Ответы 8 вариант

Комментарии к заданиям и критерии их оценивания
8 вариант
Часть 1
Каждое верно выполненное задание части 1 оценивается в 1 балл.
1
5
2
4
Модуль «Алгебра»
3 4
5
6
7
3 -2 214 96,5 3,5
8
4
Модуль «Геометрия»
9
10 11 12 13
116 62 3 0,8 1
Модуль «Реальная математика»
14
2
15
7
16
190
17
0,5
18
2
19
0,35
20
54500
Часть 2
Модуль «Алгебра»
21.
 3x y  3x
  2  6
Решите систему уравнений  4
.
yx 1  y
 3
6 2
Решение. Домножив первое уравнение системы на 4, второе на 6, получаем
3x  2 y  6 x  24
9 x  2 y  24 , домножив второе уравнение системы на


2 y  2 x  1  3 y
2 x  y  1
(-2) и сложив с первым находим  x  2
Баллы
2
1
0
Ответ: (-2; 3)
y  3
Критерии оценки выполнения задания
Задание решено верно
Допущена вычислительная ошибка или описка, возможно, приведшая к
неверному ответу
Случаи, не соответствующие указанным критериям
22. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на
3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько
минут каждый лыжник проходил круг.
Решение. Пусть хмин – время прохождения круга одним лыжником,
х>0(*). х+3 мин – время прохождения круга другим лыжником. 60 - часть
x
круга одним лыжником за 60 минут,
60 x  10
часть круга другим лыжни-
ком за 60 минут. Известно, что через час один отстал от другого на круг,
имеем 60  60  1 . Решив это уравнение при условии (*), получаем х=12,
x
x3
тогда время другого 15 мин.
Баллы
3
2
0
Ответ: 12 мин и 15 мин
Критерии оценки выполнения задания
Задание решено верно
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка или
описка, возможно, приведшая к неверному ответу
Случаи, не соответствующие указанным критериям (не найдено время другого лыжника и т.д.)
23. Постройте график функции
y
x2
.
x2  x  2
Найдите все значения а, при
которых график данной функции не имеет с прямой y  a общих точек.
Решение. В силу тождества x2  x  2  ( x  1)( x  2) , при всех значениях переменной, отличных от числа (-2), y  1 . Тем самым, график функции
x 1
представляет собой гиперболу с выколотой точкой при
х  2
Из графика видно, что прямая y  a не имеет с графиком функции
общих точек при a  0 и a  0,5 . Ответ: см. рис.; a  0 и a  0,5 .
Баллы
4
3
0
Критерии оценки выполнения задания
График построен верно, получен верныйответ
График построен верно, ответ на вопрос не получен, получен неверно
или не полностью
Случаи, не соответствующие указанным критериям.
24. Углы В и А в треугольнике АВС равны 32° и 13°. Найдите сторону АВ,
если радиус окружности, описанной около треугольника АВС равен, 10√2.
Решение:
Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит,
С  180   32  13  135 . По следствию из теоремы синусов:
АВ
 2 R , где R – радиус окружноsin C
А
О
сти, описанной около треугольника АВС.
AB  2 10 2 
Баллы
2
1
0
2
; AB  20.
2
В
Ответ: 20.
С
Критерии оценки выполнения задания
Получен верный обоснованный ответ.
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
25. Точки М, N, K и L – середины сторон AB, BC, CD и DA прямоугольника
ABCD . Докажите, что четырехугольник МNKL - ромб.
Доказательство: По свойству средней линии треугольника MN  1 AC ,
2
1
1
1
LK  AC , NK  BD , ML  BD . По свойству прямоугольника AC  BD .
2
2
2
Значит, МN = LK=NK=ML. Т.о. МNKL – ромб. Ч.т.д.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
26. Площадь треугольника АВС равна 120. Точка D лежит на отрезке ВС
и делит его в отношении 1 : 2, считая от вершины В. Биссектриса ВК пересекает отрезок AD в точке M, и делит сторону АС в отношении 3 : 1,
считая от вершины А. Найдите площадь четырехугольника MDCK.
В
АК
3
Решение:1) По условию задачи, КС = 1. Треугольники
АВК и СВК имеют общую высоты, проведенную из
D
S
3
вершины В, значит, ABK = . Поэтому, 𝑆𝐶𝐵𝐾 =
1
𝑆 ,𝑺
4 𝐴𝐵𝐶 𝑪𝑩𝑲
SCBK
1
M
= 𝟑𝟎.
А
K
С
2) По условию задачи,
BD
DС
1
= 2. Треугольники АВD и СAD имеют общую
высоту, проведенную из вершины A, значит,
1
S ,𝐒
3 ABC 𝐀𝐁𝐃
SABD
SCAD
= 𝟒𝟎.
АК
АВ
3
= ВС = 1. По
КС
АВ
3
АВ
= 1, значит ВD
3ВD
3) По свойству биссектрисы треугольника,
1
,
2
1
= 2. Поэтому, SABD =
АВ
значит BC =3BD. Таким образом, ВС =
BD
условию,DС =
9
= 1.
АВ
АМ
9
4) Рассмотрим треугольник ABD, ВМ – биссектриса, значит, ВD = MD = 1.
S
9
1
Тогда и S ABМ = 1. Поэтому, SBMD = 10 SABD , таким образом 𝐒𝐁𝐌𝐃 = 𝟒.
BMD
5) Тогда по свойству площади многоугольника, SMDCK = SCBK − SBMD ,
значит,
𝑆𝑀𝐷𝐶𝐾 = 30 − 4 = 26.
Ответ: 26.
Баллы
4
3
0
Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно,
получен верный ответ.
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи,
но, например, неверно составлены отношения площадей или
допущена вычислительная ошибка.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.