УДК 539.3 ИМПУЛЬСНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИМ ПОЛЕМ В ПОЛУПЛОСКОСТИ В.А. Фильштинский, доц.; Л.А. Фильштинский, проф. Изучены условия существования граничного управления вида x x ( -дельта-функция, 0 ), реализующего возможность достижения заданного гармонического режима в полуплоскости y 0 . Найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в терминах неотрицательности квадратичных форм. Решение основано на интегральных представлениях специальных классов аналитических функций. Рассмотрены примеры. Рассмотрим полуплоскость y 0 с заданной на ее границе обобщенной функцией Q x x E Rn , Q x dx d x , где - мера, сосредоточенная на множестве E . В частности, возможны ситуации, когда Q x x x 0, , x E . (1) Функция Q x задает граничные значения гармонической в полуплоскости функции определяемой формулой [1] Q x , y d t y t x 2 E y2 . Q x , y , (2) Пусть задано некоторое точечное множество F из полуплоскости y 0 , в точках которого необходимо (за счет выбора управления d t ) добиться выполнения условий Qx , y Q (3) с заданными x , y 0 и Q . Эта задача не всегда разрешима, при выяснении условий ее разрешимости привлечем подход, указанный в [ 2-4 ]. Задача Дирихле. Если на границе полуплоскости y 0 задано некоторое распределение x , то функция гармоническая внутри полуплоскости определяется формулой (2). Пусть в полуплоскости задано некоторое контролируемое множество точек zk x k iyk F и желаемые значения функции поля Wk 0 в них. Разыскивая обобщенную функцию t ( d t t dt , - мера) так, чтобы Q x k , yk Wk (задача управления), приходим к варианту проблемы Неванлинна-Пика в классе [4 ]. Докажем следующее утверждение. Теорема 1 Пусть zk x k iyk и Qk 0 k 1, 2, ..., n заданы. 1) Если хотя бы для одного набора вещественных Rk k 1 квадратичная форма n n j , k 1 Wk Wj zk zj k j Wk : Rk iQk (4) не негативна, то существует решение задачи управления с обобщенными граничными значениями x N x t N , 0 (5) 1 такими, что 2 Q 0 , Q x k , yk Qk уточняется в процессе доказательства). k 1, 2, ..., n , Q|y 0 x (смысл последнего равенства 2) Если существует решение указанной задачи, то найдутся вещественные Rk такие, что Wk Rk iQk , и квадратичные формы (4) не негативны. Доказательство. 1 Пусть при некоторых Rk формы (4) не негативны. Тогда существует функция f z (теорема А в [3]): f z z такая, что f zk Wk 1 1 t z t d t , 1 1 2 k 1, 2, ..., n . Ясно, что I m f z y 1 (6) I m f zk Qk . Кроме того, yd t t x d t 0 , 2 y2 . (7) Если форма (4) сингулярна, то t - функция скачков с конечным числом скачков. Если же форма (4) позитивна, то всегда можно найти пару zn 1, Wn 1 таким образом, чтобы форма (4), в которой вместо n поставлено n 1 , была сингулярной. Соответствующая функция t уже будет функцией скачков, а отвечающая ей f z - удовлетворяющей тем же условиям f zk Wk . Итак, всегда можно найти функцию t как функцию скачков. Пусть t Q x , y : I m f z y Функция удовлетворяет Q N t t . Тогда 1 N t y 1 x 2 y2 2 Q 0 , условиям Q x , y x при y 0 , точнее, нужно проверить, что lim Q x , y x dx y 0 . Q zk Qk . (8) Осталось проверить условие N t (9) 1 для любой C с компактным носителем. Равенство (9) будет доказано, если установить, что y t dt t x 2 y2 x 0 ïðè y 0 . Последнее соотношение вытекает из тождества [1] x l i m y 0 2 Пусть существует y t dt t x 2 решение задачи y2 . Дирихле, удовлетворяющее условиям k 1, 2, ..., n : Q x, y y d t t x 2 y f z 2 1 I m f z d t t z . d t 0 ; (10) Q x k , yk Qk Положим Rk : 1 Re f z ( zk x k iyk , Wk Rk iQk ). В этом случае разрешима интерполяционная проблема Неванлинна-Пика в классе и не негативны формы (4). Замечания. 1 Функция yQ 0, y не убывает при y 0, и d t . lim yQ 0, y y 2 Как следует из формулы обращения Перрона-Стильтьеса [2], x l i m 0 1 x Qt , dt . 0 При таком подходе множество F {zk } может быть и бесконечно, и тогда вместо ненегативности одной формы (4) требуется ненегативность каждой такой формы для любого конечного подмножества множества F. Локализуем область приложения управления x участком a, b . Таким образом, d t 0 при t a и t b. Теорема 2 Пусть F некоторое числовое множество из полуплоскости y 0 , а каждому zk F отвечает вещественное и положительное Qk . 1) Если хотя бы для одного набора вещественных Rk квадратичные формы n zk a Wk zl a Wl zk zl k ,l 1 n Wk Rk iQk ; (11) b zk Wk b zl Wl k l zk zl k ,l 1 k l , не негативны для любых конечных подмножеств zj F (в случае бесконечного F ) или только формы (11) в случае конечного F , то существует решение задачи управления с обобщенным управлением t , t dt d t ( t a, b , - мера). 2) Если существует решение задачи управления, то найдутся вещественные Rk такие, что при Wk Rk iQk формы (11) не негативны. Доказательство. 1 Из условий теоремы В в [5] вытекает существование функции t такой, что f z b d t , f z W t z 1 k k . a Взяв мнимые части, получим Qk b 1 yk d t t x 2 a k yk2 , что и требовалось. 2 Если задача имеет решение, то существует t такая, что Qk yk b d t t x 2 a k yk2 yk b d t t z t z a k k Для завершения доказательства осталось положить 1 Im b d t a k t z . Wk 1 b d t a k t z и применить теорему В. Примеры. Рассмотрим стационарное тепловое поле в полуплоскости y>0. 1 Множество F состоит из одной точки x 0 , y0 , значение температуры в ней равно Q0 0 . При любом R квадратичная форма (4) совпадает с Q0 0 температуры Q0 в x 0 , y0 точке Q0 t 0 x 0 y02 y0 2 всегда 2 y0 0 . Следовательно, задача достижения разрешима. x x t 0 управление При решает любом задачу. вещественном При t0 и необходимости минимизировать величину импульса следует взять t 0 x 0 и тогда min Q0y0 . Под влиянием такого граничного воздействия в полуплоскости появится следующее распределение температуры: Q x , y Q0 y0 y x x 0 2 y2 y 0 . Для случая локализации a t 0 b и минимизации импульса сохраняется прежний ответ, если a x 0 b . В противном случае, в качестве t 0 нужно брать ближайший к x 0 конец интервала a, b и положить 0 Q0 t x 0 y02 y0 . 2 2 Пусть множество F состоит из двух точек x1 , y1 , x 2 , y2 с соответствующими температурами Q1 , Q2 . Преобразовав детерминант W1 z1 W1 z1 W1 z1 W2 z2 W2 z2 W2 z2 W1 z1 , W2 z2 отвечающий квадратичной форме, и требуя его неотрицательности, приходим к утверждению: для разрешимости двухточечной задачи необходимо и достаточно наличие двух действительных чисел R1 , R2 , таких, что QQ 2 2 2 2 R2 R1 1 2 x 2 x1 y2 y1 Q2 Q1 . y1y2 Отсюда немедленно вытекает необходимое и достаточное условие разрешимости (без участия чисел R1 , R2 ). Оно заключается в выполнении неравенства относительно исходных данных: Q1Q2 x 2 x1 y12 y22 Q12 Q22 y1y2 . 2 (12) В частности, условие (12) всегда выполнено при Q1 Q2 , а для y1 y2 условием разрешимости служит неравенство Q1 Q2 Q1Q2 x 2 x1 y1 . (13) 0,1 , 1,2 и Q1 1 , Q2 2 условие (12) выполнено. 2 управлением может служить x 5 x 2 . Здесь Q x , y 5y / x 2 y 2 . Относительно двух точек Граничным 3 В случае, когда множество F состоит из бесконечного числа точек, легко получить необходимое условие разрешимости. Пусть на отрезке y const y0 , a x 0 b задана желательная температура Q x . Из (13) следует, что если хотя бы для одной пары x , x a, b нарушено условие Q x Q x Q x Q x x x , y0 то задача неразрешима. На вертикали x const x 0 , 0 a y b . Таким условием служит неравенство Q y Q y 4 На точечном множестве F x, Q y Q y y y . y y задана функция Q x x, 0 x 1 arct gx 3 2 Q 0 0.5 . 1 Граничная температура ( x 1 , x 0, 1 и x 0 , x 0, 1 ), удовлетворяет поставленным условиям, так как в этом случае Q x, y 1 Q x, x ar ct g 1 y , y x 1 x 2 ar ct gx 3 2 , y 0, 0 x 1. SUMMARY The conditions of existence of boundary control of garmonic regime in the upper half-plane are studied. The examples illustrated this method are given. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука. - 1981. -512с. 2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. - М.: ГИФМЛ. - 1961. - 310с. 3. Кац И.С., Крейн М.Г. R- функции-аналитические функции, отображающие верхнюю полуплоскость в себя. В кн. Ф. Аткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. - М.: МИР. - 1968. -С.629 - 648. 4. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. - М.: Наука. - 1973. - 552с. 5. Фильштинский В.А., Фильштинский Л.А. Импульсное граничное управление напряженным состоянием полуплоскости. - Известия РАН, МТТ. - 1994. - N2. - С.87 - 92. Поступила в редколлегию 13 июня 1996 г.