О СУММИРУЕМЫХ С КВАДРАТОМ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА - ГОРДОНА НА МНОГООБРАЗИЯХ В.В. Козлов, И.В. Волович Классическая задача на собственные значения: эллиптические уравнения. Фурье, В.А.Стеклов, Гильберт, Г.Вейль, Биркгоф, фон Нейман, Гординг, М.Г.Крейн, Кодаира,... Задача на собственные значения для гиперболического уравнения Клейна-Гордона на многообразиях : В.В.Козлов (1987), В.В.Козлов, И.В.Волович (2007) Построено: Бесконечное семейство суммируемых с квадратом решений уравнения Клейна-Гордона на многообразиях типа Фридмана. Дискретный спектр масс. Конечное действие. (M, g) - псевдориманово многообразие, dim M = n + 1 x = (xµ ), µ = 0, 1, ..., n g = (gµν ), (+ − −...−) Уравнение Клейна-Гордона ¤f + λf = 0 p 1 ¤f = ∇µ ∇µ f = p ∂µ ( |g|g µν ∂ν f ) |g| g = det(gµν ) Задача: Определить значения λ, для которых существуют (ненулевые) решения f уравнения Клейна-Гордона, удовлетворяющие условию Z f p 2 |g|dx < ∞. M λ - соответствует квадрату массы. Пример f = f (x, t) ∈ S(R2 ) ⊂ L2 (R2 ) ∂2 ∂2 Af = 2 f − 2 f + φ(x, t)f ∂t ∂x Действие: Z 1 2 2 2 2 S= (ft −fx −φf +λf )dtdx 2 R2 φ = x2 − t2 Afjn = λjn fjn , j, n = 0, 1, 2, ..., fjn 1 2 2 = Hj (t)Hn (x) exp{− (t +x )}, 2 λjn = 2(n − j), j, n = 0, 1, 2, ... В.Л.Гинзбург, М.А.Марков,... Многообразия типа Фридмана M = I × N n, I ⊂ R ds2 = gµν dxµ dxν = dt2 − a2 (t)dl2 , a(t) > 0, t ∈ I N n - Риманово многообразие. dl2 = hij (y)dy i dy j , i, j = 1, ..., n риманова метрика на N n . Уравнения Эйнштейна: Rµν 1 − gµν R = Tµν 2 Уравнение Клейна-Гордона 1 n ˙ ¨ f + ȧf − 2 ∆h f + λf = 0 a a ∆h - оператор Лапласа-Бельтрами для метрики hij , √ ij 1 ∆h f = √ ∂i ( hh ∂j f ) h i, j = 1, 2, ..., n Уравнение Штурма-Лиувилля (Шредингера) f = B(t)a(t) − n2 Φ(y). Предположим (на N n ): −∆h Φ = qΦ Φ = Φ(y), √ Φ2 hdy < ∞ Z Nn Из уравнения Клейна-Гордона следует уравнение Штурма-Лиувилля (Шредингера) B̈ + [λ − v(t)]B = 0 где n ä n n ȧ2 q v(t) = + ( − 1) 2 − 2 2a 2 2 a a Теорема. Пусть M = R × N n - многообразиe типа Фридмана, −∆h Φ = qΦ, a(t) : v(t) → ∞, |t| → ∞. Тогда уравнение Клейна-Гордона имеет семейство решений вида − n2 fj = Bj (t)a(t) Φ(y), причем собственные значения λj , j = 1, 2, ...: λj → ∞, j → ∞. Пример a(t) = C exp(αt2k ), C > 0, α > 0, k > 1. λj → ∞, j → ∞. Пространство де Ситтера M = R × S3 ds2 = dt2 − cosh2 t · hij (y)dy i dy j , hij метрика на S 3 . −∆h Φ = qΦ q = j(j + 2), j = 0, 1, 2, ... α 2 B̈ + [ − ν ]B = 0 2 cosh t Теорема. Если собственные значения для уравнения Клейна-Гордона на пространстве де Ситтера λ ≥ 0, то λ = 0 или λ = 2. (В.В.Козлов, 1987) Масса = 0, √ 2. j X 1 (−j)s (j + 2)s 1 Bj (t) = , (3/2)s s! (e2t + 1)s (cosh t)1/2 s=0 (k)0 = 1, (k)s = k(k + 1)...(k + s − 1), j = 0, 1, 2, ... Метрика Фридмана де Ситтера ds2 = dt2 − e2Ht · hij (y)dy i dy j , 0<t<∞ H - постоянная Хаббла. 9 2 v(t) = H − qe−2Ht 4 модель дейтрона B(t) = Jν (ce−Ht ) Метрика Фридмана Робертсона - Уолкера ds2 = dt2 − a(t)2 hij (y)dy i dy j hij - риманова метрика на многообразии постоянной положительной, нулевой или отрицательной кривизны. Уравнения Фридмана: 3ȧ2 /a2 = 8πρ − 3k/a2 , 3ä/a = −4π(ρ + 3p), k = 1, −1, 0. p = p(ρ). Излучение (p = ρ/3) в торе (k = 0) : √ a(t) = c t, c > 0, 0 < t < ∞. 3 q v(t) = − 2 − 2 , q > 0 16t ct Дискретный спектр: 4q 2 λn = − 4 , n = 1, 2, ... 2 c (4n + 1) ¤f + λf = 0, f ∈ L2 (M ) Действие 1 S= 2 Z p [g µν ∂µ f ∂ν f −λf 2 ] |g|dx M конечно. Массы частиц. Квантовая гравитация. Космологический ландшафт. (А.Д.Сахаров, L.Susskind,...) Z Ψ[g 3 , φ] ∼ eiS[g,φ] DgDφ ∼ eiS C Самосопряженность. Полнота. Уравнение Дирака. Нелинейные уравнения. [1] Козлов В.В., УМН, 1987,Т.42,В.4,С.171. [2] Волович И.В., Козлов В.В., ДАН, 2006, т. 408, N 3, сс. 317-320. [3] Kozlov V.V., Volovich I.V., Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys. 3 (2006) 1349-1358. [4] Kozlov V.V., Volovich I.V., http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0612135