СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ, ЗОННАЯ
реклама
ÃË À ÂÀ 1 ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ ÝËÅÊÒÐÎÍΠ ÒÂÅÐÄÎÌ ÒÅËÅ, ÇÎÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÌÅÒÀËËÎÂ È ÏÎËÓÏÐÎÂÎÄÍÈÊΠÄëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ýòîé ãëàâû íåîáõîäèìû ýëåìåíòàðíûå ñâåäåíèÿ èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè è êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ îïèñàíèÿ â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äîñòàòî÷íî çàäàòü çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è êîìïîíåíò èìïóëüñà êàæäîé èç ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå äàæå äëÿ îäíîé ÷àñòèöû îäíîâðåìåííîå îïðåäåëåíèå êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé åé êîìïîíåíòû èìïóëüñà ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî èç-çà ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Íàèáîëåå ïîëíîå îïèñàíèå ñèñòåìû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå äàåòñÿ âñåãî îäíîé êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé, íåçàâèñèìî îò òîãî, ñîñòîèò ñèñòåìà èç ìíîæåñòâà ÷àñòèö èëè èç îäíîé ÷àñòèöû. Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïî-ðàçíîìó — è ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, è àìïëèòóäîé âåðîÿòíîñòè, è âîëíîâîé ôóíêöèåé. Ïîñëåäíåå íàçâàíèå, áûâøåå èñòîðè÷åñêè ïåðâûì, ñåé÷àñ âûõîäèò èç óïîòðåáëåíèÿ. Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ çàâèñèò îò âðåìåíè è îò êîîðäèíàò âñåõ ÷àñòèö ñèñòåìû è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîãî, õîòÿ äîâîëüíî ñëîæíîãî, âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. 3 Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû çàäàíà â àáñòðàêòíîì 3N-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãäå N — ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå) è íå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èçìåðÿåìîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé. Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ äðóãèõ èçìåðÿåìûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû. Îäíàêî îáíàðóæåíèå â ýêñïåðèìåíòå ýòèõ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé èìååò ëèøü âåðîÿòíîñòíûé, ñòàòèñòè÷åñêèé õàðàêòåð. Äàæå ïàðàìåòðû ýòîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íàçâàííûå êîîðäèíàòàìè ÷àñòèö ñèñòåìû, ïîíèìàòü íàäî èíà÷å, ÷åì â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Ýòî íå òî ìåñòî â ïðîñòðàíñòâå, ãäå íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà, à ìåñòî, ãäå îíà ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò áûòü îáíàðóæåíà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (àìïëèòóäû âåðîÿòíîñòè ñèñòåìû) ëåã÷å ïðåäñòàâèòü â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà ðå÷ü èäåò î äâèæåíèè âäîëü îñè X âñåãî äâóõ ÷àñòèö ñ ðàçëè÷íûìè ìàññàìè m è M. Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä Ψ ( xm , xM , t ). (1.1) Âåðîÿòíîñòü â ìîìåíò âðåìåíè t0 îáíàðóæèòü ïåðâóþ ÷àñòèöó âáëèçè òî÷êè xm0 â ïðîìåæóòêå xm0 ÷ xm0 + dxm0, à âòîðóþ ÷àñòèöó âáëèçè òî÷êè xM0 â ïðîìåæóòêå xM0 ÷ xM0 + dxM0 ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ èíòåðâàëà dxm, èíòåðâàëà dxM è êâàäðàòà ìîäóëÿ çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû Ψ(xm, xM, t) (|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ, ãäå Ψ∗ — ôóíêöèÿ, êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííàÿ ñ Ψ): dP ( xm 0 , xM 0 , t0 ) = Ψ (xm 0 , x M 0 , t0 ) Ψ* (x m0 , x M 0 ,t0 )dx mdx M . (1.2) Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ýòîé ñèñòåìû ÷àñòèö èìååò âèä −ih ∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ h 2 ∂ 2Ψ = + − U (x m , x M , t ) Ψ . ∂t 2m ∂x m2 2M ∂x M2 4 Çäåñü U(xm, xM, t) — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ âñå âçàèìîäåéñòâèÿ, â êîòîðûõ ó÷àñòâóþò ÷àñòèöû, à h = h / 2π , (1.4) ãäå h = 6,62·10 Äæ·ñ — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Óðàâíåíèå ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà áîëüøåå êîëè÷åñòâî êîîðäèíàò è ëþáîå ÷èñëî ÷àñòèö. Ïðè ýòîì â ñóììå ñïðàâà äîáàâëÿþòñÿ íîâûå ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî îñòàëüíûì êîîðäèíàòàì è àíàëîãè÷íûå ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâóþùèå íîâûì ÷àñòèöàì ñèñòåìû.  êóáè÷åñêîì ñàíòèìåòðå òâåðäîãî òåëà íàõîäèòñÿ äî 1023 àòîìîâ. ×èñëî ýëåêòðîíîâ ìîæåò áûòü áîëüøå íà îäèí-äâà ïîðÿäêà. ßñíî, ÷òî áåç óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèé íè çàïèñàòü, íè ðåøèòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ òàêèì êîëè÷åñòâîì ïåðåìåííûõ íåâîçìîæíî. Ñóòü íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ìîæíî ïîêàçàòü íà ïðèìåðå ñèñòåìû èç äâóõ ÷àñòèö. Îêàçûâàåòñÿ, åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U (xm, xM) çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàò ÷àñòèö xm, xM è íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ìîæåò áûòü íàéäåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé, îäíà èç êîòîðûõ çàâèñèò òîëüêî îò âðåìåíè, äðóãàÿ — òîëüêî îò êîîðäèíàò ÷àñòèö: -34 Ψ ( xm , xM , t ) = ϕ ( xm , xM ) f (t ). (1.5) Åñëè ïîäñòàâèòü Ψ (xm, xM, t) â óðàâíåíèå (1.3), à çàòåì ïîäåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.3) íà Ψ (xm, xM, t), òî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàò ÷àñòèö, à ëåâàÿ ÷àñòü — òîëüêî îò âðåìåíè. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (1.3) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ t, xm è xM, òî îáå ÷àñòè ðàâíû îäíîé è òîé æå êîíñòàíòå Å, èìåþùåé ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè. Ýòó êîíñòàíòó íàçûâàþò ïîëíîé ýíåðãèåé ñèñòåìû. (1.3) 5  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: ih − 1 ∂f (t ) = E, f (t ) ∂t (1.6) h 2 ∂ 2ϕ h 2 ∂ 2ϕ − + U ( xm , xM )ϕ = Eϕ. 2m ∂xm2 2 M ∂x M2 (1.7) Íåïîñðåäñòâåííî èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (1.6), ïîëó÷èì E f (t ) = exp −i t = exp(−iω t ). (1.8) h Êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ f (t) ãàðìîíè÷åñêè ñ ÷àñòîòîé ω çàâèñèò îò âðåìåíè. Ìîäóëü ôóíêöèè f (t) ðàâåí åäèíèöå. Êâàäðàò ìîäóëÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû |Ψ(t, xm, xM)|2 ïðîïîðöèîíàëåí âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â êàêîé-ëèáî îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (1.7) ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ïîëíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû Å. Çíà÷åíèÿ ýíåðãèè Å, ïðè êîòîðûõ ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿ, íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ðåøåíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì è ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì âîëíîâûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè, èëè êâàíòîâûìè ñîñòîÿíèÿìè. Òàêèå ñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå îïðåäåëåííóþ ýíåðãèþ, íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè. Èìåííî îíè áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.  îäíèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.7) ñóùåñòâóþò ëèøü äëÿ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè ñèñòåìû En. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò î äèñêðåòíîì íàáîðå ðàçðåøåííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.7) ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè Å. Òîãäà ãîâîðÿò î íåïðåðûâíîì ñïåêòðå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Íåñêîëüêî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, èìåþùèõ îäíî è òî æå çíà÷åíèå ýíåðãèè, íàçûâàþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíåì. Ýòè 6 ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë — ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ â õîäå ðåøåíèÿ êîîðäèíàòíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Íàïðèìåð, ñòàöèîíàðíîå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà îïðåäåëÿåòñÿ âñåìè ÷åòûðüìÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, íî ýíåðãèÿ Å ñâÿçàíà ëèøü ñ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Åñëè ÷àñòèöû â ñèñòåìå íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé, òî âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé ÷àñòèö âî âíåøíåì ïîëå: U (xm , xM ) = U m ( x m ) + U M ( x M ). (1.9)  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ϕ (xm, xM) îêàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ñîñòîÿíèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòèö: ϕ ( xm , xM ) = ϕm ( xm ) ϕM ( xM ), (1.10) êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíî÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñî ñâîåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö îêàçûâàåòñÿ íå ñóììîé âîëíîâûõ ôóíêöèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö («îòäåëüíûõ âîëí»), à èõ ïðîèçâåäåíèåì. Òàêîé ðåçóëüòàò ïîêàæåòñÿ ìåíåå íåîæèäàííûì, åñëè âñïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü îäíîâðåìåííîãî íàñòóïëåíèÿ äâóõ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé äàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì âåðîÿòíîñòåé íàñòóïëåíèÿ êàæäîãî ñîáûòèÿ â îòäåëüíîñòè. À âåäü êâàäðàò ìîäóëÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ÷àñòèöó â îïðåäåëåííîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà. Ýòîò ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé áîëüøåãî ÷èñëà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, îïèñûâàþùåãî ïîâåäåíèå ñðàçó âñåõ ýëåêòðîíîâ è àòîìíûõ ÿäåð â òâåðäîì òåëå, íåâîçìîæíî áåç ðÿäà óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèé. Îáû÷íî ðåøàþò çàäà÷ó î äâèæåíèè îäíîãî ýëåêòðîíà â «óñðåäíåííîì» ïîëå 7 àòîìíûõ ÿäåð è âñåõ îñòàëüíûõ ýëåêòðîíîâ. Ðåøåíèÿ òàêîãî óïðîùåííîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò íàáîð êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà. Êàæäîå èç íèõ õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì ýíåðãèè è íåêîòîðûìè äðóãèìè êâàíòîâûìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè, åå ñèììåòðèåé. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî êâàíòîâûå ïàðàìåòðû â òâåðäîì òåëå íå ñâÿçàíû ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè â àòîìå âîäîðîäà. Ïîñëåäíèå õàðàêòåðíû èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé çàäà÷è. Äëÿ ïðîñòåéøèõ çàäà÷ î äâèæåíèè ýëåêòðîíà ïðèâåäåì ëèøü ðåøåíèÿ êîîðäèíàòíîãî (ñòàöèîíàðíîãî) óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ìàññà ýëåêòðîíà áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ m, e — àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà åãî çàðÿäà. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ âäîëü îñè õ â îáëàñòè, ãäå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïîñòîÿííà: U(x) = U. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä h 2 ∂ 2ϕ (1.11) + U ϕ = Eϕ . 2 m ∂x 2 Îáùåå (ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (1.3) èìååò âèä − Ψ = B exp i (kx − ω t ) + C exp i (−kx − ωt ) , (1.12) òî åñòü çàâèñèìîñòü îò êîîðäèíàòû x ñòàíîâèòñÿ ñóììîé ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàþùåé è óáûâàþùåé ôóíêöèé. Ïîñòîÿííûå F è G îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé çàäà÷è. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (1.12) è (1.13), ìîæíî ðåøàòü çàäà÷è îá îòðàæåíèè ÷àñòèöû, ïàäàþùåé íà ïðÿìîóãîëüíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð. Äëÿ ýòîãî ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå ëèøü äëÿ ñâîåé îòäåëüíîé îáëàñòè, íóæíî ïðàâèëüíî «ñøèòü» íà ãðàíèöå îáëàñòåé ñ ðàçíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, ò.å. ïîäîáðàòü «ïðàâèëüíûå» ïàðàìåòðû B, C, F, G â îáùèõ ðåøåíèÿõ. Ïðè «ñøèâêå» òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü íåïðåðûâíîñòü êàê ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ, òàê è åå ïðîèçâîäíîé ïî êîîðäèíàòå. Ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ïðèõîäèòñÿ «ñøèâàòü» âûøåïðèâåäåííûå ðåøåíèÿ óæå íà äâóõ ãðàíèöàõ. Èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ è åå ïðîèçâîäíîé, íàõîäÿòñÿ ðàçðåøåííûå ñîñòîÿíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîé ÿìå è âèä ñàìîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Åñëè ÿìó ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé, òî âíå ÿìû è íà åå êðàÿõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ. Íà øèðèíå ÿìû L óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëîâèíîê ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû âîëíû äå Áðîéëÿ, òàê ÷òî πx ϕ n = B sin n , L ãäå k = 2 m ( E − U ) h , a ïîñòîÿííûå B è C îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé çàäà÷è. Åñëè E > U, òî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âäîëü îñè õ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×àñòîòû âîëí îäèíàêîâû. Äëèíà âîëíû λ = 2π/k = 2πh/p — òà æå, ÷òî áûëà ïðåäñêàçàíà äå Áðîéëåì äëÿ ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p. Åñëè E < U, òî êîðåíü â ïàðàìåòðå k ñòàíîâèòñÿ ìíèìîé âåëè÷èíîé. Âìåñòî íåãî óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòð æ= ik .  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà áóäåò èìåòü âèä (1.13) ϕ = F exp [æx ]+ G exp [−æx ], çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ ìåñòîíàõîæäåíèå ÿìû 0 ≤ x ≤ L . Äëÿ öåëûõ ÷èñåë n = 1, 2, 3, ... ïîëó÷àåòñÿ äèñêðåòíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè π 2 h2 En = n 2 . (1.15) 2mL2 Ýíåðãèÿ óæå íå ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå. Ðàçðåøåíû òîëüêî âïîëíå îïðåäåëåííûå äèñêðåòíûå ñîñòîÿíèÿ. Äèñêðåòíûå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ïîÿâëÿþòñÿ âñÿêèé ðàç, êîãäà äâèæåíèå ýëåêòðîíà îãðàíè÷åíî êàêîé-òî îáëàñòüþ ïðîñòðàíñòâà. 8 9 (1.14) Ïðè ðàññìîòðåíèè ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà ïðÿìîóãîëüíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð êîíå÷íîé øèðèíû êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ïðåäñêàçûâàåò íåèçâåñòíûé â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ýôôåêò — ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû ñêâîçü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, äàæå åñëè ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìåíüøå âûñîòû ýòîãî áàðüåðà. Ðàñ÷åò ïðîçðà÷íîñòè ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, òî åñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ïàäàþùóþ íà áàðüåð ÷àñòèöó çà áàðüåðîì, äåëàåòñÿ ïî òîé æå ñõåìå — «ñøèâàþòñÿ» íà äâóõ ãðàíèöàõ áàðüåðà èçâåñòíûå îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ òðåõ îáëàñòåé ïðîñòðàíñòâà — ïðåäáàðüåðíîé, âíóòðèáàðüåðíîé è çàáàðüåðíîé. Èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé íà äâóõ ãðàíèöàõ íàõîäÿòñÿ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ÷àñòèöû îò áàðüåðà è êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà D.  êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà D åñòåñòâåííî âçÿòü îòíîøåíèå — âî ñêîëüêî ðàç âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ÷àñòèöó çà áàðüåðîì ìåíüøå âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü åå ïåðåä áàðüåðîì â ïàäàþùåé íà áàðüåð âîëíå. Ýòî îòíîøåíèå áóäåò ïðîñòî ðàâíî êâàäðàòó ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, îêàçàâøåéñÿ çà áàðüåðîì, åñëè àìïëèòóäó âîëíû, ïàäàþùåé íà áàðüåð, ïðèíÿòü çà åäèíèöó. Ïðîñòîé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, êàê êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà çàâèñèò îò ýíåðãèè ïàäàþùåé ÷àñòèöû E , âûñîòû áàðüåðà U è åãî øèðèíû L: −1 2 L sh h 2 m(U − E) . D ( E ) = 1 + E E 4 1 − U U (1.16) Ïðîçðà÷íîñòü áàðüåðà D ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ñ ðîñòîì øèðèíû áàðüåðà L (â ñëó÷àå ìàëîãî êîýôôèöèåíòà ïðîçðà÷íîñòè). Òàêàÿ çàâèñèìîñòü ñïðàâåäëèâà è äëÿ áàðüåðîâ áîëåå ñëîæíîé ôîðìû. Ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ â òâåðäîì òåëå ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå óïðîùàþùèå 10 ïðèáëèæåíèÿ.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå âñå òâåðäîå òåëî ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê èìåþùàÿ òå æå ðàçìåðû òðåõìåðíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà ñ ãëàäêèì äíîì (òàê íàçûâàåìàÿ ìîäåëü Çîììåðôåëüäà). Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, ïîêîÿùåãîñÿ íà äíå òàêîé ÿìû, ìåíüøå, ÷åì ýíåðãèÿ âàêóóìà — ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, ïîêîÿùåãîñÿ ó ïîâåðõíîñòè òåëà ñíàðóæè. Ãëóáèíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû U îïðåäåëÿåòñÿ óñðåäíåííûì ïîëåì ïîëîæèòåëüíûõ èîíîâ ðåø¸òêè è âñåõ ýëåêòðîíîâ. Òàê êàê âñå ýëåêòðîíû ñ÷èòàþòñÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèìè, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ ñâåäåòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ îäíîãî ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ â ýòîì óñðåäíåííîì ïîëå. Íî íàéäåííûå ðåøåíèÿ, «ðàçðåøåííûå êâàíòîâîé ìåõàíèêîé» ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, îòíîñÿòñÿ êî âñåé ñèñòåìå ýëåêòðîíîâ. È åñëè îäíî êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå çàíÿòî ýëåêòðîíîì, òî â äðóãîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ìîæåò íàõîäèòüñÿ äðóãîé ýëåêòðîí è ò.ä.  êàæäîì ñîñòîÿíèè íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ áîëåå îäíîãî ýëåêòðîíà. Ýòîò çàïðåò — ïðèíöèï Ïàóëè — â êâàíòîâîé ìåõàíèêå äåéñòâóåò äëÿ âñåõ ÷àñòèö ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì (íàçûâàåìûõ ôåðìèîíàìè) è íå äåéñòâóåò äëÿ ÷àñòèö ñ íóëåâûì èëè öåëûì ñïèíîì (íàçûâàåìûõ áîçîíàìè). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî çäåñü ñîñòîÿíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé, íî îòëè÷àþùèåñÿ ëèøü îðèåíòàöèåé ñïèíà, ñ÷èòàþòñÿ ðàçíûìè ñîñòîÿíèÿìè. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ òâåðäîãî òåëà ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, íàõîäÿùåãîñÿ â îãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå îáúåìà òâåðäîãî òåëà, ïîõîæè íà ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà, íî èìåþò ëèøü äèñêðåòíûé íàáîð ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòîðà è êîìïîíåíò èìïóëüñà. Åñëè îáîçíà÷èòü ðàçìåðû òâåðäîãî òåëà êàê Lx, Ly, Lz, òî êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà, íàõîäÿùåãîñÿ â ýòîì îáúåìå, òàêîâû, ÷òî ðàçðåøåíû òîëüêî âîëíîâûå âåêòîðà k ñ êîìïîíåíòàìè 11 2π n y 2π nx 2π nz (1.17) , ky = , kz = , Lx Ly Lz ãäå nx, ny, nz — öåëûå ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Èç âçàèìîñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòîé âîëíîâîãî âåêòîðà kx kx = è ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòîé èìïóëüñà px = hkx ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå íåîïðåäåëåííîñòè â êîîðäèíàòå ïî îñè õ ýëåêòðîíà (ãäå-òî âíóòðè èíòåðâàëà äëèíîé Lx) íà ðàçëè÷èå â èìïóëüñå ó äâóõ áëèæàéøèõ ê äðóã äðóãó êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â òâåðäîì òåëå (∆px = 2πh/Lx) ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà ∆px ∆x ≥ h, à èìåííî: Lx (2πh/Lx) = 2πh = h. Åñëè ýëåêòðîí ëîêàëèçîâàí â îáúåìå V = Lx Ly Lz, òî â ïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ [px, py, pz] ÿ÷åéêå èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà îáúåìîì h3/(Lx Ly Lz) áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü äâà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òåì, ÷òî ñïèíû ýëåêòðîíà â íèõ ïðîòèâîïîëîæíî îðèåíòèðîâàíû. Ïðîñòðàíñòâî èìïóëüñîâ ýëåêòðîíà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàçáèòî íà ýòè ýëåìåíòàðíûå ÿ÷åéêè, îïðåäåëÿþùèå ðàçðåøåííûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. Òàê êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ïî-ïðåæíåìó ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì ñîîòíîøåíèåì E = p2/2m, òî ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïî øêàëå ýíåðãèè áóäåò íå ðàâíîìåðíûì, à âîçðàñòàþùèì. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ðàçðåøåííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ÷üÿ ýíåðãèÿ ëåæèò â èíòåðâàëå (Å; Å + dÅ), îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì 3 2m 21 dS = V 4π (1.18) EdE = 6,81 ⋅10 V EdE , h ãäå V — îáúåì êðèñòàëëà â ñì3, à E — ýíåðãèÿ â ýÂ. Âíåñèñòåìíàÿ åäèíèöà ýíåðãèè 1 ý = 1,60219·10–19 Äæ — ýíåðãèÿ, êîòîðóþ ïðèîáðåòàåò ýëåêòðîí, ïðîéäÿ óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ 1 âîëüò. 12 Ôóíêöèÿ s ( E ) = 4π ( 2 m h) 3 E íàçûâàåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ ÷èñëà ñîñòîÿíèé. Ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî âû÷èñëÿòü ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî øêàëå ýíåðãèè ïðè ðàçíûõ òåìïåðàòóðàõ. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå ýëåêòðîíû â ñèñòåìå çàíèìàþò ñàìûå íèæíèå ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ìîæíî çàïîëíèòü íå íàðóøàÿ ïðèíöèïà Ïàóëè.  ïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ ýòè ñîñòîÿíèÿ áóäóò ëåæàòü âíóòðè ñôåðû. Öåíòð ñôåðû ðàñïîëîæåí â òî÷êå ñ íóëåâûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà. Íî ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíÿì (ãðóïïàì êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé) ìåíÿåòñÿ. Çàêîíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè óñòàíàâëèâàåò ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Êâàíòîâàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà äîêàçûâàåò, ÷òî â ñèñòåìå, íàõîäÿùåéñÿ â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè ñ òåìïåðàòóðîé Ò, âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ îäíèì è òåì æå çíà÷åíèåì ýíåðãèè Å çàïîëíåíû ýëåêòðîíàìè îäèíàêîâî. Ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â îäíîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè çàâèñèò îò ýíåðãèè êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ, òåìïåðàòóðû è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, íàïðèìåð, ñêîëüêî â ñèñòåìå ýëåêòðîíîâ è êàê ðàñïîëîæåíû ïî øêàëå ýíåðãèè êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ôåðìè–Äèðàêà: −1 E−µ n( E ) = exp + 1 . kT (1.19) Çäåñü Ò — àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà; k = 1,38·10-23 Äæ/Ê = = (11600)–1 ýÂ/Ê — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà; ; µ — íåêèé íîðìèðîâî÷íûé ïàðàìåòð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè è íàçûâàåìûé õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì (ýëåêòðîõèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì, óðîâíåì Ôåðìè, ýíåðãèåé Ôåðìè). 13  ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðîâåíü Ôåðìè îáëàäàåò âàæíûì ñâîéñòâîì. Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè è ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïîäñèñòåì, òî âñå óðîâíè Ôåðìè, âû÷èñëåííûå äëÿ êàæäîé ïîäñèñòåìû, äîëæíû ñîâïàäàòü. Åñëè æå ñèñòåìà ñîñòîèò èç ýëåêòðîíîâ, îáëàäàþùèõ îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì –e, è ïðè ýòîì ìåæäó äâóìÿ ïîäñèñòåìàìè (òåëàìè) ïðèëîæåíî âíåøíåå íàïðÿæåíèå V, òî óðîâåíü Ôåðìè òåëà, ñâÿçàííîãî ñ ïëþñîì èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ, ïîíèæàåòñÿ, à äðóãîãî òåëà — ïîâûøàåòñÿ. Ïðè ýòîì óðîâíè Ôåðìè ïåðâîãî è âòîðîãî òåëà îòëè÷àþòñÿ íà âåëè÷èíó eV. Çíàÿ êîëè÷åñòâî ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà òåëà è ýíåðãåòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ÷èñëà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µ0 â ìåòàëëàõ ïðè T → 0: Ðèñ. 1.1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè–Äèðàêà ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ Óðîâåíü Ôåðìè ñàì çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, îò êîëè÷åñòâà ýëåêòðîíîâ â íåé. Îí ìîæåò áûòü íàéäåí èç óñëîâèÿ, ÷òî ñóììà ïî âñåì êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì çíà÷åíèé ñðåäíåãî ÷èñëà ýëåêòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ â êàæäîì èç íèõ, äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ïîëíîìó ÷èñëó ýëåêòðîíîâ â ñèñòåìå. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè–Äèðàêà, ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â ëþáîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè íå ïðåâûøàåò åäèíèöû.  ìåòàëëå ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, ýëåêòðîíû çàïîëíÿþò âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé âïëîòü äî óðîâíÿ µ0, íàçûâàåìîãî íóëåâûì óðîâíåì Ôåðìè. Âñå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé âûøå óðîâíÿ µ0 ñâîáîäíû îò ýëåêòðîíîâ. Ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìè–Äèðàêà ïðèîáðåòàåò âèä ñòóïåíüêè. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî íóëåâîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ ýíåðãåòè÷åñêèì ñîñòîÿíèåì, êîòîðîå çàïîëíåíî ëèøü ÷àñòè÷íî. Åñëè òàêîãî ñîñòîÿíèÿ íåò, òî íóëåâîé óðîâåíü Ôåðìè ëåæèò ñòðîãî ïîñåðåäèíå ìåæäó ïîñëåäíèì çàïîëíåííûì ýíåðãåòè÷åñêèì óðîâíåì è ïåðâûì ïóñòûì óðîâíåì. 14 2 2 h 2 3n 3 −14 3 µ0 = = 0,360 ⋅ 10 n , 2m 8π (1.20) çäåñü m — ìàññà ýëåêòðîíà, m = 9,11·10–28 ã, n — êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â ñì–3: N ρ (1.21) n=z A , M ãäå z — ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîì; NA — ÷èñëî Àâîãàäðî, NA = 6,02·1023 ìîëü–1; ρ — ïëîòíîñòü ìåòàëëà, M — ìàññà ãðàìì-àòîìà ìåòàëëà. 2 2 h2 3 N A ρ 3 ρ 3 (1.22) z µ0 = = 26 ýÂ, 2m 8π M M åñëè ρ / M âûðàæåíî â ñì–3, à z ñ÷èòàòü ðàâíûì åäèíèöå.  ïîòåíöèàëüíîì ÿùèêå ñ ãëàäêèì äíîì çàâèñèìîñòü ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè îò ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòîðà En(kn) îêàçûâàåòñÿ òî÷êàìè íà ïàðàáîëè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòî- 15 ðà E = p2 / 2m = (hk)2 /2m äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â ïóñòîì ïðîñòðàíñòâå. Ìîäåëü Çîììåðôåëüäà ìîæíî óòî÷íèòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïåðèîäè÷íîñòü â êðèñòàëëå ïîëÿ àòîìíûõ ÿäåð.  ðåçóëüòàòå íà ãðàôèêå êâàçèíåïðåðûâíûõ ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè En(kn) ïîÿâÿòñÿ ðàçðûâû äëÿ òåõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò âîëíîâîãî âåêòîðà, êîòîðûå áûëè êðàòíû π / a, ãäå a — ïåðèîä êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.  ýíåðãåòè÷åñêîì ñïåêòðå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïîÿâèëèñü çîíû ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèé è çàïðåùåííûå çîíû, â êîòîðûõ íåò ðàçðåøåííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.  çîíàõ ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè âáëèçè êðàÿ çîíû çàâèñèìîñòü ïðèðàùåíèÿ çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îò ïðèðàùåíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé, ïîõîæåé íà E = p2 / 2m = (hk)2 /2m, íî âìåñòî ìàññû ýëåêòðîíà m â íåé ñòîèò äðóãîé ïàðàìåòð — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê çàïîëíåíû çîíû ïðè òåìïåðàòóðå, áëèçêîé ê àáñîëþòíîìó íóëþ, òâåðäûå òåëà äåëÿòñÿ íà ìåòàëëû, ïîëóïðîâîäíèêè è äèýëåêòðèêè. Åñëè ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïåðàòóðû èìååòñÿ çîíà, çàïîëíåííàÿ ýëåêòðîíàìè ëèøü ÷àñòè÷íî, òî îíà íàçûâàåòñÿ çîíîé ïðîâîäèìîñòè, à òàêîå òâåðäîå òåëî ÿâëÿåòñÿ ìåòàëëîì. Åñëè ïîñëåäíÿÿ (â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýíåðãèè) çîíà çàïîëíåíà ïîëíîñòüþ, òî îíà íàçûâàåòñÿ âàëåíòíîé, à ñëåäóþùàÿ ïóñòàÿ — çîíîé ïðîâîäèìîñòè. Òàêèå ìàòåðèàëû ÿâëÿþòñÿ ïîëóïðîâîäíèêàìè è äèýëåêòðèêàìè. Ðàçëè÷èå ìåæäó íèìè äîâîëüíî óñëîâíî. Ïîëóïðîâîäíèêàìè ñ÷èòàþòñÿ ìàòåðèàëû, ó êîòîðûõ øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû íå ïðåâûøàåò 2 ýÂ. Äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøèõ ðàçäåëîâ ïîñîáèÿ ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî âûñîòà ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà íà ãðàíèöå òâåðäîå òåëî–âàêóóì çàâèñèò îò ïðèëîæåííîé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Èç ýëåêòðîñòàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîí, íàõîäÿùèéñÿ âáëèçè ìåòàëëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ íóëåâûì ïîòåíöèàëîì, ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàáîòà ýòèõ ñèë ïî ïåðåíîñó ýëåêòðîíà èç áåñêîíå÷íîñòè ðàâíà U = e2/4x (ÑÃÑÝ), ãäå x — ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåêòðîíîì è ïîâåðõíîñòüþ òåëà. Òàê êàê ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð îáðàçóåòñÿ çà ñ÷åò ðàáîòû ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ, òî ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð ïðèíèìàåò çàêðóãëåííóþ ôîðìó (ðèñ. 1.2à). Ïðèëîæåííîå ê ïîâåðõíîñòè òÿíóùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ ε «íàêëîíÿåò» ãîðèçîíòàëüíóþ ñòóïåíüêó ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà; ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìíîì ïðîìåæóòêå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé U = –e ε x (ðèñ. 1.2á). Îäíîâðåìåííûé ó÷åò ýòèõ ýôôåêòîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð íà ãðàíèöå ïîíèæàåòñÿ íà âåëè÷èíó ∆ϕ = e eε (ÑÃÑÝ). Ýòî ïîíèæåíèå íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Øîòòêè è íàèáîëåå çàìåòíî â ÿâëåíèÿõ òåðìîýìèññèè è àâòîýìèññèè ýëåêòðîíîâ. Åñëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ε âûðàçèòü â Â/ñì, à ïîíèæåíèå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà â ýÂ, òî ∆ϕ = 3,8 ⋅ 10 −4 ε . (1.23) 16 17 Ðåøåíèå ïðèâåäåííûõ íèæå çàäà÷ îñíîâàíî íà ñëåäóþùèõ ðàáî÷èõ ôîðìóëàõ. Çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µT â ìåòàëëå ïðè òåìïåðàòóðå T, îòëè÷íîé îò íóëÿ, ïðèáëèæåííî ñâÿçàíî ñî çíà÷åíèåì óðîâíÿ Ôåðìè äëÿ íóëåâîé òåìïåðàòóðû ñëåäóþùèì îáðàçîì: π 2 kT 2 µT ; µ 0 1 − . 12 µ 0 (1.24) Èíîãäà óäîáíî ââåñòè íîâûé ïàðàìåòð — òåìïåðàòóðó âûðîæäåíèÿ µ µ (1.25) T0 = ; 0 . k k ÇÀÄÀ×È Çàäà÷à 1.1. Íà ïðÿìîóãîëüíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ñòóïåíüêó áåcêîíå÷íîé ïðîòÿæåííîñòè è âûñîòîé, ðàâíîé 2 ýÂ, íàëåòàåò ýëåêòðîí ñ ýíåðãèåé 3 ýÂ. ×åìó ðàâåí êîýôôèöèåíò íàäáàðüåðíîãî îòðàæåíèÿ? Ðåøåíèå çàäà÷è 1.1. Òàê êàê ýíåðãèÿ ÷àñòèöû áîëüøå âûñîòû áàðüåðà, òî â îáåèõ ÷àñòÿõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåãóùèõ âîëí. Àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîé åäèíèöå. Íàä áàðüåðîì âîëíà áåæèò òîëüêî âïðàâî. Ψ1 = exp i (k1 x − ω t ) + C exp i (− k 1x − ωt ) , Ðèñ. 1.2 à) èçìåíåíèå ôîðìû ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (çàêðóãëåíèå), âûçâàííîå ñèëàìè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ; á) èçìåíåíèå ôîðìû ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (íàêëîí ñòóïåíüêè), âûçâàííîå âíåøíèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì; â) ïîíèæåíèå âûñîòû ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ è âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (ýôôåêò Øîòòêè) Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëå ñîñòàâëÿåò 3 E = µ0 . (1.26) 5 Êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà (ýëåêòðîíîâ è äûðîê) â íåâûðîæäåííîì ïîëóïðîâîäíèêå â ñëó÷àå ðàâåíñòâà ýôôåêòèâíûõ ìàññ ýëåêòðîíîâ è äûðîê ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé 3 2π mkT E0 n = 2 (1.27) exp − , h 2kT ãäå m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà, Å0 — øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû â ïîëóïðîâîäíèêå. 18 Ψ 2 = D exp i (k 2 x − ω t ) . Èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ è åå ïðîèçâîäíîé ïîëó÷èì 1 + C = D, k1 (1 − C ) = k 2 D , k1 = 2mE , h C= k2 = k1 − k 2 k1 + k 2 = 2m ( E − U ) , h 3 −1 3 +1 . 2 3 − 1 . Îòâåò: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R = C = 3 + 1 2 Çàäà÷à 1.2. Íà ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó áåcêîíå÷íîé ïðîòÿæåííîñòè ñ ïðÿìîóãîëüíûì êðàåì ãëóáèíîé, ðàâíîé 2 ýÂ, íàëåòàåò ýëåêòðîí ñ ýíåðãèåé 3 ýÂ. ×åìó ðàâåí êîýôôèöèåíò íàäáàðüåðíîãî îòðàæåíèÿ? 19 Ðåøåíèå çàäà÷è 1.2.  îáåèõ ÷àñòÿõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåãóùèõ âîëí. Àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîé åäèíèöå. Íàä ÿìîé âîëíà áåæèò òîëüêî âïðàâî. Ψ1 = exp i (k1 x − ω t ) + C exp i (− k 1x − ωt ) , Ψ 2 = D exp i (k 2 x − ω t ) . Óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ è åå ïðîèçâîäíîé: 1 + C = D, k1 (1 − C ) = k 2 D , k1 = 2m ( E + U ) 2mE , k2 = , h h C= k1 − k 2 k1 + k 2 = 3 − 5 3+ 5 2 Çàäà÷à 1.3.  íåêîòîðîé ñèñòåìå ïðè òåìïåðàòóðå T = 2520 Ê â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé 5 ý ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ n = 0,0909. Íàéòè ýíåðãèþ Ôåðìè. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.3. −1 E−µ 11600(5 − µ ) n( E ) = exp + 1 = exp +1 = 0,0909, 2520 kT 5 − µ = 2, µ = 3 ýÂ. 20 −1 11 600 (5,64148 − µ ) n(5,64148) = exp +1 T −1 = 0,2, =0,8, 5,64148 − µ 1,3863 =− , 11 600 T 6,35852 − µ = − 1, 12 − 2 µ = 0, 5,64148 − µ . 3 − 5 Îòâåò: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R = C = . 3 + 5 Îòâåò: µ = 3 ýÂ. 11 600 (6,35852 − µ ) n(6,35852) = exp +1 T 6,35852 − µ 1,3863 = , 11 600 T 2 −1 Çàäà÷à 1.4. Èçâåñòíî, ÷òî â ñèñòåìå ïðè òåìïåðàòóðå Ò â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé 6,35852 ý ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ n = 0,2, à â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé 5,64148 ý ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ n = 0,8. Íàéòè òåìïåðàòóðó Ò è óðîâåíü Ôåðìè. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.4. µ = 6 ýÂ, T = 3000 K Îòâåò: µ = 6 ýÂ, Ò = 3 000 Ê. Çàäà÷à 1.5.  äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ N ýëåêòðîíîâ ïðè òåìïåðàòóðå Ò. Ýíåðãèÿ íèæíåãî óðîâíÿ Å1, ýíåðãèÿ âåðõíåãî óðîâíÿ Å2. Êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé íà íèæíåì óðîâíå N, íà âåðõíåì óðîâíå Ng. Ñêîëüêî ýëåêòðîíîâ íàõîäèòñÿ íà íèæíåì è ñêîëüêî íà âåðõíåì óðîâíå ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ, è ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè? Âû÷èñëèòü íåíóëåâóþ òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2. Ðàññ÷èòàòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü óðîâíÿ Ôåðìè îò òåìïåðàòóðû. Íàéòè ïðåäåëû, ê êîòîðûì ñòðåìèòñÿ óðîâåíü Ôåðìè ïðè Ò, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ, è ïðè Ò, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. 21 Ðåøåíèå çàäà÷è 1.5. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå ýëåêòðîíû ðàñïîëîæåíû íà íèæíåì óðîâíå. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êàæäîå ñîñòîÿíèå çàïîëíåíî ýëåêòðîíîì â îäèíàêîâîé ñòåïåíè, à èìåííî: N 1 . = N + Ng 1 + g N Ïîýòîìó íà íèæíåì óðîâíå áóäåò ýëåêòðîíîâ; íà 1+ g Ng . âåðõíåì — 1+ g N Ng + = N, E −µ E2 − µ + 1 + exp 1 1 exp kT kT E E µ a = exp 1 , b = exp 2 , c = exp , kT kT kT c ñg + = 1, c+a c+b − gc 2 + (1 − g )ac + ab = 0, (1 − g )a + (1 − g ) a 2 + 4abg 2 c (g , T ) = 2g , µ ( g , T ) = kT ln c (g , T ). Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâîé òåìïåðàòóðû Ò2, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2, òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíî èç äâóõ óðàâíåíèé: 1 + 2 g g 1 = 1 èëè + = 1. E − E1 E − E2 2 1 + exp 2 1 + exp 1 kT2 kT2 Îòâåò: àíàëèç ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè T → 0 óðîâåíü 22 Ôåðìè ðàñïîëîæåí ïîñåðåäèíå ìåæäó óðîâíÿìè Å1 è Å2. Ïðè T → ∞ è ïðè g ≠ 1 óðîâåíü Ôåðìè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû: µ ≈ –kT ln (g). Çàäà÷à 1.6.  äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ N ýëåêòðîíîâ ïðè òåìïåðàòóðå Ò. Ýíåðãèÿ íèæíåãî óðîâíÿ Å1, ýíåðãèÿ âåðõíåãî óðîâíÿ Å2. Êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé íà íèæíåì óðîâíå Ng, íà âåðõíåì óðîâíå N. Ñêîëüêî ýëåêòðîíîâ íàõîäèòñÿ íà íèæíåì è ñêîëüêî íà âåðõíåì óðîâíå ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ, è ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè? Âû÷èñëèòü íåíóëåâóþ òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2. Ðàññ÷èòàòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü óðîâíÿ Ôåðìè îò òåìïåðàòóðû. Íàéòè ïðåäåëû, ê êîòîðûì ñòðåìèòñÿ óðîâåíü Ôåðìè ïðè Ò, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ è áåñêîíå÷íîñòè. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.6. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå ýëåêòðîíû ðàñïîëîæåíû íà íèæíåì óðîâíå, åñëè g > 1. Åñëè g < 1 , òî âñå ñîñòîÿíèÿ íà íèæíåì óðîâíå ïîëíîñòüþ çàïîëíåíû, à íà âåðõíåì óðîâíå áóäóò ðàñïîëîæåíû îñòàëüíûå N (1 – g ) ýëåêòðîíîâ. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êàæäîå ñîñòîÿíèå çàïîëíåíî ýëåêòðîíîì â îäèíàêîâîé ñòåïåíè, à èìåííî: N 1 . = N + Ng 1 + g Ïîýòîìó íà íèæíåì óðîâíå áóäåò Ng (1 + g ) ýëåêòðîíîâ; íà âåðõíåì — N (1 + g ). N Ng + = N, E −µ E2 − µ + 1 + exp 1 1 exp kT kT 23 E E µ a = exp 1 , b = exp 2 , c = exp , kT kT kT cg ñ + = 1, c+a c+b gc (b + c ) + c (a + c ) = (a + ñ)( b + c), − gc 2 + (1 − g )bc + ab = 0, d = (1 − g )a , c (g , T ) = d+ d 2 + 4abg , 2g µ ( g , T ) = kT ln c (g , T ). Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâîé òåìïåðàòóðû Ò2, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2, òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíî èç äâóõ óðàâíåíèé: g + 2 1 =1 E2 − E1 1 + exp kT2 èëè g 1 + = 1. E − E2 2 1 + exp 1 kT2 Îòâåò: àíàëèç ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî, åñëè T → 0, òî ïðè g > 1, óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ íèæíèì óðîâíåì Å1, à ïðè g < 1 óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ âåðõíèì óðîâíåì Å2. Ïðè T → ∞ è g ≠ 1 óðîâåíü Ôåðìè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû:µ ≈ –kT ln (g). 24 Çàäà÷à 1.7.  äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ N (1 + 2 δ ) ýëåêòðîíîâ ïðè òåìïåðàòóðå Ò. Ýíåðãèÿ íèæíåãî óðîâíÿ Å1, ýíåðãèÿ âåðõíåãî óðîâíÿ Å2. Kîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé íà íèæíåì óðîâíå N, íà âåðõíåì óðîâíå N. Ñêîëüêî ýëåêòðîíîâ íàõîäèòñÿ íà íèæíåì óðîâíå è ñêîëüêî íà âåðõíåì ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ, è ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè? Âû÷èñëèòü íåíóëåâóþ òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2. Ðàññ÷èòàòü è íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü óðîâíÿ Ôåðìè îò òåìïåðàòóðû. Íàéòè ïðåäåëû, ê êîòîðûì ñòðåìèòñÿ óðîâåíü Ôåðìè ïðè T → 0 è T → ∞ . Ðåøåíèå çàäà÷è 1.7. Åñëè δ < 0, òî ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê àáñîëþòíîìó íóëþ, âñå ýëåêòðîíû ðàñïîëîæåíû íà íèæíåì óðîâíå. Åñëè δ > 0, òî íà íèæíåì óðîâíå áóäóò çàíÿòû ýëåêòðîíàìè âñå N ñîñòîÿíèé, à íà âåðõíåì óðîâíå áóäóò ðàñïîëîæåíû îñòàëüíûå N·2δ ýëåêòðîíîâ. Ïðè òåìïåðàòóðå, ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êàæäîå ñîñòîÿíèå çàïîëíåíî ýëåêòðîíîì â îäèíàêîâîé ñòåïåíè: N (1 + 2 δ ) 1 + 2 δ = . 2N 2 Ïîýòîìó è íà íèæíåì óðîâíå, è íà âåðõíåì áóäåò N (1 + 2 δ ) ýëåêòðîíîâ. 2 N N + = N (1 + 2 δ ), E1 − µ E2 − µ 1 + exp 1 + exp kT kT E a = exp 1 kT E2 µ , b = exp , c = exp , kT kT c ñ + = 1+ 2 δ , c+a c+b 25 c(b + c) + c(a + c) = (a + ñ)(b + c) (1 + 2 δ ), Ðåøåíèå çàäà÷è 1.8. π 2 kT 2 µÒ = µ 0 1 − , 12 µ 0 (1 − 2δ )c 2 − 2δ (a + b )c − (1 + 2δ ) ab = 0, δ (a + b ) + δ 2 (a + b ) + (1− 4δ 2 )ab 2 c (δ ,T ) = (1 − 2δ ) µ (δ , T ) = kT ln c (δ , , T ). Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåíóëåâîé òåìïåðàòóðû Ò2, ïðè êîòîðîé óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç óðîâíåé Å1 èëè Å2, òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíî èç äâóõ óðàâíåíèé: 1 + 2 1 = 1 + 2δ èëè E2 − E1 1 + exp kT2 1 1 + = 1 + 2δ . E − E2 2 1 + exp 1 kT2 Îòâåò: àíàëèç ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè T → 0, òî ïðè δ < 0 óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ íèæíèì óðîâíåì Å1; à ïðè δ > 0 óðîâåíü Ôåðìè ñîâïàäàåò ñ âåðõíèì óðîâíåì Å2. Ïðè T → ∞ è δ ≠ 0 óðîâåíü Ôåðìè ëèíåéíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû: 1 + 2δ µ ≈ kT ln . 1 − 2δ 2 2 ρ 3 10,2 3 µ 0 = 26,07 = 26,07 = 26,07 ⋅0,2243 ;5,85 ýÂ, M 96 2 (3,14 )2 20 µÒ = 5,85 1 − ; 5,846 ýÂ. 12 5,85 ⋅116 Îòâåò: µT = 5,846 ýÂ. Çàäà÷à 1.9. Îöåíèòå n (E) — ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé E = 7,0 ý ïðè T = 3 000 K â çîíå ïðîâîäèìîñòè êðèñòàëëà âîëüôðàìà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü êðèñòàëëà ρ = 19,3 ã/ñì3, àòîìíûé âåñ M = 184, ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîì z = 1, m/m0 = 1, ãäå m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè, à m0 = 9,1·10–28 ã — ìàññà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.9. E−µ n (E ) = exp + 1 kT 2 Çàäà÷à 1.8. Îöåíèòå çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µΤ äëÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå ìîëèáäåíà ïðè T = 2 000 K, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü êðèñòàëëà ρ = 10,2 ã/ñì3, àòîìíûé âåñ M = 96, ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîì z = 1, ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè ðàâíà ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå 9,1·10–28 ã. 26 −1 , 2 2 ρ 3 19,3 3 µ 0 = 26,07 = 26,07 = 26,07 (0,105 )3 = 5,8 ýÂ, M 184 −1 −1 116(7,00 − 5,8) −3 n (E ) ≅ exp + 1 ≅ (104,54 ) = 9,66 ⋅10 , 30 n (E ) = 9,66 ⋅10 −3. Îòâåò: 9,66·10–3. 27 Çàäà÷à 1.10. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðîé ìîæåò îáëàäàòü ýëåêòðîí, äâèæóùèéñÿ â ìåòàëëå ïðè T → 0 K, åñëè êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â ðàññìàòðèâàåìîì ìåòàëëå 1023 ñì–3. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.10. (6,626 ⋅10 −27 ) 3 ⋅10 23 3 h 2 3n 3 = µ0 = = 2m 8π 2 ⋅ 9,11 ⋅10 −28 ⋅1,602 ⋅10 −12 8 ⋅3,142 2 2 2 43,9 ⋅10 −54 ⋅ 5,22 ⋅1014 = 7,85 ýÂ. 29,19 ⋅10 −40 Îòâåò: 7,85 ýÂ. = Çàäà÷à 1.11. Îïðåäåëèòü êîíöåíòðàöèþ «ñâîáîäíûõ» ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïëîòíîñòè òîêà ïðîâîäèìîñòè ρ = 5 À/ñì2 ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñîñòàâëÿåò 0,05 ñì/ñ. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.11. j = neVcp , j 5 n= = = 6,24 ⋅ 10 20. eVcp 1,602 ⋅10 −19 ⋅ 0,05 1,5 = 6,35 ⋅10 24. Îòâåò: 6,35·1024. Çàäà÷à 1.13. Îöåíèòå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû âûðîæäåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëàõ âîëüôðàìà è öåçèÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðè T → 0 K êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå âîëüôðàìà nW = 6,35·1022 ñì–3, à â êðèñòàëëå öåçèÿ nCs = 9,0·1021 ñì–3. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.13. h2 µ µ T0 = ; 0 = k k 2mk 2 3n 3 , 8π (6,62 ⋅10 ) 2 −27 2 T0 W 3 ⋅ 6,33 ⋅10 22 3 4 = = 6,7 ⋅ 10 K, 2 ⋅ 9,1 ⋅10 −28 ⋅1,38 ⋅10 −16 8 ⋅ 3,14 (6,62 ⋅10 ) 2 −27 2 T0 Cs = 2 ⋅ 9,1 ⋅10 −28 ⋅1,38 ⋅10 −16 3 ⋅ 9 ⋅10 21 3 4 = 1,88 ⋅ 10 K, 8 ⋅ 3,14 T0 W = 6,7 ⋅ 104 K, T0 Cs = 1,9 ⋅104 K. Îòâåò: T0 W = 6,7·104 K, T0 Cs = 1,9·104 K. Îòâåò: n = 6,24·1020 ñì–3. Çàäà÷à 1.12. Îöåíèòå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå âîëüôðàìà, îáúåì êîòîðîãî ðàâåí 100 ñì3, ïðè T → 0 K, åñëè èçâåñòíî, ÷òî çíà÷åíèå ýíåðãèè Ôåðìè µ = 5,81 ýÂ. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.12. 1,5 n= 8 ⋅ 3,14 5,81 ⋅1,6 ⋅10 −12 ⋅ 2 ⋅9,1 ⋅10 −28 N = 100 2 3 (6,62 ⋅10 −27 ) 8π µ 2 2m , 3 h 28 Çàäà÷à 1.14. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå ñðåäíåé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå õðîìà ïðè T = 0 K, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïëîòíîñòü õðîìà ρ = 7,19 ã/ñì3, àòîìíûé âåñ M = 52, ÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ íà êàæäûé àòîì z = 1, m / m0 = 1, ãäå m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè, m0 = 9,11·10–28 ã — ìàññà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà â âàêóóìå. 29 Ðåøåíèå çàäà÷è 1.14. 3 E = µ0 , 5 2 2 ρ 3 7,19 3 µ 0 = 26,07 = 26,07 = 26,07 ⋅0,2674 = 6,97 ýÂ, M 52 E = 0,6 ⋅ 6,97 = 4,182 ýÂ. Îòâåò: 4,182 ýÂ. Çàäà÷à 1.15. Îöåíèòü çíà÷åíèÿ ýíåðãèè Ôåðìè è êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè ïðè òåìïåðàòóðàõ 300 Ê è 1000 Ê â ñîáñòâåííûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ (êðèñòàëëàõ ãåðìàíèÿ, êðåìíèÿ, àëìàçà), øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû êîòîðûõ ðàâíà 0,74 ýÂ; 1,17 ýÂ; 5,4 ý ñîîòâåòñòâåííî. Ýôôåêòèâíóþ ìàññó ýëåêòðîíîâ è äûðîê ñ÷èòàòü ðàâíûìè ìàññå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà. Ðåøåíèå çàäà÷è 1.15. 2π mkT n = 2 h 3 E0 exp − 2kT 5800 ⋅ E 0 15 1,5 = 4,82 ⋅10 T exp − . T Îòâåò: óðîâåíü Ôåðìè íàõîäèòñÿ ïîñåðåäèíå çàïðåùåííîé çîíû. Êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ (è äûðîê) ïðåäñòàâëåíà â òàáëèöå: Ýëåìåíòû T = 300 K T = 1000 K Ãåðìàíèé 1,53·1013 2,09·1018 Êðåìíèé 3,76·109 1,72·1017 Àëìàç 1,14·10-26 3,81·106 30 31
