Вопросы к э..

Вопросы к экзамену «Теория вероятностей»
1. Дискретное вероятностное пространство.
2. Классическая и геометрическая вероятности.
3. Теоремы объединения событий.
4. Теоремы о вероятности пересечения событий.
5. Формулы полной вероятности и Бейеса.
6. Схема независимых повторных испытаний. Формула Бернулли.
7. Теорема Пуассона.
8. Формулы Муавра – Лапласа.
9. Дискретная случайная величина.
10.Свойства математического жидания.
11.Дисперсия и её свойства.
12.Независимость случайных величин. Ковариация и корреляция.
13.Индикатор события и его свойства.
14.Неравенства Маркова и Чебышева.
15.Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
16.Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
17.Следствие из теоремы Чебышева.
18.Теорема Вейерштрасса и полином Берштейна.
19.Производящие функции.
20.Производящая функция для случайной величины, принемающей целые
неотрицательные значения.
21.Распределения: биноминальное и Пуассона.
22.Вероятностное пространство (общий случай). Аксиоматика
Колмогорова.
23.Построение вероятностного пространства.
24.Полное вероятностное пространство.
25.Случайная величина (общий случай).
26.Интегрируемые случайные величины.
27.Функция распределения, плотность.
28.Характеристические функции. Простейшие свойства.
29.Дифференцируемость характеристической функции.
30.Теорема единственности.
31.Формула обращения.
32.Предельные теоремы для характеристических функций.
33.Одномерное стандартное нормальное распределение.
34.Одномерное нормальное распределение. Общий случай.
35.Свойства нормального распределения.
36.Равномерное и показательное распределения.
37.Центральная предельная теорема. Случай одинаково распределенных
случайных величин.
38.Центральная предельная теорема в схеме Бернулли.
39.Неравенства Иенсена и Ляпунова.
40.Теорема Ляпунова.
41.Многомерные функции распределения и плотность.
42. Многомерные характеристические функции.
43.Многомерное нормальное распределение.
44.Сферически нормальное распределение. Распределения χ2, Стьюдента
и Фишера.
45.Лемма Бореля – Кантелли.
46.Теорема «0» и «1» Колмогорова.
47.Неравенство Колмогорова.
48.Сходимость случайных величин: по вероятности и почти наверное.
49.Фундаментальные по вероятности последовательности случайных
величин. Их связь со сходимостью по вероятности.
50.Сходимость по распределению, её связь со сходимостью по
вероятности.
51.Сходимость в случае вырожденного распределения.
52.Сходимость в среднем, ее связь со сходимостью по вероятности.
53.Закон больших чисел. Теорема Хинчина.
54.Усиленный закон больших чисел для разно распределенных случайных
величин.
55.Усиленный закон больших чисел для одинаково распределенных
случайных величин.
56.Усиленный закон больших чисел в схеме Бернулли.
Варианты практических заданий к экзамену по курсу «Теория
вероятностей».
1. Из 60 экзаменационных вариантов студент подготовил 50. Какова
вероятность, что из предложенных ему 3 вопросов он знает 2.
2. Трое поочередно бросают монету. Выиграет тот, у кого раньше
появится герб. Найти вероятность выигрыша второго игрока.
3. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на 2
равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и
женщин одинаково.
4. Из 28 костей домино случайно выбираются две. Найти вероятность
того, что из них можно составить цепочку.
5. За круглый стол рассаживаются в случайном порядке 2n гостей. Какова
вероятность того, что гостей можно разбить на n непересекающихся
пар так, чтобы она состояла из сидящих рядом мужчин и женщин.
6. На отрезке АО длины l наудачу поставили две точки В и С, причем С
правее В. Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше
l/2.
7. Наудачу взяты два положительных числа, непревышающих единицы.
Найти вероятность. Что сумма не превышает единицы, а произведение
не меньше 0,08.
8. Из 100 карточек с числами 00,01, … , 99 случайно выбирается одна.
Пусть 1 и  2 - соответственно сумма и произведение цифр на
выбранной карточке. Найти P{1  i / 2  0} .
9. Случайная точка (1 ,  2 ) имеет равномерное распределение в квадрате
 ( x1 , x 2 ) : 0 ≤ x1 ≤1, 0 ≤ x 2 ≤1. При каких r независимы события
A2  {1   2  r}, B2  {1   2  r} ?
10. В каждой из 5 урн содержится 7 черных и 3 белых шара. Из первой
извлечен шар и переложен во вторую, после чего из второй урны
извлечен шар и переложен в третью и т.д. Какова вероятность, что шар
извлеченный из пятой урны будет черным?
11.В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего извлечен
один шар. Найти вероятность, что шар окажется белым, если
равновозможны все предположения о составе шаров.
12. Три стрелка произвели залп, причем одна пуля поразила мишень.
Найти вероятность, что второй стрелок поразил мишень, если
вероятности попадания соответственно равны 0,5;0,6;0,7.
13.Найти вероятность того, что в 2n испытаниях схемы Бернулли с
вероятностью успеха р появится m+n успехов и все испытания с
четными номерами окончатся успехом.
14.Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получит
герб. Найти вероятность, что игра закончится до пятого бросания,
выиграет первый, выиграет второй игрок.
15.В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали.
Составить закон распределения дискретной случайной величины  числа стандартных среди отобранных. Найти M ( ) и Д ( ) .
16.Вероятность поражения мишени 0,6. Патроны выдаются пока стрелок
не попадет. Составить закон распределения случайной величины  числа выданных патронов. Найти M ( ) .
17.Найти M ( ) и Д ( ) пуассоновского рапределения.
18.Плотность распределения  задана
Cx 3 / 2 , x  1
P( x )  
0, x  1
Найти С, плотность распределения   1 /  .
19.Найти распределение суммы двух независимых случайных величин,
если они распределены показательно с одним и тем же параметром  .
20.Случайная величина  равномерное распределена на отрезке
[0,2 ],1  cos  , 2  sin  . Найти cov(1 , 2 ) .
21.Случайная величина  имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием 0 и дисперсией  2 . Найти M ( k ), k  1,2,...
22.Найти M ( ) и Д ( ) , если ln(  ) имеет нормальное распределение с
параметрами N (a,  2 ) .
23.Случайная величина  имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти M (cos  ) и
Д (cos  ) .
24.Пусть случайная величина  n равна сумме очков, появившихся при n
подбрасываниях игральной кости. Оценить сверху P{

n
 3,5   },   0 .
25.Последовательность 1 ,  2 ,... , где  k - независимые случайные
величины. M ( k )  0, Д ( k )  Ck  , C  0,   0 . При каких 
последовательность удовлетворяет закону больших чисел?