2) Работа в группах. Доказать некоторые следствия из теоремы Чевы. Слайды 3,4 Следствие 1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. которая делит Доказательство. Пусть AA 1 , BB 1 ,CC 1 - медианы ABC (рис.20) . Так как AC 1 =C 1 B, BA 1 =A 1 C, AB 1 =B 1 C, то AC1 BA1 CB1 =1, = 1, =1. C1 B A1C B1 A Тогда AC1 BA1 CB1 . . 1 1 1 1 , т.е. для точек A 1 ,B 1 ,C 1 , лежащих на сторонах C1 B A1C B1 A треугольника ABC, выполняется по теорема Чевы AA 1 , BB 1 ,CC 1 пересекутся в одной точке O. Утверждение доказано. Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя биссектрисы: так как AA 1 - биссектриса, то BA1 AB = ; так как BB 1 A1C AC свойство биссектриса, то B1C BC ; AB1 AB так как СС 1 левые и - биссектриса, то правые AC1 AC . Перемножая соответственно BC1 BC части этих равенств, получим BA1 B1C AC1 AB BC AC . . = . . =1, то есть для точек A 1 , B 1 , C 1 A1C AB1 BC 1 AC AB BC выполняется равенство Чевы, значит, AA 1 , BB 1 ,CC 1 пересекаются в одной точке. Следствие 3. Серединные пересекаются в одной точке. перпендикуляры к сторонам треугольника Доказательство. Рассмотрим серединный MNK(вершины-середины сторон ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK AC, NM BC, KM AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты MNK. А в MNK высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Следствие 4. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26). Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB 1 =AC 1 =x, C 1 B=BA 1 =y, A 1 C=B 1 C=z. AC1 BA1 CB1 x y z 1 , по теореме Чевы AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке. C1 B A1C B1 A y z x