Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Верхнесиметская средняя общеобразовательная школа Сабинского

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Верхнесиметская средняя общеобразовательная школа Сабинского
муниципального района Республики Татарстан»
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по
теме
«Логарифмы. Логарифмические уравнения»
Учитель математики
Имамиева Гульназ Хазинуровна
2013-2014 учебный год
Цели урока:
Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение
определения логарифма и его свойств. Умение применять эти свойства при
решении различных типов логарифмических уравнений. Показать необходимость
глубоких знаний по данной теме на более сложных уравнениях.
Воспитательная цель: воспитывать сознательное отношение к учебе, повышение
интереса к математике.
Развивающая цель: развивать логическое мышление, математическую речь,
умение сравнивать и делать выводы; совершенствовать навыки работы со
свойствами логарифмов и применять их при решении уравнений.
Методы и приёмы: словесный и наглядный.
Форма работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.
По типу: урок обобщения и систематизации знаний.
Наглядность к уроку и раздаточный материал:



карточки-тесты с заданиями для самостоятельной работы (приложение 1);
групповые задания для практической работы (приложение 2);
учебник «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А. Н. Колмогорова.
Ход урока.
Класс делится на две группы. Два урока разделены на три части:
1. Повторить определение логарифма, все свойства логарифма и применить эти
свойства при тестировании.
2.Повторить все типы уравнений и решить уравнения.
3.Заслушать доклады «Логарифмические уравнения, требующие глубоких знаний
свойств логарифма».
I. Организационная часть:
- приветствие
- подготовка учащихся к уроку
- получение сведений об отсутствующих.
II.Повторение материала
1. Сформулируйте определение логарифма.
=b , a > 0 , a ≠ 1 , b > 0. Как называется это равенство?
2.Вычислить устно (где это возможно).
1)
2)
6)
7)
3)
8)
4)
9) ℓg ℓg10
5)
10)
3. Сформулируйте основные свойства логарифмов (написать их на доске).
4. Вычислить устно.
1) lg 4  lg 25
4) log 3 2710
7) 101 lg 5
2) log 2 11  log 2 44
3)
5) 5log
log 5 64
log 5 4
8) 52 log 3
2 5 36
5
6) 3log 11
9
Примените определение логарифма, свойства логарифма при решении теста. Тесты
для двух вариантов включают по 5 заданий. Вычислите значения выражений и
найдите правильный ответ. (Приложение 1).
Вариант I.
№
1
Задание
(21log2 3 ) 2
( 10 ) 3lg 8
2
3
5log5 3 100
4
5
2log4
3
А
Б
В
Г
36
9
4
4
9
4
3
3 10
8 5
27
3 6
5 5
 log0 ,1 6
9
5 1
8
8 6
4
2 5
5
2
5
4
5
Д
3
9
5
10
4
18
24 5
1
25
2
5
5
9
1
5
Задание
А
Б
В
Г
Д
32 log3 4
3
6 3
6
3 3
3
8
4
2 10
4 5
5
2 log
3
5
Ответ
Вариант II.
№
1
2
3
( 10 ) 2lg 4
49
log25 5log7 5
1
1
5
1
2
5
7 5
1
3
5
1
4
5
Ответ
71log49 3
5 3 log2 5 9
4
5
2 3
4 7
3
1
27
27
3 7
2
1
3
7 3
3
1
9
3 3
9
Учащиеся меняются карточками для проверки (ответы на доске). Учитель
объявляет оценки.
Ответы:
1
В
В
I вариант
II вариант
2
А
Д
3
Д
Б
4
Б
Г
5
Г
А
Физкульминутка.
III. Решение уравнений. Устно. а) При каких действительных значениях a и x имеет
смысл выражение
а)
б)
в)
г)
При каком значении х верно равенство: а)
Решите уравнения по определению логарифма.
б)
Здесь приведены уравнения, где x содержится либо в основании логарифма, либо в
выражении под знаком логарифма. А давайте рассмотрим уравнения, в которых x
содержится и там, и там.
I тип уравнений: Уравнения решаемые по определению логарифма.
Какими способами можно решить такое уравнение?
I способ: решить уравнение по определению логарифма и сделать проверку корней.
II способ: решить с помощью равносильной системы:
Задание №1. Каждой группе решить уравнение I типа.
I
log 2x a (1  x)  1
II
log x ( 2x  1  2)  1
Ответ: при аϵ(˗∞;-1)  (-1;2) х=(1+а)/3,
Ответ: 5.
при аϵ{˗1}  [2;+∞) нет корней.
II тип уравнений. Уравнения, решаемые потенцированием. Можно также решить
двумя способами.
log a f(x)  log a g(x)
(a  0, a  1)
f(x)  g(x)


f(x)  0 ( или g(x)  0).
Устно: а) Какой системе равносильно это уравнение lg( 3x  6)  lg( 4 x  10). Назовите
корень уравнения.
б) Не решая уравнения, докажите, что у них нет корней.
log 2 (x  2)  log 2 (2  x).
log
x
4  log x 4
Задание №2. Каждой группе решить уравнение.
I.
II.
log 9  9   log 8  3
x
x
7
log
7
Ответ: 2.
3
6 x
 log x
3
x4
Ответ: 6.
III тип уравнений. Уравнения, решаемые с применением свойств логарифмов.
2
I . log x 2x 12x 11  2  log x3
Ответ: 11.

II.
log  x 2
2

 1  log  x7   log x
2
2
Ответ: 3,5.
IV тип уравнений. Логарифмические уравнения второй степени относительно
логарифма и уравнения, которые сводятся к уравнениям второй степени.
Решаются методом введения новой переменной.
I
4  lg x
 lg x
3 lg x
Ответ: 25; 125.
II
log cos x sin x  log sin x cos x  2
Ответ: 10∙ 3 10 ; 0,1.
V тип уравнений. Показательно – степенные уравнения решаются
логарифмированием обеих частей уравнения по одному основанию. Показательно –
степенными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в
основании и в показатели степени.
I
II
x log2 x 2  8;
Ответ:
1
; 8.
2
Физкультминутка .
x log5 x  125 x 2
1
5
Ответ: ; 125.
IV. Доклады.
Доклад №1. Откройте учебник на странице 229 № 498.
При выполнении № 498(б, г) мы доказали равенство:
a logc b  b logc a , a  0, b  0, c  0, c  1 .
Это равенство промелькнуло в этом упражнении и больше мы его нигде не
использовали. Вот уравнение, в котором при решении используют это равенство.
5 x log3 2  2 log3 x  24
log 2
log x
Заметим, что x 3  2 3 верно при x  0 ,
5  2 log3 x  2 log3 x  24 ,
6  2 log3 x  24 , 2 log3 x  4 , log 3 x  2 , x  8 .
Ответ: 8
Применим эту формулу при решении ещё одного уравнения.
25 lg x  5  4  x lg 5 .
lg x
lg 5
Решение: 25  5  4  x , x  0
5 
lg x 2
 5  4  x lg 5 , x lg 5  5 lg x , 5lg x   5  4  5lg x .
2
Пусть 5
lg x
t
t  0 ,
t 2  4t  5  0 , D  36 , t1  5 , t2  1 (не удовлетворяет условию t>0),
5 lg x  51 , lg x  1 , x  10 ,
Ответ: 10.
Доклад №2.
Формальное использование формул логарифма суммы, частного, степени, log a x p
может привести как к расширению, так и к сужению области допустимых значений
переменных. Вследствие этого возможны соответственно как появление, так и
потеря корней. Применение формул «справа - налево» приводит к уравнениюследствию (его ОДЗ шире). В этом случае необходимо проверить принадлежность
каждого из найденных корней ОДЗ исходного уравнения. Применение формул
«слева - направо» приводит к потере корней. Поэтому, чтобы избежать потери
корней при использовании формул свойств логарифма «слева - направо», следует
применять более общие формулы, лишь расширяющие область определения.
log a  f ( x)  g ( x)   log a f ( x)  log a g ( x)
,
p
log a
f ( x)
 log a f ( x)  log a g ( x) ,
g ( x)
log a  f ( x)   p  log a f ( x) , если р - четное число.
p
V.Итог урока. Какие свойства логарифмов вы сегодня повторили?
Какие типы уравнений умеете решать?
Что нового узнали из докладов?
Объявить оценки за работу на уроке. Подвести итоги работы каждой группы
учащихся.
Сегодня на уроке мы рассматривали различные методы решения
логарифмических уравнений, решение которых от вас, ребята, требует хороших
теоретических знаний, умений применять их не практике, требует внимания,
трудолюбия и сообразительности. Именно по этой причине логарифмические
уравнения, неравенства и системы логарифмических уравнений (вы будете их
решать на следующих уроках), выносятся на вступительные экзамены в ВУЗы.
А сейчас, мне бы хотелось прочитать стихотворение.
Математика – основа и царица всех наук,
И тебе с ней подружиться я советую, мой друг.
Ее мудрые законы, если будешь выполнять,
Свои знанья приумножишь,
Станешь ты их применять.
Сможешь по морю ты плавать,
Сможешь в космосе летать.
Дом построить людям сможешь:
Будет он сто лет стоять.
Не ленись, трудись, старайся,
Познавая соль наук
Все доказывать пытайся,
Но не покладая рук.
Станет пусть бином Ньютона
Для тебя, как друг родной,
Как в футболе Марадонна,
В алгебре он основной.
Синус, косинус и тангенс
Должен знать ты на зубок.
И конечно же котангенс,–
Это точно, мой дружок.
Если это все изучишь,
Если твердо будешь знать,
То, возможно, ты сумеешь
Звезды в небе сосчитать.
Домашнее задание: № 175 страница 287.