Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ è èçëó÷åíèÿ I Ð.Í. Ëè 25 ÿíâàðÿ 2011 ã. Ñîäåðæàíèå I 1 2 3 Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà 1 Ââåäåíèå 2 Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà 2 2.1 Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå 4 2.3 Ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.5 Íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.6 Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà è ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óðàâíåíèå Äèðàêà 8 3.1 Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Ïëîñêèå âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ïàðàäîêñ Êëåéíà 3.4 Ìîðå Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5 Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.6 Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.7 Íåðåëÿòèâèñòñêîå ðàçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.8 Äâèæåíèå ñïèíà âî âíåøíåì ïîëå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Ïðåöåññèÿ Òîìàñà. 3.8.2 Âûðàæåíèå 4-âåêòîðà ñïèíà ÷åðåç âîëíîâûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñïèðàëüíîñòü 3.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Êèðàëüíîñòü. Ñîõðàíåíèå ñïèðàëüíîñòè â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ðàññåÿíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå. 9 10 16 17 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.10.1 Ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ×àñòü I Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà 1 Ââåäåíèå Âñïîìíèì, êàê âûãëÿäèò ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Óðîâíè ýíåðãèè èìåþò âèä 2 m Ze2 En = − 2}2 n2 Ñîîòâåòñòâåííî, íà ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàþòñÿ ïåðåõîäû ìåæäó ýòèìè óðîâíÿìè ñ ÷àñòîòàìè m Ze2 En − En0 ν= = 2π} 4π}3 2 1 1 − 2 02 n n Ñàìûå ðàííèå ýêñïåðèìåíòû ïî èçìåðåíèþ ñïåêòðà àòîìà âîäîðîäà è îäíîçàðÿäíîãî èîíà ãåëèÿ ñâèäåòåëüñòâîâàëè î òîì, ÷òî ó ýòèõ óðîâíåé åñòü òîíêàÿ ñòðóêòóðà, òî åñòü, ÷òî êàæäûé óðîâåíü (êðîìå ïåðâîãî) ðàñùåïëåí íà íåñêîëüêî ïîäóðîâíåé ñ íåìíîãî ðàçëè÷íûìè ýíåðãèÿìè. Âîîáùå, ýòà ñòðóêòóðà âïåðâûå áûëà îòêðûòà â îïûòàõ Ìàéêåëüñîíà åùå â 1891 ãîäó, íî èçìåðèòü ðàñùåïëåíèå óäàëîñü Ïàøåíó (â îäíîçàðÿäíîì èîíå ãåëèÿ) ÷åðåç ÷åòâåðòü âåêà. Êàê îêàçàëîñü, ýòî ðàñùåïëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ è ïðåêðàñíî ñîãëàñóåòñÿ ñ âû÷èñëåíèÿìè, âûïîëíåííûìè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîïûòêîé îáúåäèíèòü ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Êàê ìû óâèäèì äàëåå, ýòà ïîïûòêà îêàçàëàñü âåñüìà óñïåøíîé, íî òàêæå è óêàçàëà íà îãðàíè÷åííîñòü îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Èñòîðè÷åñêè âîëíîâàÿ ìåõàíèêà ñ ñàìîãî ìîìåíòà åãî ïîÿâëåíèÿ áûëà ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèåé. Ñîçäàòåëè êâàíòîâîé ìåõàíèêè Ëóè äå Áðîéëü è Ýðâèí Øðåäèíãåð áûëè ïðîíèêíóòû èäåÿìè ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Ñîãëàñíî Äèðàêó, Øðåäèíãåð ñíà÷àëà íàïèñàë ðåëÿòèâèñòñêèé âàðèàíò âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, íî áûë ñìóùåí òåì, ÷òî èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ íå ñîâïàäàþùàÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì òîíêàÿ Îòêëîíåíèÿ óðîâíåé îò íåðåëÿòèâèñòñêèõ íåñêîëüêî ïðåóâåëè÷åíû (â 1/α2 ≈ 20 000 ðàç) ñòðóêòóðà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Ê òîìó ìîìåíòó, êàê îí âñå æå ñîáðàëñÿ îïóáëèêîâàòü è ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå, îíî áûëî âûâåäåíî Êëåéíîì è Ãîðäîíîì, à òàêæå íåçàâèñèìî ñîâåòñêèì ôèçèêîì Ôîêîì. . Ïðèìå÷àíèå îá èñïîëüçóåìîé ñèñòåìå åäèíèö 2 Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñîîòâåòñòâóåò ñâÿçè ìeæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå, òî åñòü, â äèñïåðñèîííîì çàêîíå (â óðàâíåíèè, ñâÿçûâàþùåì ýíåðãèþ è èìïóëüñ íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû) íóæíî ñäåëàòü çàìåíó E → i∂t , p → −i∇ 2 è ïîäåéñòâîâàòü ïîëó÷èâøèìèñÿ îïåðàòîðàìè íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ: p2 , 2m 2 (−i∇) i∂t ψ = ψ 2m E= Åñòåñòâåííî ïîïðîáîâàòü òîò æå ðåöåïò è â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå: ε2 = p2 + m2 , i h 2 2 (i∂t ) φ = (−i∇) + m2 φ. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà. Åãî óäîáíî çàïèñûâàòü â ÷åòûðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ: 2 −∂ − m2 φ = 0. Çäåñü, êîíå÷íî, 2.1 ∂ 2 = ∂t2 − ∇2 . Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñóïåðïîçèöèÿ ïëîñêèõ âîëí Z ψ (t, x) = dp 3C (2π) (p) e−iEt+ipx , Âåðíà ïîýòîìó ñëåäóþùàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü: âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äåáðîéëåâñêèõ âîëí ⇔ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò ñâîáîäíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà èìååò âèä Z φ (t, x) = dp −iεt+ipx + C2 (p) eiεt−ipx 3 C1 (p) e (2π) Ìû âèäèì ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà åñòü îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûå ìîäû êîòîðûå íå ñîîòâåòñòâóþò äåáðîéëåâñêèì âîëíàì ÷àñòèö ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé. Èñòîðè÷åñêè, ýòè ðåøåíèÿ ñ "íåïðàâèëüíîé"çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè ñ÷èòàëèñü íåäîñòàòêîì òåîðèè. Îäíàêî, â äàëüíåéøåì îêàçàëîñü, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ýòèõ ðåøåíèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ àíòè÷àñòèöû. Äëÿ äàëüíåéøåãî ðàñìîòðåíèÿ çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà ïîëó÷àåòñÿ èç ñëåäóþùåãî äåéñòâèÿ: Z SÊà = Óïðàæíåíèå. h i 2 2 d4 x |∂φ| − m2 |φ| Êà óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà. Ïîëó÷èòü èç âàðèàöèè äåéñòâèÿ δφ(x) δS 3 2.2 Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå Âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà ïîëó÷àåòñÿ îáû÷íîé ïðîöåäóðîé óäëèííåíèÿ ïðîèçâîäíîé. Òî åñòü, íåîáõîäèìî i∂µ çàìåíèòü íà i∂µ − eAµ , ãäå Aµ ÷åòûðåõ-ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à e çàðÿä ÷àñòèöû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå i h 2 (i∂ − eA) − m2 φ = 0 Ìû óæå óïîìèíàëè î òîì, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêèå ýôôåêòû ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ òîíêîé ñòðóêòóðû ó óðîâíåé àòîìà A0 = −Ze/r è ñðàâíèì φ (x). Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âîäîðîäà. Äàâàéòå ïîýòîìó ïîëó÷èì ñïåêòð óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà â êóëîíîâñêîì ïîëå íåðåëÿòèâèñòñêèì. Ïîñêîëüêó ìû èùåì ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå, ïîäñòàâëÿåì h φ (t, x) = e −iεt i 2 (ε + Zα/r) + ∆ − m2 φ (x) = 0 Óãëîâîé ìîìåíò â öåíòðàëüíîì ïîëå, êîíå÷íî, ñîõðàíÿåòñÿ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò êîììóòèðîâàíèþ îïåðàòîðà −ix × ∇ ñ îïåðàòîðîì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ), ïîýòîìó ìîæíî ïîäñòàâèòü óðàâíåíèå íà åãî ñ φ (x) = Ylm (x/r) R (r). l = x×p = Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå R " ε2 − m2 εZα ∆r l (l + 1) − (Zα) + + − 2m mr 2m 2mr2 Çäåñü ìû ïîäåëèëè âñå óðàâíåíèå íà 2 # R (r) = 0, ∆r = 1 2 ∂ r r r (1) 2m âîò äëÿ ÷åãî. Ìû ìîãëè áû ðåøàòü ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå ÷åñòíî, íî ìû õîòèì ñýêîíîìèòü âðåìÿ è âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî óæå ðåøàëè ïîäîáíîå óðàâíåíèå â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, òàì ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êóëîíîâñêîé çàäà÷è âûãëÿäåëî î÷åíü ïîõîæå: Zα ∆r l (l + 1) E+ + − R (r) = 0 r 2m 2mr2 Åñëè â ýòîì óðàâíåíèè ñäåëàòü çàìåíû E→ ε2 − m2 , 2m Zα → ε Zα, m l→ q 2 2 (l + 1/2) − (Zα) − 1/2, òî ìû ïîëó÷èì ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå (1). Ïîýòîìó è ðåëÿòèâèñòñêèé ñïåêòð ïîëó÷àåòñÿ èç íåðåëÿòèâèñòñêîãî E = 2 m(Zα) − 2(n +l+1)2 r òîé æå çàìåíîé. Ïîëó÷àåì 2 2 ε ε2 − m2 m (Zα) =− 2 q 2m 2 2 2 nr + (l + 1/2) − (Zα) + 1/2 ε= r m 1+ √ nr + (Zα)2 2 (l+1/2)2 −(Zα)2 +1/2 Êàê ïîëó÷èòü íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë? Âñïîìíèì, ÷òî â àòîìå âîäîðîäà õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ýòîìó íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë ñîîòâåòñòâóåò Zα 1. Ðàñêëàäûâàåì è ïîëó÷àåì 2 m (Zα) m (Zα) ε=m− − 2 2n 2n3 4 4 1 3 − l + 1/2 4n , ∼ Zα. Ïî- n = nr + l + 1. Íóëåâîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ ãäå ìû îïÿòü îáîçíà÷èëè ýòî ïðîñòî ýíåðãèÿ ïîêîÿ ýëåêòðîíà (mc 2 â îáû÷íûõ åäèíèöàõ), ïåðâûé íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè. Âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíûé (Zα) 4 , ïîÿâèëñÿ áëàãîäàðÿ ðåëÿòèâèñòñêèì ýô- ôåêòàì. Îí çàâèñèò íå òîëüêî îò ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà ÿâíî îò l. n=2 Äëÿ ýòîò ÷ëåí ñíèìàåò âûðîæäåíèå ìåæäó n, 2p íî è è 2s ñîñòîÿíèÿìè è ïðèâîäèò ê ðàçíîñòè ýíåðãèé 4 ε2p − ε2s ≈ m (Zα) 16 1 1 − 1/2 1 + 1/2 = m (Zα) 12 4 Ýòî çíà÷åíèå ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìûì â âîäîðîäå, ýòî õîðîøî. Òåì íå ìåíåå, åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ íå òîëüêî ïîðÿäêîì, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíî ïî÷òè â òðè ðàçà áîëüøå, ÷åì â ýêñïåðèìåíòå, ÷òî è íàñòîðîæèëî Øðåäèíãåðà.Åñëè çàäóìàòüñÿ, ýòî íåñîîòâåòñòâèå íå îñîáåííî óäèâèòåëüíî ñåé÷àñ, êîãäà õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîí èìååò ñïèí 1/2, â òî âðåìÿ, êàê óðàâ- íåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà îïèñûâàåò ñêàëÿðíóþ ÷àñòèöó. Âîò åñëè ñîçäàòü àòîì â êîòîðîì ýëåêòðîí çàìåíåí íà áåññïèíîâóþ ÷àñòèöó, Ïåðåõîäû ìåæäó ïèîííûìè óðîâíÿìè â Ti. Ãðàôèê èç ñòàòüè Wang et al., Phys. Rev. A, 22 (1980) 1072. òîãäà ìîæíî áûëî áû ñðàâíèòü íàøó òåîðèþ ñ ýêñïåðèìåíòîì. Ïîäõîäÿùàÿ çàìåíà ýëåêòðîíó äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò è íàçûâàåòñÿ ýòà ÷àñòèöà π -ìåçîíîì. Òîíêàÿ ñòðóêòóðà â π -ìåçîííîì àòîìå âïåðâûå íàáëþäàëàñü ãîðàçäî ïîçäíåå ÷åì áûëî îòêðûòî óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, â 1980ã. â ïèîííîì âàðèàíòå àòîìîâ òèòàíà (Z = 22) è æåëåçà (Z = 26). Èññëåäîâàëèñü ïåðåõîäû ñ óðîâíåé 5g, 5f íà óðîâíè 4f, 4d, ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèòü ñïåêòð óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñðàâíèòü ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ðåçóëüòàòîì. Çàäà÷à. 2.3 Ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà Íåïðåðûâíûìè ñèììåòðèÿìè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëîðåíöåâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü, êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Ïðè ëîðåíöåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîëÿ ìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì φ (x) → φ0 (x) = φ Λ−1 x Aµ (x) → A0µ (x) = Λµ ν Aν Λ−1 x Ìîæíî ÿâíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äëÿ øòðèõîâàííûõ ïîëåé âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà. Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü ëîðåíöåâñêóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà Ëåãêî ïðîâåðèòü òàêæå è êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, ò.å., èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé φ (x) → φ0 (x) = e−ieχ(x) φ (x) Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ χ (x) Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà Íóæíî çàìåòèòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå çàâèñèò îò ôóíêöèè χ (x), òîãäà êàê ëîðåíöåâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé ìàòðèöû. Ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà ãîðàçäî áîëüøå. Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà: P, T, C 5 ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ òàê φ (x) → φ0 (x) = φ (t, −x) A0 → A00 (x) = A0 (t, −x) P : A (x) → A0 (x) = −A (t, −x) φ (x) → φ0 (x) = φ∗ (x) C: Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (x) φ (x) → φ0 (x) = φ∗ (−t, x) A0 (x) → A00 (x) = A0 (−t, x) T : A (x) → A0 (x) = −A (−t, x) Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà îòíîñèòåëüíî Íåñêîëüêî íåîæèäàííûé âèä T -ïðåîáðàçîâàíèÿ P, C, T ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òðåáîâàíèÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé, ñ òåì, ÷òîáû íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè. 2.4 Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê Ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê ïîëó÷àåòñÿ âàðèàöèåé äåéñòâèÿ ïî âåêòîð-ïîòåíöèàëó èëè ïî-ïðîñòîìó, áåç âàðüèðîâàíèÿ. Ïîëó÷àåì h← i → µ jem = ej µ = eφ∗ i ∂ µ − 2eAµ φ Ðàíåå ìû ïðèäàâàëè íóëåâîé êîìïîíåíòå òîêà ñìûñë ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, íî òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî, ïîñêîëüêó åñòü îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ, íóëåâàÿ êîìïîíåíòà íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé. Íàïðèìåð, â îòñóòñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ j µ = ±2epµ e∓ipx .Ïîýòîìó ýòîò òîê íóæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ïî-äðóãîìó. À èìåííî, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî åñòü µ ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè íàì äàíà ñîõðàíÿþùàÿñÿ ïëîòíîñòü òîêà j , ìû ìîæåì ïîñòðîèòü äëÿ ïëîñêîé âîëíû ïëîòíîñòü ñîõðàíÿþùèéñÿ çàðÿä Z Q= Z Q̇ = dx j 0 (x) dx j̇ 0 = − Z dx (∇j) = 0 Çäåñü ìû ïðåäïîëàãàëè äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè ïîëÿ. 2.5 Íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå ×òîáû ïîëó÷èòü íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå äëÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, ñäåëàåì çàìåíó è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýíåðãèè ïîêîÿ m ϕ (t, x) φ (t, x) = ϕ (t, x) e−imt ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû îòëè÷àåòñÿ îò íà ìàëóþ âåëè÷èíó. Òîãäà ïîëó÷èì i∂t − eA0 2 2 2 φ = i∂t − eA0 e−imt ϕ = e−imt i∂t + m − eA0 ϕ h i 2 ≈ e−imt m2 + 2m i∂t − eA0 ϕ = e−imt (−i∇ − eA) + m2 ϕ 6 Ñàìûé áîëüøîé ÷ëåí m2 2me−imt , " # 2 (−i∇ − eA) 0 i∂t ϕ = eA + ϕ 2m ñ îáåèõ ñòîðîí ñîêðàùàåòñÿ è, ïîäåëèâ íà ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà Ñäåëàåì òî æå óïðàæíåíèå è äëÿ òîêà (â ñâîáîäíîì ñëó÷àå): h← →i 2 ρ = j 0 = eφ∗ i ∂t φ ≈ 2me |ϕ| h ← h ← →i →i j = eφ∗ −i ∇ φ = eϕ∗ −i ∇ ϕ, ÷òî îòëè÷àåòñÿ îò íåðåëÿòèâèñòñêîãî òîêà òîëüêî îáùåé íîðìèðîâêîé. Óïðàæíåíèå. Ïîêàçàòü, ÷òî ïåðâàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïîïðàâêà ê ãàìèëüòîíèàíó èìååò âèä 4 − (−i∇ − eA) , 8m3 p ÷òî â ñâîáîäíîì ñëó÷àå (A = 0) ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè m2 + p2 . Ïîêàçàòü, ÷òî ñ ó÷åòîì ïåðâîé ïîïðàâêè ñâÿçü ìåæäó φ è ϕ (âîëíîâîé ôóíêöèåé â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà) èìååò âèä e−imt φ= √ 2m 1− i∂t − eA0 2m ϕ Èñïîëüçóÿ íàéäåííóþ ïîïðàâêó, âû÷èñëèòü ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè è ñðàâíèòü ñ ðàçëîæåíèåì òî÷íîé ôîðìóëû. 2.6 Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà è ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè Êàê ìû ïîìíèì èç êóðñà êâàíòîâîé ìåõàíèêè, çàäàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò åå â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû. Ýòî íàõîäèò ñâîå îòðàæåíèå â òîì, ÷òî óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ ïî îòíîøåíèþ êî âðåìåíè äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà ýòî íå òàê, è äëÿ çàäàíèÿ âðåìåííîé ýâîëþöèè íåîáõîäèìî çíàòü íå òîëüêî çíà÷åíèå ôóíêöèè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, íî è, íàïðèìåð, çíà÷åíèå åå ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó è ñîõðàíÿþùååñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âêëþ÷àåò ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè: Z hφ1 |φ2 i = Óïðàæíåíèå. h← i → dx φ∗1 i ∂ 0 − 2eA0 φ2 Äîêàçàòü ñîõðàíåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èñïîëüçóÿ íàéäåííûé òîê è ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè.  ñòàöèîíàðíîì âíåøíåì ïîëå ñ îïåðàòîðîì â óðàâíåíèè Êëåéíà Ãîðäîíà êîììóòèðóåò îïåðàòîð i∂t , ïîýòîìó ðåøåíèÿ ìîæíî èñêàòü â âèäå φ (x, t) = e−iεt φ (x) Äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåííîìó óðîâíþ ýíåðãèè â äèñêðåòíîì ñïåêòðå, èìååì ñëåäóþùåå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè Z hφn |φm i = dx φ∗n εn + εm − 2eA0 φm = δnm 7 3 Óðàâíåíèå Äèðàêà Òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèåé óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà (à èìåííî, ðåøåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé, íåïîëîæèòåëüíîñòü ïëîòíîñòè) ïðèâåëè ê ïîïûòêàì ïîëó÷èòü äðóãîå óðàâíåíèå, êîòîðîå íå èìåëî áû ïîäîáíûõ íåäîñòàòêîâ. Êðîìå òîãî, óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà îïèñûâàåò ÷àñòèöó ñî ñïèíîì íîëü, òîãäà êàê ñïèí ýëåêòðîíà ðàâíÿåòñÿ 1/2. Ïðè ýòîì çàðàíåå ïîíÿòíî, ÷òî ñïèíîâàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îáÿçàíà êàê-òî ìåíÿòüñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà. Ýòî âèäíî õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî îíà ìåíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ëîðåíöà. ßñíî, ÷òî íåäîñòàòêè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, â íåêîòîðîé ñòåïåíè, ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó Äèðàê ïðåäïîëîæèë, ÷òî ìîæíî íàïèñàòü óðàâíåíèå íà ìíîãîêîìïîíåíòíóþ â.ô. ýëåêòðîíà, êîòîðîå áûëî áû äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Ïîñêîëüêó ìû õîòèì èìåòü Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîå óðàâíåíèå, îíî äîëæíî áûòü òàêæå è ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî êîîðäèíàòàì. Ôàêòè÷åñêè, îáùèé âèä òàêîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþùèé ∂ i − αp − βm ψ = 0, ∂t ãäå αi , β íåêîòîðûå ìàòðèöû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì β 2 = 1, αi αj + αj αi = 2δij , αi β + βαi = 0 Ïîäåéñòâîâàâ íà óðàâíåíèå îïåðàòîðîì ∂ i ∂t + αp + βm, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âñåõ êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà. Ìîæíî áûëî áû îæèäàòü, êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè äîëæíî áûòü ðàâíî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Îäíàêî ñðàçó æå âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî íàéòè ïîäõîäÿùèå ðàçìåðíîñòü ìàòðèö ðàâíà 4. 2×2 Óäîáíî çàïèñàòü óðàâíåíèå Äèðàêà â âèäå [iγ µ ∂µ − m] ψ = 0 Ìàòðèöû γµ óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì {γ µ , γ ν } = 2g µν ßâíûé âèä ìàòðèö òàêîé γ0 = 1 0 0 −1 , γ= 0 −σ σ 0 1 Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìàòðèö Äèðàêà : • γ 0† = γ 0 , γ † = −γ ∗ • γ 0,1,3 = γ 0,1,3 , γ 2∗ = −γ 2 • Ïîëíûé íàáîð îáðàçóþò ìàòðèöû I, 1 Ñì. ïîäðîáíîñòè â ôàéëå Gmatrix algebra.pdf γµ, σ µν = 1 µ ν [γ , γ ] , γ 5 γ µ , γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 2 ?? 8 2, êàê ìàòðèöû íå óäàåòñÿ. Ìèíèìàëüíàÿ Âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå òàêæå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå óäëèíåíèåì ïðîèçâîäíîé: h i γ µ (i∂ − eA)µ − m ψ = 0 Êàê ìû óâèäèì âïîñëåäñòâèè, òàêàÿ ïðåñêðèïöèÿ ïðèâîäèò â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ê óðàâíåíèþ Ïàóëè ñ îïèñàíèÿ ÷àñòèö ñ g 6= 2 íóæíî äîáàâèòü â óðàâíåíèå ÷ëåí g = 2. Äëÿ σ µν Fµν : i eδg µν γ µ (i∂ − eA)µ − m + σ Fµν ψ = 0, 2 4m δg = g − 2 Äîáàâëåíèå äëÿ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö ÷ëåíà ñ óðàâíåíèÿ ñ δg 6= 0 δg ïðèâîäèò ê íåñêîëüêèì íåïðèÿòíûì ïîñëåäñòâèÿì. Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè â êóëîíîâñêîì ïîëå ïðîèñõîäèò ÿâëåíèå ïàäåíèÿ íà öåíòð, òî åñòü, ïîÿâëåíèå íåíîðìèðóåìûõ ñîñòîÿíèé äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Êðîìå òîãî, òàêîé ÷ëåí íàðóøàåò ïåðåíîðìèðóåìîñòü òåîðèè, íî ýòîãî âîïðîñà â íàøåì êóðñå ìû êàñàòüñÿ íå áóäåì. Òåì íå ìåíåå, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñîñòàâíûõ ÷àñòèö ñ g 6= 2 è èõ äâèæåíèå âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå îïèñûâàåòñÿ ïðèâåäåííûì óðàâíåíèåì. 3.1 Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â óðàâíåíèè Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà. Èòàê, òîê èìååò âèä µ jem = ej µ = eψγ µ ψ , ψ = ψ† γ 0 Ïëîòíîñòü òåïåðü ïîëîæèòåëüíà j 0 = ψ† ψ > 0 3.2 Ïëîñêèå âîëíû Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Êàê îáû÷íî äëÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè èùåì ðåøåíèå â âèäå ïëîñêèõ âîëí. Ïîäñòàâëÿåì äëÿ äâóõ çíàêîâ ýíåðãèè ψ (x) = u (p) e−ipx è ψ (x) = v (p) eipx . u (p) , v (p), ïîëó÷àåì σp √ √ ϕ χ u (p) = ε + m σp , v (p) = ε + m ε+m ϕ χ ε+m Ðåøàÿ ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ äëÿ áèñïèíîðîâ Îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä Z ψ (x) = dp −ipx u (p) + C2 (p) eipx v (p) 3 C1 (p) e (2π) Âèäèì, ÷òî îïÿòü åñòü ðåøåíèÿ êàê ñ ïîëîæèòåëüíîé, òàê è ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Òàêèì îáðàçîì, õîòü óðàâíåíèå Äèðàêà è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîé ñòåïåíè, ìíîãîêîìïîíåíòíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè 2 ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ ðåøåíèé ñ îáîèìè çíàêàìè ýíåðãèè . Õîòÿ ìû äîáèëèñü ïîëîæèòåëüíîñòè ïëîòíîñòè, íî ýòî íå ñïàñàåò íàñ îò ïàðàäîêñîâ ïðè ïîïûòêå îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèè óðàâíåíèÿ. 2 Òî÷íåå, íàì íå íðàâèòñÿ, êîíå÷íî, íå çíàê ýíåðãèè, à íåîãðàíè÷åííîñòü ñïåêòðà ãàìèëüòîíèàíà ñíèçó, ÷òî îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü íåîãðàíè÷åííóþ ýíåðãèþ èç îäíîé ÷àñòèöû. 9 3.3 Ïàðàäîêñ Êëåéíà  îòñóòñòâèè âíåøíåãî ïîëÿ íàëè÷èå ðåøåíèé ñ íåïðàâèëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè ìåøàåò íå ñèëüíî. Îäíàêî, óæå â çàäà÷å ðàññåÿíèÿ ìû âèäèì íåæåëàòåëüíûå ýôôåêòû. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ðàññåÿíèå ÷àñòèö â ïîòåíöèàëå, èìåþùåì âèä ñòóïåíüêè. ∂ + βm + V (z) ψ εψ = −iα3 ∂z V (z) = θ (z) V Ñëåâà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä ñóììû ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí, à ñïðàâà ïðîøåäøåé: V ψïàä + ψîòð 1 1 0 −ipz 0 = eipz p + ae −p ε+m ε+m 0 0 ψïð = beiqz 1 0 q ε−V +m 0 0 Çäåñü p= √ ε2 − m2 , q = q 2 (ε − V ) − m2 . Êîýôôèöèåíòû a è b íàõîäèì èç íåïðå- ðûâíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëå: 1 + a = b, a= 1 − a = rb, 1−r , 1+r b= ãäå r= q ε+m pε−V +m 2 1+r Îïðåäåëèì òîêè 1 0 1 0 0 0 −1 −p 0p = 2p , jïàä = 1 0 ε+m ε+m 0 0 0 ε+m 1 0 0 0 2 Re q 2p 2 2 jïð = |b| , jîòð = |a| ε−V +m ε+m 1 − r 2 jïð 4 Re r jîòð 2 2 T = = |b| r = = |a| = 2,R = j jïàä 1 + r ïàä |1 + r| 0 0 0 −1 0 Åñëè V > ε + m, ïîëó÷àåì ïàðàäîêñàëüíóþ ñèòóàöèþ. Îòðàæåííûé òîê áîëüøå ïàäàþùåãî, à ïðîøåäøèé íàïðàâëåí â äðóãóþ ñòîðîíó. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå. 3.4 Ìîðå Äèðàêà 10 Ïàðàäîêñ Êëåéíà. Ñèíÿÿ êðèâàÿ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, êðàñíàÿ ðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé (óðàâíåíèå Äèðàêà). Ýíåðãèÿ íàëåòàþùåé ÷àñòèöû ðàâíà ε = 1.5m.Ïðè V > ε + m (êðàñíàÿ îáëàñòü) êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ áîëüøå åäèíèöû. Äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ïåðâîíà÷àëüíàÿ ïîïûòêà îáîéòè òðóäíîñòü ñ ñóùåñòâîâàíèåì îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûõ ðåøåíèé ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû ïîñòóëèðîâàòü çàïîëíåííîñòü òàêèõ ñîñòîÿíèé. Òîãäà óìåíüøèòü ýíåðãèþ âàêóóìà ôîðìàëüíî íåëüçÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, ïåðåõîäàìè êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ êîíå÷íîé ðàçíîñòüþ ýíåðãèé (ïåðåõîäû áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö íà äðóãèå ñîñòîÿíèÿ, î÷åâèäíî, ïîçâîëÿåò ýòî ñäåëàòü). Òîãäà ïîçèòðîí òðàêòóåòñÿ êàê îòñóòñòâèå îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîãî ýëåêòðîíà (äûðêà â ìîðå Äèðàêà). Ïîýòîìó, íàïðèìåð, âîçìîæåí ïðîöåññ àííèãèëÿöèè ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ êàê ïåðåõîä ýëåêòðîíà â íåçàïîëíåííîå ñîñòîÿíèå â ìîðå ñ èñïóñêàíèåì ôîòîíà. Êîíå÷íî, ïðè òàêîì ïðîöåññå ôîòîí äîëæåí áûòü âèðòóàëüíûì, òàê êàê â ñ.ö.è. ïàðû åãî èìïóëüñ ðàâåí íóëþ, à ýíåðãèÿ êàê ìèíèìóì 2m. Ýòî ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêîé ôîòîí áûñòðî ðàñïàäåòñÿ, íàïðèìåð, â ïàðó ìþîíîâ, èëè äðóãèõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Êàðòèíà ìîðÿ Äèðàêà î÷åíü íàãëÿäíà è äàæå ìîæåò áûòü Ìîðå Äèðàêà. èñïîëüçîâàíà äëÿ êîëè÷åñòâåííûõ âû÷èñëåíèé. Îäíàêî, íå ñëåäóåò çàáûâàòü î åå ñóùåñòâåííîì íåäîñòàòêå: ìû âûíóæäåíû ïîñòóëèðîâàòü íåíàáëþäàåìîñòü çàðÿäà îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ýëåêòðîíîâ â ìîðå è îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ èõ ìåæäó ñîáîé. Âìåñòî ýòîãî, âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé è ñ ïîëîæèòåëüíî-÷àñòîòíûìè ýëåêòðîíàìè, à òàêæå, îáëàäàþò íàáëþäàåìûì çàðÿäîì äûðêè â ìîðå ïîçèòðîíû. ßñíî, ÷òî ïîçèòðîíû äîëæíû îáëàäàòü çàðÿäîì, ïðîòèâîïîëîæíûì çàðÿäó ýëåêòðîíà. Åùå îäèí íåäîñòàòîê êàðòèíû ìîðÿ Äèðàêà â òîì, ÷òî îíà ïîäõîäèò òîëüêî äëÿ îïèñàíèÿ ôåðìèîíîâ, â òî âðåìÿ êàê îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ åñòü è äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà. Ê âîïðîñó î ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ðåøåíèé ìû åùå âåðíåìñÿ, êîãäà áóäåì ãîâîðèòü î ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. 3.5 Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Äèðàêà Äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì ψ (x) → ψ 0 (x) = γ 0 ψ (t, −x) A0 → A00 (x) = A0 (t, −x) P : A (x) → A0 (x) = −A (t, −x) ψ (x) → ψ 0 (x) = γ 1 γ 3 ψ ∗ (−t, x) A0 (x) → A00 (x) = A0 (−t, x) T : A (x) → A0 (x) = −A (−t, x) ψ (x) → ψ 0 (x) = iγ 2 ψ ∗ (x) C: Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (x) ψ (x) → ψ 0 (x) = γ 5 ψ (−x) CP T : Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (−x) 0 1 5 0 1 2 3 Çäåñü ìàòðèöà γ = iγ γ γ γ = . 1 0 2 2 2 Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà îòíîñèòåëüíî P, C, T . Ïðîâåðèòü, ÷òî P = C = T = 1. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïåðàöèé P è T ïîíÿòåí: ýòî, ñîîòâåòñòâåííî, ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûÿñíèòü ñìûñë C -÷åòíîñòè, âûïîëíèì ýòó îïåðàöèþ íàä îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûì ðåøåíèåì 11 óðàâíåíèÿ Äèðàêà e ϕ = iσy χ∗ . ãäå ipx ψ (x) = eipx v (p): C 2 ∗ −ipx v (p) → iγ v (p) e σ∗ p iσy χ∗ =e =e ε+m σ∗ p ∗ −iσy ε+m χ χ ! iσy χ∗ √ √ ϕ = e−ipx ε + m σp = e−ipx ε + m , σ∗ p −σy ε+m σy iσy χ∗ ε+m ϕ −ipx √ 0 ε+m −iσy iσy 0 ε+m χ ∗ ∗ −ipx √ ïðîâåðèòü Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì Ìû âèäèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåì σ -ìàòðèö σy σ ∗ σy = −σ . C -ñîïðÿæåíèÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîãî ýëåêòðîíà ïåðåøëà â e−ipx u (p), òî åñòü â âîëíîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöû ñ ïðàâèëüíûì çíàêîì ýíåðãèè. Ýòà ÷àñòèöà, êàê ëåãêî ñîîáðàçèòü èç êàðòèíû ìîðÿ Äèðàêà, è åñòü ïîçèòðîí. Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà ÿâëÿåòñÿ C -ñîïðÿæåíèåì 3.6 âîëíîâîé ôóíêöèè ïîçèòðîíà. Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, êîìïîíåíòû ôóíêöèè ψ äîëæíû ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ íåòðèâèàëüíûì îáðàçîì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà. Áóäåì èñêàòü çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ â âèäå ψ (x) → ψ 0 (x) = S (Λ) ψ Λ−1 x Äëÿ øòðèõîâàííîé ôóíêöèè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèå Äèðàêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàòðèöà S (Λ) èìååò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî S (Λ) γ µ S −1 (Λ) = Λ−1 µ νγ ν S −1 (Λ) γ µ S (Λ) = Λµ ν γ ν (2) Ïîëó÷àåì [iγ µ ∂µ − m] ψ 0 (x) = [iγ µ ∂µ − m] S (Λ) ψ Λ−1 x = S (Λ) [iΛµ ν γ ν ∂µ − m] ψ Λ−1 x = S (Λ) iγ µ ∂µ0 − m ψ (x0 ) = 0 .×òîáû íàéòè ÿâíûé âèä ìàòðèö S (Λ), äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü èíôèíèòåçèìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, à çàòåì âîçâåñòè â ýêñïîíåíòó, êàê ñëåäóåò èç òåîðèè ãðóïï. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà Λµ ν = exp [ω]µ ν = g µ ν + ω µ ν + ìàòðèöà S (Λ) âûãëÿäèò òàê S (Λ) = exp 1 µ σ ω σω ν + . . . 2 1 µν σ ωµν , 4 ãäå σµν = 12 [γ µ , γ ν ] . ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ïîâîðîòîâ íà óãîë φ (íàïðàâëåíèå âåêòîðà îáîçíà÷àåò íàïðàâëåíèå îñè, âîêðóã êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ïîâîðîò) S (Λ) = exp i Σφ , Σ = 2 σ 0 0 σ Çíà÷èò, ìàòðèöà 21 Σ ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñïèíà. Îïåðàòîð ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà èìååò, ñîîòâåòñòâåííî, âèä j=l+ 1 1 Σ = −ir × p + Σ 2 2 12 Ïðîâåðèì, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà òîê âåäåò ñåáÿ êàê âåêòîð. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ìàòðèöû S (Λ): S † = exp 1 µν† 1 σ ωµν = exp − γ 0 σ µν γ 0 ωµν = γ 0 S −1 γ 0 4 4 Ïîýòîìó ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ñîáñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà j µ (x) → j 0µ (x) = ψ † Λ−1 x S † γ 0 γ µ Sψ Λ−1 x = ψ Λ−1 x Λµ ν γ ν ψ Λ−1 x = Λµ ν j ν Λ−1 x , òî åñòü, òàê, êàê è äîëæåí ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ âåêòîð. Ïðè P - ÷åòíîñòè j µ (x) → j 0µ (x) = ψ † (t, −x) γ 0 γ 0 γ µ γ 0 ψ (t, −x) = ψ (t, −x) γ †µ ψ (t, −x) , òî åñòü, òîæå åñòåñòâåííûì îáðàçîì. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìà âèäà ψ̄ (x) γ µ1 . . . γ µn ψ (x) ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà êàê òåíçîðíîå ïîëå ðàíãà Óïðàæíåíèå. 3.7 n. Ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå. Íåðåëÿòèâèñòñêîå ðàçëîæåíèå Çàïèøåì ϕ ψ= χ  äâóõêîìïîíåíòíûõ îáîçíà÷åíèÿõ èìååì ∂ ϕ = σπχ + eA0 ϕ + mϕ ∂t ∂ i χ = σπϕ + eA0 χ − mχ ∂t i  íåðåëÿòèâèçìå äåëàåì çàìåíó ϕ = e−imt Φ , è ôîðìàëüíî ðàñêëàäûâàåìñÿ ïî 1/m. χ = e−imt X Ïîëó÷àåì " # 2 ∂ (σπ) i Φ≈ + eA0 Φ ∂t 2m X≈ (σπ) Φ 2m Ïåðâîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ïàóëè, ïðè÷åì ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà µ= e ≈ 5.8ýÂ/Ãñ, 2m 13 ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãèðîìàãíèòíîìó îòíîøåíèþ, ðàâíîìó 2 2. ×òîáû ýòî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, èñïîëüçóåì òîæäåñòâî 2 2 (σπ) = π 2 + iσ [π × π] = (p − eA) − eσ [∇ × A] = (p − eA) − eσH Ïðè ðàçëîæåíèè äî áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà íóæíî ó÷åñòü ïðàâèëüíîå óñëîâèå íîðìèðîâêè: Z 1= h 2 2 dx |Φ| + |X| i ! 2 2 σπ 2 Z (σπ) 2 dx |Φ| + Φ ≈ dx 1 + Φ , 2 2m 8m Z ≈ îòêóäà åñòåñòâåííî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå 2 ΦØ ≈ Ðàñêëàäûâàåìñÿ ìû ïî v/c, (σπ) 1+ 8m2 ! Φ. èñïîëüçóÿ òàêèå îöåíêè eA0 ∼ p2 , 2m eE p ∼ eA0 , m m H ∼ vE. Ïîëó÷àåì " # 2 4 ∂ (σπ) (σπ) i ΦØ = − + eA0 − i [σπ, σE] ΦØ ∂t 2m 8m3 2 e p4 e e ie π 0 + eA − σH− 3 − div E − σ [E × p] − σ · rot E ΦØ = 2m 2m 8m 8m2 4m2 8m2 e − 2m σH, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, ñîîòâåòñòâóåò âçàèp4 ñîîòâåòñòâóåò ðàçëîæåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîäåéñòâèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñ ìàãíèòíûì ïîëåì. ×ëåí − 8m3 Êàæäàÿ ïîïðàâêà èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. ×ëåí p p2 p4 p2 + m2 − m ≈ − . 2m 8m3 ×ëåí e − 8m 2 div E ìîæíî êà÷åñòâåííî îáúÿñíèòü êâàíòîâûì äðîæàíèåì ÷àñòèöû, èëè äðóãèìè ñëîâàìè íåâîçìîæíîñòüþ ëîêàëèçîâàòü ÷àñòèöó íà ðàññòîÿíèÿõ ìåíüøå, ÷åì êîìïòîíîâñêàÿ äëèíà âîëíû m−1 = }/m. Òîãäà 1 eA0 (r) + eδr∇A0 (r) + eδri δrj ∇i ∇j A0 (r) 2 e i j i j 0 e 0 0 ≈ eA (r) + δr δr ∇ ∇ A (r) ≈ eA (r) − div E (r) . 2 6m2 eA0 (r) → eA0 (r + δr) ≈ ×ëåíû e − 4m 2 σ [E × p] − ie 8m2 σ · rot E ìîæíî ïåðåïèñàòü â ÿâíî ýðìèòîâîé ôîðìå − e [E × p] − [p × E] σ 4m2 2  êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå âêëàä îáîèõ ñëàãàåìûõ â ÷èñëèòåëå îäèíàêîâ è äâîéêà â çíàìåíàòåëå óõîäèò. Åñòåñòâåííîå îáúÿñíåíèå ýòîãî ÷ëåíà òàêîå:  ñèñòåìå ïîêîÿ ýëåêòðîíà, áëàãîäàðÿ ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà ïîÿâëÿåòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå Hind = E × v, êîòîðîå è âçàèìîäåéñòâóåò ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì ÷àñòèöû. Ïîëó÷àåì −µHind = − e e σ [E × v] = − 2 σ [E × p] 2m 2m Âèäèì, ÷òî ïîëó÷èëè êîýôôèöèåíò â äâà ðàçà áîëüøå. ×òîáû îáúÿñíèòü ýòîò ôàêò (ò.í. "òîìàñîâñêóþ ïîëîâèíêó"), ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñïèíà âî âíåøíåì ïîëå. 14 3.8 Äâèæåíèå ñïèíà âî âíåøíåì ïîëå. Ñïèí ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ìîæíî îïèñàòü àêñèàëüíûì ÷åòûðå-âåêòîðîì, ïîä÷èíÿþùåìñÿ óñëîâèþ S · u = 0, ãäå u- ÷åòûðåõ-ñêîðîñòü. Ýòî óñëîâèå Ëîðåíö-èíâàðèàíòíàÿ ôîðìà óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî â ñèñòåìå ïîêîÿ ñïèí ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ïðîñòðàíñòâåííûì âåêòîðîì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u = γ (1, v), ïîëó÷àåì S0 = S · v Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî t, (3) ïîëó÷àåì Ṡ 0 = Ṡ · v + S · v̇  ìãíîâåííîé ñèñòåìå ïîêîÿ v=0 è ìû ïîëó÷àåì Ṡ 0 = S · v̇ = e S·E m (ìãí. ñ.ï.) (4) À èçìåíåíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì (ïðåöåññèÿ) Ṡ = µ × H = ge S×H 2m (ìãí. ñ.ï.) (5) Óðàâíåíèÿ (4),(5) ìîæíî çàïèñàòü â Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé ôîðìå: Ṡ µ = ge µν e g F Sν − − 1 uµ (uα F αν Sν ) 2m m 2 2Sµ , ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ñîõðàíÿåò íîðìó âåêòîðà S . Ïîñêîëüêó S 2 = −1. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áàðãìàíà-Ìèøåëÿ-Òåëåãäè. Óìíîæèâ íà ñ÷èòàòü, ÷òî (6) óðàâíåíèå ëèíåéíî ïî S, áóäåì Ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûå ÷à- ñòèöû òàêæå ìîãóò èìåòü íåíóëåâîé ìàãíèòíûé ìîìåíò (íàïðèìåð, íåéòðîí ÷àñòèöà ñ íóëåâûì çàðÿäîì è ñî ñïèíîì 1/2), ïîýòîìó áîëåå óíèâåðñàëüíûé âèä óðàâíåíèÿ ÁÌÒ òàêîé: Ṡ µ = µ µ µν e µ F Sν − − u (uα F αν Sν ) , s s m ge 2m → µ/s (s ñïèí ÷àñòèöû).  òàêîì âèäå ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì ïðîèñõîæäåíèå ðàçëè÷íûõ ÷ëåíîâ â óðàâíåíèè: ïðîïîðöèîíàëüíûå µ/s ÷ëåíû îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû ñ ìàãíèòíûì ãäå ìû ïðîñòî çàìåíèëè ïîëåì, à ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå e îïèñûâàþò êèíåìàòè÷åñêîå âëèÿíèå íà ñïèí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë. Òî, ÷òî òàêîå âëèÿíèå åñòü, âèäíî óæå èç óðàâíåíèÿ (3). Åñëè ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî ïðîèçâîëüíîìó çàäàííîìó çàêîíó, èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî ñïèí íå ìîæåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûì. 3.8.1 Ïðåöåññèÿ Òîìàñà. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ðåëÿòèâèñòñêè êîâàðèàíòíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ Sµ â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Òåïåðü âûïîëíèì íåðå- ëÿòèâèñòñêîå ðàçëîæåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäåðæèâàÿ ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ñêîðîñòè. Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò ïîëó÷àåì µ µ e ([S × H] + E (Sv)) − − v (ES) s s m µ e = [S × (H + [E × v])] + v (ES) s m Ṡ = 15 Ó÷òåì, ÷òî S ζ ñâÿçàí ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà ñî ñïèíîì â ñèñòåìå ïîêîÿ ÷àñòèöû. Ìîæíî íàïðÿìóþ ñäåëàòü ýòî ïðåîáðàçîâàíèå, à ìîæíî èñêàòü ñâÿçü â âèäå S = aζ + b (ζu) u è íàéòè êîýôôèöèåíòû a è b èç äâóõ óñëîâèé S 2 = −1, Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó èìååì a=1 S⊥ = ζ ⊥ è, ðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì (ìû âçÿëè êîðåíü, êîòîðûé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ) S=ζ+ (ζu) u 1 + u0 Çàìåòèì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíûõ Ïðè ðàçëîæåíèè äî êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ ïî ñêîðîñòè, èìååì 1 (ζv) v 2 S≈ζ+ Ïîýòîìó 1 1 (ζv) v̇ + (ζ v̇) v 2 2 1 e e 1 ≈ ζ̇ + (ζv) E + (ζE) v 2 m m2 Ṡ ≈ ζ̇ + Ïîëó÷àåì e µ e e (ζv) E − (ζE) v + [ζ × (H + [E × v])] + v (ζE) 2m 2m s m µ µ µ e µ e = [ζ × H] + − [ζ × [E × v]] = [ζ × H] + − [ζ × Hind ] s s 2m s s 2m ζ̇ = − µ s [ζ × (H + Hind )]. Ïðîèñõîæäåíèå âòîðîãî ÷ëåíà ïîíÿòíî èç âûâîäà: îí ïîÿâèëñÿ èç-çà òîãî, ÷òî íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñèëà eE. Åñëè áû íå ÷ëåí e − 2m â êðóãëûõ ñêîáêàõ, ìû áû ñãðóïïèðîâàëè ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ â âèäå Ïîñêîëüêó äëÿ ýëåêòðîíà e ge e 2e e e 1µ µ − = − = − = = , s 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2s ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåì òîìàñîâñêóþ ïîëîâèíêó. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî òîìàñîâñêàÿ ïðåöåññèÿ ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåëÿòèâèñòñêèì ýôôåêòîì, ñâÿçàííûì ñ íåèíåðöèàëüíîñòüþ ìãíîâåííîé ñèñòåìû ïîêîÿ. 3.8.2 Âûðàæåíèå 4-âåêòîðà ñïèíà ÷åðåç âîëíîâûå ôóíêöèè Ïîêàæåì, ÷òî ïðîâåðèòü Âî-ïåðâûõ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî S µ ∝ ψγ µ γ5 ψ γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − 4!i εαβγδ γ α γ β γ γ γ δ , ìû âèäèì, ÷òî ψγ5 γ µ ψ ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîâåêòîðîì. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñâÿçü ýòîé âåëè÷èíû ñî ñðåäíèì ñïèíîì â ñèñòåìå ïîêîÿ, ãäå ψ= ϕ 0 . Ïîëó÷àåì 0 ψγ γ5 ψ = 0, † ψγγ5 ψ = ϕ , 0 0 −σ ò.å., ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èëè óäâîåííûé ñðåäíèé ñïèí. 16 σ 0 0 1 1 ϕ = ϕ† σϕ , 0 0 3.9 Ñïèðàëüíîñòü Ñïèðàëüíîñòü ïðîåêöèÿ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2 îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, êàê Σp̌/2, ãäå u, p̌ = p/p. Ïî îïðåäåëåíèþ, ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà ñ çàäàííûì èìïóëüñîì è ñïèðàëüíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò òàêîìó 4-ñïèíîðó ÷òî Σp̌u = λu. Ïîñêîëüêó 2 (Σp̌) = 1,ïîëó÷àåì, ÷òî λ = ±1. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñïèðàëüíîñòü òî÷íî ñîõðàíÿåòñÿ â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè êîììóòèðóåò ñî ñâîáîäíûì ãàìèëüòîíèàíîì. Òàêæå ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì óãëîâîãî ìîìåíòà, à òàêæå ñ ãåíåðàòîðîì áóñòà âäîëü âðàùåíèÿõ è ïðè êîíå÷íûõ áóñòàõ âäîëü 3 p̌, p̌. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïèðàëüíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ ñîõðàíÿþùèõ íàïðàâëåíèå p. Çàìåòèì, ÷òî ñïèðàëüíîñòü íå ñîõðàíÿåòñÿ ïðè îáùèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà . Íàïðèìåð, åñëè ìû ïåðåéäåì â ñèñòåìó, äâèæóùóþñÿ ïî ÷àñòèöû, ñïèðàëüíîñòü î÷åâèäíî èçìåíèò çíàê.Êàê ìû óæå óïîìèíàëè, 4-ñïèíîð v n ñî ñêîðîñòüþ áîëüøå ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîìó ýëåêòðîíó è ÿâëÿåòñÿ çàðÿäîâûì ñîïðÿæåíèåì ñïèíîðà ôèçè÷åñêîé ÷àñòèöû ïîçèòðîíà. Îïðåäåëèì, êàê äåéñòâóåò îïåðàòîð Σp̌ íà v: ? Σp̌v = Σp̌iγ 2 u?pos = −iγ 2 (Σp̌) u?pos = −iλpos γ 2 u?pos = −λpos v, òî åñòü, åñëè v Σp̌, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ñïèíîðîì îïåðàòîðà òî ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ðàâíî ìèíóñ (óäâîåííîé) ñïèðàëüíîñòè ïîçèòðîíà. 3.9.1 Êèðàëüíîñòü. Ñîõðàíåíèå ñïèðàëüíîñòè â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ðàññåÿíèè Ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå ñïèðàëüíîñòü, êîíå÷íî, íå ñîõðàíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì îäíàêî îïåðàòîð 0 γ5 = 1 1 , 0 êîòîðûé íàçîâåì îïåðàòîðîì êèðàëüíîñòè. Ýòîò îïåðàòîð íå êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì èç-çà ÷ëåíà mβ . Îäíàêî â ïðåäåëå íóëåâîé ìàññû îí êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì, äàæå ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî ïîëÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì æå ïðåäåëå åãî äåéñòâèå íà ïëîñêóþ âîëíó (è ñóïåðïîçèöèþ ïëîñêèõ âîëí) ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèåì îïåðàòîðà ñïèðàëüíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ ìàññó ðàâíîé íóëþ, èìååì: u= γ5 u = Äëÿ ñïèíîðà v √ √ ϕ (σn) ϕ (σn) ϕ ϕ ε ε èìååì òî æå ñàìîå ñîîòíîøåíèå √ = ε (σn) ϕ 2 (σn) ϕ = (Σn) u γ5 v = (Σn) v . Çàìåòèì, ÷òî ïðåäåë íóëåâîé ìàññû ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë. Ïîýòîìó ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ñîõðàíÿåòñÿ êèðàëüíîñòü. Äëÿ çàäà÷è ðàññåÿíèÿ âäàëè îò ðàññåèâàþùåãî öåíòðà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ ñâîáîäíîìó óðàâíåíèþ Äèðàêà è ïîýòîìó â ýòîé îáëàñòè êèðàëüíîñòü ñîâïàäàåò ñî ñïèðàëüíîñòüþ. Äðóãèìè ñëîâàìè, â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ðàññåÿíèè ñïèðàëüíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ. 3 Îäíàêî äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñïèðàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö-èíâàðèàíòîì. 17 3.10 Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå. j âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ l = j±1/2. ßñíî, ÷òî ñèììåòðèåé ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ P -÷åòíîñòè, à òàêæå, îïðåäåëåííûìè j2 = j (j + 1) , jz = M  öåíòðàëüíîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíûé ìîìåíò è ÷åòíîñòü ñîñòîÿíèÿ. Ïðè çàäàííîì ïîëíîì ìîìåíòå áóäåò îáëàäàòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñëåäóþùåãî âèäà: ψ= ãäå Ω (n) = Ωjlm (n) f (r) Ω (n) , ig (r) Ω̃ (n) ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðîâ P Ω̃ (n) = − (σn) Ω (n) , j2 , l2 , jz . Ïðîâåðêà òàêîâà: l 0 ψ (r) → γ ψ (−r) = γ 0 (−1) f (r) Ω (n) l+1 (−1) ig (r) Ω̃ (n) ! l = (−1) ψ (r) Ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ïîëíûì ìîìåíòîì óäîâëåòâîðÿþò j2 ψ = j (j + 1) ψ Ïîêàæåì,÷òî Ω̃ (n) òîæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðîâ j2 , l2 , jz . Ñ j2 ýòî ñðàçó ïîíÿòíî. Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî (σl) Ω (n) = j2 − l2 − 3/4 Ω (n) = [j (j + 1) − l (l + 1) − 3/4] Ω (n) = [j (j + 1) − (j ∓ 1/2) (j ∓ 1/2 + 1) − 3/4] Ω (n) = [± (j + 1/2) − 1] Ω (n) Ïðîâåðèì îïåðàòîð l2 l2 Ω̃ (n) = −l2 (σn) Ω (n) = − (σn) l2 + 2 − 2i (n×σ) l Ω (n) = − [(σn) (l (l + 1) + 2) + 2 (σn) (σl)] Ω (n) = [l (l + 1) + 2 + 2 (j (j + 1) − l (l + 1) − 3/4)] Ω̃ (n) = (2j − l) (2j − l + 1) Ω̃ (n) Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå (ó÷åñòü, ÷òî j = l ± 1/2). Íàéòè ÿâíûé âèä øàðîâûõ ñïèíîðîâ ñëîæåíèåì ìîìåíòîâ. 3.10.1 Ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà Íàéäåì óðîâíè ýíåðãèè â êóëîíîâñêîì ïîëå. Ïðè ýòîì ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Äèðàêà ñ äîáàâî÷íûì ÷ëåíîì i eδg µν µ γ (i∂ − eA)µ − m + σ Fµν ψ = 0. 2 4m Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â âèäå ψ= ϕ −iεt e χ Ó÷èòûâàÿ, ÷òî σ µν Fµν = 2σ 0i F0i = 2 (αE) = 2 Z |e| (αn) , r2 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Zα Zαδg ε−m+ ϕ = σp + i σn χ r 4mr2 Zαδg Zα χ = σp − i σn ϕ ε+m+ r 4mr2 18 Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè Óïðàæíåíèå. δg 6= 0, ïðîèñõîäèò ïàäåíèå íà öåíòð. Ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå îïðåäåëèâ àñèìïòîòèêó âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëå. Ðåøàåì äàëåå ïðè δg = 0. Èñïîëüçóåì òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûå ôîðìóëû, èìååì i 2 σpf (r) Ω (n) = (σn) σpf (r) Ω (n) = (σn) [(np) + iσl/r] f (r) Ω (n) = − (σn) [r∂r + 1 ∓ (j + 1/2)] f (r) Ω (n) r i σpg (r) Ω̃ (n) = − (σn) [r∂r + 1 ± (j + 1/2)] g (r) Ω̃ (n) r Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ Zα j + 1/2 −1 − ε+m+ g = r ∂r r ∓ f r r Zα j + 1/2 ε−m+ f = r−1 ∂r r ± g r r Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå r−1 ∂r r − κr−1 σz + ε + Zαr−1 iσy + mσx fg = 0 −1 r ∂r r + κr−1 σz − ε + Zαr−1 iσy + mσx , ïîëó÷àåì h i 2 r−1 ∂r2 r − κ2 r−2 + ε + Zαr−1 − m2 + r−2 (κσz − iZασy ) Äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû (κσz − iZασy ), î÷åâèäíî, ðàâíû q 2 ±γ = ± κ2 − (Zα) . f g =0 Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè íàéäåííûõ ðåøåíèé â èñõîäíîå óðàâíåíèå ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íàì íóæåí âåðõíèé çíàê (ïîñêîëüêó ìû äåéñòâîâàëè íà óðàâíåíèå îïåðàòîðîì, ìû ìîãëè ïîëó÷èòü ëèøíèå ðåøåíèÿ). Ïîñëå ýòîãî îñòàåòñÿ íàéòè óñëîâèå íà íàëè÷èå íóëåâûõ ìîä ó îïåðàòîðà r−1 ∂r2 r − κ2 r−2 + ε + Zαr−1 2 − m2 + γr−2 = r−1 ∂r2 r − Ñðàâíèâàÿ ýòîò îïåðàòîð ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ñëó÷àåì E−H = r −1 ∂r2 r 2m − (γ − 1) γ 2Zαε + + ε2 − m2 r2 r l(l+1) 2mr 2 + Zα r + E, ïîëó÷àåì ñïåêòð èç 2 E=− çàìåíîé E→ ε2 −m2 2m , m (Zα) 2 (nr + l + 1) 2 l → γ − 1, Zα → Zαε/m: 2 ε2 − m2 m (Zαε/m) =− 2 2m 2 (nr + γ) ε= q m 1+ (Zα)2 (nr +γ)2 2 ≈m− 4 4 m (Zα) 3m (Zα) m (Zα) + − 3 + ... 4 2n 8n n (2j + 1) Âèäèì, ÷òî âòîðîé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ýíåðãèåé ñâÿçè. Òðåòèé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ïîïðàâêîé, íî n, m(Zα)4 íî ðàçíûìè j . Íàïðèìåð, áëàãîäàðÿ ýòîìó ÷ëåíó 2s1/2 è 2p1/2 óðîâíè ëåæàò íèæå óðîâíÿ 2p3/2 (ñ ðàçíèöåé ýíåðãèé ). 32 íå íàðóøàåò âûðîæäåíèå ïî ïîëíîìó ìîìåíòó. ×åòâåðòûé ÷ëåí ïðèâîäèò ê òîíêîìó ðàñùåïëåíèþ óðîâíåé ñ îäèíàêîâûìè 19