3.7. выравнивание температур

3.7. Выравнивание температур
Пусть два тела, обладающие теплоёмкостями С1 и С2 находятся в контакте и при
различных температурах Т1 и T2 (рис. 3.14). Предположим так же, что теплообмен
происходит только между телами, а с внешней средой отсутствует. В этой ситуации
количество тепла отданного одним телом должно
быть равно количеству тепла, принятого другим
телом. Математически это можно записать так
δQ = −C1dT1 = C 2 dT2 ,
(3.78)
где dТ1 − понижение температуры первого тела, dT2 −
повышение температуры второго тела. При
постоянстве
величин
теплоёмкостей
для
рассматриваемых тел для них можно записать
уравнение Фурье (3.52) в следующем виде
dT
kΔs(T1 − T2 )
C1 1 = −
,
(3.79)
dt
x
dT
kΔs(T1 − T2 )
C2 2 = +
,
(3.80)
dt
x
Следует обратить внимание на то, что если Т1 >
T2, то (dT1 dt ) < 0 , а (dT2 dt ) > 0 , другими словами,
Рис. 3.14. Теплообмен
происходит выравнивание температуры тел. Температура более нагретого тела уменьшается,
а температура менее нагретого − увеличивается. Если уравнения (3.79) и (3.80) сложить
dT
dT
C1 1 = C 2 2 ,
dt
dt
и проинтегрировать, то получим
(3.81)
C1T1 = C 2 T2 .
Предположим далее, что в момент времени t = 0 температуры тел будут равны T1(0) и
T2(0), в этом случае
C1T1 + C 2 T2 = C1T1( 0 ) + C 2 T2 ( 0 ) .
(3.82)
По истечении длительного промежутка времени Т1 = T2 = T, т.е.
C T + C 2 T2 ( 0 )
T = 1 1( 0 )
.
(3.83)
C1 + C 2
Скорость изменения температуры определим, предполагая, что температура одного из
тел меняется мало. Так например происходит при измерении температуры термометром,
когда нагревание или охлаждение рабочего тела термометра не влечёт за собой
значительного изменения температуры окружающей среды. В этом случае С1 << C2, Т2 =
T2(0). Введём обозначение
θ = T1 − T = T1 − T2 .
(3.84)
Скорость изменения температуры можно представить следующим образом
dT d(T1 − T ) dθ
=
=
.
(3.85)
dt
dt
dt
Уравнение (3.79) в этом случае примет вид
dθ
kΔsθ
C1
=−
= − k ∗θ .
(3.86)
dt
x
Интегрирование уравнения (3.86) приводит к следующему результату
124
k∗
+ const .
(3.87)
C1
Постоянную интегрирования определим, используя начальное условие θ = θ 0 , имеющее
место при t = 0
⎛ k∗ ⎞
θ = θ0 exp⎜⎜ − t ⎟⎟ .
(3.88)
⎝ C1 ⎠
Из уравнения (3.88) следует, что уменьшение температуры первого тела происходит по
экспоненциальному закону, причём скорость спада температуры определяется
отрицательным показателем экспоненты (− kΔs xC1 ) , зависящим от коэффициента
теплопроводности тела k, площади контакта Δs, линейного размера тела х и теплоёмкости
тела С1.
Полученные уравнения применяются
при вычислении изменений температуры
в нестационарных тепловых потоках.
Рассмотрим плоскую стенку площадью
поперечного сечения Δs, помещённую
между двумя средами с меняющимися по
различным законам температурами (рис.
3.15). Из среды I в перегородку
поступает количество тепла δQ1, в среду
II через перегородку поступает тепло в
количестве δQ2. Тепловой баланс
математически
можно
представить
следующим образом
δQ = δQ1 − δQ 2 .
Рис. 3.15. Нестационарный тепловой поток
Обозначим бесконечно малое изменение
градиента температуры как
⎛ dT ⎞
(3.89)
ϑ = d⎜
⎟.
⎝ dx ⎠
Градиент температуры внутри стенки будет меняться по закону
dT
⎛ dT
⎞
(3.90)
δQ = kΔsdt ⎜
+ ϑ ⎟ − kΔsdt
= kΔsdtϑ .
dx
dx
⎝
⎠
Величина δQ представляет собой теплоту, вызывающую повышение температуры
некоторого объёма стенки Vi = Δsdx на величину dT, другими словами,
δQ = mCdT = ρCΔsdxdT .
(3.91)
Приравняем уравнения (3.90) и (3.91)
dT
k dϑ
k d 2T
.
(3.92)
=
=
dt ρC dx ρC dx 2
С учётом уравнения коэффициента температуропроводности (3.70), имеем
dT
dϑ k d 2 T
,
= χ2
=
dt
dx ρC dx 2
или
dT
d 2T
= χ2 2 ,
(3.93)
dt
dx
что совпадает с уравнением (3.71). Если тепловой поток распространяется не только в одном
направлении, то уравнение (3.94) перепишется в более общем виде
dT
= χ 2∇ 2 T ,
(3.94)
dt
ln θ = −
125
где ∇ 2 T =
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
. Уравнение (3.94) называется уравнением Фурье − Кирхгофа.
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
126