УДК 524.5:539.124.6:539.188.2 Е.П.Прокопьев

УДК 524.5:539.124.6:539.188.2
ПОЗИТРОНСОДЕРЖАЩИЕ АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ В ПЫЛЕВОЙ
КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ И ГИДРИДАХ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
Е.П.Прокопьев1,2
1
ФГУП ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики им. А.И.Алиханова,
117218, Москва, Россия
2
Московский институт электронной техники (технический университет),
124498, Москва, Зеленоград
Введение
Как указывается в [1,2], позитроны с начальной энергией порядка 108 эВ в межзвездных
магнитных полях (космической плазме) напряженностью 10-5 – 10-6 Э описывают вокруг
силовых
линий
магнитного
поля
винтовые
траектории
с
радиусом
кривизны
R  E / 300  H  1010  1011 см, т.е. порядка радиуса Солнца. По космическим меркам это
очень малое расстояние, поэтому позитроны практически заперты в области (объеме), в
котором они образовались. При прохождении через межзвездный газ с обычной плотностью
n ~ 1 см-3 позитроны участвуют в следующих основных процессах взаимодействии с
атомами Н [1,2]: 1) ионизация атомов Н, при этом возникают тормозное (за счет
взаимодействия с ядерным и атомным полями) и синхротронное (за счет взаимодействия
быстрых позитронов с магнитным полем космической плазмы) излучения, 2) аннигиляция
на лету, 3) образование атома позитрония (Ps), 4) квазиупругие процессы столкновений с
атомами Н, 5) образование и распад позитронсодержащих атомных систем с участием
водорода e  H , e  H  и других многоэлектронных атомов e  A , e  A  , 6) аннигиляция в
межзвездном газе медленных свободных (“квазитермализованных”) позитронов на атомах
водорода, гелия и т.д. С целью более ясного понимания проблемы и полноты изложения
приведем ниже использованные нами методы расчетов всех указанных выше процессов.
1. Ионизационные энергетические потери
Дифференциальное поперечное сечение для неупругого столкновения позитрона с
электронами атомов (считая электроны атома свободными) дается, как известно, формулой
Резерфорда (см., например, [3,4])
d  2r02
dQ
Q
(1)
1
Здесь r0 
e2
mc 2
- классический радиус электрона,   v / c, v -скорость налетающего
позитрона, m - масса электрона, c -скорость света. Q - энергия отдачи свободного атомного

электрона, которая связана с переданным импульсом  | q | соотношением

Q   2 | q | 2 / 2m
(2)

Но так как атомные электроны связаны внутри вещества, то импульс q , переданный за
одно столкновение, не дает определенного конечного состояния n атомного электрона, то
есть фактически переданная энергия W n неопределенна.[5].
При квантово-механическом рассмотрении задачи вводится понятие вероятности

возбуждения атома налетающим позитроном в состоянии n с переданным импульсом q .


Эта вероятность равна | Fn (q ) | 2 , где | Fn (q ) | - обобществленный форм-фактор. Он дается
выражением


*
Fn (q )   n  0  e qr (d ) ,
(3)
i

где  0 и  n - волновые функции атома в основном и возбужденных состояниях n , ri  

вектор положения i - электрона относительно ядра, а (d )  dri , dr2 ,..., drz - объемный

элемент. Если считать атомное поле сферически симметричным и выражение | Fn (q ) | 2
просуммировать по всем состояниям с энергией W n и различным ориентациям, то


оказывается, что фактор | Fn (q ) | 2 не зависит от направления q .

Для малых значений переданного импульса q  a , где a есть размер электронной
орбиты, можем записать
 2 Q | xn |2
| Fn (q ) | ~ 2
,
 / 2m
(4)
где x n   * 0  xi d есть электрический дипольный матричный элемент.
2
В противоположном случае, то есть при очень больших значениях переданного импульса
q  1 / a электрон отдачи можно считать свободным и

| Fn (q ) | 2 ~ Z (W  Q)
(5)
Дифференциальное поперечное сечение столкновения, при котором атом переходит
в состояние n с энергией W n будет равно
d n  2r02
mc 2 dQ
 2 Q2
(6)
Полное поперечное сечение при этом
 n  2r02
mc 2

2
Qmax

 | F (q ) |
2
(7)
n
Qmin
Формула (7) является основной формулой теории столкновений, выведенной в борновском
приближении [3], при котором допускается, что падающий позитрон имеет скорость
гораздо большую, чем электроны атомов вещества.
Выражение средних энергетических потерь позитрона на единицу плотности
запишется в виде

mc 2 1
 dE 

  N A Wn n  2C 2
A
 Z
 dx 
n
Qmax

dQ
| Fn (q ) | 2 ,
2
Qmin Q
W 
n
n
(8)
где N A  число Авогадро, Z и A - атомный номер и атомный вес материала. Величина C
равна
Z
Z
C  N A r0    0,15 , см2/г
 A
 A
(9)
Так как [3,4]
W
n

| Fn (q ) | 2  Z  Q,
(10)
n
то
3
2 Qmax
mc
 dE 

  2C 2

 dx 
Величина
dQ
mc 2 Qmax
Q

2
C
n
 2
Qmin
2
Qmin Q
B  (dE / dx) / 2C (mc 2 /  2 ) , равная эффективной величине
(11)
n(Qmax / Qmin ) ,
называется тормозным числом для позитрона. Для того, чтобы воспользоваться формулой
(11), необходимо найти средние величины Qmin и Qmax .. В частности, обычно полагают, что
Qmin  Wn2 / 2mv 2  Wn . Расчеты nQmin проведены в работах [6], где показано, что средняя
эффективная величина ( nQmin )ср может быть получена, если известны статистические веса
дипольных осцилляторов с силой
f n , которые представляют собой долю атомных
электронов, колеблющихся с частотой Wn / h . Иными словами
nQmin
Wn2
Wn2
I
,
 n
  fn
 n
2
2
2mv
2mv
2mv 2
n
(12)
где
I  Wn f n
(13)
n
представляет собой средний ионизационный потенциал вещества. Расчет верхнего предела
Qmax [6] может быть проведен по формуле
(Qmax ) eff 
2,7182 2
mv
6
(14)
С учетом (14) и (13) формула (11) запишется в виде
 mv 2
mc 2
 dE 



2
C
2

n


 I
2
 dx 

2,7182 

2 
(15)
Формула (15) при v  c записывается несколько иначе. Отличие заключается в том, что
вместо (1) используется формула Баба [7]. Тогда, согласно [8]
2
mc
 dE 

  2C 2

 dx 

( I / 10)  

 B0  2nZ  n

Z  


(16)
4
Потенциал I дается в единицах эВ, а
B0  19,683  n 2 (  2) 
 2 
14
10
4 



 23 
12 
(  2) (  2) 2 (  2) 3 
(17)
Заметим, что средняя энергетических потерь химических соединений и смесей равна
приближенно
средним
энергетическим
потерям
составляющих
их
элементов,
пропорционально их доле.
2. Выбор величины среднего ионизационного потенциала I
Для расчета ионизационного потенциала I необходимо знать силы осцилляторов f n
атомов среды. Для атома водорода значения f n хорошо известны. Бете [6] также определил
силы осцилляторов для водородоподобных атомов. Для многоэлектронных атомов
применяются приближенные методы определения значений f n и I . Блох [8] для этого
использовал модель атомов Томаса-Ферми и нашел, что средняя энергия возбуждения I
прямо пропорциональна заряду ядра атома Z
I  13,6  Z
(18)
Но в настоящее время чаще всего применяются экспериментальные значения
I,
полученные при изучении пробегов заряженных частиц в веществе. В работе [5],
результатами которой пользовались для расчета времен замедления быстрых позитронов в
различных средах, для определения величин (dE / dx) использовались экспериментальные
величины [10].
3. Учет влияния поляризации среды на средние энергетические потери. Эффект
плотности [4,5]
Основная формула (16) для расчета ионизационных потерь получена в приближении,
в рамках которого (dE / dx) определяются как столкновение быстрого позитрона с
отдельными атомами среды, что вполне оправдано в случае космической плазмы. Однако, в
плотных газах при высоких давлениях и в конденсированных средах во взаимодействие с
пролетающим позитроном могут одновременно вовлекаться много атомов. При этом атомы,
расположенные вблизи траектории позитрона, поляризуются, что приводит к уменьшению
электромагнитного поля, действующего на электроны, находящиеся на больших
расстояниях. Это приводит к уменьшению значений величин средних энергетических
5
потерь (dE / dx) . Поскольку поляризация среды позитроном пропорциональна числу
электронов n в 1 см3 вещества, то этот эффект получил название эффекта плотности. С
учетом поправки на плотность выражение (16) имеет вид
2
mc
 dE 

  2C 2

 dx 


( I / 10) 

 B0  2nZ  n



Z 



(19)
Величина  представляет собой поправку на плотность в формуле (16) и может быть
записана в виде [11]

 i2   2

1
f

og
 e 2 (1   2 )


i
2
Z i
 i

(20)
Здесь f i - сила осциллятора для i - перехода, частота которого  i , Частоты  i выражаются
 ne 2
через частоту электронной плазмы среды  p  
 m



1/ 2
. Отсюда  i   i /  p . Частота 
находится из уравнения
1

2
1 
fi
1

2
Z i  i  2
(21)
В первом приближении эти частоты могут быть получены через ионизационные
потенциалы различных электронных слоев.
Величины пробегов позитронов в различных средах определяются выражением
 dE   
R  
dE ,
dx 
0
E
(22)
где E - начальная энергия падающего позитрона.
4. Аннигиляция позитронов на лету
Экспериментальные исследования закономерности аннигиляции на лету проводились в
работах [12-15]. Было показано, что доля позитронов, аннигилирующих на лету, равна 1-3
% от общего числа всех позитронов.
Следуя [7,15], поперечное сечение процесса двух квантовой аннигиляции на лету может
быть записано в виде
6
ro2  k
2
k
E 1  E 1 
d  2

  dk
  2
E  1  k  k
kk   kk   
(23)
Здесь r0  e 2 / mc2 - классический радиус электрона, энергия позитрона, включая mc2 энергию массы покоя, равна Emc2 , а энергии двух гамма-квантов равны kmc2 и k mc2 , где
k  k  E  1. По закону сохранения необходимо, чтобы энергии испущенных фотонов были
заключены между экстремальными значениями
k
1
( E  1)  ( E 2  1)1 / 2
2
(24)
Вероятность аннигиляции позитрона с излучением фотона, соответствующего энергии
dk на расстоянии пути dx равна
1
 dE 
NZddx  NZd 
 dE
 dx 
(25)
Здесь N - число атомов на единицу объема, а Z  число электронов в атоме. Скорость
энергетических потерь дается выражением (19). Если все позитроны имеют начальную
энергию E H , то можем получить число аннигиляционных фотонов, приходящихся на
интервал dk , отнесенных к одному позитрону.
Проинтегрируем (25) по энергиям позитрона от E H до наименьшего значения E ,
при котором еще могут испускаться гамма-кванты, соответствующие интервалу dk. Это
минимальное значение может быть определено из (24) в виде
Emin  k  (k  1) /( 2k  1)
(26)
Так как источником позитронов являются   радиоактивные ядра ( Na 22 , Cu 64 , Al 26 и т.д.),
то позитроны, влетающие в среду, имеют в начальный момент имеют низкоэнергетический
  спектр, Поэтому необходимо определить долю позитронов   спектра, которые при
замедлении имеют энергии в интервале dE . Она определяется вероятностью Q в интервале
от E до E  dE
7
E0
Q( E , E 0 )   q ( E , E 0 )dE ,
(27)
E
где низкоэнергетический q( E, E0 )    спектр, нормированный к единице, с конечным
значением энергии E0 .
Тогда общее число фотонов в интервале dk на один позитрон, усредненное по
низкоэнергетическому   спектру, может быть определено как
n(k , E 0 , Z )dk  dk
E0

EH
1
 d  dE 
NZ 
 
 Q( E , E 0 )dE
 dk  dx 
(28)
Так как средние энергетические потери пропорциональны числу электронов NZ в единице
объема среды, то аннигиляционный спектр (28) зависит от вида среды через логарифм
ионизационного потенциала I .
5. Квазиатомные системы e  H  ( PsH ) в гидридах металлов и космической плазме
Времена замедления позитронов. Время квазитермализации
Как и в [5], разобьем эту задачу на три части, соответствующих интервалам энергии
позитронов, движущихся в космической плазме.
1) Энергия позитрона выше, чем 0,01 МэВ.
2) Энергия позитронов ниже, чем 0,01 МэВ, но выше минимальной энергии
возбуждения электрона атома водорода (Евозб).
3) Энергия позитрона ниже, чем (Евозб).
Рассмотрим времена замедления позитрона для этих трех энергетических областей:
1. E  0,01 МэВ. Время замедления позитрона в этой области может быть рассчитано по
формуле
E1
1

 1 
t  
 dE
 dE / dx  v 
E0 
(29)
Здесь E0 и E1 - начальная и конечная энергии позитрона соответственно, v  скорость
позитрона, а (dE / dx)  энергетические потери на единицу длины пробега. Для ионных
кристаллов
8
A  dE 
 dE  Akat  dE 



  a 
 ,
 dx  M  dx  kat M  dx  a
(30)
где M - молекулярный вес, а Akat и Aan атомные веса катиона и аниона.
Интегрирование (29) с использованием данных Нелмса [5] по (  dE / dx) дают для
интервала энергий 0,55 МэВ – 0,01 МэВ следующие времена замедления: в кристаллах:
NaJ - 4,05  10 12 c; AgCl  2,51  10 12 c . То есть времена замедления в этой области
t1  10 12 с .
2. 0,01 МэВ>E>Eвозб.
В этой области энергии позитрона в веществе борновское приближение для расчета
(  dE / dx ) уже неприменимо, а более точные расчеты громоздки и трудоемки. Поэтому для
оценки времени замедления позитрона в этой области можно воспользоваться:
а) в области до E  500 эВ формулой (29):
б) в области E  500 для грубой оценки верхнего предела времени замедления
можем считать столкновения упругими, а сечение  столкновения по порядку величины
равным геометрическим размерам ионов. Скорость энергетических потерь (  dE / dt ),
обусловленных взаимодействием позитронов с атомами и ионами, в результате которого
позитрон переходит из состояния k в состояние k  определяется стандартным выражением
средних энергетических потерь

где 
dE
 N iV i E  Wi E ,
dt
(31)
- средние энергетические потери энергии позитроном, приходящиеся на одно
столкновение, N i - число рассеивающихся центров в единице объема i - вида (катион или
анион), v - скорость позитрона,  i - сечение взаимодействия, Wi - вероятность процесса
рассеяния.
Величина  в приближении квазиупругих столкновений может быть приближенно оценена
как
  2m / M
(32)
Здесь m - эффективная масса позитрона, а M - масса рассеивающего центра.
Для расчета времени термализации используем известное выражение
9
t
E2
dE
 (dE / dt )
(33)
E1
Подставляя (31) в (33), получаем время замедления в этой области
1/ 2
1/ 2
 1  
2(m )1 / 2  1 
     
t
2N i i  E1 
i
 E0  
(34)
Оценки для времени замедления движущегося позитрона по формулам (29), (34) дают
следующие значения: для кристалла NaI и AgCl в области энергий 0,01 МэВ – 500 эВ
 1,0  10 13 с, а в области E  500 эВ  0,01  10 13 с.
Указанием на интенсивный процесс замедления в рассмотренных областях энергий
позитрона 1) и 2) служат также расчеты функции n(k , E0 , Z ) (28). Оценки для атомов
водорода, воды, AgCl, NaJ , Ge и Si показали, что максимум функции n(k , E0 , Z )
соответствует энергии фотонов 0,5mc 2 . Вероятности испускания фотонов с энергиями
выше, чем энергия 0,5mc 2 . невелики и поэтому можем пренебречь аннигиляцией на лету (по
крайней мере вплоть до энергий позитронов порядка энергий электронов атомов).
Максимум спектра AgCl, NaJ , Ge и Si повышаются примерно на 15 % по сравнению с
атомами водорода и воды. Еще раз следует отметить, что борновское приближение,
использованное при выводе формулы (28), не применимо, так как в этом случае следует
учитывать кулоновское взаимодействие электронов и позитрона.
В этой области энергий позитронов, равной энергии электронов внешних атомных
оболочек, воспользуемся данными расчетов процесса аннигиляции позитронов на лету с
учетом этого взаимодействия [16] позитрона с ионами
H  в LiH с учетом его
взаимодействия с усредненным атомным полем ионов.
Известно [16], что вероятность 2
- аннигиляции медленных позитронов при
столкновениях с ионами H  в LiH может быть записана в виде
W A  4,52  10 9
d
neff
A
(с-1),
(35)
10
где d - плотность, À - молекулярный вес LiH , neff - усредненная позитронная плотность
по
положению
позитрона
в
ионе
H.
С
помощью
однопозитронных
 El 
и
одноэлектронных  nl волновых функций neff дается выражением

neff   
nl 0
 nl2 (r )  E2l
r2
dr   I nl , El 
(36)
nl
Здесь 10  rR10 (r ) ;  El   rR El  (r ), R10 (r ) и REl  (r ) - радиальные части, соответственно,
электронной и позитронной волновых функций; суммирование в (36) производится по всем
электронам иона. Для системы H  + налетающий позитрон волновые функции 10 и  El 
были найдены из уравнений Хартри-Фока для случая непрерывного спектра системы e  H 
[16]
 1 d2 1

 
  F0nl ,nl  f10  10,10 f10 ,
2
r
 2 dr

(37)
 1 d 2 1 l (l   1)
10,10 
 
  El    El , El   El ,



2
F
0
2
2
2
r
dr
2
r


(38)
где

F010,10   f102 (r ) K 0 (r , r )dr ;
(39)
0
K 0 ( r , r ) 
1
при r   r ;
r
K 0 (r , r ) 
1
r
при r   r ;
(40)
( 10,10 - множитель Лагранжа, отвечающий условию нормировки волновой функции 10 на
11
единицу). Отметим, что система уравнений (37), (38) записана в ат.ед.
Решение уравнения (37) заключается в отыскании собственного значения 10,10 с учетом
граничных условий
10 (r ) | r 0  10 (r ) | r   0
(41)
Уравнение (38) имеет решение при любых положительных значениях  El , El  . Такие решения
ограничены на бесконечности и осциллируют. Для каждого заданного значения энергии
позитрона  El , El  ищем такую функцию  El  , которая обращается в нуль в начале
координат, а в области r переходит в асимптотическое решение вида
 El  
2

 r0

sin   p(r ) dr    ,

p (r )  0

(42)
2 Z  4 l (l  1)

r
r2
(43)
1
4
где
p (r ) 
Условие нормировки функции  El  в этом случае сводится к заданию определенной
амплитуды на бесконечности. Продолжая интегрирование уравнения (38) в область, где
потенциал принимает вид (43), до тех пор, пока не установятся последовательные
максимумы функции |  El (r )4 p(r ) | , находим нормировочный множитель
M 
2/
max |  El  (r )4 p(r ) |
(44)
Система уравнений (37), (38) с учетом граничных условий (41) и условий нормировки
решалась численно на ЭВМ. Для LiH d  0,76  0,80 г/см3, À = 7,948 г, - молекулярный
вес LiH и neff  2 I 10, El  .
Значения интегралов I 10, El  и вероятностей аннигиляции медленных свободных позитронов
на лету, рассчитанных по формуле (35), с энергиями в интервале значений от 0,025 до 40,95
эВ приведены в табл.1.
Таблица 1
12
Вероятности 2 - аннигиляции медленных свободных позитронов на электронах ионов H 
в гидриде лития LiH .
Энергия позитронов, эВ
Состояние
I 10, El
WA ,10 7 с-1
0,025
s
0,0144
1,32
0,025
p
0,0001
0,008
0,0546
s
0,60
5,48
0,0546
p
0,006
0,57
1,356
s
0,080
7,56
1,356
p
0,018
1,63
2,73
s
0,092
8,46
2,73
p
0,032
2,92
5,46
s
0,95
8,72
5,46
p
0,047
4,36
10,92
s
0,088
8,10
10,92
p
0,056
5,22
21,84
s
0,076
6,94
21,84
p
0,055
5,80
27,3
s
0,068
6,28
27,3
p
0,050
5,10
41,0
s
0,058
5,34
41,0
p
0,051
4,64
*/
В табл. 1 приведены уточненные данные величин I 10, El и WA , рассчитанные на основе
волновых функций, приведенных в [16,26].
Из данных табл.1 следует, что вероятность аннигиляции медленных позитронов на лету
приблизительно заключена в интервале значений 10 7  10 8 с-1 и намного порядков меньше
вероятности энергетических потерь ( 1013  1012 с-1). Кроме того, следует, отметить
13
зависимость вероятности аннигиляции WA от энергии позитрона (а следовательно и от его
скорости), хотя в формуле (45) эта зависимость в явном виде отсутствует, с максимумом
приблизительно 6 эВ. Это, по-видимому, связано с особенностями волновых функций
непрерывного спектра системы e  H  .
6. Анализ позитронных процессов в космической плазме
Рассмотрим в краткой форме особенности всех этих приведенных выше процессов в
космической плазме, следуя [1,2,17-34]. Отметим сразу же отсутствие эффекта плотности
для космической плазмы в виду малой ее плотности, рассмотренного в п.3. В области
высоких энергий позитроны, взаимодействуя с атомами Н, теряют свою энергию главным
образом на ионизацию атомов водорода и синхротронное излучение. Время замедления в
процессе ионизационных энергетических потерь и потерь энергии за счет синхротронного
излучения при плотности n ~ 1 см-3 и начальной энергии позитрона 108 эВ составляет
величину порядка 1014 с ~ 3•106 лет, а время жизни относительно аннигиляции равно 1,3•106
лет [17,19]. Отметим, что эти времена увеличиваются в межгалактической среде примерно
на 6 порядков, ибо плотность водорода в этой среде n ~ 1 м -3. Действительно, общие
пробеги позитронов в галактической среде с замедлением их до теплового равновесия с
атомами водорода составляют величины порядка 3  10 24 см, что примерно в 100 раз больше
расстояния до галактического центра. В межгалактической среде это расстояние примерно в
8
миллион раз становится большим, т.е. 3  10 30 см, что примерно в 10 раз больше расстояния
до галактического центра. Однако, как известно [20], галактическое магнитное поле
препятствует выходу космических лучей (в том числе и позитронов) в межгалактическое
пространство, что приводит к явлению диффузии галактических лучей. Способны выходить
в межгалактическое пространство лишь космические лучи с очень высокими энергиями. В
галактической среде, по-видимому, наблюдаются потоки позитронов во всех интервалах
энергий (от ультрарелятивстских энергий до энергий позитронов, соответствующих
энергиям теплового равновесия позитронов с атомами галактической среды) при условии,
что источниками позитронов являются галактические объекты (черные дыры, вспышки
сверхновых и т.д.) и взаимодействие протонов ядер космических лучей с межзвездным
газом (космической плазмой).. Отметим, что в приведенных выше оценках времен
различных процессов пренебрегали
возможностью различных механизмов ускорения
позитронов в галактическом и межгалактическом пространстве [20].
Таким образом, некоторая часть быстрых позитронов теряет свою энергию и замедляется
до энергий порядка энергии атомных электронов в галактической и межгалактической
средах за время, меньшее, чем время жизни относительно аннигиляции. Как показывают
14
расчеты [1,19], процесс аннигиляции пар на лету в области высоких энергий менее
вероятен, чем процесс ионизационных энергетических потерь. В этой области энергий
позитроны участвуют в процессе квазиупругих столкновений с поперечным сечением,
равным по порядку величины геометрическим размерам атома Н. Время замедления
позитронов в этой области энергий определяется выражением [23]


t  2m1 / 2 / 2 n 
1
1/ E 
1/ 2
I
 1 / E0 
1/ 2
,
(45)
где m - масса позитрона,   2m / M - средние потери позитрона на одно столкновение,  поперечное сечение столкновения, E I и E0 - начальная и конечная энергии позитрона
соответственно, M - масса атома водорода.
Оценки по этой формуле дают возможность заключить, что t гораздо меньше времени
жизни позитрона относительно аннигиляции при столкновениях [19]. Таким образом,
позитроны могут быть “квазитермализованными” в атмосфере космической плазмы.
Особенно большое значение имеют процессы образования позитрония (Ps) и
квазиатомных систем e  H и e  H  [24-28] в космической плазме, резко укорачивающих
время жизни позитрона. Вероятность образования позитрония заключена в пределах
(VI  6,8  Vi ) / VI  P  6,8 / Vi
(46)
Здесь P - вероятность образования Ps, VI  энергия первого возбужденного состояния Н,
Vi - энергия ионизации атома Н. Процесс образования по Ору [29] рассматривается как
эндотермическая реакция замедленного позитрона с атомами Н. Порог этой реакции
определяется потенциалом ионизации атома Н Vi  13,6 эВ и потенциалом ионизации Ps 6,8
эВ и оказывается равным Et  (Vi  6,8) эВ. Верхним энергетическим пределом является,
естественно, положение первого электронного уровня
возбуждения атома Н Vi . Пока
энергия позитрона превышает VI , над процессом образования Рs преобладает возбуждение
атома Н, а при энергии позитрона, большей Vi - ионизация. Интервал энергии  от VI до
(VI  6,8) эВ называется щелью Оре. Оценки показывают, что значение щели Оре для
атомов Н – величина существенно положительная, и вследствие этого в космической плазме
газе возможен обильный выход позитрония. По оценкам для атомов Н, вероятность
образования Ps
P  0,3
[19,21,6,24-28], что также подтверждается более точными
детальными расчетами [30]. Отметим, что время жизни ортопозитрония относительно
15
аннигиляции составляет  t  1,4  10 7 с, а парапозитрония  s  1,25  10 10 с. Не исключено
также образования так называемых комплексов Уилера состава e2 e  в космической плазме
с большой концентрацией электронов [31].
Очень медленные позитроны с энергиями, меньшими Vi , уже не могут эффективно
образовывать Ps. Они могут либо аннигилировать при упругих столкновениях, либо
образовать связанную квазиатомную систему e  H . Энергия связи позитрона с атомом Н
составляет величину порядка 0,29 эВ, а время жизни позитрона относительно аннигиляции
 e H  2,42  10 10 с [27,18]. Однако система е+Н динамически не стабильна в отношении

выброса позитрония. В этом направлении необходимы более точные теоретические
расчеты.
Несомненно, что связанные позитрон-атомные и позитрон-молекулярные системы
играют важную роль в специфических процессах взаимодействия позитронов в
космической плазме. Для выяснения особенностей процессов взаимодействия позитронов с
атомами и молекулами космической плазмы особая роль принадлежит
исследованию
связанных состояний позитронов в многоэлектронных системах. Знать свойства таких
состояний необходимо как для изучения механизмов аннигиляции, так и для описания
элементарных процессов с участием позитронов в космической плазме. Особая роль в
космической плазме несомненно принадлежит связанным состояниям позитрона на атомах
водорода и отрицательных ионах водорода, как наиболее значимых в плазме [17,30,32] в
ряде специфических условий, а также на других атомах и отрицательных ионах и частицах
пыли [33,34], входящих в ее состав. Ниже рассматривается проблема позитронсодержащих
атомных систем в космической плазме в рамках метода Хартри-Фока [35] с полным
самосогласованием, примененная ранее для исследования таких систем в ионных
кристаллах [24-28].
7. Уравнения Хартри-Фока с полным самосогласованием для позитронсодежащих
атомных систем
Волновую функцию системы, состоящей из m-электронного атома (отрицательного
иона) и связанных с ними позитрона, выбираем в виде
mk
k
(q1 / q2 )   t (r0 )( k!) 1 / 2  () p  i ( Pqi )[m  k )!]1 / 2  () p  i ( Pq2 ) ,
p
i
p
(47)
i
где q1  совокупность пространственных координат k - электронов с одной ориентацией
спина, q 2 - остальных m  k электронов с противоположной ориентацией спина; P 16
оператор перестановки электронов;  i  одноэлектронные, а  t  однопозитронная
координатные волновые функции системы; i и t заменяют набор квантовых чисел n, l.m.
Заметим, что классификации однопозитронных и одноэлектронных состояний в системе
независимы, т.е. могут принимать все значения начиная с n  1 и l  0.
Представленная таким образом волновая функция системы антисимметрична
относительно перестановок любой пары электронов с одной ориентацией спина. Наложение
условий симметрии относительно перестановок электрона и позитрона не имеет смысла, так
как гамильтониан системы несимметричен относительно перестановки этих частиц.
Принимая во внимание, что одноэлектронные функции ортонормированы, а
однопозитронная нормирована на единицу, из условия минимума энергии получаем
систему уравнений Хартри-Фока
2[ H  (r )  V (r )  U (r )] p (r )  
[ H  (r )  V (r )  U (r )] p (r )  
mk
 (1) (r , r )   ( 2) (r , r )
 p (r )dr     p  i (r ); p  1,2,...k (48а)
| r  r |
i 1
i
mk
 ( 2) (r , r )
 p (r )dr     p  i (r ); p  k  1, k  2,..., m  k (48б)
| r  r |
i 1
i
[ H  (r )  V (r )] k (r )]   k  k (r ),
(48в)
где
1
Z
H    2 
2
r
(49)
- операторы кинетической и потенциальной энергии в поле ядра, электрона и позитрона
соответственно;
V (r )  
 (1) (r , r )   ( 2) (r , r )
 p (r )dr 
| r  r |
(50)
- оператор электростатического взаимодействия с электронами;
17
U (r )]  
 2 (r )
dr 
| r  r |
(51)
(1)
- оператор электростатического взаимодействия электронов с позитроном;  (r , r ) 
зарядовая плотность, соответствующая электронам с одной ориентацией спина, а
 ( 2) (r , r )  с противоположной;  2 (r )  пространственная плотность заряда позитрона;
k
 (1) (r , r )   p (r ) p (r ),
(52а)
p 1
mk
 ( 2) (r , r )   p (r ) p (r )
(52б)
p 1
-смешанные плотности, соответствующие обмену между электронами;
p и
i
k
-
множители Лагранжа для электронов и позитрона, отвечающие условиям ортогональности
и
нормировки
одноэлектронных
волновых
функций
и
условию
нормировки
однопозитронной волновой функции соответственно.
Полученная система (48а-в) отличается от обычной системы уравнений Хартри-Фока
для
(m+1)-электронного
атома,
во-первых,
знаком
членов,
соответствующих
взаимодействию позитрона с остальными членами системы, во-вторых, отсутствием обмена
между позитроном и электронами. Учет обмена между этими частицами выходит за рамки
нерелятивистского рассмотрения [24-26], достаточного для решения поставленной задачи.
В конкретных задачах по методу Хартри-Фока для атомов с одним оптическим
электроном обычно сначала интегрируется сначала система уравнений для атомного остова,
а затем – уравнение для оптического в поле остова иона. В нашем случае позитрон
аналогично оптическому электрону в поле атома (отрицательного иона) находится на
периферии многоэлектронной системы. Тем не менее указанное приближение здесь не
приемлимо, так как присутствие второго положительного заряда (позитрона) в системе
значительно изменяет электронную структуру атома (иона). По этой причине в данном
случае необходимо проведение интегрирования системы уравнений Хартри-Фока в строгой
постановке (с полным самосогласованием), т.е. с последовательным учетом взаимодействия
между всеми частицами, входящими в систему. Очевидно, что энергия связи позитрона с
атомом (анионом) равна
18
~
~
 e  Ei  E = ECF ( N  2)  ECF ( N )
(53)

~
~
где Ei  ECF ( N  2) энергия аниона (атома), E  ECF ( N ) полная энергия системы е+ - анион
(атом) [27,28].
Таким образом, для вычисления знергии связи позитрона  e  необходимо иметь не
только полную энергия системы е+ - анион (атом), но и рассчитанную по методу ХартриФока энергию атомного остатка, остающегося после аннигиляции пары.
Энергия связи системы е+ - анион (атом) в отношении распада на атом позитрония и
атомный остаток, т.е. сродство к позитронию, в свою очередь равна [27,28]
~
~
cp
~HF
[ Ps( nL)]  E HF ( N  2)  E Ps ( nL)  E HF ( N ) ,
где
~
~
E HF ( N ), E HF ( N  2)
-
хартри-фоковская
энергия
(54)
системы
e  A
и
атома
А
соответственно, а E Ps (nL )  1 / 4n 2 - энергия позитрония в nL состоянии.
8. Времена жизни позитронов в связанных состояниях и угловая корреляция
аннигиляционных  - квантов
Задача по аннигиляции позитронов тесно связана с проблемой позитронноэлектронных состояний и процессов в космической плазме [17-20]. Одним из наиболее
эффективных
методов,
применяемых
для
расчета
процесса
аннигиляции
в
многоэлектронных системах, является метод Хартри-Фока, так как различные процессы
взаимодействия электронно-позитронного поля с полем излучения и внешним полем
обычно рассматриваются в одноэлектронном приближении (cм. работы Чжан Ли [36,37]).
Применим схему Чжан Ли для расчета стационарных состояний и аннигиляционных
переходов системы позитрон+многоэлектронный атом (анион) и одного позитрона, где роль
внешнего поля играет кулоновское поле неподвижного ядра атома, с которыми
взаимодействуют электрон и позитрон.
Выше показано, что в приближении Хартри - Фока конфигурационная волновая
функция системы из n электронов и позитрона записывается в виде произведения
одноэлектронных волновых функций
на позитронную волновую функцию  t (r ,  ) ,
удовлетворяющего условиям ортонормированности
где W - математическое ожидание оператора Н0 + Н1 (Н0 - гамильтониан частиц во внешнем
19
поле; Н1 - гамильтониан кулоновского взаимодействия частиц), в состоянии, имеющем n
электронов и позитрон, при добавочных условиях ортонормированности приводит к
уравнениям самосогласованного поля Хартри - Фока для системы из n электронов и одного
позитрона во внешнем поле.
Найденные из уравнений Хартри - Фока одночастичные волновые функции
используются для расчета в рамках квантовоэлектродинамической теории возмущений
вероятности перехода в одну секунду [7]
  2  n , H ,  0   n ,
2
0
(55)
- векторы состояний, включающие  i r j ,  j  и  t r ,   и описывающие
n
n
- плотность состояний.
Для наиболее вероятного процесса второго порядка теории возмущений вероятность
двухквантовой аннигиляции позитрона, просуммированная по различным состояниям
электронов, усредненная по спинам начального состояния и просуммированная по
поляризациям излучаемых фотонов, имеет вид [26]
 k   r02 c  exp  ik r  i r   t r  dr  r02 c   p    r02 c   i  p  .
2
n
i 1
(56)
i
Здесь интегрирование проводится по всему объему квазиатома позитрон-анион; k  k1  k 2
-суммарный волновой вектор аннигилирующей пары.

Исследования показывают, что в кристалле величина   p  или  k равна

 p     dr exp - ikr  nlm  t

2
.
(57)
nlm
Здесь суммирование проводится по всем nlm  состояниям электронов квазиатома с
квантовыми числами nlm.
Позитроны,
принимающие
участие
в
процессе
аннигиляции,
предварительно
термализуются. Вследствие этого, в относительном движении электронно-позитронной
пары будет доминировать движение электронов вещества и доплеровский сдвиг будет
20
определяться особенностью электронного окружения вокруг места аннигиляции позитрона.
Для нерелятивистских электронов доплеровский сдвиг аннигиляционных  квантов дается
выражением
E  cpl / 2
(58)
Здесь p l - компонента импульса пары в направлении распространения гамма-квантов. Для
типичных значений энергий электронов в несколько эВ и термализованного позитрона
получаем E  1,2 эВ. В экспериментах, где определяются энергии ряда определенных
аннигиляционных фотонов, доплеровский сдвиг индивидуальной аннигиляционной линии
будет приводить к уширению аннигиляционного фотопика (см. рис.2 в [21]), которое
обычно называется доплеровским уширением.
Хотя, в принципе, возможно разложение аннигиляционного фотопика с целью
определения импульсного распределения, обычно используют простой параметр формы,
характеризующий фотопик. Обычно используются два параметра: S (для формы) и W (для
крыльев кривых). Определение этих параметров схематически представлено на рис.3 в [21].
Параметр S определяется как отношение числа счетов (т.е. площади) в центральной области
спектрального пика к общему числу счетов (площади) в пике, а W определяется как
отношение счетов в области крыльев к общей скорости в пике. S и W параметры
определяют форму одномерного импульсного распределения
S ,W  
i
 
 
  
tot   

 dp x dp y  ( p) / 
  dp dp
x
y
 ( p) ,
(59)
где  i - определенное значение энергетического окна для S и W по определению. S и W
параметры имеют простую связь с доплеровским уширением: например, если наблюдается
узкий аннигиляционный пик, то это означает, что аннигиляция идет в основном на
медленных электронах, а если S параметр велик, то на быстрых. Таким образом,
аннигиляция валентных электронов отражается в S параметре, а аннигиляция с электронами
ионного остова - в W параметре.
Использование простых параметров, таких как S и W, дает исчерпывающую
информацию о дефектах типа объемов открытого типа и внутренних электрических полях.
Абсолютные величины S и W параметров имеют малую физическую значимость, так как
21
они определяются положением окон, выбранных по определению. Относительные
изменения этих параметров позволяют получать информацию об участках аннигиляции.
Вследствие этого, S и W параметры обычно нормируются относительно величины,
свойственной «бездефектным участкам». Нормированные величины могут быть сравнены
для различных участков и различных экспериментальных установок. Так как параметры
доплеровского уширения измеряются очень быстро, то они часто используются для
определения сравнительной концентрации определенных атомов в участках.
Время жизни позитрона в квазиатоме определяется выражением

  W 1 , W    k .
(60)
k
УРАФ определяется относительной вероятностью


P k   k /  0 .
(61)
В экспериментах, однако, функция P(k) не наблюдается, так как измеряется обычно
относительная вероятность, зависящая от z-компоненты импульса p = hk
P(k z )  I (k z ) / I (0) ;
(62)
I(k z )   P(k )dk x dk y .
(63)
Импульсное распределение центров масс аннигилирующих электронно-позитронных
пар определяется выражением
Np   p 2    p  d  p 2    i  p  d i .
(64)
i
Для позитрона, связанного с атомом или отрицательным ионом, время жизни
позитронного состояния по отношению к двухквантовой аннигиляции, усредненное по
22
начальным спиновым состояниям позитрона и электронов равно [24-26,36,37]

1
  (k }

1
1 0
,с
r c 0 K 
2
0
(65)
k
Здесь r0  классический радиус электрона, с – скорость света;
     nlm (r )  2 (r )dr
(66)
nlm
- электронная плотность, усредненная по положению позитрона в отрицательном ионе
(атоме);  0  1 /(8a03 )  электронная плотность в нуле в атоме позитрония в основном
состоянии, усредненная по начальным спиновым состояниям, а r02 c 0  скорость
аннигиляции в позитронии; a0  радиус первой боровской орбиты;
2
K     (d ) , (d )  dr1 dr2 ...drm1
(67)
K - фактор, учитывающий изменение волновых функций электронов, не участвующих в
аннигиляции;   - полная волновая функция атомного остатка, остающегося после
аннигиляции пары в сиcтеме е+-анион (атом);  - волновая функция атомного остова в
отрицательном ионе, деформированном позитроном.
Представляет также интерес среднего времени жизни в дискретном спектре систем
позитрон-анион. Время жизни связанного состояния n по отношению к радиационному
переходу равно [21,26]
tn 
1
,
 Ann
(68)
En   En
где
23
4
Ann   3 3 | rnn | 2 (а. е.)
3
(69)
вероятность радиационного перехода из состояния n в состояние n , | rnn | - матричный
элемент электрического дипольного момента,   En  En (а. е.).
9. Дискретный спектр системы e  H 
Ранее нами было проведено [24-26] численное решение системы e  H  , состоящей из
иона водорода H  и связанного с ним позитрона в основном и ряде возбужденных
состояний 1s 2 (1s),1s 2 (2s),1s 2 (2 p),1s 2 (3s),1s 2 (3 p),1s 2 (3d ),1s 2 (4s),1s 2 (4 p) , 1s 2 (4d ) , 1s 2 (4 f ) . (В
скобках заключены позитронные состояния различных конфигурации 1s 2 (nl ) ).
Уравнения (2а-в) для радиальных одноэлектронных и однопозитронных волновых
функций системы e  H  с конфигурацией 1s 2 (nl ) в этом случае записывали в виде
 1 d2 1

 
  F0nl ,nl  f10  10,10 f10 ,
2
r
 2 dr

 1 d 2 1 l (l  1)

 
 
 2 F010,10   nl   nl ,nl  nl ,
2
2
r
2r
 2 dr

(70)
(71)
Здесь f10 (r ) и  nl ,nl ( r ) - радиальные части одноэлектронной и однопозитронной волновых
функций соответственно, удовлетворяющие следующим граничным условиям
f10 (r )  f10 ()  0;  nl (0)   nl ()  0

10,10
0
F
  f (r ) K 0 (r , r )dr ; F
2
10
0
nl , nl
0
(72)

   nl2 (r ) K 0 (r , r )dr 
(73)
0
24
K 0 ( r , r ) 
1
при r   r ;
r
K 0 (r , r ) 
1
r
при r   r ;
(74)
10,10 и  nl, nl - множители Лагранжа, отвечающие условиям

f
0

2
10
(r )dr  1;   nl2 (r )) dr  1
(75)
0
Основные результаты численного решения системы уравнений (70), (71) с учетом
граничных условий (72), (75) (cобственные значения 10,10 и  nl, nl , величины полной
энергии E системы e  H  и отрицательного иона водорода E H   0,5 а.е. и значения
энергии связи позитрона  e  в эВ (  e   E H   E ).)) приведены в нашей табл.2 и на рис.1,2
работы [26]. Там же для сравнения приведены энергии связей позитрона системе e  H  ,
полученные рядом авторов [29,38, 41-43] в рамках различных методов вариационных
расчетов. Кроме того в табл.2 приведены уточненные посредством численного
интегрирования значения вероятностей радиационных и аннигиляционных переходов
(табл.2,3) в связи с допущенными рядом неточностей в [26].
Величина полной энергии вычислялась по формуле
2
2



  2 1
1   d nl 
1
 df10 
2 1
E  
 dr   
 dr  l (l  1)   nl 2 dr   2 f10 dr    nl2 dr 
dr 
2  0  dr 
r
r
r

0
0
0
0

(76)


1
1
  F010,10 f102 dr  2 F0nl ,nl f10 dr  K10  K nl  2V10  Vnl  U 10,10  2U 10,nl
r
r
0
0
25
Таблица 2
Энергия системы e  H  в основном и ряде возбужденных состояний. Энергия связи
позитрона с отрицательным ионом водорода
*/
Состояние
- 10,10
-  nl, nl
- E , а.е.
 p , эВ
1s 2 (1s)
0,2988
0,1910
0,6675
4,57
0,753 [13]
6,90 [13]
0,758 [25]
7,04 [25]
0,800 [22]
8,19 [22]
0,759 [26]
7,07 [26]
0,774 [27,28]
7,48 [27,28]
1s 2 (2 p)
0,2144
0,1033
0,5895
2,72
1s 2 (2s)
0,1592
0,0705
0,5561
1,53
1s 2 (3d )
0,1542
0,0543
0,5471
1,29
1s 2 (3 p)
0,1362
0,0486
0,5423
1,15
1s 2 (3s )
0,1160
0,0376
0,5333
0,91
1s 2 (4 p)
0,1027
0,0282
0,5253
0,69
1s 2 (4s)
0,0929
0,0231
0,5211
0,58
1s 2 (4d )
0,1044
0,0305
0,5185
0,51
1s 2 (4 f )
0,1081
0,0312
0,5190
0,52
1s 2 (6s)
0,1057
0,0106
0,5031
0,085
1s 2 ( H  )
0,0927
0,4885
~0,75*
Энергия связи электрона в ионе ( H  )
26
10. Вероятности аннигиляционных и радиационных переходов в системе e  H 
Представляет интерес расчет вероятностей захвата свободных позитронов на уровни
энергии системы e  H  . Согласно [26], эти вероятности оцениваются по формуле
W p  4,3 Av (c-1),
A
( 0   nl ) 3
0
(77)
| rnl , 0 (l 1) ) | 2
(78)
Здесь v - скорость, а  - энергия свободного позитрона; для термализованного позитрона в
веществе   9,16  10 4 а.е., | rnl , 0 (l 1) ) | 2 - матричный элемент электрического дипольного
момента, в котором одна из однопозитронных функций принадлежит непрерывному
спектру.
Те же волновые функции непрерывного спектра использовались для вычисления
скоростей двухфотонной аннигиляции свободных позитронов в поле отрицательных ионов
водорода
WA  1,5  10 14 KN , (с-1)

  2
0
f102 (r )  2l
dr ,
r2
(79)
(80)
где N - число отрицательных ионов водорода в единице объема среды, Для гидрида лития
( N  6,062  10 23 см-3), а в космической плазме ( N  1 10 см-3) и таким образом в этом
случае можно пренебречь процессом двухфотонной аннигиляции свободных позитронов в
поле отрицательных ионов водорода.
Скорость аннигиляции связанных с H  позитронов в LiH вычисляли по формуле
W A  0,402  1010

K
0
(с-1),
(81)
где

  2
0
f102 (r )  nl2
dr
r2
(82)
Таким образом, скорость аннигиляции в связанных состояниях не зависит от плотности
среды.
27
Полученные значения вероятностей захвата и скоростей аннигиляции связанных и
свободных позитронов в поле H  представлены в табл.3.
Таблица 3
Скорости аннигиляции связанных и свободных позитронов в поле H  и вероятности
захвата термализованных позитронов отрицательным ионом водорода
Состояние
K
 ,10 2 а.е.
WA ,108 c 1
r 0l  nl 
W p ,108 c 1
1s 2 (1s)
0,91
0,24
2,2
0,85
0,24
1s 2 (2 p)
0,88
0,09
0.757
15,94
3,30
1s 2 (2s)
0,88
0,046
0,422
29,48
49,6
1s 2 (3d )
0,88
0,0114
0,124
20,68
3,30
1s 2 (3 p)
0,89
0,022
0,201
173,5
170
1s 2 (3s )
0,89
0,016
0,160
104,4
30,2
538,5
370
1s 2 (4 p)
*/
1s 2 (4s)
0,89
0,008
0,069
1s 2 (4d )
0,89
0,008
0,072
1s 2 (4 f )
0,89
0,0085
0,077
1s 2 (6s)
0,90
0,034
0,315
1s 2 ( 0 s )
-
0,0288
-
1s 2 ( 0 p)
-
0,0002
-
В табл. 3 приведены уточненные данные величин  , I 10, El и WA , рассчитанные на
основе волновых функций, приведенных в [16,26].
В системе e  H  , когда она находится в возбужденных состояниях, наряду с
аннигиляцией связанных позитронов могут происходить радиационные переходы на
нижележащие уровни.
Вероятности радиационных переходов позитрона с каждого подуровня s, p, d
-
28
состояний с n  2,3,4 во все более низкие состояния с n , l  1 рассчитывались по формулам
An ,l ;nl 1  2,13  1010
l
 3 | rn ,l ;nl 1 | 2 , с-1
2l  1
(83)
An ,l ;nl 1  2,13  1010
l
 3 | rn ,l ;nl 1 | 2 , с-1
2l  1
(84)
где | rn,l ;n,l | 2 - матричный элемент электрического дипольного момента, а    nl   n,l  .
Результаты приведены в табл.4.
Таблица 4
Вероятности радиационных переходов переходов в системе e  H  в ( 10 8 c 1 )
Состояние
1
начальное
конечное
2p
ns
2
3
4
Константа
распада
0,565
-
-
-
0,565
0,067
-
-
0,067
(4,0918)
2s
np
-
(-5,015)
2
Среднее
0,425
-
-
-
0,425
3d
np
-
-
-
-
-
3p
nd
-
-
-
-
-
3p
ns
0,0567
0,0184
-
-
0,0751
(0,7182)
(9,9128)
-
-
0,0074
-
-
3s
np
(11,7419)
3
Среднее
-
-
-
-
-
4f
nd
-
-
0,234
0,003
370
(10,7299)
(-15,608)
-
-
4d
nf
-89
-
-
29
4d
np
-
-
0,141
-
-
0,005
-
(11,0757)
4p
nd
-
-
-
(-20,18)
4p
4s
ns
np
0,023
0,005
0,007
(0,3416)
(1,5478)
(17,132)
-
-
-
-
-
0,002
-
(-20,804)
4
Среднее
-
-
-
-
-
Примечание. В скобках приведены величины интегралов перехода.
11. Обсуждение результатов
В краткой форме проведем обсуждение полученных результатов в табл.2,3 и 4.
Отметим, что для этого в табл.2 приводятся ряд величин энергий, вычисленные в ряде
других работ [38-49]. В последнем столбце даны значения энергии связи позитрона с H  в
электронвольтах (  e   E H   E ). Полученные результаты показывают, что система e  H 
стабильна в отношении распада на позитрон и H  как в основном, так и в возбужденных
состояниях. В свою очередь следует отметить, что система e  H  , рассчитанная нами в
приближении метода Хартри-Фока, динамически нестабильна в отношении распада на атом
водорода и атом позитрония. Однако, расчетами в рамках вариационных методов [42-44]
было установлено, что полная энергия системы E , сродство к позитрону  e  иона H  и
позитронию E Ps атома H
составляют величины E  0,7868 а.е.,  e   7,0296 эВ,
E Ps  1.001 эВ соответственно. Время жизни позитрона относительно двухквантовой
аннигиляции в основном состоянии системы e  H  составляет величину   4,3  10 10 с.
Поэтому отметим, что в настоящее время к строго стабильным (устойчивым к выбросу
позитрона и позитрония, так что единственным каналом распада является канал
аннигиляции) можно отнести лишь гидрид позитрония e  H  .
Полученные значения вероятности захвата и скоростей аннигиляции связанных и
свободных термализованных позитронов в поле H  представлены в табл.2. Как видим,
вероятность аннигиляции свободных позитронов на ионах H  пренебрежимо мала по
сравнению с вероятностями двухфотонной аннигиляции связанных позитронов. Этот вывод
30
также вероятно применим и к космической плазме, содержащей в специфических условиях
большие концентрации ионов H  .
В системе e  H  , когда она находится в возбужденных состояниях, наряду с
аннигиляцией связанных позитронов могут происходить радиационные переходы на
нижележащие уровни (см.табл.3). Сравнение полученных значений скоростей аннигиляции
связанных позитронов и вероятностей радиационных переходов для тех же уровней
показывает, что на всех рассмотренных уровнях с n  2 практически осуществляются лишь
аннигиляция. Для уровней n  2 процессы аннигиляционных и радиационных переходов
конкурируют между собой. Действительно из данных табл.2 видим, что по мере перехода от
основного к возбужденным состояниям скорость аннигиляции резко падает, поэтому
малоинтенсивную короткоживущую компоненту дает аннигиляция с первых двух уровней
n 1 и n  2.
При этом следует отметить одно важное обстоятельство: вероятности радиационных
захватов термализованных позитронов в возбужденные состояния системы e  H  на
порядок и более превышают вероятность радиационного захвата позитронов в основное
состояние e  H  . Особенно велики эти вероятности в высоковозбужденные состояния
системы e  H  . Это говорило бы о том, что именно эти состояния e  H  и являются
превуалирующими в космической плазме. Однако при этом следует иметь в виду, что
энергии связи позитрона для этих состояний резко уменьшаются. При этом система e  H  ,
согласно (10), становится динамически нестабильной в отношении распада на атом
позитрония и атом водорода. Вариационные расчеты системы e  H  [27,28,41-44,48,49]
подтверждают этот вывод. Таким образом, образование позитрония в космической плазме
при наличии ионов H  может происходить посредством образования квазистабильных
высоковозбужденных состояний позитрона в системе e  H  и последующего ее распада на
атом водорода и позитроний. Но вклад ее в процессы образования позитрония вероятно
незначителен в силу протекания процесса H  H   H 2  e  , приводящего к малым
концентрациям H  в стандартной космической плазме [51-54]. Поэтому из-за малой
концентрации ионов H  в стандартной космической плазме процессами взаимодействия
позитронов с ними можно пренебречь. По-видимому, системы HPs (e  H  ) все-таки могут
играть заметную роль в аннигиляции лишь при определенных специфических условиях
существования пылевой космической плазмы. Действительно, энергия связи электрона с
атомом водорода согласно вариационным расчетам системы H  [26] составляет величину
31
порядка 0,8 эВ. Следовательно отрицательные ионы H  должны быть динамически
стабильны в пылевой космической плазме при температурах примерно  9000K .
В работе [30] было показано, что особенно большое значение имеют процессы
образования Ps при взаимодействии позитронов со свободными электронами и атомами H
в космической плазме, резко укорачивающих время жизни позитронов. Действительно,
экспериментальные данные подтверждают наличие обильного выхода позитрония
(практически 100 %) в космической плазме галактического центра.
Однако интересно рассмотреть и другие механизмы образования позитрония в
космической среде за счет процессов взаимодействия позитронов с частицами пылевой
космической плазмы при их характерных размерах 0,01  a  1 мкм [50-62]. Известно, что в
Галактической Плоскости, в частности, в окрестности Галактического Центра находится в
большом количестве межзвездная пыль, затрудняющая наблюдение этих областей в
оптическом диапазоне с характерным размером порядка  1 мкм [53-57]. Действием пыли
обусловлены два наблюдаемых явления в оптическом диапазоне: а) ослабление
наблюдаемого потока (так называемое межзвездное поглощение); б) в силу своего размера
пыль рассеивает преимущественно кванты, соответствующие голубой длине волн, тем
самым происходит покраснение спектров, т.е. наблюдаемый спектр становится более
красным, чем испускаемый, в то время как рассеиваемый спектр более голубой, чем
исходный. Подобный феномен происходит в Земной атмосфере.
Налипание на космические частицы пыли электронов из межзвездного газа и
фотоионизация пылинок ультрафиолетовым излучением приводят к тому, что пылинки
оказываются электрически заряженными и их электрический заряд может достигать
величин порядка десятка элементарных зарядов. Существующий на космической частице
пыли электрический заряд (сила Лоренца) привязывает эту пылинку к межзвездному
магнитному полю, которое всегда присутствует в галактиках. Эти рассеивающие частицы
состоят обычно из заряженных частичек углерода, карбидов и силикатов и возможно
других заряженных ионов, окруженных атомами водорода, молекулярного водорода, воды и
гелия и т.д. В наиболее плотных участках межзвездной среды (вероятно и Галактического
Центра) концентрация этих частиц пыли может достигать n  10 6 см-3 [51]. Механизм
взаимодействия позитронов с такого рода частицами может быть представлен следующим
образом. Позитрон проникает в объем частицы и термализуется в ее объеме.
Термализованный позитрон в дальнейшем диффундирует к поверхности. Так как
коэффициент диффузии позитрона в кварце и карбиде кремния составляет величины
D  1 2 см2/с [61,62], то позитроны за время жизни относительно аннигиляции порядка
32
10 10 с перемещаются на расстояния, большее 100 нм [51] и таким образом достигают
поверхности отрицательно заряженной космической частицы пыли. При взаимодействии
термализованного позитрона с одним из электронов поверхности энергетически выгодным
является процесс образования атома позитрония с энергией связи 6,8 эВ. Следует отметить
при этом, что при достаточно высоких концентрациях пылинок nd  1 см-3 в пылевой
плазме эффективное сечение процесса взаимодействия позитрона с заряженной частицей
пыли  p  10 12 см2 исходя из их геометрических размеров  100 нм примерно на четыре –
шесть порядков больше сечения взаимодействия с атомами H  H  10 16 см2.
Аналогичные рассуждения справедливы и для случая образования Ps в объеме частиц
пылинок путем рекомбинации термализованного позитрона с одним из электронов
позитронного трека и с последующим диффузном выходом Ps на поверхность.
Таким образом, образование позитрония в пылевой космической плазме с большой
концентрацией
заряженных
частиц
пыли
взаимодействия позитронов с атомами H
может
происходить
как
процессами
и свободными электронами [30], так и
процессами взаимодействия позитрона с отрицательно заряженными частицами пылевой
космической плазмы с образованием атома позитрония. В такой космической плазме
возможен практически 100 % выход позитрония, о чем говорят экспериментальные данные
космической лаборатории Интеграл [30]. Размеры пылинок в космической плазме
сопоставимы с длиной диффузии позитронов, т.е. 0.01  1 мкм, а начальная энергия
позитронов составляет несколько кэВ. Эти приведенные размеры пылинок согласуются с
оценками, полученными из оптических наблюдений. В такой космической плазме при
наличии в ней атомов водорода и частиц пыли возможен практически 100 % выход
позитрония, о чем говорят экспериментальные данные космической лаборатории Интеграл
[30].
Заключение. Из данных расчетов следует, что системы e  H  в основном состоянии в
пылевой космической плазме стабильны в отношении распадов e  H   H   e  и
e  H   H  Ps(e  e  ) . Следовательно, системы e  H  в основном состоянии в такой
плазме динамически стабильны в принятом приближении свободного квазиатома e  H  .
Показано, что образование позитрония в космической плазме при наличии ионов H  может
происходить посредством образования квазистабильных высоковозбужденных состояний
позитрона в системе e  H  и последующего ее распада на атом водорода и позитроний.
33
Список литературы
1. Н.А.Власов. Антивещество. М.: Атомиздат. 1968.
2. Х.Альвен. Космическая плазма. М.: Мир, 1983.
3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика. М,: Физматгиз, 1963.
4. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М,: ГИФМЛ, 1958.
5. A.T.Nelms. Energy loss and Range of Electrons and Positrons. NBS. 1958. 577.
6. H.Bethe // Ann. D. Phys. 1930. Vol.5. P.325; Hand. d. Phys. 1933. Vol.24. P.49.
7. В.Гайтлер. Квантовая теория излучения. М.: ИЛ, 1956.
8. F.Rohlich, B.Carlsson // Phys. Rev. 1958. Vol.93. P.38.
9. F.Bloch // Zs. f. Phys. 1933. Vol.81. P.363.
10. R.Mather, E.Segre // Phys. Rev. 1951. Vol.84. P.191.
11. R.Birkhoff // Hand. d. Phys. 1933. Vol.34. P.53.
12. S.Colgate, F.Gilbert, H.Violett // Phys. Rev. 1952. Vol.88. P.1435.
13. J.Shearer, M.Deutsch // Phys. Rev. 1954. Vol.93. P.336.
14. H.Kendall, M.Deutsch // Phys. Rev. 1951. Vol.82. P.932.
15. J.Gerhard, B.Carlsson, R.Sherr // Phys. Rev. 1954. Vol.94. P.917.
16. А.В.Иванова, Е.П. Прокопьев // Теоретическая и экспериментальная химия. 1967.
Т.3. Вып.4. С.471-477.
17. Е.П.Прокопьев. Позитронная астрофизика и позитронные состояния в галактической
среде с низкой плотностью. М., 1992. С.79-84. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-5482.
18. E.P.Prokop’ev. Positron annihilation and positron states in galactic medium with low
density // Abstracts of 10 th International Conference on positron annihilation. Beijing,
China, May 23-29, 1994. C24-2.
19. Прокопьев Е.П. Позитронная астрофизика и позитронные состояния в галактической
среде с низкой плотностью // Астрономический журнал. 1994, т.70, №3, с.906-908.
20. В.Л.Гинзбург и др. Астрофизика космических лучей. Под. ред. В.Л.Гинзбурга. М.:
Наука. 1990. 496 с.
21. Гольданский В.И. Физическая химия позитрона и позитрония. М.: Наука, 1968. 253 с.
22. Арифов У.А., Арифов П.У. Физика медленных позитронов. Ташкент: ФАН, 1971.
244 с.
23. S. Tao et al. // Proc. Phys. Soc. 1963. V.81. P.1091.
24. В.И.Гольданский, А.В.Иванова, Е.П.Прокопьев. Об аннигиляции позитронов в
гидридах щелочных металлов // Журнал экспериментальной и теоретической
физики. 1964. Т.47. Вып.8. С.659-666.
25. А.В.Иванова, Е.П.Прокопьев. Об аннигиляции медленных позитронов в гидридах
34
щелочных металлов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1965.
Т.48. Вып.4. С.1155-1158.
26. В.И.Гольданский, А.В.Иванова, Е.П.Прокопьев. Применение метода Хартри-Фока к
задачам аннигиляции позитронов в конденсированных средах ионного типа // В кн.:
Ядерная химия М.: Наука, 1965. С.249-267.
27. Арифов П.У. и др. Квантовые свойства атомов и ионов и позитронная диагностика.
Ташкент: ФАН, 1975. 242 с.
28. Арифов П.У. и др. Позитронсодержащие системы и позитронная диагностика.
Ташкент: ФАН, 1978. 192 с.
29. Ore. Univ. Bergen Arbook. 1949. №9; №12.
30. Е.М.Чуразов,
Р.А.Сюняев,
С.Ю.Сазонов,
М.Г.Ревнивцев,
Д.А.Варшалович.
Аннигиляционное излучение центральной зоны Галактики: результаты обсерватории
ИНТЕГРАЛ // УФН, Т.176, №3, с.334-339.
31. J.Wheeler // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1946. Vol.48. P.219.
32. C.C.Ting et al. Physics Reports. 2002. Vol.366/6. P.331-404; Phys. Lett. 1999. Vol.B461.
P.387-396; 2000. Vol.B472. P.215-226; 2000. Vol.B484. P.10-22; 2000. Vol.B490. P.2735; 2000. Vol.B494. P.193-202.
33. С.И.Сыроватский.
О
химическом
составе
и
происхождении
галактических
космических лучей // В кн.: Ядерная химия М.: Наука, 1965. С.74-95.
34. В.Л.Гинзбург, С.И.Сыроватский. Происхождение космических лучей. М.: Изд-во АН
СССР, 1963.
35. V.Fock // Zs. f. Phys. 1930. Vol.61. P.126.
36. Чжан Ли // ЖЭТФ. 1957. Т.33. С.365; Вестн. ЛГУ, сер. физ.-хим. 1958.№4. С.160.
37. Чжан Ли // Вестн. ЛГУ, сер. физ.-хим. 1958. №4. С.160.
38. В.П.Шмелев. Автореф. канд. дисс. М.: МГУ, 1959.
39. Дин Ван Хоанг, ДАН БССР // 1964. Т.8. С717; 1965. Т.9.. С.152; ЖЭТФ. 1965. Т.49.
С.630; ТЭХ. 1966. Т.2. С.630.
40. А.А.Ткаченко // Вестн. ЛГУ, сер. физ. – хим. 1958. №22. С.167.
41. S.Neamten, G.Darewich, G.Oczkowski // Phys. Rev. 1962.Vol.126. P.193.
42. O.Ludwig, R.Parr // Theor. chim. acta. 1966. Vol.5. P.440.
43. C.Lebeda, D.Schrader // Phys. Rev. 1969.Vol.178. P.24.
44. D.Schrader, T.Peterssen // Phys. Rev. 1971.Vol.A3. P.61.
45. L.Simons // Soc. Sci. Fennica, Comment. Phys. – Math. // 1948. Vol.14. P.2; 1949. Vol.14.
P.12; 1949. Vol.14. P.12.
46. A.Stewart, R.March // Phys. Rev. 1961.Vol.122. P.75.
35
47. T.C. Griffith and G.R. Heyland // Phys. Repts. 1978. Vol.39. №3. P.169.
48. C.M.Surko, G.F.Gribakin, S.J.Buckman // J.Phys. B : At. Mol. Phys. 2005. Vol.38. P.R57.
49. M.C. Surko, M.Leventhal and A. Passner // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol.62. №8. P.901.
50. Е.П. Светлов-Прокопьев, Т.Л Разинкова О проблеме физики, химии и технологии
антивещества: возможности исследования свойств, поиска во вселенной, синтеза и
применений". 5 Международная конференция "Ядерная и радиационная физика". 2629 сентября 2005: ICNP’05. Т.1. Ядерная физика. Алматы: Изд-во ИЯФ НЯЦ РК.
2006. С. 334-346.
51. Божокин С.В. СОЖ. 2006. №6. С.72.
52. Каплан С.А., Пикельнер С.Б., Физика межзвездной среды, (М.: Наука, 1979).
53. Спицер (L. Spitzer), Physical Processes in the Interstellar Medium, (Wiley, New York,
1978); Спицер Л., Физические процессы в межзвездной среде, (Москва, Мир, 1981)
54. Дайсон (J. Dyson), Physics of Interstellar Medium, (Taylor & Francis, London, 1997).
55. W.H.Zurek // Astrophysical J., 1985. Vol. 289. P. 603-608.
56. Guessoum N., Ramaty R., Lingenfelter // Astrophysical J. 1991. Vol. 378. P. 170-180.
57. Guessoum N., Jean P., Gillard W., // Astronomy and Astrophysics. 2005. Vol. 436. P. 171185.
58. Drachman R.J. Positron Annihilation. Coleman P.G,. Diana S.C. (eds.). North Holland
Publishing Company, 37 (1982).
59. Cranell C.J. et al. Astrophys. J. // 1976. Vol. 210, P.582.
60. Watson W.D. // J. Optic. Soc. Amer. 1973. Vol.63. P.64.
61. А.И.Гусев. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. М.: Физматлит, 2005.
С.270-292.
62. А.Л.Суворов,
Е.П.Прокопьев,
В.И.Графутин,
А.Ф.Захаров,
Т.Л.Разинкова,
С.П.Тимошенков, Ю.В.Фунтиков. Позитронные состояния в пылевой космической
плазме. Украинский физический журнал. 2007. Т.52. №9. С.843-848.
36
ПОЗИТРОНСОДЕРЖАЩИЕ АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ
И ГИДРИДАХ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
Прокопьев
Реферат
Показано, что при прохождении через межзвездный газ с обычной плотностью n ~ 1
см-3 позитроны участвуют в следующих основных процессах взаимодействии с атомами Н:
1) ионизация атомов Н, при этом возникают тормозное (за счет взаимодействия с ядерным и
атомным полями) и синхротронное (за счет взаимодейтвия быстрых позитронов с
магнитным полем космической плазмы) излучения, 2) аннигиляция на лету, 3) образование
атома позитрония (Ps), 4) квазиупругие процессы столкновений с атомами Н, 5)
образование и распад позитронсодержащих атомных систем с участием водорода e  H ,
e  H  и других многоэлектронных атомов e  A , e  A  , 6) аннигиляция в межзвездном газе
медленных свободных (“квазитермализованных”) позитронов на атомах водорода, гелия и
т.д. С целью более ясного понимания проблемы и полноты изложения приведены
использованные методы расчетов всех указанных выше процессов
Показано, что образование позитрония в космической плазме в специфических условиях
с большой концентрацией ионов H  может происходить посредством образования
квазистабильных
высоковозбужденных
состояний
позитрона
в
системе
e H 
и
последующего ее распада на атом водорода и позитроний.
37