Мини ДЗ к семинару 6 Задачи максимизации полезности и минимизации расходов.

НИУ ВШЭ, 2013-2014 уч.г.
Поток с экономической подготовкой
Мини ДЗ к семинару 6
Задачи максимизации полезности и минимизации расходов.
1. Если решение задачи минимизации расходов существует, то компенсированный спрос обладает
следующими свойствами::
а) однородность степени 0 относительно цен p ;
б) если функция полезности потребителя непрерывна, u  u( 0 ) , p  0 , то компенсированный
спрос h( p ,u ) удовлетворяет ограничению задачи минимизации расходов как равенству;
в) если предпочтения потребителя выпуклы, то множество решений задачи минимизации расходов
при данных p и u выпукло.
2. Рассмотрите модификацию задачи минимизации расходов. Пусть предпочтения агента, как и
ранее определены на множестве X  RN . Однако потребление первого товара не может
превосходить b единиц. Обозначим множество решений модифицированной задачи минимизации
расходов через x( p, u , b) , а модифицированную функцию расходов - через e( p, u , b) .
Проанализируйте, будет ли модифицированная функция удовлетворять свойствам, полученным для
стандартной функции расходов. Как изменится значение e( p, u , b) с ростом b ?
3. На рисунке 1 изображена типичная линия уровня косвенной функции полезности в пространстве цен, то
есть: ( p1 , p2 )  R 2 : v( p1 , p2 , I )  u .


(а) изобразите на рисунке, какие цены соответствуют более высокому уровню полезности, чем u .
(б) является ли соответствующая функция полезности u( x1 , x2 ) квазивогнутой? Объясните свой
ответ.
(в) для данного уровня полезности функция расходов также является функцией цен. Изобразите
кривую постоянных расходов, то есть множество:
( p1 , p2 )  R 2 : e( p1 , p2 , u )  I .


(г) чему равен наклон типичной линии уровня функции v в точке ( p1 , p2 ) ?
(д) чему равен наклон типичной линии уровня функции e в точке ( p1 , p2 ) ?
(е) изобразите схематично в пространстве двух товаров типичную линию уровня функции полезности
u( x1 , x2 ) , которая могла бы соответствовать кривым безразличия косвенной функции полезности,
представленным на рисунке 1.Укажите на вашем рисунке, как мог бы выглядеть участок кривой безразличия,
соответствующий излому линии уровня функции v в точке ( ~
p1 , ~
p2 ) .
(ж) какие другие кривые безразличия в пространстве ( x1 , x2 ) могут соответствовать данной
косвенной функции полезности?
p2
p2*
излом
~
p2
v( p1, p2 , I )  u
.
Рисунок 1.
p1
p1 ~
p1
НИУ ВШЭ, 2013-2014 уч.г.
Поток с экономической подготовкой
4. Пусть агент имеет стандартные предпочтения. Изобразите графически совокупное изменение в
потреблении первого товара, вызванное ростом его цены, предполагая, что этот товар является товаром
Гиффена. Разложите совокупное изменение спроса на изменение, вызванное эффектом замещения, и
изменение, вызванное эффектом дохода.
5. Запишите декомпозицию Слуцкого для конечного изменения цены с компенсацией по Слуцкому.
Сравните со случаем компенсации по Хиксу.