Вопросы к экзамену по курсу «Теория вероятностей»

Вопросы к экзамену по курсу
«Теория вероятностей»
1. Классическое (комбинаторное) определение
Свойства вероятности при таком определении.
вероятности.
2. Пример комбинаторной задачи, для решения которой удобно
использовать классическое определение вероятности (теорема о
раскраске в два цвета).
3. Геометрические вероятности и их свойства. Пример задачи, для
решения которой удобно использовать геометрические
вероятности (задача о встрече).
4. Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы
полной вероятности и Байеса.
5. Независимость событий: попарная независимость, независимость
в совокупности, соотношение между видами независимости.
6. Схема испытаний Бернулли. Схема серий. Понятие о случайном
графе.
7. Предельная теорема Пуассона для схемы серий
постоянного и случай растущего k – числа «успехов»).
(случай
8. Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа (б/д).
Пример применения теоремы Муавра – Лапласа в задаче о
гардеробах.
9. Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.
10.Случайные величины. Функция распределения и ее свойства.
11. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения,
плотность
распределения.
Важнейшие
распределения:
биномиальное, пуассоновское, геометрическое, равномерное,
нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-
распределение. Интерпретация предельных теорем Пуассона и
Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.
12. Задание вероятностной меры на прямой с помощью функции
распределения (идея). Теорема о продолжении меры (б/д).
13. Математическое ожидание случайной величины. Линейность
математического ожидания. Математическое ожидание функции
от случайной величины. Теорема о числе треугольников в
случайном графе.
14. Моменты. Факториальные моменты. Дисперсия. Вычисление
моментов для распределений из п. 11.
15. Неравенства Маркова и Чебышёва.
16. Применение неравенства Чебышева
треугольников в случайном графе.
в
задаче
о
числе
17. Закон
больших
чисел
для
независимых
одинаково
распределенных величин с конечным вторым моментом.
18. Оценка уклонения для схемы Бернулли и ее соотношение с
неравенством Чебышёва. Случайные блуждания.
19. Производящие функции.
(вычисление моментов).
Метод
производящих
функций
20. Идея метода моментов (формула обращения). Пуассоновская
аппроксимация. Связь с теоремами Пуассона для схемы серий.
Применения в задаче о числе треугольников в случайном графе
(доказательство – бонус).
21. Случайные векторы. Совместное распределение вероятностей.
Многомерная функция распределения и ее свойства.
Многомерная плотность распределения.
22. Задание вероятностной меры в n-мерном пространстве (идея).
Теорема о продолжении меры (б/д).
23. Независимость случайных величин. Свойства математического
ожидания и дисперсии для независимых случайных величин.
24. Ковариация и корреляция. Соотношение между независимостью
и некоррелированностью. Матрица ковариации и ее свойства.
25. Распределение сумм независимых случайных величин. Формула
свертки.
26. Распределение функций от нескольких случайных величин.
Математическое ожидание функции от нескольких случайных
величин.
27. Виды сходимости последовательностей случайных величин.
Сходимость по вероятности слабее сходимости почти наверное
(пример в одну сторону, в другую сторону – б/д). Интерпретация
предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах
сходимостей. Критерий Коши (б/д).
28. Неравенство Колмогорова.
29. Теорема о сходимости ряда из случайных величин.
30. Усиленный закон больших чисел Колмогорова – Хинчина
(необходимое условие сходимости числового ряда можно не
доказывать). Усиленный закон больших чисел Колмогорова (для
одинаково распределенных величин; б/д).
31. Метод Монте-Карло.
32. Характеристические функции и их свойства. Разложение в ряд
Тейлора. Вычисление характеристических функций для
распределений из п. 7. Метод характеристических функций:
теоремы единственности и непрерывности (б/д). Применение в
задаче о сумме независимых пуассоновских величин.
33. Центральная предельная теорема для сумм независимых
одинаково распределенных случайных величин. Связь с
предельной теоремой Муавра – Лапласа. Центральная предельная
теорема в форме Ляпунова (б/д). Теорема Берри – Эссеена (б/д).
34. Закон больших чисел без условия конечности второго момента.
Соотношения между различными законами больших чисел (всего
4 формулировки).
35. Условное математическое ожидание относительно разбиения и
некоторые его свойства.
36. Понятие о случайном веб-графе.