16 § 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ⊆ R) . Если каждому числу x ∈ D поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число y = f ( x ) , то говорят, что на множестве D определена числовая функция f . Множество D называется областью определения функции , а множество E = { y ∈ R y = f ( x ), x ∈ D} -множеством значений функции. f(x) R f R x Термины функция, отображение, преобразования в дальнейшем будут употребляться как синонимы. Принята следующая терминология: x - независимая переменная или аргумент, у - зависимая переменная. Наиболее часто употребляемые способы задания функций : аналитический, табличный, графический и программный. Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления. Аналитическая функция может задаваться с помощью нескольких формул (составная функция). ⎧x + 1, ∀x ∈( − 5;0) ⎪ f ( x ) = ⎨0 x = 0 ⎪ 2 ⎩x − 6 x ∈( 0;3) 17 y ⎧ x + 1, ∀x ∈ (− 5;0 ) ⎪ f ( x) = ⎨0 x = 0 ⎪ 2 ⎩ x − 6 x ∈ (0;3) 3 1 0 Функция знака: 3 x -6 ⎧− 1, ∀x < 0 ⎪ sgn x = ⎨0, x = 0 ⎪1 ∀x > 0 ⎩ y ⎧− 1, ∀x < 0 ⎪ sgn x = ⎨0, x = 0 ⎪1 ∀x > 0 ⎩ 1 0 x -1 Функция Дирихле (Петер Густав Лежен Дирихле 1805-1859 ) ⎧1, если х - рациональное f (x ) = ⎨ ⎩0, если х - иррациональное Аналитически функция может быть задана неявно уравнением F(x,y)=0. Аналитически функция может быть задана параметрически. Табличный способ задания функции осуществляется перечислением n значений аргумента x1 , x 2 , x 3 ,..., x n и соответствующих им значений функции y1 , y 2 , y3 ,..., y n 18 Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f ( x ) в некоторой системе координат. Графиком функции y = f ( x ) называется множество Γ = { M ( x , y ) ∈ R 2 y = f ( x )} . Программный способ задания функции состоит в описании функции на одном из языков программирования. 2. Основные характеристики поведения функции Одной из основных задач математического анализа является изучение поведения (свойств) функций. Средствами элементарной математики для функции y = f ( x ) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики : -Нули функции и промежутки знакопостоянства -Периодичность функции y x 0 T T T Определение Функция f называется периодической если для нее существует такое число T ≠ 0 , что выполняются следующие условия: 1. при любом x из области определения x − T и x + T принадлежат области определения; 2. f (x ) = f (x − T ) = f ( x + T ) При этом число T называется периодом функции. Замечание: Если число T является периодом функции, то для ∀n ∈ N число nT также является периодом, тогда число T называют главным периодом. -Четность и нечетность функции Функция y = f ( x ) называется четной ⇔ ∀x ∈ D( f ):( − x ∈ D( f ) ⇒ f ( − x ) = f ( x )) 19 y -x 0 x x f −x = f x Функция y = f ( x ) называется нечетной ⇔ ∀x ∈ D( f ):( − x ∈ D( f ) ⇒ f ( − x ) = − f ( x )) y f −x =−f x -x 0 x x -Монотонные функции Функция y = f ( x ) возрастает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) y f(x) 0 x a b f(x) возрастает на [a;b] Функция y = f ( x ) убывает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) 20 y f(x) x 0 a b f(x) убывает на [a;b] Функция y = f ( x ) не убывает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) y f(x) x 0 a b f(x) не убывает на [a;b] Функция y = f ( x ) не возрастает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) y f(x) 0 x a b f(x) не возрастает на [a;b] -Ограниченные функции 21 Функция y = f ( x ) ограничена сверху на Х ⇔ ∃M ∈ R:∀x ∈ X ⇒ f ( x ) ≤ M . y x 0 a b Функция y = f ( x ) ограничена снизу на Х ⇔ ∃M ∈ R:∀x ∈ X ⇒ f ( x ) ≥ M . y x 0 a b Функция y = f ( x ) ограничена на Х ⇔ ∃M ∈ R: ∀x ∈ X ⇒ f ( x ) ≤ M . y f x ≤ M 0 a b x 22 Определение Функция y = f ( x ) называется неограниченной сверху на множестве Х⊆D(f), если для любого числа М существует число х∈D(f), такое, что f ( x ) ≥ M . 3. Сложная функция, обратная функция Сложная функция. Пусть на некотором множестве D определена числовая функция u = ϕ ( x ) и Е( u )- множество значений функции u. Далее пусть на множестве Е( u ) задана функция y = f ( u ), ( D( f ) ⊆ E ( u)) тогда функция ϕ переводит элемент х в элемент u, а функция f переводит элемент u в элемент y : ϕ f x⎯ ⎯→ u ⎯⎯→ y ⇔ y = f (ϕ ( x ) ) ⇔ ( f o ϕ ) Таким образом мы получаем сложную функцию (функция от функции) или композицию фуннкций. y=f(u) R R R x ϕ f x⎯ ⎯→ u⎯ ⎯→ y ⇔ y = f (ϕ (x )) ⇔ ( f o ϕ ) Обратная функция. Функция y = f ( x ) является отображением множества D( f ) → E ( f ) , где D( f ) - область определения; E ( f ) - множество значений функции y = f (x ) . Пусть y = f ( x )( D ⎯⎯f → E ) - взаимно однозначное (биективное) отображение. Так как при биективном отображении каждому элементу y ∈ E ( f ) ставится в соответствие единственный элемент x ∈ D( f ) , то говорят, что на множестве Е определена функция обратная к функции y = f ( x ) , которую обозначают x = f −1 ( y ) . 23 y=f(x) R R -1 x=f (y) Примером обратной функции к y = x 3 является функция x = 3 y Функция, имеющая обратную называется обратимой. Теорема Если числовая функция y = f ( x ) монотонна, то существует обратная функция x = f −1 ( y ) . При этом, если f - возрастающая то и f −1 - возрастающая, а , если f - убывающая то и f −1 - убывающая. Пример Показать, что функция y = 3x + 2 имеет обратную и найти ее аналитическое выражение. 4. Основные числовые функции и их графики Линейная функция y = ax + b ( a, b ∈ R) Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ R) Степенная функция y = x α Рассматриваются 4 случая 1. α = 2n y 1 -1 0 1 x 24 2. α = 2n + 1 y y-x 1 -1 0 1 x -1 y 3. α = −2n 1 -1 4. α = −2n + 1 0 1 x 1 x y 1 -1 0 -1 25 Показательная функция y = a x Логарифмическая функция y = log a x Тригонометрические функции 1. y = sin x 2. y = cos x 3. y = tgx 4. y = ctgx Обратные тригонометрические функции Гиперболические функции ex + e−x четная на R 1. y = chx = 2 y 1 -1 1 0 x ex − e− x нечетная и возрастает на R 2. y = shx = 2 y 0 x 26 3. y = thx = shx chx 4. y = cthx = chx shx y 1 -1 0 -1 1 x