтожения
членов линейной части,
2
Упрощение выполняется методом выделения полных квадратов.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 8
Поворот системы координат
Пусть в общем уравнении отсутствуют члены линейной части:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + a33 = 0,
тогда оно преобразуется к каноническому виду поворотом системы координат:
x = x1 cos ϕ − y1 sin ϕ,
y = x1 sin ϕ + y1 cos ϕ,
где (x1 ; y1 ) – координаты кривой в новой системе координат, ϕ – угол поворота
новой системы координат Ox1 y1 относительно Oxy.
Замечание
Поворотом системы координат можно добиться уничтожения члена с
произведением координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 8
Общий случай
Замечание
В общем случае уравнения кривой второго порядка преобразования системы
координат следует начинать с поворота осей, без изменения начала координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
6 / 8
Тригонометрические формулы
tgϕ =
(a22 − a11 ) ±
p
(a11 − a22 )2 + 4a212
2a12



 cos ϕ = p


 sin ϕ = p
ctg2ϕ =
1
1 + tg2 ϕ
tgϕ
1 + tg2 ϕ
,
.
a11 − a22
2a12
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
cos 2ϕ = 1 + 2 sin2 ϕ = 2 cos2 ϕ − 1,
sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ.
2013г.
7 / 8
Уравнения линий
Группа ⊕
1. Эллипс:
x2
a2
+
y2
b2
2. Мнимый эллипс:
= 1,
x2
a2
+
y2
b2
= −1,
3. Две мнимые пересекающееся прямые:
4. Гипербола:
2
x
a2
−
y2
b2
x2
a2
+
y2
b2
= 0,
= 1,
5. Две пересекающееся прямые:
x2
a2
−
y2
b2
= 0.
Группа 6. Парабола: x2 = 2py.
Группа 7. Две параллельные прямые: x2 = a2 (a 6= 0),
8. Две мнимые параллельные прямые: x2 = −a2 (a 6= 0),
9. Две совпадающие прямые: x2 = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 8