«Теоремы Чевы и Менелая» Храмеева Максима 2011 год Работа ученика 9-А класса

«Теоремы Чевы и Менелая»
Работа ученика 9-А класса
Муниципального общеобразовательного учреждения
«Гимназия № 20»
Храмеева Максима
Научный руководитель – учитель математики
Бондаренко Ольга Валентиновна
2011 год
«Обладая литературой более обширной, чем алгебра
и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере,
столь же обширной, как анализ, геометрия в
большей степени, чем любой другой раздел
математики, является богатейшей сокровищницей
интереснейших, но полузабытых вещей, которыми
спешащее поколение не имеет времени
насладиться».
Е. Т. Белл.
Цели исследования:
Изучить состояние проблемы в научной
литературе и школьной программе.
 Выявить теоретические положения для
доказательства теорем и научно обосновать
способы доказательства теоремы Чевы и
Менелая.
 Проанализировать теоремы и их применение
при решении задач
 Проверить эффективность и
целесообразность применения теорем при
решении задач.

Медианы треугольника пересекаются в
одной точке.
 Высоты треугольника пересекаются в
одной точке.
 Биссектрисы внутренних углов
треугольника пересекаются в одной
точке
 И многие другие известные
соотношения.

Теорема Менелая
D
C
B1
A1
Пусть на сторонах ВС, АС и
продолжении стороны АВ
треугольника АВС взяты
соответственно точки A1 , B1 и C1
Точки лежат на одной прямой тогда ,
когда выполняется равенство
C1
A
B
АС1 ВА1 СВ1


1
С1 В А1С В1 А
Доказательство:
.
D
Пусть прямая пересекает стороны BC и CA
∆АВС в точках А1 и В1,а продолжение
стороны АВ в точке С1.
1.Через вершину С ∆АВС
проведем прямую CD ║ АВ; которая
пересечет прямую А1В1 в точке D.
2.∆А1ВС1 ∞ ∆А1CD по двум углам
3. ∆В1АС1 ∞ ∆ В1CD по двум углам
4. из пунктов 2 и 3 следует, что
C
B1
A1
C1
A
B
и
5. Перемножим эти равенства, получим
доказываемое соотношение.
Обратная теорема:

АС1 ВА1 СВ1


1
С1 В А1С В1 А
Теорема Чевы
Пусть на сторонах АВ, ВС и
АС треугольника АВС взяты
точки
А1, В1, С1
Прямые АА1, ВВ1, СС1
пересекаются в одной точке
тогда и только тогда, когда
С
А1
В1
А
С1
В
АС1 ВА1 СВ1


1
С1 В А1С В1 А
Доказательство:
I) Пусть прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О, лежащей внутри или вне
треугольника АВС. В том и другом случае, применив теорему Менелая к
треугольнику ВСС1 и секущей АА1, Получим:
Аналогично из треугольника АСС1, пересеченного прямой ВВ1, находим:
С
Перемножим последние два равенства
почленно и получим:
В1
А
А1
С
О
С1
А1
О
В
С1
А
В1
В
В1
A
Рассмотрим случай, когда прямые АА1, ВВ1,
СС1 параллельны. Пусть точка В1 лежит на
продолжении стороны АС, точка А1 лежит на
стороне ВС, точка С1 лежит на стороне АВ.
Тогда достаточно доказать, что
С
Используя теорему об отрезках, отсекаемых
на сторонах угла параллельными прямыми, имеем:
В
С1
А
Подставим эти равенства
Что и требовалось доказать.
Обратная теорема
АС1 ВА1 СВ1


1
С1 В А1С В1 А
Если выполняется равенство
то прямые AA1 , BB1 и CC1 либо
пересекаются в одной точке, либо
попарно параллельны.
Замечание. Записывая отношение
отрезков, следует двигаться по контуру
треугольника от вершины до точки
пересечения с прямой и от точки
пересечения до следующей вершины.

Задача 1. На сторонах АВ и АС ∆ АВС взяты точки M и N так,
что
. Отрезки BN и CM пересекаются в точке K.
Найдите отношение отрезков
C
Решение. Применим теорему Менелая к
и секущей CM. Получим
N
K
A
M
B
Решение с помощью подобия:
C
N
K
A
M
B
D
Задача 2: Доказать, что биссектрисы углов треугольника
пересекаются в одной точке

С
В1
А1
.
Доказательство:
Пусть АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы
треугольника АВС, т.к. биссектриса
угла треугольника делит
противолежащую сторону на отрезки,
длины которых пропорциональны
противолежащим сторонам, то
АС1 АС ВА 1 АВ СВ1 ВС

;

;

.
С1В СВ А1С АС В1А АВ

А
С1
В
Перемножив полученные равенства,
получим:
АС1 ВА1 СВ1 АС АВ ВС





 1.
С1 В А1С В1 А СВ АС АВ

Т.о. по теореме Чевы, биссектрисы
пересекаются в одной точке.
Задача 3: Докажите, что
пересекаются в одной точке.
треугольника
Доказательство. Так как точки А1, С1, В1
лежат на сторонах треугольника, достаточно
доказать, что выполняется равенство
С
В1
А
медианы
А1
С1
Так как ВВ1, СС1, АА1 медианы имеем, что
В
Тогда в силу теоремы Чевы прямые ВВ1,
СС1, АА1 пересекаются в одной точке.
Ч.т.д.
Задача 4. Докажите что высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке.
С
N
М
А
В
K
Точка Жергона.
Задача 5: Доказать, что прямые, проходящие через вершины
треугольника и точки касания вписанной окружности,
пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.
С
В1
А1
Доказательство:
Пусть окружность касается сторон треугольника
АВС в точках А1, В1, С1, т.к. длины касательных,
проведённых из одной точки к окружности, равны,
то АВ1=АС1, ВС1=ВА1, СА1=СВ1.
Тогда
АС ВА СВ
1

1

1
С1 В А1С В1 А
А
С1
В
 1.
Следовательно, по теореме Чевы, данные
прямые пересекаются в одной точке.
С
N
M
K
А
В
Задача 7.
Через середину М стороны ВС параллелограмма
АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А
проведена прямая, пересекающая диагональ BD в
точке Q. Найдите площадь четырёхугольника
QMCD.
Так как СО – медиана треугольника BCD, значит, делит
треугольник BCD на два равновеликих треугольника.
1) МА пересекает две стороны и продолжение третьей
треугольника ВОС, значит, по теореме Менелая
BM CA OQ
a 2b OQ


 1,  
 1,
MC AO QB
a b QB
Откуда
OQ 1
 , OQ  m, QB  2m.
QB 2
2) Треугольники BQM и BOC имеют общий угол, значит
S BQM
И так,
1
1 1 1
S BQM  S BOC    .
3
3 4 12
S QMCD  S BCD  S BQM 
1 1
5

 .
2 12 12
S BOC

BM  BQ
a  2m 1

 .
BC  BO 2a  3m 3
5
Ответ:12 .
Задача 8
В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через
середину А проведена прямая, которая пересекает
диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке
К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4. Найдите
отношение длин оснований трапеции.
Пусть ВC = a, AD = b. Необходимо найти
a
.
b
Пусть Q – точка пересечения прямых ВС и АК.
1) По теореме Менелая для треугольника BCD и секущей AQ имеем
DE BQ CK
BQ 2 1
a  CQ 2


 1,
   1,
  CQ  a, BC  CQ  a.
EB QC KD
QC 1 4
CQ
1
2)
CKQ ~ DKA
( по двум углам ), тогда
CQ CK a 1

;  .
AD KD b 4
BC 1
 .
AD 4
Так как a =BC, b = AD,то
Ответ: 1:4.
Теоремы Чевы и Менелая
применяются, когда:

Идёт речь, об отношении отрезков (иногда
завуалированном: доказать равенство отрезков,
доказать, что точка является серединой отрезка).


Если на чертеже имеются элементы, присутствующие
в теореме Менелая (треугольник и прямая,
пересекающая его стороны или их продолжения).
3.Иногда полезно применять обратную теорему
(если необходимо доказать, что какие-нибудь точки
лежат на одной прямой). А также при доказательстве
других теорем.