Вариант 6401 Система оценивания экзаменационной работы по математике За правильный ответ на задания 1-20 ставится 1 балл. Ответы к заданиям части 1 Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Правильный ответ 0,8 1 4 -2,5 231 18 1,5 3 70 20 1512 3,5 23; 32 2 9 3600 2,5 34; 43 0,75 42,25 Решения и критерии оценивания заданий части 2 Модуль «Алгебра» 21 Сократите дробь 12𝑛 22𝑛−3 ∙3𝑛−1 . Решение. 12𝑛 22𝑛−3 ∙3𝑛−1 22𝑛 ∙3𝑛 = 22𝑛−3 ∙3𝑛−1 = 22𝑛−3 ∙3𝑛−1 = 22𝑛−(2𝑛−3) ∙ 3𝑛−(𝑛−1) = = 23 ∙ 3 = 24. Ответ: 24. (4∙3)𝑛 Вариант 6401 Баллы Критерии оценки выполнения задания 2 Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ 1 Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно 0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 2 Максимальный балл 22 Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 8 км/ч? Решение. Пусть искомое расстояние равно 𝑥 км. Скорость лодки при движении по течению равна 10 км/ч, при движении против течения равна 6 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и 𝑥 𝑥 обратно, равно ( + ) часа. Из условия задачи следует, что это время 10 6 равно 2 часам. Составим уравнение: ( 𝑥 𝑥 + ) = 2. 10 6 Решив уравнение, получим 𝑥 = 7,5. Ответ: 7,5 км. Баллы Критерии оценки выполнения задания 3 Правильно составлено уравнение, получен верный ответ 2 Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 3 Максимальный балл 23 Постройте график функции 𝑦= (𝑥−2)(𝑥2 −5𝑥+4) 𝑥−4 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение. Разложим числитель дроби на множители: Вариант 6401 (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)= (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)(𝑥 − 1) При 𝑥 ≠ 4 функция принимает вид: 𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)=𝑥 2 − 3𝑥 + 2, её график парабола, из которой выколота точка (4; 6). Прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколотая. Вершина параболы (1,5; −0,25). имеет координаты Поэтому 𝑚 = −0,25 или 𝑚 = 6. Ответ: 𝑚 = −0,25, 𝑚 = 6. Баллы Критерии оценки выполнения задания 4 График построен правильно, верно указаны все значения m, при которых прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком ровно одну общую точку 3 График построен правильно, указаны не все верные значения m 0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 4 Максимальный балл Модуль «Геометрия» 24 В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 8, BC = 15. Найдите медиану CM этого треугольника. Решение. CM= 1 2 AB = 1 2 √𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 = 1 = 2 √64 + 225= 8,5. Ответ: 8,5. Баллы Критерии оценки выполнения задания 2 Получен верный обоснованный ответ Вариант 6401 1 0 2 При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу Другие случаи, не соответствующие указанным критериям Максимальный балл 25 В параллелограмме ABCD точка E середина стороны CD. Известно, что EA = EB. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник. Доказательство. Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы BCE и ADE равны. Так как их сумма равна 180, то углы равны 90. Такой параллелограммпрямоугольник. Баллы 3 2 0 3 Критерии оценки выполнения задания Доказательство верное, все шаги обоснованы Доказательство в целом верное, но содержит неточности Другие случаи, не соответствующие указанным критериям Максимальный балл 26 Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Решение. Пусть O2 центр данной окружности, а O1 центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Вариант 6401 Точка касания K окружностей делит AC пополам. Лучи AO2 и AO1 биссектрисы смежных углов, значит, угол O2AO1 прямой. Из прямоугольного треугольника O2AO1 получаем: AK2= КO1KO2. Следовательно, 𝐴𝐾2 O1 K = 𝑂 2𝐾 Ответ: 4 1 6 = 25 6 1 = 46. . Баллы Критерии оценки выполнения задания 4 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ 3 Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям 4 Максимальный балл