ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Ãëàäêàÿ íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü êëèíà ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòîì óãîë α . Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó óñêîðåíèÿ êëèíà a1 . Ïîä êàêèì óãëîì β ê ãîðèçîíòó äâèæåòñÿ øàéáà? Íàéäèòå ñèëó äàâëåíèÿ F øàéáû íà êëèí. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. Îáñóäèì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ïåðâûé ñïîñîá Âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êëèí øàéáà, íàïðàâëåíû òîëüêî ïî âåðòèêàëè (ðèñ.4). Ñëåäîâàòåëüíî, èìïóëüñ ñèñòåìû â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñîõðàíÿåòñÿ: Mv1x + mv2 x = 0 . y α mg x Mg Ðèñ. 4 y u α v x Ðèñ. 5 Îòñþäà äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè ïîëó÷àåì Ma1x + ma2 x = 0 . H Ñêîðîñòü øàéáû v2 â ËÑÎ, ñêîðîñòü øàéáû H u îòíîñèòåëüíî êëèíà H è ñêîðîñòü êëèíà v1 â ËÑÎ ñâÿçàíû çàêîíîì ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (ðèñ.5): H H H v2 = v1 + u , òàê ÷òî v2 x = v1x - u cos α , v2 y = -u sin α . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ v2x â âûðàæåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, íàõîäèì m+M u = v1x . m cos α Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àåì m+M v2 y = -v1x tg α , m m+M a2 y = -a1x tg α . m Äàëåå îáðàòèìñÿ ê ýíåðãåòè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì. Ïîñêîëüêó ñèëû òðåíèÿ îòñóòñòâóþò, ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû êëèí øàéáà ñîõðàíÿåòñÿ: 2 Mv12x mv22x mv2 y + mgy + + = mgh , 2 2 2 ãäå áóêâîé h îáîçíà÷åíà ó-êîîðäèíàòà øàéáû ïðè t = 0. Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì Mv1xa1x + mgv2 y + mv2 x a2 x + mv2 ya2 y = 0 . Ïîäñòàíîâêà â ýòî ñîîòíîøåíèå ïîëó÷åííûõ âûøå âûðàæåíèé äëÿ v2 x , v2 y , a2 x , a2 y ïðèâîäèò (ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà v1x ) ê îòâåòó íà âîïðîñ îá óñêîðåíèè êëèíà: 1 m sin 2α g. 2 M + m sin 2 α Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà β çàìåòèì, ÷òî â ËÑÎ øàéáà äâèæåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ, òàê ÷òî åå ïåðåìåùåíèå çà ëþáîé Hïðîìåæóòîê âðåìåíè ñîíàïðàâëåíî ñ âåêòîðîì óñêîðåíèÿ a2 , òîãäà a1x = β = arctg a2 y æm + M ö = arctg ç tg α÷ . a2 x è M ø ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 41 Ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû äàâëåíèÿ F øàéáû íà êëèí (ñì. ðèñ.4) ñîîáùàåò êëèíó óñêîðåíèå a1x . Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, Ma1x = F sin α . Îòñþäà íàõîäèì ñèëó äàâëåíèÿ: Mm cos α F = g. M + m sin2 α Âòîðîé ñïîñîá Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèÿ êëèíà ðàññìîòðèì äâèæåíèå êàæäîãî èç òåë. Ñèëû, ïðèëîæåííûå ê òåëàì, óêàçàíû íà ðèñóíêå 4. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ êëèíà: H H H H Ma1 = Mg + F + R è äëÿ øàéáû: H H H ma2 = mg + N . Ïåðåõîäÿ ê Hïðîåêöèÿì ñèë è óñêîðåíèé íà îñè ËÑÎ ñ ó÷åòîì H ðàâåíñòâà F = - N , ïîëó÷àåì Ma1x = N sin α , ma2 x = - N sin α , ma2 y = mg - N cos α . H H Ñêîðîñòü v2 øàéáûH â ËÑÎ, ñêîðîñòü u øàéáû îòíîñèòåëüíî êëèíà è ñêîðîñòü v1 êëèíà â ËÑÎ ñâÿçàíû çàêîíîì ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé: H H H v2 = v1 + u . Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè, íàõîäèì ñâÿçü ñîîòâåòñòâóþùèõ óñêîðåíèé: H H H a2 = a1 + w . Èç òðåóãîëüíèêà óñêîðåíèé (ñì. òðåóãîëüíèê ñêîðîñòåé íà ðèñóíêå 5) ñëåäóåò a2 y tg α = a2 x - a1x . Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ øàéáû a2x è a2y , ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì a1x = 1 m sin 2α g. 2 M + m sin 2 α m Çàäà÷à 4. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñM α êîñòè ëåæèò êëèí ñ óãëîì ïðè âåðøèíå α . Íà ãëàäêîé íàêëîííîé Ðèñ. 6 ïëîñêîñòè êëèíà ëåæèò áðóñîê, ñâÿçàííûé ñ êëèíîì ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k (ðèñ.6). Ìàññà êëèíà Ì, ìàññà áðóñêà m. Íàéäèòå ïåðèîä Ò ìàëûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû. Ïðåäëàãàåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïåðâûé ñïîñîá Âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êëèí áðóñîê, íàïðàâëåíû òîëüêî ïî âåðòèêàëè (ðèñ.7). Ñëåäîâàòåëüíî, èìïóëüñ ñèñòåìû â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñîõðàíÿåòñÿ: Mv1 + mv2 x = 0 . Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì Mx1 + mx2 = 0 .