Монотонные функции в конкурсных задачах
реклама
34 ÊÂÀÍT 2002/¹6 Ìîíîòîííûå ôóíêöèè â êîíêóðñíûõ çàäà÷àõ À.ÅÃÎÐÎÂ, Æ.ÐÀÁÁÎÒ Ì Íàãëÿäíûé ñìûñë òåîðåìû î êîðíå (À) è åå ïåðåôîðìóëèðîâêè (À*) òàêæå ïðîçðà÷åí ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ ó = à ìîæåò ïåðåñå÷ü ãðàôèê ìîíîòîííîé ôóíêöèè y = f x íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå (ò.å. ëèáî âîîáùå åãî íå ïåðåñåêàåò, ëèáî ïåðåñåêàåò â åäèíñòâåííîé òî÷êå). Íà÷íåì ñ ñîâñåì ïðîñòîé çàäà÷è. Çàäà÷à 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 3 + x = 10 . Ðåøåíèå. Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ôóíêöèÿ, âîçðàñòàþùàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ýòî î÷åíü ëåãêî äîêàçàòü). Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (1) èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ òåîðåìà (À*). Íî êîðåíü ëåãêî óãàäàòü: ïðè õ = 2 ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ðàâíà ïðàâîé. Îòâåò: õ = 2. Ðåøèì òåïåðü ÷óòü áîëåå òðóäíóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 37x + 12 - 31 - 6x = 2 . ÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×, ÊÎÒÎÐÛÉ ÌÛ ÐÀÑÑÌÎÒ- ðèì â ýòîé ñòàòüå, ïðèìåíèì êàê ê îáû÷íûì øêîëüíûì çàäà÷àì, òàê è ê áîëåå ñëîæíûì, ÷àñòî íàçûâàåìûì íåñòàíäàðòíûìè. Ïðè èçó÷åíèè øêîëüíîãî êóðñà àëãåáðû è îñîáåííî íà÷àë ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà âàì ÷àñòî ïðèõîäèëîñü âûÿñíÿòü, âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò òà èëè èíàÿ ôóíêöèÿ. Ìû ïîñòàðàåìñÿ â ýòîé ñòàòüå ïîêàçàòü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî (èíîãäà âîîáùå íå ôèãóðèðóþùèõ â óñëîâèè, à ïîÿâëÿþùèõñÿ ïî õîäó ðåøåíèÿ), íåðåäêî ñèëüíî óïðîùàåò òåõíè÷åñêóþ ÷àñòü ðåøåíèÿ, à ïîðîé áåç íåãî ïðîñòî íåìûñëèìî ðåøèòü çàäà÷ó. Òåîðåìà î êîðíå Ñíà÷àëà íàïîìíèì îñíîâíîå îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ y = f x íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (ìîíîòîííî óáûâàþùåé) íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç ýòîãî ïðîìåæóòêà èç íåðàâåíñòâà x1 < x2 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî f x1 < f x2 (ñîîòâåòñòâåííî, f x1 > f x2 ). Íàãëÿäíûé ñìûñë âîçðàñòàíèÿ èëè óáûâàíèÿ ôóíêöèè ïðîçðà÷åí ãðàôèê âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ïðè äâèæåíèè ïî íåìó ñëåâà íàïðàâî èäåò âñå âûøå è âûøå (à óáûâàþùåé âñå íèæå è íèæå). Ìû, åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îñè êîîðäèíàò ðàñïîëîæåíû ñòàíäàðòíûì îáðàçîì: îñü àáñöèññ Îõ ãîðèçîíòàëüíà è íàïðàâëåíà ñëåâà íàïðàâî, à îñü îðäèíàò Îó âåðòèêàëüíà è íàïðàâëåíà ñíèçó ââåðõ. Åñëè ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ìîíîòîííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Ïåðâûé ôàêò, ÷àñòî èñïîëüçóþùèéñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷, â òîì èëè èíîì âèäå äîêàçàí â âàøåì øêîëüíîì êóðñå (íàïðèìåð, â ó÷åáíèêå äëÿ 1011 êëàññîâ ïîä ðåäàêöèåé À.Í.Êîëìîãîðîâà îí ïðèâîäèòñÿ ïîä íàçâàíèåì «Òåîðåìà î êîðíå» ïðè ââåäåíèè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â íà÷àëå 10 êëàññà). Íàïîìíèì åãî. (À) Ïóñòü ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå I, ÷èñëî à ëþáîå èç çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ f íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Òîãäà óðàâíåíèå f x = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå I. Íàì èíîãäà áóäåò óäîáíåå íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìóëèðîâêà ýòîãî ôàêòà. (À*) Ïóñòü y = f x ìîíîòîííàÿ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè à óðàâíåíèå f x = a èìååò íà ýòîì ïðîìåæóòêå íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ. (1) (2) Êîììåíòàðèé. Óðàâíåíèå (2) ìîæíî ðåøèòü ñòàíäàðòíûì øêîëüíûì ñïîñîáîì, ïî÷ëåííî âîçâåäÿ (äâàæäû) ïðîìåæóòî÷íûå èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ â êâàäðàò, íàéäÿ çàòåì êîðíè ïîëó÷åííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïðîèçâåäÿ ïîñëå ýòîãî îòñåâ âîçìîæíûõ ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé. Îäíàêî çàäà÷à äîïóñêàåò ðåøåíèå «â îäíó ñòðî÷êó». Ðåøåíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2) âîçðàñòàþùàÿ â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ (ïåðâûé ðàäèêàë ïðè óâåëè÷åíèè õ, î÷åâèäíî, óâåëè÷èâàåòñÿ, à âòîðîé óìåíüøàåòñÿ, íî îí âû÷èòàåòñÿ èç ïåðâîãî, ïîýòîìó èõ ðàçíîñòü âîçðàñòàåò). Ïî òåîðåìå (À*) óðàâíåíèå (2) èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Åãî ëåãêî ïðåäúÿâèòü: ýòî õ = 1. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîäñòàíîâêå ýòîãî çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî â (2) ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 7 5 = 2. Îòâåò: õ = 1. Çàìå÷àíèÿ. 1. Îòêóäà âçÿëñÿ êîðåíü õ = 1? Ìû åãî ïðîñòî óãàäàëè! Íåêîòîðûå øêîëüíèêè ñ÷èòàþò ïðèâåäåííîå ðåøåíèå «íåñòðîãèì» êàê ýòî ìîæíî ÷òî-òî óãàäûâàòü? Íî â íàøåì ðåøåíèè âñå â ïîðÿäêå äîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèé íå áîëüøå îäíîãî è ïðåäúÿâëåíî ðåøåíèå (íåâàæíî, îòêóäà ìû åãî âçÿëè). Êñòàòè, óãàäàòü ðåøåíèå áûëî äîâîëüíî ïðîñòî ìû íà÷àëè ïåðåáèðàòü öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ õ è èñêàòü, ïðè êàêèõ èç íèõ «èçâëåêàåòñÿ» âòîðîé êîðåíü (òàì ïðîñòî ìåíüøå êîýôôèöèåíòû, ÷åì ïîä çíàêîì ïåðâîãî êîðíÿ). Ïðè õ = 0 êîðåíü «íå èçâëåêñÿ», à ïðè õ = 1 èçâëåêñÿ (ïîä êîðíåì ïîëó÷èëñÿ ïîëíûé êâàäðàò ÷èñëî 25), òîãäà ìû ïîäñòàâèëè õ = 1 â óðàâíåíèå (2) è ïîëó÷èëè âåðíîå ðàâåíñòâî. Íà÷èíàëè ìû ñ õ = 0, òàê êàê ïðè îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ õ ïåðâûé ðàäèêàë íå ñóùåñòâóåò ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå îòðèöàòåëüíî. Êîíå÷íî, óãàäàòü êîðåíü ìîæíî äàëåêî íå âñåãäà, íî ìû è íå ïðåòåíäóåì íà óíèâåðñàëüíîñòü òàêîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ. 2. Íàñêîëüêî ñòðîãî íàøå äîêàçàòåëüñòâî ìîíîòîííîñòè ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2)? Íà íàø âçãëÿä, ïðèâåäåííîãî íàìè ðàññóæäåíèÿ âïîëíå äîñòàòî÷íî, íî ïðè íåîáõîäèìîñòè åãî ëåãêî ôîðìàëèçîâàòü. Ïóñòü x1 è x2 ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2), ïðè÷åì x1 > x2 . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: f x = 37x + 12 , g x = 31 - 6x . Òîãäà f x1 - f x2 = 37x1 + 12 - 37x2 + 12 = ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ = = 37x1 + 12 - 37x2 + 12 37x1 + 12 + 37 x1 - x2 37x1 + 12 + 37x2 + 12 37x2 + 12 3 > 0 , ò.å. f x1 - f x2 > 0 . (2*) ò.å. g x1 - g x2 < 0 . (2**) Íàêîíåö, îáîçíà÷èâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2), ò.å. f x - g x , ÷åðåç h x è ïî÷ëåííî âû÷òÿ èç íåðàâåíñòâà (2*) íåðàâåíñòâî (2**) 1 , ïîëó÷èì f x1 - g x1 - f x2 - g x2 > 0 . Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî h x1 - h x2 > 0 , ò.å. ôóíêöèÿ h x ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, ÷òî è óòâåðæäàëîñü â íàøåì ðåøåíèè çàäà÷è. Ðåøàÿ ñëåäóþùèå óïðàæíåíèÿ, ïîòðåíèðóéòåñü â óãàäûâàíèè êîðíåé. Óïðàæíåíèÿ 1. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) 2x3 + x - 3 = 0 ; á) x5 + 3x 3 + 4 = 0 ; â) 2x + x = 6 ; ã) lg x + x - 1 = 4 . 2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) 35 Çàäà÷à 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå = (Çàìåòèì, ÷òî, êàê ýòî íåðåäêî áûâàåò ïðè ïðåîáðàçîâàíèè âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ êâàäðàòíûå ðàäèêàëû, íàì ïîìîãëî óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàçíîñòè êîðíåé íà ñîïðÿæåííîå âûðàæåíèå ñóììó ýòèõ æå êâàäðàòíûõ êîðíåé.) Àíàëîãè÷íî, -6 x1 - x2 <0, g x1 - g x2 = 31 - 6x1 + 31 - 6x2 ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 5x + 1 + 17 x + 13 = 12 ; â) x - 5 - x = 1 . á) 3 3 x + 2 + 3 x - 2 + 5 14x + 4 = 4 ; 3. Èññëåäóéòå íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè: 1 ïðè x > 1; á) y = x + 1 - x ; à) y = x + x x x ã) y = 5x - 3 x ïðè x > 0; â) y = 2 - 3 ïðè x > 0; ä) y = log 3 x - log 2 x ïðè x < 0, 0 < x < 1; å) y = a x - b x ïðè x < 0 è 0 < a < b < 1; æ) y = log a x - logb x ïðè a > b > 1. Ñóììà è ðàçíîñòü ìîíîòîííûõ ôóíêöèé Ñåé÷àñ ìû ñôîðìóëèðóåì äâà âàæíûõ ñâîéñòâà ìîíîòîííûõ ôóíêöèé (ìû èìè, ïî ñóùåñòâó, óæå ïîëüçîâàëèñü). (Â) à) Ñóììà âîçðàñòàþùèõ (óáûâàþùèõ) ôóíêöèé ôóíêöèÿ, âîçðàñòàþùàÿ (ñîîòâåòñòâåííî, óáûâàþùàÿ) íà èõ îáùåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. á) Ðàçíîñòü âîçðàñòàþùåé è óáûâàþùåé (óáûâàþùåé è âîçðàñòàþùåé) ôóíêöèé ôóíêöèÿ, âîçðàñòàþùàÿ (ñîîòâåòñòâåííî, óáûâàþùàÿ) íà èõ îáùåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Óïðàæíåíèå 4. Äîêàæèòå îáà óòâåðæäåíèÿ (Â). Óêàçàíèå. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå âàì ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ. Ïîíÿòíî, ÷òî ïåðâîå èç ñâîéñòâ (Â) âåðíî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñêëàäûâàåìûõ ôóíêöèé. 1 Çäåñü ìû èñïîëüçóåì èçâåñòíîå ñâîéñòâî ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ: íåðàâåíñòâà ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà ìîæíî ïî÷ëåííî âû÷èòàòü, ñîõðàíÿÿ çíàê óìåíüøàåìîãî íåðàâåíñòâà (òîãî, èç êîòîðîãî âû÷èòàþò). Âîîáùå, ìû ñîâåòóåì ïîâòîðèòü ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, ïîñêîëüêó èìè ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ôóíêöèé (â ÷àñòíîñòè, íà ìîíîòîííîñòü). 4x - 1 + 3 x +1 + 9 x-6 =6. Êîììåíòàðèé. Êîíå÷íî, íåìûñëèìî ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå ïî÷ëåííûì âîçâåäåíèåì â ñòåïåíü (òðåòüþ, äåâÿòóþ, ïðè÷åì íåîäíîêðàòíî!). Ýòî, êàê íè ñòðàííî, ñèëüíî îáëåã÷àåò çàäà÷ó ïðåäîñòåðåãàåò îò íåïðàâèëüíîãî ïóòè è çàñòàâëÿåò èñêàòü äðóãèå ñïîñîáû. Ðåøåíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå (Â). Ïîýòîìó, ñîãëàñíî (À*), ó íåãî íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ. Ðåøåíèå ëåãêî ïðåäúÿâèòü ýòî õ = 7: ïðè ïîäñòàíîâêå åãî â óðàâíåíèå ïîëó÷àåì 3 + 2 + 1 = = 6, ýòî âåðíîå ðàâåíñòâî. Îòâåò: õ = 7. Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé â óêàçàííîì äóõå óäîáíî ïðèâëå÷ü èäåþ ñèììåòðèè (ýòà çàäà÷à ïðåäëàãàëàñü íà çàî÷íîì òóðå îäíîé èç Ñîðîñîâñêèõ îëèìïèàä). Çàäà÷à 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå x x + 7 + x + 7 x + 17 + + x + 17 x + 24 = 12 + 17 2 . (3) Ðåøåíèå. Åñëè çàïèñàòü ïåðâîå ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå â âèäå x + 0 x + 7 è íàíåñòè íà ÷èñëîâóþ îñü ÷åòûðå ÷èñëà, êîòîðûå ñóììèðóþòñÿ ñ íåèçâåñòíîé âåëè÷èíîé âî âñåõ ñêîáêàõ ëåâîé ÷àñòè, ìû óâèäèì, ÷òî ýòà ñèñòåìà èç ÷åòûðåõ òî÷åê èìååò öåíòð ñèììåòðèè òî÷êó 12 (îòíîñèòåëüíî íåå ñèììåòðè÷íà ïàðà ÷èñåë 0 è 24, à òàêæå ïàðà 7 è 17). Ïîýòîìó çàìåíà ïåðåìåííîé t = x + 12 (îòêóäà x = t 12) ñèììåòðèçóåò ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3), êîòîðîå ïðèìåò âèä t - 12 t - 5 + t - 5 t + 5 + + t + 5 t + 12 = 12 + 17 2 . (3*) Îáîçíà÷èì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3*) ÷åðåç f t . Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f t îïðåäåëåíà â ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íóëÿ îáëàñòè ét £ -12, êt ³ 12 ë è îáëàäàåò ñâîéñòâîì f -t = f t , ò.å. ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðåøèòü óðàâíåíèå (3*) äëÿ t ³ 12 . Íî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ t êàæäûé èç òðåõ òðåõ÷ëåíîâ, ñòîÿùèõ ïîä çíàêîì ðàäèêàëà â ëåâîé ÷àñòè (3*), âîçðàñòàåò, çíà÷èò, âîçðàñòàþò è êâàäðàòíûå êîðíè èç ýòèõ òðåõ÷ëåíîâ. Ïîýòîìó, ïðèìåíèâ óòâåðæäåíèå (Â), ïîëó÷èì, ÷òî ïðè t ³ 12 ëåâàÿ ÷àñòü (3*) âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, à çíà÷èò, óðàâíåíèå èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ. Íàõîäèì ïîäáîðîì, ÷òî t = 13 êîðåíü (ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå t â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3*), ïîëó÷èì 8 + 12 + 5 18 = 2 2 + 12 + 15 2 = 12 + 17 2 , ÷òî ðàâíî ïðàâîé ÷àñòè). Èòàê, t = 13, îòêóäà õ = 1. Ïîñêîëüêó t = 13 òîæå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3*), ïîëó÷àåì è âòîðîé êîðåíü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ: õ = 25. Îòâåò: x1 = 1 ; x2 = -25 . Çàìå÷àíèå. Êîíå÷íî, ìîæíî íå äåëàòü çàìåíó ïåðåìåííîé, à ðàññóæäàòü î ñèììåòðèè ëåâîé ÷àñòè îòíîñèòåëüíî õ = 12 è èñïîëüçîâàòü åå ìîíîòîííîñòü ïðè x ³ 12 , íî ýòî âûãëÿäèò ìåíåå èçÿùíî è åñòåñòâåííî. Ïîíÿòíî, ÷òî ñîîáðàæåíèÿ ìîíîòîííîñòè ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ íå òîëüêî ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé, íî è â çàäà÷àõ ñ íåðàâåíñòâàìè. 36 ÊÂÀÍT 2002/¹6 «Âñòðå÷íàÿ» ìîíîòîííîñòü Çàäà÷à 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x2 + x - 2 + 3 x - 2 < 4 . (4) Ðåøåíèå. Íàéäåì îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé äàííîãî íåðàâåíñòâà: ì x2 + x - 2 ³ 0, ï Û x ³ 1. í ï î3 x - 2 ³ 0 Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ õ ëåâàÿ ÷àñòü (4) âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (âåðøèíà ïàðàáîëû ãðàôèêà êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà y = x 2 + x - 2 èìååò àáñöèññó õ = 0,5, ïîýòîìó ïðè x ³ 1 ïåðâîå ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, à âìåñòå ñ íèì è âñå ïåðâîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè (4), âîçðàñòàåò, âòîðîå ñëàãàåìîå òàêæå âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ), à ïðàâàÿ ÷àñòü êîíñòàíòà. Ïîñêîëüêó ïðè õ = 2 ëåâàÿ ÷àñòü (4) ðàâíà ïðàâîé, äàííîå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ õ, ìåíüøèõ 2 (ïðè áóëüøèõ çíà÷åíèÿõ õ ëåâàÿ ÷àñòü (4) áîëüøå, ÷åì ïðè õ = 2). Îòâåò: 1 £ x < 2 . Çàìå÷àíèå. Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ìû, ïî ñóùåñòâó, èñïîëüçîâàëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè y = f ( x) ôóíêöèÿ, âîçðàñòàþùàÿ íà ïðîìåæóòêå [ a; b] , òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñ, òàêîãî ÷òî a < c < b, íåðàâåíñòâî f ( x ) < f (c) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó a ≤ x < c . Ðåøèì òåïåðü íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå x +x= Óïðàæíåíèÿ 5. Èññëåäóéòå íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèè: à) y = x2 - 1 ; á) y = x x2 - 1 ; â) y = x2 - x + 2 = á) x 2 - 2x + 3 + x 1 - x2 -x= x -1+ 3 ; 2 ã) x10 + x - 1 ³ 33 ; å) 2 x - 1 <1. x 3 x-3= (5) Ðåøåíèå. Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (5) ôóíêöèÿ, óáûâàþùàÿ íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, ò.å. ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x ³ 1: 8 ( x + 7) - ( x - 1) = ; x + 7 - x -1 = x + 7 + x -1 x + 7 + x -1 î÷åâèäíî, ÷òî äðîáü, ó êîòîðîé ÷èñëèòåëü ïîñòîÿíåí, à çíàìåíàòåëü âîçðàñòàåò, óáûâàåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè x ³ 1 êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí, ñòîÿùèé â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5), âîçðàñòàåò, òàê êàê âåðøèíà åãî ãðàôèêà, ïàðàáîëû, èìååò àáñöèññó, ðàâíóþ 0,5, à åå âåòâè íàïðàâëåíû ââåðõ. Òàêèì îáðàçîì, ó íàñ èìååòñÿ ñèòóàöèÿ, îïèñàííàÿ â óòâåðæäåíèè (À**), è óðàâíåíèå (5) èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ. Íî ïðè õ = 2 ëåâàÿ ÷àñòü (5) ðàâíà ïðàâîé. Îòâåò: õ = 2. Çàäà÷à 8. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3x - 7 > 4 x . Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ïðè x < 0 íåðàâåíñòâî ðåøåíèé íå èìååò: åãî ëåâàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà, à ïðàâàÿ ïîëîæèòåëüíà; õ = 0 òîæå íå ðåøåíèå. Ïóñòü òåïåðü x > 0. Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî íåðàâåíñòâà âîçðàñòàåò, à ïðàâàÿ óáûâàåò (ñ ðîñòîì õ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè óáûâàåò) îïÿòü «âñòðå÷íàÿ» ìîíîòîííîñòü. Ïðè õ = 2 ëåâàÿ ÷àñòü ðàâíà ïðàâîé (è ðàâíà 2). Ïîýòîìó ïðè õ > 2 ëåâàÿ ÷àñòü áîëüøå äâóõ, à ïðàâàÿ ÷àñòü ìåíüøå äâóõ, è äàííîå íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî. Ïðè 0 < x < 2 ëåâàÿ ÷àñòü ìåíüøå äâóõ, à ïðàâàÿ áîëüøå, òàê ÷òî ýòè çíà÷åíèÿ õ íå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè. Îòâåò: x > 2. Çàäà÷à 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî π 4arctg x < . x Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ y = 4arctg x âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîπ âîé îñè. Ôóíêöèÿ y = óáûâàåò è ïðè x < 0, è ïðè x > 0. x Ïîýòîìó ðàññìîòðèì îòäåëüíî îòðèöàòåëüíûå è ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ õ. Íà êàæäîì èç ýòèõ ìíîæåñòâ èìååòñÿ «âñòðå÷íàÿ» ìîíîòîííîñòü (ñì. ðèñóíîê). Êîðíè ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ óãàäûâàþòñÿ ëåãêî: x = ±1 (ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è íå÷åòíîñòüþ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé). Îòâåò: x < 1, 0 < õ <1. O x x2 + 1 . π 6. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà: à) x + 7 - x - 1. 1 24 . 5 x2 + 9 Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî îòðèöàòåëüíûõ êîðíåé äàííîå óðàâíåíèå èìåòü íå ìîæåò (ïðè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ åãî ëåâàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà, à ïðàâàÿ ïîëîæèòåëüíà). Íå î÷åíü ñëîæíî óãàäàòü îäèí åãî êîðåíü: õ = 4. Ïîêàæåì, ÷òî äðóãèõ êîðíåé íåò. Äëÿ ýòîãî óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ x y = f ( x) = âîçðàñòàåò ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åx2 + 9 íèÿõ õ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè òàêèõ õ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî x 1 . Äàëüøå ðàññóæäàåì ñòàíäàðòíûì îáðà= 2 9 x +9 1+ 2 x çîì: ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå â çíàìåíàòåëå ïîñëåäíåé äðîáè ïðè x > 0 óáûâàåò, ïîýòîìó è ñàì çíàìåíàòåëü óáûâàåò, íî òîãäà äðîáü âîçðàñòàåò åå ÷èñëèòåëü íå ìåíÿåòñÿ, à çíàìåíàòåëü óáûâàåò. Îòâåò: õ = 4. Çàìå÷àíèå. Î÷åíü âàæíî íàó÷èòüñÿ ëåãêî îðèåíòèðîâàòüñÿ â ïîäîáíûõ ñèòóàöèÿõ: ÷òî áóäåò ñ äðîáüþ, åñëè åå ÷èñëèòåëü ðàñòåò, à çíàìåíàòåëü óáûâàåò è ïðè ýòîì (î÷åíü âàæíî!) îíè ïîëîæèòåëüíû (èëè îòðèöàòåëüíû); ÷èñëèòåëü óáûâàåò, çíàìåíàòåëü ðàñòåò è ò.ï. 1 Ïðèâåäåì òåïåðü åùå îäíó î÷åâèäíóþ, íî ÷àñòî óïîòðåáëÿþùóþñÿ ïåðåôîðìóëèðîâêó òåîðåìû (À) î êîðíå (åå èíîãäà íàçûâàþò òåîðåìîé î «âñòðå÷íîé» ìîíîòîííîñòè). (À**) Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f ( x) âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå I, à ôóíêöèÿ y = g ( x) óáûâàåò íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Òîãäà óðàâíåíèå f ( x ) = g ( x ) èìååò íà ïðîìåæóòêå I íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ. Çàäà÷à 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå π 3; â) 4 x - 3 x = 37 ; ä) x5 + x3 + 2 x ³ 4 ; ` `π ` π N ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Çàìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàëè îòäåëüíî äâà ïðîìåæóòêà ìîíîòîííîñòè ïðàâîé ÷àñòè. Äåëî â òîì, ÷òî âñå íàøè ðàññóæäåíèÿ âåðíû ëèøü íà îáùåì ïðîìåæóòêå ìîíîòîííîñòè äâóõ ôóíêöèé. Åñëè áû ìû çàáûëè, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ìîíîòîííà íå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, à ëèøü íà ïîëóîñÿõ îñè àáñöèññ, ïðîèçîøëà áû îøèáêà; íàïðèìåð, «ïðè õ = 1 ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâíû, ëåâàÿ ÷àñòü âîçðàñòàåò, ïðàâàÿ óáûâàåò, ïîýòîìó ïðè âñåõ x < 1, x ¹ 0 íåðàâåíñòâî âåðíî». ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 2 2 37 2 2 k á) 4 x - 1 = 32x -1 ; â) log 3 1 + x = 5 - x ; ã) log2 x - log3 x = 1 - x ; ä) arcsin x < arccos x . Ïðåîáðàçîâàíèå ê ìîíîòîííûì ôóíêöèÿì Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ðàíåå çàäà÷àõ ìû èìåëè äåëî ñ ìîíîòîííûìè ëåâûìè è ïðàâûìè ÷àñòÿìè óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ, ïðè÷åì ýòî áûëà «íóæíàÿ» ìîíîòîííîñòü ëèáî «âñòðå÷íàÿ», ëèáî ñ îäíîé ñòîðîíû ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ, à ñ äðóãîé êîíñòàíòà. ×àùå âñòðå÷àåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà íàäî ïðåäâàðèòåëüíî ïðèâåñòè äàííîå ñîîòíîøåíèå ê òàêîìó âèäó, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü óäîáíûå äëÿ ïðèâåäåííûõ íàìè ðàññóæäåíèé ôóíêöèè. Âîò êëàññè÷åñêèé ïðèìåð òàêîé çàäà÷è. Çàäà÷à 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x + 4 x = 5 x . (6) Êîììåíòàðèé. Êîíå÷íî, êîðåíü õ = 2 «âèäåí» ñðàçó (âû, íàâåðíîå, ïîìíèòå «åãèïåòñêèé» ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê), íî äîêàçàòü åãî åäèíñòâåííîñòü àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ñëó÷àÿì íå óäàåòñÿ: âåäü â óðàâíåíèè (6) è ëåâàÿ, è ïðàâàÿ ÷àñòè âîçðàñòàþò, è ïðèìåíÿòü ê ýòîìó óðàâíåíèþ óòâåðæäåíèå (À**) ìû íå ìîæåì. Íî ñ ýòîé ñèòóàöèåé â íàøåì ñëó÷àå ëåãêî ñïðàâèòüñÿ. Ðåøåíèå. Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (6) íà íå ðàâíóþ íóëþ (è äàæå ïîëîæèòåëüíóþ) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ ôóíêx öèþ 5 , ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ x x æ 3ö æ 4ö çè 5 ÷ø + çè 5 ÷ø = 1 , (6*) ó êîòîðîãî ëåâàÿ ÷àñòü óáûâàåò, à â ïðàâîé êîíñòàíòà. Ïî òåîðåìå (À) óðàâíåíèå (6*) èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ, íî õ = 2 êîðåíü. Îòâåò: õ = 2. Ê ðàññìîòðåííîé çàäà÷å ïðèìûêàåò è ñëåäóþùàÿ, ÷óòü áîëåå ñëîæíàÿ çàäà÷à. Çàäà÷à 11. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà à, b è ñ ïðè íåêîòîðîì ïîëîæèòåëüíîì k óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ a k + bk = c k . k æ aö æ bö çè c ÷ø + çè c ÷ø = 1 . à) 23 x2 + x - 1 = x + 3 - x - 1 ; 2 a + b > c , ïðÿìîóãîëüíûé, åñëè a + b = c , òóïîóãîëüíûé åñëè a 2 + b2 < c 2 (ýòî âûòåêàåò, íàïðèìåð, èç òåîðåìû êîñèíóñîâ). Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî ñ íàèáîëüøåå èç òðåõ äàííûõ ÷èñåë, k c æ cö > 1 , ò.å. âåäü c k = a k + b k > a k , îòêóäà ç ÷ > 1 , ïîýòîìó a è aø c > a; àíàëîãè÷íî, c > b. Äàëåå, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî c k , ïîëó÷èì Óïðàæíåíèå 7. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà: 1 2 (7) à) Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ k ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à, b è ñ? á) Âûÿñíèòå, êàê çàâèñèò îò k âèä òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè à, b è ñ, êîãäà îí ñóùåñòâóåò. Êîììåíòàðèé. Êîíå÷íî, ìû äîëæíû ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèå â äóõå ðåøåíèÿ çàäà÷è 10 è âîñïîëüçîâàòüñÿ ìîíîòîííîñòüþ ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ. Êðîìå òîãî, ìû èñïîëüçóåì òîò ôàêò, ÷òî åñëè ñ íàèáîëüøåå èç òðåõ äàííûõ ÷èñåë, òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èñêîìîãî òðåóãîëüíèêà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà c < a + b. Äëÿ ðåøåíèÿ ïóíêòà á) âñïîìíèì, ÷òî òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à, b, ñ, ãäå ñòîðîíà ñ íàèáîëüøàÿ, îñòðîóãîëüíûé, åñëè (7*) à)  ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7*) ñòîèò ñóììà ìîíîòîííî óáûâàþùèõ ôóíêöèé, ïîýòîìó ïðè k £ 1 îäíîâðåìåííî âûk k b æ bö a a è ç ÷ ³ . Ñêëàäûâàÿ ïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà çæ ÷ö ³ c è cø c è cø ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà è èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (7*), ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ k k k a b a+b æ aö æbö 1= ç ÷ +ç ÷ ³ + = , ò.å. a + b £ c . c c c è cø è cø Èòàê, ïðè 0 < k £ 1 òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à, b è ñ íå ñóùåñòâóåò. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü k > 1.  ýòîì ñëó÷àå èç ìîíîòîííîãî óáûâàíèÿ ñëàãàåìûõ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7*) âûòåêàåò, k a a è ÷òî îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà æç ö÷ < cø c è k b æ bö çè c ÷ø < c , îòêóäà àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì, ÷òî a + b > c, ò.å. òðåóãîëüíèê ñóùåñòâóåò. á) Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ìîíîòîííûì óáûâàíèåì ñëàãàåìûõ, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7*), òîëüêî òåïåðü íàì íàäî ñðàâíèâàòü k íå ñ åäèíèöåé, êàê â ïóíêòå à), à ñ ÷èñëîì 2 (ñì. êîììåíòàðèé); ïðè ýòîì, êîíå÷íî, íå áóäåì çàáûâàòü, ÷òî òåïåðü ó íàñ k > 1 (âåäü òðåóãîëüíèê ñ äàííûìè ñòîðîíàìè ñóùåñòâóåò). Åñëè 1 < k < 2, îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà 2 k 2 k æ aö æ a ö è æ b ö < æ b ö . Ñëîæèâ ïî÷ëåííî ýòè íåðàâåí< çè c ÷ø çè c ÷ø èç c ø÷ èç c ø÷ ñòâà, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ k âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî a 2 + b2 < c 2 , ò.å. òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà îñòàëüíûõ ñëó÷àÿ. Îòâåò: à) ïðè k > 1; á) ïðè 1 < k < 2 òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé, ïðè k = 2 ïðÿìîóãîëüíûé, ïðè k > 2 îñòðîóãîëüíûé. Ïðèâåäåì äâå çàäà÷è, ãäå íå òîëüêî îáíàðóæèòü, íî è äîêàçàòü ìîíîòîííîñòü äîâîëüíî ñëîæíî. Ïðè ýòîì ïî òðàäèöèè, ñëîæèâøåéñÿ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ â ÌÃÓ, ãäå äàâàëèñü ýòè çàäà÷è (ôàêóëüòåò ïñèõîëîãèè, 1982 ã., è õèìè÷åñêèé ôàêóëüòåò, 1998 ã.), ìû ïîñòàðàåìñÿ îáîéòèñü áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé (åå ïðèìåíåíèå, êîíå÷íî, íå çàïðåùåíî, íî çàäà÷è ñîñòàâëÿþòñÿ òàê, ÷òîáû ìîæíî áûëî îáîñíîâàòü ìîíîòîííîñòü íåïîñðåäñòâåííî). Çàäà÷à 12. Ðåøèòå óðàâíåíèå log 2 2+ 3 x 2 + 2x - 2 = log2 + 3 x 2 + 2x - 3 . (8) Êîììåíòàðèé. Ïîñêîëüêó ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà ñòîÿò êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì, íè î êàêîé ìîíîòîííîñòè â òàêîì âèäå íå ìîæåò áûòü è ðå÷è. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòè òðåõ÷ëåíû, à òàêæå îñíîâàíèÿ ëîãàðèôìîâ î÷åíü «ïîõîæè», êàê-òî ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì, òàê ÷òî ïîïðîáóåì óäà÷íî ïðåîáðàçîâàòü îñíîâàíèÿ è ñäåëàòü õîðîøóþ çàìåíó ïåðåìåííîé. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, êàê ìû äàëåå ïîëó÷èì ìîíîòîííóþ ôóíêöèþ, è ïîñòàðàéòåñü îñâîèòü ýòîò ïðèåì. 38 ÊÂÀÍT 2002/¹6 2 Ðåøåíèå. Âî-ïåðâûõ, î÷åâèäíî, ÷òî x + 2 x - 2 = 2 = x + 2x - 3 + 1 , òàê ÷òî, åñëè îáîçíà÷èòü x 2 + 2x - 3 ÷åðåç t, òî x 2 + 2 x - 2 = t + 1 . Âî-âòîðûõ, çàìåòèì, ÷òî 1+ 7 + 4 3 = 1+ 2 + 3 2 2+ 3 = 8+4 3 = 2 , ïîýòîìó, åñëè îáîçíà÷èòü 7 + 4 3 ÷åðåç à, ìîæíî ïðîâåñòè ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâíîñèëüíûõ â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé äàííîãî óðàâíåíèÿ (êîíå÷íî, ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé): 8 Û log 1+ a t + 1 = log a ( (8*) Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî, î÷åâèäíî, a = 7 + 4 3 = 2 + 3 ) 2 > 1, t > 0 (èíà÷å íå ñóùåñòâóåò ëîãàðèôì â ïðàâîé ÷àñòè (8*), ïîýòîìó t + 1 > 1, íî òîãäà t > 1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8*) ïîëîæèòåëüíà, à ïðàâàÿ îòðèöàòåëüíà). Èòàê, ìû ïðèøëè ê óðàâíåíèþ (8*), ãäå t > 1, a > 1. Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (8*) ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìîâ, íàïðèìåð ê îñíîâàíèþ 2: log 2 t + 1 log 2 t = Û (8*) Û log 2 a + 1 log 2 a log 2 t + 1 log 2 a + 1 = ⇔ log t log 2 a . (8**) 2 log 2 z + 1 log 2 z , òîãäà, êàê ëåãêî âèäåòü, óðàâíåíèå (8**) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Ïóñòü f z = f t = f a . (8***) Ýòî óðàâíåíèå èìååò î÷åâèäíûé êîðåíü t = a. Åñëè íàì óäàñòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = f z ìîíîòîííà ïðè z > 1, èç ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü (òåîðåìà î êîðíå), ÷òî äðóãèõ ðåøåíèé íåò. Äîêàæåì ýòî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ïðè âñåõ k, êðîìå íóëÿ, 1ö æ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî k + 1 = k ç1 + ÷ . Ïîýòîìó ïðè âñåõ kø è äîïóñòèìûõ â íàøåé çàäà÷å çíà÷åíèÿõ z (ò.å. ïðè z > 1) log 2 z + 1 = log 2 z æ æ log 2 ç z ç1 + è è = log 2 z 1ö ö z ÷ø ÷ø log 2 4x + 1 × log 5 4 x + 4 + log 3 4 x + 2 × log4 4x + 3 = = 2 log 3 4 x + 2 × log5 4x + 4 . (9) tÛ Û log a +1 t + 1 = log a t . f z = åò (ñîîòâåòñòâåííî, óáûâàåò), òî äðîáü óáûâàåò (âîçðàñòàåò). (Ñì. òàêæå çàìå÷àíèå ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è 6.) á) Åñëè ôóíêöèÿ y = g x îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå I, à ôóíêöèÿ z = f y îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå I1 , ñîäåðæàùåì îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè g, òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f g x îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (ñîîòâåòñòâåííî, óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå I. Çàäà÷à 13. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1ö 1ö æ æ log 2 z + log 2 ç 1 + ÷ log 2 ç 1 + ÷ zø zø è è =1+ = . log 2 z log 2 z Ïðè z > 1 ñóììà 1 + 1 z , î÷åâèäíî, óáûâàåò; ëîãàðèôì ïî îñíîâàíèþ 2 âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. ÷èñëèòåëü ïîñëåäíåé äðîáè â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå óáûâàåò, à çíàìåíàòåëü âîçðàñòàåò. À òàê êàê îíè ïðè ýòîì åùå è ïîëîæèòåëüíû, ýòà äðîáü óáûâàåò ñ ðîñòîì z. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ y = f z óáûâàåò ïðè z > 1, è óðàâíåíèå (8***) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå t = a. Îñòàëîñü íàéòè êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (8): x 2 + 2x - 3 = 7 + 4 3 Û x = -1 ± 11 + 4 3 . Îòâåò: x = -1 ± 11 + 4 3 .  ðåøåíèè ïîñëåäíåé çàäà÷è íàì âñòðåòèëèñü âàæíûå ñîîáðàæåíèÿ, êîòîðûå ìû ñôîðìóëèðóåì â âèäå ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé. (Ñ) à) Åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè ïîëîæèòåëüíû, ÷èñëèòåëü óáûâàåò (âîçðàñòàåò), à çíàìåíàòåëü âîçðàñòà- Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé t = 4x +1 è, ðàçáèâ ïðàâóþ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ íà äâà îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ, ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (9) òàê, ÷òîáû ìîæíî áûëî ðàçëîæèòü ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íîâîãî óðàâíåíèÿ íà ìíîæèòåëè: log 2 t × log 5 t + 3 - log 3 t + 1 × log 5 t + 3 = = log 3 t + 1 × log 5 t + 3 - log 3 t + 1 × log 4 t + 2 Û ⇔ log 5 t + 3 × log2 t - log3 t + 1 = = log 3 t + 1 × log5 t + 3 - log4 t + 2 . (9*) Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî óðàâíåíèå (9*) èìååò êîðåíü t = 2 (ýòî ÷èñëî îáðàùàåò â íóëè ñêîáêè â åãî ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ), è ïîïðîáóåì ïîêàçàòü, ÷òî äðóãèõ êîðíåé îíî (à âìåñòå ñ íèì è äàííîå óðàâíåíèå) íå èìååò. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f z = log a z - log a +1 z + 1 , ãäå a > > 1, è äîêàæåì åå ìîíîòîííîñòü. Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì ðàçíîñòü ëîãàðèôìîâ, ïåðåéäÿ âî âòîðîì ëîãàðèôìå ê îñíîâàíèþ à è èñïîëüçóÿ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñóììû z + 1 òîò æå ïðèåì, ÷òî â ïðåäûäóùåé çàäà÷å: f z = log a z - log a z + 1 = log a a + 1 1öö æ æ 1ö æ log a ç z ç1 + ÷ ÷ log a + log a ç1 + ÷ zøø zø è è è = log a z = log a z = log a a + 1 log a a + 1 1ö æ log a ç 1 + ÷ zø æ è log a z ö = = ç log a z log a a + 1 ÷ø log a a + 1 è 1ö æ = log a z 1 - loga +1 a - loga +1 ç 1 + ÷ . zø è Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèþ f z íàì óäàëîñü ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè log a z 1 - log a +1 a (îíà âîçðàñòàåò, òàê êàê log a +1 a < 1 , ïîýòîìó 1 - log a +1 a > 0 è ôóíêöèÿ log a z âîçðàñòàåò ïî óñëîâèþ, à > 1) è óáûâàþ1ö æ ùåé ôóíêöèè log a +1 ç1 + ÷ . Ïîýòîìó (ñì. óòâåðæäåíèå (Â)) zø è ôóíêöèÿ f z âîçðàñòàåò. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïåðâûé ìíîæèòåëü â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (9*) ïîëîæèòåëåí ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ t (ò.å. ïðè âñåõ t > 0), à âòîðîé ìíîæèòåëü ýòî ôóíêöèÿ f z ïðè à = 2, à ðàç îíà âîçðàñòàåò è ðàâíà, êàê ìû âèäåëè, íóëþ ïðè t = 2, òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (9*) îòðèöàòåëüíà ïðè t < 2 è ïîëîæèòåëüíà ïðè t > 2. Ïåðâûé ìíîæèòåëü ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (9*) òàêæå ïîëîæèòåëåí ïðè âñåõ t > 0, à âòîðîé ìíîæèòåëü ýòî âçÿòàÿ ñî çíàêîì ìèíóñ ôóíêöèÿ f z ïðè à = 4. Ïîýòîìó ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ t, êðîìå t = 2, ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè óðàâíåíèÿ (9*) èìåþò ðàçíûå çíàêè, è èõ çíà÷åíèÿ íå ìîãóò ñîâïàäàòü, ò.å. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ýòî óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü t = 2. Îòñþäà ïîëó÷àåì îòâåò. Îòâåò: õ = 1/4. Òåïåðü ïðèâëå÷åì ñîîáðàæåíèÿ ìîíîòîííîñòè ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Çàäà÷à 14. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé 5 4 10 6 ïì x + xy = y + y , í 6 2 3 ïî x + x = 8 y + 2y. Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ïàðà õ = 0, ó = 0 ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. Åñëè æå y ¹ 0 , òî è x ¹ 0 . Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå òàê: 5 x æ xö 5 çè y ÷ø + y = y + y . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f t = t 5 + t âîçðàñòàþùàÿ, èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî x = y , ò.å. x = y2 . y Àíàëîãè÷íî, èç âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè g t = t 3 + t ñëåäóåò, ÷òî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ x 2 = 2y . ìï x = y2, í 2 ïî x = 2 y. Îòâåò: 2 3 4; 3 2 . Óïðàæíåíèÿ 8. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) 2x + 1 æ 2 + 2x + 12 + 3öø + 3x 2 + 9x2 + 3 = 0 ; è á) log2 3x + 1 × log5 x + 4 + + log3 3x + 2 × log4 3x + 3 = 2 log3 3x + 2 × log5 3x + 4 . 9. Ðåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé: ì x5 + x = y + á) ïí 3 2 ïî2x = 3y ; ì x + sin x = y + sin y, à) ïí 2 2 ïî x + 3xy + y = 1; 5 y, x ïì2 + x = y + log2 y, ïîlog2 x + y = 5. â) í 10. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå 4 - x - a log 3 2 x 2 - 2 x + 3 + 2- x + 2x log 1 2 x - a + 2 = 0 3 èìååò ðîâíî òðè êîðíÿ. 11. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ íåðàâåíñòâî log 1 a x 2 39 ëåíòíîñòè ýòèõ îïðåäåëåíèé íå ñîñòàâèò äëÿ âàñ îñîáîãî òðóäà. Ôóíêöèÿ y = f x âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå I òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ u è v èç ýòîãî ïðîìåæóòêà çíàêè ÷èñåë f u - f v è u v ñîâïàäàþò (ñîîòâåòñòâåííî, ïðîòèâîïîëîæíû). Ýòî çàìå÷àíèå ïîçâîëÿåò â öåëîì ðÿäå çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ èññëåäîâàíèåì çíàêà ôóíêöèé, çàìåíèòü ðàçíîñòü f u - f v íà áîëåå ïðîñòîå âûðàæåíèå u v. Äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷ ïîëåçíî ïîìíèòü, ÷òî çíàêè ÷èñåë a2 - b2 è a b ïðè ïîëîæèòåëüíûõ à è b ñîâïàäàþò, à ïðè îòðèöàòåëüíûõ ïðîòèâîïîëîæíû (ïîäóìàéòå, ÷òî ìîæíî ñêàçàòü, åñëè çíàêè à è b ïðîòèâîïîëîæíû, à òàêæå åñëè ðàññìàòðèâàòü íå êâàäðàòû, à ëþáûå ïîëîæèòåëüíûå ñòåïåíè!). Îäèíàêîâû áóäóò òàêæå çíàêè ÷èñåë 2u - 2v è u v, log2 u - log2 v è u v, arctg u - arctg v è u v, à âîò çíàêè ÷èñåë log0,5 u - log0,5 v è u v ïðîòèâîïîëîæíû. Óïðàæíåíèå 12. Äîêàæèòå, ÷òî ñîâïàäàþò çíàêè ñëåäóþùèõ ÷èñåë: á) u - v è u v; à) u - v è u2 - v2 ; â) au - av è u - v a - 1; ã) loga u - loga v è u - v a - 1 ; ä) a x - b è x - loga b a - 1 ; å) loga x - b è x - ab a - 1 . Ðàññìîòðèì òåïåðü íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Çàäà÷à 15. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî Îñòàëîñü ðåøèòü ñèñòåìó ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ + ax + 5 + 1 log5 x2 + ax + 6 + loga 3 ³ 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ìîíîòîííîñòü è ìåòîä èíòåðâàëîâ Çäåñü ìû ðàññìîòðèì ìåòîä ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé íåêîòîðîå óñîâåðøåíñòâîâàíèå ìåòîäà èíòåðâàëîâ. Èìåííî, â çàäà÷àõ, ãäå ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ çíàê ôóíêöèè, ìîæíî çàìåíÿòü ðàçíîñòü çíà÷åíèé ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ðàçíîñòÿìè çíà÷åíèé èõ àðãóìåíòîâ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðåøàòü äîâîëüíî ñëîæíûå íåðàâåíñòâà ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî ìåòîäîì èíòåðâàëîâ, ïðèìåíÿåìûì îáû÷íî ê ðàöèîíàëüíûì ôóíêöèÿì. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ óêàçàííîé çàìåíû ìû ïåðåôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè, ïðèâåäåííîå â ñàìîì íà÷àëå ýòîé ñòàòüè. Íàäååìñÿ, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ýêâèâà- 2 - x + 4x - 3 ³ 2. x Ðåøåíèå. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîãî íåðàâåíñòâà îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé ì x £ 2, í î x ¹ 0. Ïîñêîëüêó ìû õîòåëè áû ïðèìåíèòü ìåòîä èíòåðâàëîâ, ïåðåíåñåì ÷èñëî 2 â ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà, ïðèâåäåì åå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ: 2 - x + 2x - 3 ³ 0. x (10) 3 Íåðàâåíñòâî (10), î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî ïðè x ³ . Ïðè 2 3 x< çàïèøåì åãî òàê: 2 2-x - 3 - x2 (10*) ³ 0. x  íåðàâåíñòâå (10*) çàìåíèì ðàçíîñòü êîðíåé ðàçíîñòüþ ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé: 2 2 - x - 3 - x ³ 0, x ò.å. 4 x2 - 11x + 7 £ 0. x Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ìåòîäîì èíòåðâàëîâ, ïîëó÷àåì îòâåò. Îòâåò: x < 2; 1 £ x < 2 . Çàìå÷àíèå. Êàê ýòî íåðåäêî áûâàåò, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìåòîäîì èíòåðâàëîâ ìû ìîãëè èñïîëüçîâàòü ðàçíûå ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ìû ìîãëè ðàññóæäàòü òàê: ðàçíîñòü ïîëîæè2 òåëüíûõ ÷èñåë 2 - x è 3 - 2x èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ðàçíîñòü èõ êâàäðàòîâ, à äàëüøå âñå àíàëîãè÷íî. Ïðèìåíåíèå ìîíîòîííîñòè óïðîùàåò è ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è. Çàäà÷à 16. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log x x + 2 < 2 . 40 ÊÂÀÍT 2002/¹6 Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà íàõîäèì äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ: ñêîáîê ëåâîé ÷àñòè â ñèëó óïðàæíåíèÿ 12,ã) ñîâïàäàþò ñî çíàêàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé, ÷òî ïðèâîäèò ê ëåãêî ðåøàåìîé ñèñòåìå: ì x + 2 > 0, ì x > -2, ï ï > 0, Û x í í x ¹ 0, ï ¹1 ï x ¹ ±1. î îx Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ õ, ïåðåíåñÿ ÷èñëî 2 â ëåâóþ ÷àñòü äàííîãî íåðàâåíñòâà, ìîæíî ïåðåïèñàòü åãî â ñëåäóþùåì ýêâèâàëåíòíîì âèäå: log x ( x + 2 ) − log x x2 < 0, ⇔ x > −2; x ≠ 0; x ≠ ±1 ( x + 2 − x 2 ⇔ ) ( x − 1) < 0, ⇔ ( x + 2 − x )( x 2 x > −2; x ≠ 0; x ≠ ±1 2 ) − 1 < 0, x > −2; x ≠ 0; x ≠ ±1. Ïåðâîå ïðåîáðàçîâàíèå âûïîëíåíî â ñèëó ñîîòíîøåíèé óïðàæíåíèÿ 12,ã), à âòîðîå óïðàæíåíèÿ 12,à). Îñòàëîñü ðåøèòü ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó. Îòâåò: 2 < x < 1; 1 < x < 0; 0 < x < 1; x <2.  çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð íà íåðàâåíñòâî ñ ëîãàðèôìàìè. Çäåñü ìû åùå ðàç óáåäèìñÿ â òîì, íàñêîëüêî ñâåäåíèå ê ìåòîäó èíòåðâàëîâ ñîêðàùàåò îáúåì ðåøåíèÿ. Çàäà÷à 17. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (log3x −1 (2x ) − 1) (logx ( 3 − x ) − 1) > 0 . Ðåøåíèå. Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íåðàâåíñòâà: 1 2 < x < 3 ; x ≠ ; x ≠ 1 .  îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ çíàêè 3 3 VII Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð Çàî÷íûé «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 25) è ýòè ñòîëêíîâåíèÿ âîçìîæíû äëÿ ýëåêòðîíîâ ñ ýíåðãèåé ε, áîëüøåé ε* . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñëè ε > ε* , òî ÷àñòîòà íåóïðóãèõ ñîóäàðåíèé ðàâíà ν* . (Îáû÷íî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ν* = ν0 .) Îáùàÿ ÷àñòîòà ñòîëêíîâåíèé ðàâíà ν = ν* + ν 0 , à ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè (ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû) åñòü τ = 1 ν . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåêòðîí âûëåòàåò ñ êàòîäà ñ íóëåâîé ñêîðîñòüþ. Ïóñòü ýëåêòðîí èñïûòàë ñòîëêíîâåíèå â ìîìåíò âðåìåíè t0 . Òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëåäóþùåå ñòîëêíîâåíèå ïðîèçîéäåò â èíòåðâàëå âðåìåíè îò t* äî t * + dt , îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì dP = exp - ν t* - t0 × νdt . *  ÷àñòíîñòè, åñëè t - t0 = τ, ò.å. åñëè ðàññìàòðèâàåìûé èíòåðâàë âðåìåíè ìíîãî ìåíüøå ñðåäíåãî âðåìåíè ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè, ýòî âûðàæåíèå ïðèíèìàåò âèä dP = νdt . Åñëè ñòîëêíîâåíèå ïðîèçîøëî, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî áûëî óïðóãèì, åñòü ν0 w0 = , ν0 + ν* à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî áûëî íåóïðóãèì, îïðåäåëÿåòñÿ (1 − x )(3x − 2 )( 3 − 2x ) ( x − 1) > 0, ⇔ 1 2 3 < x < 3; x ≠ 3 ; x ≠ 1 ( x − 1)2 ( 3x − 2 )(2x − 3) > 0, ⇔ 1 2 < x < 3; x ≠ ; x ≠ 1. 3 3 1 2 3 <x< ; < x < 3. 3 3 2 Ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùåãî óïðàæíåíèÿ âàì ìîãóò ïîìî÷ü ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî. Îòâåò: Óïðàæíåíèå 13. Ðåøèòå íåðàâåíñòâà: à) â) x2 − 2x − 2x − 1 2 2 x − 2 + x + 3x ≥0; á) x2 − 5 − 3 ≥1; x+4 −7 ã) log 21+ 4x − x2 (7 − x ) ( log x + 3 21 + 4 x − x2 16 − 3 x + x 2 − 3 x − 4 ≥1; 6−x 1 1; å) log x ≤ 1 log 4 3 ⋅ 2 x + 4 ä) log x −2 x ≤ log x −2 4 ; æ) − x 2 + 7x − 6 ≤0; x − 6 x + 5 − x2 − 2x − 3 2 ) < 1 . 4 êàê w* = ν* . ν0 + ν* Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óïðóãèå è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ èçîòðîïíû, ò.å. ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà ëþáîé óãîë ðàâíîâåðîÿòíî. Ðàññòîÿíèå ìåæäó êàòîäîì è àíîäîì L = = 1 ñì, ðàññòîÿíèå ìåæäó êàòîäîì è ñåòêîé l = 0,2 ñì.  ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ðàçìåð ñèñòåìû ñ÷èòàòü íåîãðàíè÷åííûì. Ñâÿçü ÷àñòîòû óïðóãèõ è íåóïðóãèõ ñòîëêíîâåíèé ñ äàâëåíèåì ïàðîâ ðòóòè çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè ν 0 = A × p òîðð , ν * = B × p òîðð , 9 -1 -1 ãäå A = 3,5 × 10 c × òîðð , B = 5 × 107 c -1 × òîðð-1 (çäåñü 1 òîðð âíåñèñòåìíàÿ åäèíèöà äàâëåíèÿ, ðàâíàÿ 1/760 àòìîñôåðû). Çàäàíèå 1. Èññëåäóéòå çàâèñèìîñòü àíîäíîãî òîêà îò âåëè÷èíû óñêîðÿþùåãî íàïðÿæåíèÿ ìåæäó êàòîäîì è ñåòêîé â äèàïàçîíå çíà÷åíèé UKC = 0,1 - 15 Â. Ñ÷èòàòü, ÷òî UCA èçìåíÿåòñÿ îò 0,2  äî 0,5 B, à äàâëåíèå ïàðîâ ðòóòè ñîñòàâëÿåò ð = 1 òîðð. 2. Èññëåäóéòå çàâèñèìîñòü àíîäíîãî òîêà îò äàâëåíèÿ ïàðîâ ðòóòè â äèàïàçîíå çíà÷åíèé p = 0,1 10 òîðð. Ñ÷èòàòü, ÷òî UKC = 10 Â. 3. Ïîëó÷èòå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî ýíåðãèÿì â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà ìåæäó êàòîäîì è àíîäîì.
