K budget sets. The consumer has in mind a preference relation... Мини ДЗ к семинарам 3-4

НИУ ВШЭ, 2013-2014 уч.г.
Поток с экономической подготовкой
Мини ДЗ к семинарам 3-4
Задачи максимизации полезности и минимизации расходов.
1. 1 In this question, we consider a consumer who behaves differently from the classic consumer we talked
about in the lecture. Once again we consider a world with K commodities. The consumer’s choice will be from
budget sets. The consumer has in mind a preference relation that satisfies continuity, monotonicity, and strict
convexity; for simplicity, assume it is represented by a utility function u. The consumer maximizes utility up to
utility level u0. If the budget set allows him to obtain this level of utility, he chooses the bundle in the budget
set with the highest quantity of commodity 1 subject to the constraint that his utility is at least u0.
a. Formulate the consumer’s problem.
b. Show that the consumer’s procedure yields a unique bundle.
c. Is this demand procedure rationalizable?
2. (MIT) A consumer of two goods has utility function u(x, y) = max(ax, ay) +min(x, y) , with 0<a<1
(a) Draw the indifference curves for these preferences.
(b) Derive the Marshallian and Hicksian demands.
3. (MasCollel 3.E.3) Prove that a solution to the EMP exists if p>> 0 and there is some x  R N satisfying
u(x) > u.
4. Если решение задачи минимизации расходов существует, то компенсированный спрос обладает
следующими свойствами::
а) однородность степени 0 относительно цен p ;
б) если функция полезности потребителя непрерывна, u  u( 0 ) , p  0 , то компенсированный
спрос h( p ,u ) удовлетворяет ограничению задачи минимизации расходов как равенству;
в) если предпочтения потребителя выпуклы, то множество решений задачи минимизации расходов
при данных p и u выпукло.
г) если предпочтения потребителя строго выпуклы, то, если решение задачи минимизации расходов
существует при данных p и u , то это решение единственно, то есть спрос по Хиксу h( p ,u ) является
функцией;
д) непрерывность
5. На рисунке 1 изображена типичная линия уровня косвенной функции полезности в пространстве цен, то
есть: ( p1 , p2 )  R 2 : v( p1 , p2 , I )  u .


(а) изобразите на рисунке, какие цены соответствуют более высокому уровню полезности, чем u .
(б) является ли соответствующая функция полезности u( x1 , x2 ) квазивогнутой? Объясните свой
ответ.
(в) для данного уровня полезности функция расходов также является функцией цен. Изобразите
кривую постоянных расходов, то есть множество:
( p1 , p2 )  R 2 : e( p1 , p2 , u )  I .


(г) чему равен наклон типичной линии уровня функции v в точке ( p1 , p2 ) ?
(д) чему равен наклон типичной линии уровня функции e в точке ( p1 , p2 ) ?
(е) изобразите схематично в пространстве двух товаров типичную линию уровня функции полезности
u( x1 , x2 ) , которая могла бы соответствовать кривым безразличия косвенной функции полезности,
представленным на рисунке 1.Укажите на вашем рисунке, как мог бы выглядеть участок кривой безразличия,
соответствующий излому линии уровня функции v в точке ( ~
p1 , ~
p2 ) .
1
Rubinstein, A. 2006.Lecture notes in microeconomic theory : the economic agent. Princeton University Press.
НИУ ВШЭ, 2013-2014 уч.г.
Поток с экономической подготовкой
(ж) какие другие кривые безразличия в пространстве ( x1 , x2 ) могут соответствовать данной
косвенной функции полезности?
p2
p2*
излом
~
p2
v( p1, p2 , I )  u
.
Рисунок 1.
p1
p1 ~
p1