Приложение 1 - Сайт кафедры общей физики и волновых

Рабочая программа дисциплины
1. «Численные методы в физике»
2. Лекторы.
2.1. Доктор физ.-мат. наук, доцент Косарева Ольга Григорьевна, кафедра общей физики и волновых процессов, e-mail kosareva@physics.msu.ru, тел. (495) 939-30-91.
3. Аннотация дисциплины.
Данный курс является обязательной дисциплиной для студентов 4-го курса физического факультета, обучающихся по программе "ИБ_ФИЗИКА" (направление 011200 "Физика") и читается студентам ряда кафедр отделения радиофизики. Он посвящен методам численного
анализа основных задач, возникающих в теории колебаний и волн. Рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнение переноса, уравнение теплопроводности, волновое уравнение, квазиоптическое уравнение, уравнение Власова, уравнение
Пуассона. Для каждого из типов уравнений излагаются наиболее эффективные численные
процедуры, а именно разностные, спектральные методы, методы крупных частиц и частиц в
ячейке. Большое внимание уделяется анализу устойчивости расчетных схем и их спектральных характеристик. Заключительная часть курса посвящена стохастическому моделированию в численном эксперименте, основанному на методе Монте-Карло. Излагаются методы
генерации последовательностей случайных чисел и случайных полей с заданной корреляционной функцией.
Отличительной особенностью преподавания курса является использование компьютерного
практикума, в состав которого входят пять упражнений (по числу основных разделов курса),
выполняемых студентами в рамках самостоятельной работы.
4. Цели освоения дисциплины.
Основной целью курса является формирование у студентов навыков самостоятельной разработки и анализа свойств расчетных алгоритмов и вычислительных схем для решения современных практических задач радиофизики, физической и квантовой электроники, нелинейной
оптики и лазерной физики.
5. Задачи дисциплины.
В результате освоения дисциплины студенты должны достичь глубокого понимания причин
возникновения побочных эффектов, сопровождающих использование вычислительных процедур, научиться целенаправленно варьировать свойства численных схем, добиваясь требуемой точности и достоверности вычислений.
6. Компетенции.
7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.
ОНК-5, ИК-3, ИК-4, ПК-1
7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.
ИК-3; ИК-4; ПК-2; ОНК-5
7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать основные принципы построения расчетных схем для решения задач математической
физики;
уметь получать и интерпретировать численные решения конкретных задач по теме курсовой
и дипломной работы;
владеть приемами наглядного представления результатов численных расчетов в виде графиков, трехмерных поверхностей, анимаций и т.п.;
иметь опыт деятельности по публичному представлению и обоснованию результатов своих
расчетов в форме публикации и научного доклада.
Стр. 1 из 10
8. Содержание и структура дисциплины.
Вид работы
Общая трудоёмкость, акад. Часов
Аудиторная работа:
Лекции, акад. Часов
Семинары, акад. Часов
Лабораторные работы, акад. Часов
Самостоятельная работа, акад. Часов
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)
Семестр
8
72
45
45
27
Зачет с
оценкой
Всего
72
45
45
27
Зачет с
оценкой
Стр. 2 из 10
N
раздела
Наименование
раздела
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
Лекции
1
Спектр дискретной
функции
№1. 3 часа.
Функция дискретного аргумента.
Ряд и интеграл Фурье. Сетка. Гребневая функция Дирака. Спектр дискретной функции. Частота Найквиста. Восстановление оригинала по
спектру дискретной функции. Теорема Котельникова-Шеннона. Осцилляции Гиббса. Взаимосвязь функции и спектра при дискретизации.
Вычисление производных с использованием спектра.
Аудиторная работа
Семинары
Самостоятельная работа
Форма
текущего
контроля
Лабораторные работы
3 часа.
Работа с лекционным материалом.
1 час.
Выполнение компьютерного упражнения «Дискретное преобразование
Фурье».
Оп,
Об
№2. 3 часа.
Дискретное преобразование Фурье.
Анализ Фурье. Ортогональность
фурье-гармоник. Синтез Фурье.
Свойства ДПФ. Формулы смещения
и свертки. Практика ДПФ. Быстрое
преобразование Фурье. Алгоритм
БПФ. Оценка эффективности.
2
Системы обыкно№ 3. 3 часа.
венных дифференОсновы разностной аппроксимации.
циальных уравнений Аппроксимация дифференциальных
операторов. Погрешность разностных операторов. Длинноволновое
приближение.
3 часа.
Работа с лекционным материалом.
1 час.
Выполнение компьютерного упражнения «Обыкновенные дифференциальные уравнения».
№ 4. 3 часа.
Задача Коши. Метод Эйлера. Его
устойчивость. Метод с перешагиванием. Двухслойные схемы второго
порядка точности. Метод РунгеКутта. Метод Адамса. Краевая
задача. Метод прогонки.
3
Уравнение переноса № 5. 3 часа.
Методы первого порядка точности.
Схема бегущего счета. Спектральный анализ устойчивости. Центри-
Оп,
Об,
КР
3 часа.
Работа с лекционным материалом.
1 час.
Стр. 3 из 10
рование по пространству. Схема
Лакса. Дисперсия и диффузия на
сетке.
Выполнение компьютерного упражнения «Уравнение переноса».
Оп,
Об,
РГЗ
№ 6. 3 часа.
Методы второго порядка точности.
Трехслойная схема с перешагиванием. Алгоритм Лакса-Вендроффа.
Квазилинейные уравнения переноса.
Разрывные решения и псевдовязкость. Консервативные схемы.
4
Уравнения параболического и гиперболического типа
№ 7. 3 часа.
Линейная одномерная задача. Явная
схема. Спектральный анализ устойчивости. Неявная схема. Схема
Кранка-Николсона.
Квазилинейные уравнения. Применимость явных схем. Неявные схемы.
Линеаризация. Схемы «предикторкорректор».
3 часа.
Работа с лекционным материалом.
1 час.
Выполнение компьютерного упражнения «Уравнение теплопроводности».
Оп,
Об,
РГЗ
№ 8. 3 часа.
Многомерные задачи диффузии и
теплопроводности. Продольнопоперечная схема. Метод расщепления.
Волновое уравнение. Схема типа
«крест». Аппроксимация граничных
условий. Неявная схема с весами.
Схема Кранка-Николсона.
5
Нелинейное уравне- № 9. 3 часа.
ние Шредингера
Физические задачи, приводящие к
(НУШ)
НУШ. Параболические теории дифракции и дисперсии в нелинейной
среде. Безразмерные переменные.
Законы сохранения. Тестовые задачи
дифракции.
№ 10. 3 часа.
Разностные методы в задачах дифракции. Явная схема. Простейшая
неявная схема. Схема КранкаНиколсона. Спектральный метод в
задачах дифракции.
3 часа.
Работа с лекционным материалом.
1 час.
Выполнение компьютерного упражнения «Уравнение квазиоптики».
Оп,
Об,
КР
Стр. 4 из 10
Методы решения нелинейного уравнения Шредингера. Пошаговая линеаризация. Расщепление по физическим факторам. Сравнение эффективности различных схем
6
Задачи физики
плазмы
№ 11. 3 часа.
Постановка задачи. Плазма. Ее
параметры и масштабы. Кинетическая теория плазмы. Проблемы численного эксперимента.
Бесстолкновительная модель «частицы в ячейке». Уравнения модели.
Эйлерова и лагранжева системы
координат. Машинные частицы.
Условия применимости. Алгоритм.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
2 часа.
Самостоятельное изучение метода
«Частицы в ячейке». Д.Поттер.
Вычислительные методы в физике.
М.: Мир, 1975, глава 6, параграфы 13.
№ 12. 3 часа.
Вычисление заряда в узлах эйлеровой
сетки. Точечный заряд и «облако в
ячейке». Решение уравнения Пуассона. Разностный, спектральный и
псевдоспектральный методы.
Оп,
Об,
К
№ 13. 3 часа.
Метод Хокни для уравнения Пуассона. Циклическая редукция. Метод с
перешагиванием для уравнений движения частиц.
Статистический подход. Решение
уравнения Власова. Разностный
метод. Схема Лакса-Вендроффа.
Гидродинамический метод. Модель
«водяного мешка»
7
Статистическое
моделирование в
численном эксперименте
№ 14. 3 часа.
Метод Монте-Карло. Общая схема.
Последовательности случайных
чисел. Базовая последовательность
равномерно распределенных случайных чисел. Метод вычетов. Получение равномерного распределения на
заданном интервале. Метод обратных функций. Псевдослучайные числа
с нормальным распределением.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
1 час.
Самостоятельное изучение
свойств датчиков случайных чисел.
Д.Кнут, Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. Вильямс, 2002г., глава 3,
параграфы 3.1-3.3.
Оп,
Об
Стр. 5 из 10
№ 15. 3 часа.
Генерация последовательностей с
произвольным законом распределения. Метод Неймана.
Ансамбли коррелированных псевдослучайных чисел. Спектральный
метод. Метод скользящего суммирования.
Стр. 6 из 10
9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
1. Обязательная дисциплина.
2. Базовая часть Б-ОН, модуль «Информатика».
3. Дисциплина представляет собой заключительную часть модуля «Информатика». Она логически связана с другими дисциплинами этого модуля, а именно, с программированием и
информатикой и основами математического моделирования. Изучение этой дисциплины базируется на успешном усвоении дисциплин модуля «Математика».
3.1. Дисциплины и практики, которые должны быть освоены для начала освоения данной
дисциплины:
Математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, теория функций комплексной переменной, программирование и информатика,
основы математического моделирования.
3.2. Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее.
Освоение данной дисциплины необходимо для научно-исследовательской работы, выполнения курсовой и дипломной работ.
10. Образовательные технологии
Курс имеет электронную версию для презентации. Лекции читаются с использованием современных мультимедийных возможностей и проекционного оборудования. Студентам получают
доступ к исполняемым файлам с упражнениями для приобретения навыков управления параметрами численных схем. Студентам предлагаются темы для докладов и презентаций с последующей дискуссией и обсуждением сделанного доклада.
11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Текущий контроль успеваемости проводится еженедельно. Критерии формирования
оценки – посещаемость занятий, активность студентов на лекциях, уровень подготовки к
лекциям, выступления с докладами.
Примеры тем предлагаемых докладов:
1. Взаимосвязь функции и спектра при дискретизации.
2. Алгоритм быстрого преобразования Фурье.
3. Сравнительные характеристики схем интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений.
4. Устойчивость и спектральные характеристики схем решения уравнений переноса.
5. Устойчивость и спектральные характеристики схем решения уравнения теплопроводности.
6. Критерии выбора расчетных схем для решения уравнения дифракции.
7. Сравнение процедур вычисления заряда в узлах эйлеровой сетки.
8. Методы преобразования случайных чисел.
Промежуточная аттестация проводится на 8-й неделе в форме контрольной работы с
оценкой. Критерии формирования оценки – уровень знаний пройденной части курса.
Список контрольных вопросов:
1. Как определяется частота Найквиста для разностной сетки?
2. Каким образом можно ослабить эффект наложения частот?
3. В каких приложениях спектрального анализа проявляются осцилляции Гиббса?
4. Какова точность аппроксимации производных односторонними и центрированными разностями?
5. Как формулируется условие устойчивости расчетной схемы?
6. Каковы условия устойчивости схемы Эйлера, схемы с перешагиванием, явной двухшаСтр. 7 из 10
говой схемы?
7. Каким методом исследуется устойчивость схем интегрирования уравнения переноса?
8. Что такое дисперсия и диффузия сеточного решения?
9. Какими способами можно ослабить эффекты сеточной дисперсии и диффузии?
10. В чем состоят преимущества и недостатки неявной схемы интегрирования уравнения теплопроводности?
11. Каковы дисперсионные свойства схемы Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности?
12. Как повысить порядок аппроксимации начальных условий для волнового уравнения.
13. Каковы условия устойчивости неявной схемы с весами для волнового уравнения?
Итоговая аттестация зачет с оценкой.
Полный перечень вопросов к зачёту с оценкой:
1. Ряд и интеграл Фурье. Сетка, гребневая функция Дирака. Спектр сеточной функции.
Частота Найквиста.
2. Восстановление оригинала по спектру дискретной функции. Теорема КотельниковаШеннона. Осцилляции Гиббса.
3. Взаимосвязь функции и спектра при дискретизации. Вычисление производных с использованием спектра.
4. Дискретное преобразование Фурье. Анализ Фурье. Ортогональность гармоник в дискретном пространстве. Синтез Фурье. Формулы смещения и свертки.
5. Быстрое преобразование Фурье. Алгоритм, эффективность.
6. Основы разностной аппроксимации дифференциальных операторов. Погрешность разностной аппроксимации. Длинноволновое приближение.
7. Задача Коши. Метод Эйлера, метод с перешагиванием.
8. Задача Коши. Двухслойные схемы второго порядка: явный двухшаговый метод; схема
"предиктор-корректор", неявный метод.
9. Задача Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Экстраполяционный метод Адамса.
10. Краевые задачи. Сеточная аппроксимация. Метод прогонки.
11. Получение последовательностей псевдослучайных чисел с равномерным и нормальным
распределениями. Улучшение качества последовательности чисел. Метод Неймана.
12. Получение коррелированных последовательностей псевдослучайных чисел с нормальным распределением. Спектральный метод. Метод скользящего суммирования.
13. Уравнение переноса. Схема бегущего счета. Спектральный анализ устойчивости. Схема
Лакса. Дисперсия и диффузия на сетке.
14. Методы второго порядка точности для уравнения переноса: трехслойная схема с перешагиванием, алгоритм Лакса-Вендроффа. Устойчивость и спектральные характеристики.
15. Квазилинейные уравнения переноса. Разрывные решения и псевдовязкость. Консервативные схемы.
16. Параболическое уравнение. Явная схема первого порядка. Устойчивость и спектральные
характеристики.
17. Параболическое уравнение. Неявная схема. Схема Кранка-Николсона. Устойчивость и
спектральные характеристики.
18. Квазилинейные уравнения параболического типа. Явная и неявная схемы. Линеаризация.
Схема "предиктор-корректор".
19. Многомерные уравнения параболического типа. Явная и неявная схемы. Методы расщепления.
Стр. 8 из 10
20. Продольно-поперечная схема для многомерного уравнения параболического типа.
21. Волновое уравнение. Схема типа "крест". Неявная схема с весами.
22. Квазиоптическая теория дифракции. Безразмерные переменные. Тестовые задачи дифракции. Законы сохранения.
23. Квазиоптическое уравнение. Трехслойная схема с перешагиванием. Устойчивость и
спектральные характеристики.
24. Квазиоптическое уравнение. Неявная схема. Схема Кранка-Николсона. Устойчивость и
спектральные характеристики.
25. Спектральный метод для квазиоптического уравнения.
26. Нелинейное уравнение Шредингера. Пошаговая линеаризация. Расщепление по физическим факторам.
27. Вычисление распределения заряда в узлах эйлеровой сетки для бесстолкновительной
модели плазмы. Точечный заряд и "облако в ячейке". Решение уравнения движения частиц методом перешагивания.
28. Численные схемы решения уравнения Пуассона. Разностный, спектральный и псевдоспектральный методы. Метод Хокни и циклическая редукция.
29. Статистический подход в задачах физики плазмы. Кинетическое уравнение Власова.
Разностный метод. Схема Лакса-Вендроффа.
30. Статистический подход в задачах физики плазмы. Кинетическое уравнение Власова.
Гидродинамический метод. Модель "водяного мешка".
12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Д.Поттер. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.
2. Н.Н.Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978.
3. Н.С.Бахвалов. Численные методы. М.: Наука, 1975.
Дополнительная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.
Ж.Макс. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях, т.1. М.: Мир, 1983.
Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.
Р.Отнес, Л.Эноксон. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982.
Р.Хокни, Д.Иствуд. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.
Г.Дженкинс, Д.Ваттс. Спектральный анализ и его приложение. вып. 2. М.: Мир, 1972.
Периодическая литература
1. D.Feit and J.Fleck, “Split-step Fourier methods applied to model refractive effects in optically thick
media” Appl.Opt. 17 3990 (1978).
2. D.Feit, J.Fleck and A.Steiger, “Solution of the Schrodiner equation by a spectral method”, Journal of
computational physics 47, 412-433 (1982).
3. J. A. Fleck, J. R. Morris, and M. D. Feit, “Time dependent propagation of high energy laser beams
through the atmosphere,” Appl. Phys., vol.10, pp. 129–160, 1976.
Интернет-ресурсы
1. http://ofvp.phys.msu.ru/
2. http://www.ilc.edu.ru/
Методические указания к лабораторным занятиям –
Методические указания к практическим занятиям –
Стр. 9 из 10
Программное обеспечение современных информационных компьютерных технологий: пакеты
Mathematiсa, MatLab, Origin и др.
13. Материально-техническое обеспечение
В соответствии с требованиями п.5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки “Физика”.
Курс может быть прочитан в аудитории с достаточным числом посадочных мест при наличии: работающих электрических розеток, компьютера, проектора, экрана, учебной доски.
Стр. 10 из 10