Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся “Первые шаги в науку” Направление: математика Тема: «Решения олимпиадных задач через отношения» Тихонов Игорь МБОУ лицей 1, г. Комсомольска-на-Амуре 9 класс Научный руководитель: БудлянскаяН.Л. учитель математики г. Комсомольск-на-Амуре, 2012/2013 учебный год Содержание 1. 2. Введение Основная часть 1. Применение теорем Чевы и Менелая 1. 2. 3. 4. 2. Барицентрический метод. 1. 2. 3. 3. 4. 5. Определение центра масс и его основные свойства Применение барицентрического метода в решении задач.. Применение свойств площадей в решении задач 1. 2. 4. Теорема Менелая Теорема Чевы Следствия из теоремы Чевы Применение теорем Чевы и Менелая в решении задач Основные свойства площадей Решение задач Задачи для самостоятельного решения Заключение Используемая литература Приложения Введение Решая различные задачи по планиметрии, я нередко сталкивался с определенными трудностями при нахождении отношений отрезков. Поэтому я решил провести исследование, предметом которого стали отношения, а объектом – методы их решения. Я поставил цель изучить имеющуюся литературу по данному вопросу, классифицировать найденные методы, решить задачи с их применением и пронаблюдать возможности применения различных подходов к одной и той же задаче. Кроме того, мне захотелось составить свои задачи к работе и создать в итоге полезное методическое пособие по теме. Основная часть Применение теорем Чевы и Менелая • Теорема Менелая Теорема Чевы • Следствия из теоремы Чевы • Следствие 1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. • Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. • Следствие 3. Высоты треугольника (или их продолжения)пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника). • Следствие 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. • Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Применение теорем Чевы и Менелая для решения геометрических задач Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A и C - точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересечения отрезков AA и BH, где BH-высота. Найдите отношение BQ:QH. • • Определение центра масс, его основные свойства. Основные свойства центра масс. 1. 2. 3. Всякая система, состоящая из конечного числа мт, имеет центр масс, и притом единственный. Центр масс двух мт находится на отрезке, соединяющем эти точки. Если в системе, состоящей из конечного числа мт отметить несколько мт и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится. Применение барицентрического метода в решении задач. Задача 1. Докажем с помощью этих свойств теорему Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. (1) (2) (2) (1) (2) (1) Задача 2. Докажем теорему: Прямая, проходящая через вершину основания и середину медианы основания, отсекает от боковой стороны одну треть её. (2) (1) (1) М (2) Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка М такая, что АМ=1/3 АС, а на продолжении СВ – такая Т, что ВТ=СВ. МТ пересекает АВ в точке О. В каком отношении делит эта точка АВ и МТ? (1) (2) (2) (1) (3) Задача 4. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. (1) (2) (1) (2) (2) (2) (2) (1) (2) (1) Задача 5. Дан треугольник ABC. Точка А’ делит ВС в отношении 7:2. Точка В’ делит отрезок АС в отношении 1:3. Точка О – точка пересечения АА’ и ВВ’. Найти отношения, в котором делит точка О эти отрезки. (2) (9) (7) (21) (28) Применение свойств площадей в решении задач. Основные свойства площадей. Для решения задач на площади фигур нам потребуются следующие факты, небольшие задачи. 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих 2. Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. 3. Площади треугольников, образованных боковыми сторонами трапеции и её диагоналями равны. 4. Пусть задан произвольный четырехугольник и проведены его диагонали, тогда произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам четырехугольника, равны. Решение задач. Задача 1. Дан произвольный четырехугольник A1B1C1D1. В нем проведены отрезки A1D, В1А, С1В, D1C как показано на чертеже. Площади треугольников С1В1В, В1А1А, D1A1A, соответственно равны S1 ,S2 ,S3. Найти площадь треугольника D1C1C. • Задача 4. Дан правильный девятиугольник, в нем проведены диагонали, как показано на рисунке. Определить какая часть треугольника больше, закрашенная или нет. Задачи для самостоятельного решения. • Задача 1. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1. • Задача 2. Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. • Задача 3. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. • Задача 4. Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD равна 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. • Задача 5. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. • Задача 6. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что АВ = ВС1, ВС = СА1, СА = АВ1. Найдите отношение в котором прямая АВ1 делит сторону А1С1 треугольника А1В1С1. • Задача 7. В четырехугольнике ABCD точки M и N середины сторон AD и BC соответственно. При пересечении диагоналей АС и BD с отрезком MN образуются точки К и Р соответственно. Отрезки МР, РК, КN равны между собой. Докажите, что АВСD – трапеция. • Задача 8. Перпендикуляр к боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через её середину K, пересекает сторону CD в точке L. Известно, что площадь четырёхугольника AKLD в пять раз больше площади четырёхугольника BKLC, CL = 3, DL = 15, KC = 4. Найдите длину отрезка KD. • Задача 9. В трапеции KLMN основания KN и LM равны 12 и 3 соответственно. Из точки Q, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр QP на сторону KL. Известно, что P — середина стороны KL, PM = 4 и что площадь четырёхугольника PLMQ в четыре раза меньше площади четырёхугольника PKNQ. Найдите длину отрезка PN. • Задача 10. В трапеции с основаниями 3 и 4 найдите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего площадь трапеции в отношении 5:2, считая от меньшего основания. • Заключение • В своей работе я реализовал поставленные цели и задчи. Я изучил имеющуюся литературу по теме и выбрал три основных теоретических аспекта, которые позволяют решить задачи на отношения отрезков: • Применение теорем Чевы и Менелая • Применение барицентрического метода • Применение свойств площадей. • Коротко изложив теорию, я показал её применение в решении задач, а теорему о точке пересечении медиан я доказал и не одним способом. Кроме того я сделал подборку задач по теме, включив в нее самостоятельное составленные. Надеюсь, мне удалось создать полезное пособие для учащихся 8-11 классов, увлекающихся математикой. Используемая литература. 1. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2003г. 2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 5-е изд, испр. и доп. - М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006. 3. Р.И. Довбыш Математические олимпиады, 2008г. 4. Э. Н. Балаян. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике. Феникс, 2008.