Вопрос 2. Гипотеза случайного блуждания (RWH) Сформулировать задачу динамической оптимизации для потребителя в условиях неопределенности в отношении будущих доходов и ставок процента. Рассматриваем домохозяйство, которое максимизирует свою общую функцию полезности (1) при бюджетном ограничении (2) на бесконечном или конечном периоде T. T / u (Ct ) (1) max t Ct t 0 (1 ) T / T / Ct Yt (2) A 0 t t t 0 (1 r ) t 0 (1 r ) u(*) – функция текущей полезности ρ – субъективная норма предпочтений А0 – первоначальный запас богатства Y – трудовой доход Бюджетное ограничение (2) можно переписать в динамической форме: At 1 At Yt Ct (1 r ) At 0 (3) NPG : lim t (1 r ) t AT 0 где NPG – условие отсутствия игр Понзи, другими словами, условие отсутствия пузырей. В конце жизни сбережения не нужны, поэтому накопленное богатство должно стремиться к нулю. условие At=0 – это NPG в случае конечного периода максимизации. Решение данной задачи может быть получено с использованием принципа динамического программирования. Первое, что необходимо сделать – ввести в модель функцию Беллмана (функция стоимости) и составить соответствующее уравнение Беллмана (4). E V ( At 1 , Yt 1 , rt 1 ) (4) V ( At , Yt , rt ) max u (Ct ) t Ct (1 ) Объясните экономический смысл уравнения Беллмана. Эта функция может рассматриваться как обобщенная функция полезности или функция полезности от богатства. Метод динамического программирования позволяет переформулировать задачу (1), (3) в проблему пошагового принятия оптимальных решений в каждый момент времени. Такая задача позволяет двигаться из будущего в прошлое, устраняя проблему неопределенности. В каждый момент времени перед репрезентативным агентом стоит проблема оптимального распределения трудового дохода между потреблением и сбережениями в отсутствии точного знания будущих значений трудового дохода и ставки процента. Но если бы эту задачу можно было бы решать не сейчас, а в следующий период времени, проблема неопределенности бы не стояла. В этом и состоит суть метода динамического программирования. Т.е. (4) определяет текущее значение функции стоимости как уже оптимальное решение проблемы выбора между полезностью от Сt и ожидаемой приведенной стоимостью полезности от потребления во все будущие моменты. Функция стоимости V ( At , Yt , rt ) имеет обычный для данного класса экономических задач смысл. Она может рассматриваться как обобщенная функция полезности, или функция полезности от богатства. Зависимость функции стоимости от величины трудового дохода и ставки процента характеризует ее будущие значения как случайные величины. Выведите и проинтерпретируйте F.O.C. в модели Оптимизация правой части (4) с учетом динамического Б.О., определяющего зависимость At 1 от Ct , дает следующий F.O.C.: 1 V ( At 1, Yt 1, rt 1 ) (5) u(Ct ) Et (1 rt 1 ) . Обозначая валовые сбережения Zt = At + Yt - Ct , 1 ρ At 1 перепишем уравнение Беллмана (4) как если бы оптимизировали деятельность агента не по потреблению, а по «валовым сбережениям»: E V ( At 1 , Yt 1 , rt 1 ) 6 V ( At , Yt , rt ) max u ( At Yt Z t ) t Допустим, мы уже нашли максимум правой Zt (1 ) *. части уравнения Беллмана для некоторого Zt С учетом того, что At 1 Z t (1 rt 1 ) , мы можем представить (6) в виде: (7) V ( At , Yt , rt ) u( At Yt Z t* ) Et V ( Z t* (1 rt 1 ), Yt 1 , rt 1 ) . Далее дифференцируем уравнение по At и (1 ) * получаем: V ( At , Yt , rt ) u ( At Yt S t ) u ' (C ) , или окончательно: (8) V ( At , Yt , rt ) u(C ) . t t At At At Экономический смысл: в точке оптимума предельная полезность потребления должна быть равна предельной полезности богатства. Предельные потери отказа от дополнительной единицы текущего потребления должны быть компенсированы предельным выигрышем от получаемой возможности увеличения потребления в будущем – возможности, которую дает дополнительная единица накопленного богатства. Теперь можно выводить зависимость оптимального потребления от стохастической динамики трудового дохода. (Что и делал Холл). Сформулируйте предположения Холла и выведите основные результаты теории случайного блуждания Хола. Записывая (8) для момента времени t 1 и подставляя его в (5), мы получаем: 1 u(Ct ) Et (1 rt 1 )u(Ct 1 ) . (9) 1 ρ Если предположить, что ставка процента является постоянной величиной, rt r , то (9) можно представить в виде: 1 ρ Et u(Ct 1 ) γu(Ct ), γ или (10) u(Ct 1 ) γu(Ct ) ξt 1 . 1 r 1 2 Холл также предположил, что функция полезности квадратическая: u (C t ) C C t . Тогда 2 предельная полезность – линейная: u(Ct ) C Ct . Тогда получаем Et u (Ct 1 ) u ( Et Ct 1 ) . Т.е. использование квадратической функции полезности означает, что поведение репрезентативного агента соответствует принципу эквивалентности детерминированному случаю – решение задачи оптимизации в условиях неопределенности обладает теми же свойствами что и в случае субъективной определенности. Тогда условие (10) преобразовывается к виду: C ( r ρ) Ct 1 β0 γCt εt 1 , β0 , Et εt 1 0 . 1 r Кроме того, Холл также предположил, что r ρ и получил (11) Ct 1 Ct εt 1 . Т.е. изменение в потреблении между любыми двумя периодами t и t+1 не связано с предшествующей динамикой трудового дохода. А что тогда определяет случайное приращение в потребительских расходах? Рассмотрим бюджетное ограничение для случая постоянной Cτ Yτ , Et At Et τ t τ t τ t 1 r τ t 1 r мы можем, используя (11), определить текущий уровень потребления: 1 Ct τ t τ t 1 r ставки процента: 1 Yτ r Yτ At Et A E t t τ t τ t τ t 1 r τ t 1 r 1 r Отсюда и получаем определение приращения в потреблении: r Et 1Yτ EtYτ . ΔCt Ct 1 Ct 1 r τ t 1 1 r τ t 1 Таким образом, случайное изменение в уровне потребления εt 1 - это результат переоценки ожидаемых значений будущих доходов. И только новая информация относительно любых показателей, воздействующих на перманентный доход, является релевантной для определения текущего потребления.