34 ÊÂÀÍT 2002/¹6 Ìîíîòîííûå ôóíêöèè â êîíêóðñíûõ çàäà÷àõ À.ÅÃÎÐÎÂ, Æ.ÐÀÁÁÎÒ Ì Íàãëÿäíûé ñìûñë òåîðåìû î êîðíå (À) è åå ïåðåôîðìóëèðîâêè (À*) òàêæå ïðîçðà÷åí ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ ó = à ìîæåò ïåðåñå÷ü ãðàôèê ìîíîòîííîé ôóíêöèè y = f x íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå (ò.å. ëèáî âîîáùå åãî íå ïåðåñåêàåò, ëèáî ïåðåñåêàåò â åäèíñòâåííîé òî÷êå). Íà÷íåì ñ ñîâñåì ïðîñòîé çàäà÷è. Çàäà÷à 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 3 + x = 10 . Ðåøåíèå. Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ôóíêöèÿ, âîçðàñòàþùàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ýòî î÷åíü ëåãêî äîêàçàòü). Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (1) èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ òåîðåìà (À*). Íî êîðåíü ëåãêî óãàäàòü: ïðè õ = 2 ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ðàâíà ïðàâîé. Îòâåò: õ = 2. Ðåøèì òåïåðü ÷óòü áîëåå òðóäíóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 37x + 12 - 31 - 6x = 2 . ÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×, ÊÎÒÎÐÛÉ ÌÛ ÐÀÑÑÌÎÒ- ðèì â ýòîé ñòàòüå, ïðèìåíèì êàê ê îáû÷íûì øêîëüíûì çàäà÷àì, òàê è ê áîëåå ñëîæíûì, ÷àñòî íàçûâàåìûì íåñòàíäàðòíûìè. Ïðè èçó÷åíèè øêîëüíîãî êóðñà àëãåáðû è îñîáåííî íà÷àë ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà âàì ÷àñòî ïðèõîäèëîñü âûÿñíÿòü, âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò òà èëè èíàÿ ôóíêöèÿ. Ìû ïîñòàðàåìñÿ â ýòîé ñòàòüå ïîêàçàòü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî (èíîãäà âîîáùå íå ôèãóðèðóþùèõ â óñëîâèè, à ïîÿâëÿþùèõñÿ ïî õîäó ðåøåíèÿ), íåðåäêî ñèëüíî óïðîùàåò òåõíè÷åñêóþ ÷àñòü ðåøåíèÿ, à ïîðîé áåç íåãî ïðîñòî íåìûñëèìî ðåøèòü çàäà÷ó. Òåîðåìà î êîðíå Ñíà÷àëà íàïîìíèì îñíîâíîå îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ y = f x íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (ìîíîòîííî óáûâàþùåé) íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç ýòîãî ïðîìåæóòêà èç íåðàâåíñòâà x1 < x2 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî f x1 < f x2 (ñîîòâåòñòâåííî, f x1 > f x2 ). Íàãëÿäíûé ñìûñë âîçðàñòàíèÿ èëè óáûâàíèÿ ôóíêöèè ïðîçðà÷åí ãðàôèê âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ïðè äâèæåíèè ïî íåìó ñëåâà íàïðàâî èäåò âñå âûøå è âûøå (à óáûâàþùåé âñå íèæå è íèæå). Ìû, åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îñè êîîðäèíàò ðàñïîëîæåíû ñòàíäàðòíûì îáðàçîì: îñü àáñöèññ Îõ ãîðèçîíòàëüíà è íàïðàâëåíà ñëåâà íàïðàâî, à îñü îðäèíàò Îó âåðòèêàëüíà è íàïðàâëåíà ñíèçó ââåðõ. Åñëè ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ìîíîòîííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Ïåðâûé ôàêò, ÷àñòî èñïîëüçóþùèéñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷, â òîì èëè èíîì âèäå äîêàçàí â âàøåì øêîëüíîì êóðñå (íàïðèìåð, â ó÷åáíèêå äëÿ 1011 êëàññîâ ïîä ðåäàêöèåé À.Í.Êîëìîãîðîâà îí ïðèâîäèòñÿ ïîä íàçâàíèåì «Òåîðåìà î êîðíå» ïðè ââåäåíèè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â íà÷àëå 10 êëàññà). Íàïîìíèì åãî. (À) Ïóñòü ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå I, ÷èñëî à ëþáîå èç çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ f íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Òîãäà óðàâíåíèå f x = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå I. Íàì èíîãäà áóäåò óäîáíåå íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìóëèðîâêà ýòîãî ôàêòà. (À*) Ïóñòü y = f x ìîíîòîííàÿ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè à óðàâíåíèå f x = a èìååò íà ýòîì ïðîìåæóòêå íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ. (1) (2) Êîììåíòàðèé. Óðàâíåíèå (2) ìîæíî ðåøèòü ñòàíäàðòíûì øêîëüíûì ñïîñîáîì, ïî÷ëåííî âîçâåäÿ (äâàæäû) ïðîìåæóòî÷íûå èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ â êâàäðàò, íàéäÿ çàòåì êîðíè ïîëó÷åííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïðîèçâåäÿ ïîñëå ýòîãî îòñåâ âîçìîæíûõ ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé. Îäíàêî çàäà÷à äîïóñêàåò ðåøåíèå «â îäíó ñòðî÷êó». Ðåøåíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2) âîçðàñòàþùàÿ â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ (ïåðâûé ðàäèêàë ïðè óâåëè÷åíèè õ, î÷åâèäíî, óâåëè÷èâàåòñÿ, à âòîðîé óìåíüøàåòñÿ, íî îí âû÷èòàåòñÿ èç ïåðâîãî, ïîýòîìó èõ ðàçíîñòü âîçðàñòàåò). Ïî òåîðåìå (À*) óðàâíåíèå (2) èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Åãî ëåãêî ïðåäúÿâèòü: ýòî õ = 1. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîäñòàíîâêå ýòîãî çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî â (2) ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 7 5 = 2. Îòâåò: õ = 1. Çàìå÷àíèÿ. 1. Îòêóäà âçÿëñÿ êîðåíü õ = 1? Ìû åãî ïðîñòî óãàäàëè! Íåêîòîðûå øêîëüíèêè ñ÷èòàþò ïðèâåäåííîå ðåøåíèå «íåñòðîãèì» êàê ýòî ìîæíî ÷òî-òî óãàäûâàòü? Íî â íàøåì ðåøåíèè âñå â ïîðÿäêå äîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèé íå áîëüøå îäíîãî è ïðåäúÿâëåíî ðåøåíèå (íåâàæíî, îòêóäà ìû åãî âçÿëè). Êñòàòè, óãàäàòü ðåøåíèå áûëî äîâîëüíî ïðîñòî ìû íà÷àëè ïåðåáèðàòü öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ õ è èñêàòü, ïðè êàêèõ èç íèõ «èçâëåêàåòñÿ» âòîðîé êîðåíü (òàì ïðîñòî ìåíüøå êîýôôèöèåíòû, ÷åì ïîä çíàêîì ïåðâîãî êîðíÿ). Ïðè õ = 0 êîðåíü «íå èçâëåêñÿ», à ïðè õ = 1 èçâëåêñÿ (ïîä êîðíåì ïîëó÷èëñÿ ïîëíûé êâàäðàò ÷èñëî 25), òîãäà ìû ïîäñòàâèëè õ = 1 â óðàâíåíèå (2) è ïîëó÷èëè âåðíîå ðàâåíñòâî. Íà÷èíàëè ìû ñ õ = 0, òàê êàê ïðè îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ õ ïåðâûé ðàäèêàë íå ñóùåñòâóåò ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå îòðèöàòåëüíî. Êîíå÷íî, óãàäàòü êîðåíü ìîæíî äàëåêî íå âñåãäà, íî ìû è íå ïðåòåíäóåì íà óíèâåðñàëüíîñòü òàêîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ. 2. Íàñêîëüêî ñòðîãî íàøå äîêàçàòåëüñòâî ìîíîòîííîñòè ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2)? Íà íàø âçãëÿä, ïðèâåäåííîãî íàìè ðàññóæäåíèÿ âïîëíå äîñòàòî÷íî, íî ïðè íåîáõîäèìîñòè åãî ëåãêî ôîðìàëèçîâàòü. Ïóñòü x1 è x2 ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2), ïðè÷åì x1 > x2 . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: f x = 37x + 12 , g x = 31 - 6x . Òîãäà f x1 - f x2 = 37x1 + 12 - 37x2 + 12 =