П р а в

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики
Отделение Прикладной Математики и Информатики
Программа дисциплины
«Принятие индивидуальных и коллективных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
Авторы:
Ф.Т.Алескеров, А.А Рубчинский
Рекомендована секцией УМС
Прикладная математика и информатика
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Председатель
________________ С.О.Кузнецов
Утверждена УС факультета
бизнес-информатики
Ученый секретарь
_________________________________
« ____» ___________________20__ г.
Зав. кафедрой
_____________ Ф.Т.Алескеров
Москва
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины «Принятие индивидуальных и коллективных
решений» устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и
определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010400.68 «Прикладная математика и
информатика»,
обучающихся
по
магистерской
программе
«Математическое
моделирование», специализация "Анализ и принятие решений", изучающих дисциплину
«Принятие индивидуальных и коллективных решений».
Программа разработана в соответствии с:
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68
«Прикладная математика и информатика» подготовки магистра, утвержденным
5 августа 2011г.
2. Цели освоения дисциплины
Целью дисциплины «Принятие индивидуальных и коллективных решений»
является освоения студентами некоторых глав теории выбора. В рамках курса будут
описаны основные виды бинарных отношений, модели выбора с учетом предпочтений,
также будут описаны неклассические модели максимизации полезности, основанные на
пороговых функциях, а также ряд основных разделов теории выбора, таких как теория
локальных процедур агрегирования,
теория решений,
основанных на правиле
большинства.
Классическая теория ожидаемой полезности в аксиоматике Дж. Неймана и О,
Моргенштерна наиболее часто используется для анализа действий индивидуумов и
моделирования социально-экономических процессов. Вместе с тем существует
достаточное количество примеров (парадоксов выбора) в которых данная модель
перестает работать. На фоне наиболее известных парадоксов нарушения классической
модели полезностей будет сделан краткий экскурс в модели субъективной ожидаемой
полезности1, модели сравнительной полезности и интенсивности предпочтений,
кумулятивной теории проспектов, теорию вероятностных предпочтений и Марковский
процесса выбора перебором.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать: классические модели теории полезности и пороговые модели максимизации
полезности, виды бинарных отношений, модели сравнительной полезности и теории
кумулятивных проспектов, теоретические основы современных моделей в указанной
области, основные факты теории локальных процедур агрегирования, теории решений,
основанных на правиле большинства.
Уметь: использовать типовые методы оценки полезности для принятия решений, строить
модели выбора с учетом предпочтений, пользоваться моделями выбора наилучших
Subjective expected utility – некоторые понятия не имеют устойчивого русского перевода, потому в
процессе курса будут использованы обозначения на языке оригинала.
1
вариантов для формализации и решения различных задач в области социальных и
политических процессов, анализировать психологию выбора с целью построения
адекватной модели, строго доказывать все утверждения, сделанные при изложении
материала курса.
Владеть: терминологией и методами классической теории полезности, теории ожидаемой
полезности, теории сравнительной полезности, теории игр локальных процедур
агрегирования и теории решений, основанных на правиле большинства.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Формы и методы
Код по
Дескрипторы – основные
обучения,
Компетенция
ФГОС/ признаки освоения (показатели
способствующие
НИУ
достижения результата)
формированию и
развитию компетенции
владение культурой
ОК-1 умеет дать формальноиспользование
мышления, способность
логическое описание и
формально-логических
к обобщению, анализу,
построить математическую
доказательств, практика
восприятию
модель ситуации выбора,
анализа реальных
информации, постановке
умеет применить различные
ситуаций с помощью
цели и выбору путей её
критерии для оценки
построения их
достижения
моделируемой реальности
математических моделей
способность
ОК-4 умеет дать формальноиспользование
анализировать
логическое описание и
формально-логических
социально-значимые
построить математическую
доказательств, практика
проблемы и процессы,
модель ситуации выбора,
анализа реальных
происходящие в
умеет применить различные
ситуаций с помощью
обществе, и
критерии для оценки
построения их
прогнозировать
моделируемой реальности
математических моделей
возможное их развитие в
будущем
способность логически
ОК-6 умеет дать формальноиспользование
верно, аргументировано
логическое описание и
формально-логических
и ясно строить устную и
построить математическую
доказательств
письменную речь
модель ситуации выбора,
умеет применить различные
критерии для оценки
моделируемой реальност
владение одним из
ОК-14 знает английскую
чтение специальной
иностранных языков на
терминологию, умеет
литература на английском
уровне не ниже
прочесть английский текст
языке, знакомство с
разговорног
научной статьи по данной
международной
предметной области
(английской)
терминологией данной
предметной области
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку
дисциплин, обеспечивающих подготовку магистров по направлению 010400.68
«Прикладная математика и информатика».
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Дискретная математика
 Геометрия и алгебра
 Теория вероятностей и математическая статистика
 Теория игр
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими
знаниями и компетенциями:
 необходимо знать основы теории вероятностей, теории множеств, теории
графов и теории игр
 владеть базовой терминологией этих дисциплин,
уметь строить и
анализировать
логически
строгие
доказательства
математических
утверждений.
 владеть базовой терминологией и методами указанных дисциплин.
5. Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего часов
Самостоя
тельная
Лекции Семинары работа
Аудиторные часы
3 модуль
1
Предпочтения и полезность –
Классические модели.
18
4
2
12
2
Максимизация полезности с постоянным
порогом или с порогом, зависящим от
одной альтернативы
30
6
4
20
3
Максимизация полезности с порогом,
зависящим от обеих альтернатив.
24
4
4
16
4
Максимизация полезности с порогом,
зависящим от множества альтернатив
24
4
4
16
5
Теория ожидаемой полезности.
18
4
2
12
6
Теория сравнительной полезности.
18
4
2
12
7
Кумулятивная теория проспектов.
18
4
2
12
Всего
150
30
20
100
4 модуль
1
Постановка задачи выбора. Парадокс
Кондорсе.
6
2
-
4
2
Локальное агрегирование вида P→P
18
2
4
12
3
Локальное агрегирование вида С→С
12
2
2
8
4
Локальное агрегирование вида P→С
12
2
2
8
5
Нелокальное агрегирование
24
2
6
16
18
2
4
12
30
4
6
20
Всего
120
16
24
80
Итого:
270
46
44
180
Конструирование коллективных
предпочтений. Решения на
мажоритарном графе.
Нелокальные правила. Аксиоматика
Мэя. Решения, основанные на
7 принципе устойчивости. Правило
Коупленда. Матрично-векторное
представление решений. Рейтинги.
6
6. Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
Форма
контроля
Контрольная
работа
Домашнее
задание
Зачет
1
1 год
2 3
1
Кафедра
4
1
Письменная работа, 80 минут
1
Письменная работа, 80 минут
*
Зачет
Параметры **
Письменная работа, 80 минут
*
7. Содержание дисциплины
3 модуль
Лекция 1. Предпочтения и полезность – Классические модели
Бинарные отношения и предпочтения. Бинарные отношения и функции полезности.
Важнейшие классы бинарных отношений: линейные порядки, слабые порядки, частичные
порядки.
Теорема представления для конечного множества альтернатив. Теорема представления
для бесконечного множества альтернатив. Теорема Кантора.
Практическое применение этих моделей.
Лекция 2. Максимизация полезности с постоянным порогом или с порогом, зависящим от
одной альтернативы
Неотрицательные пороговые функции: случай интервального выбора. Интервальные
порядки и полупорядки. Свойства интервальных порядков и полупорядков.
Максимальные антицепи в интервальных порядках.
Произвольные пороговые функции и бипорядки. Теорема о представлении интервальных
порядков, полупорядков и бипорядков.
Практическое применение этих моделей.
Лекция 3. Максимизация полезности с порогом, зависящим от обеих альтернатив
Теорема о представлении. Пороговые функции, удовлетворяющие свойству полуметрики.
Случай аддитивных пороговых функций. Мультипликативные пороговые функции и их
свойства.
Мультипликативные пороговые функции – два специальных случая. Теоремы о
представлении. Полупорядки и интервальные порядки, представимые через
максимизацию полезности с порогами обоих специальных типов.
Практическое применение этих моделей.
Лекция 4. Максимизация полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив
Четыре типа пороговых функций. Эквивалентные модели для максимизации полезности
для этих типов пороговых функций. Свойства соответствующих функций выбора. Связь
модели максимизации полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив, с
теоремой Самуэльсона.
Вложение отношений и проблема максимизации полезности с порогом, зависящим от
множества альтернатив. Слабые бипорядки и их представление. Аддитивные пороги,
зависящие от множества альтернатив. Простые и простейшие полупорядки. Слабое
условие Чипмана и описание простых полупорядков.
Практическое применение этих моделей.
Лекция 5. Теория ожидаемой полезности. Санкт-Петербургский парадокс. Аксиоматика
Неймана-Моргенштерна. Субъективная теория полезностей. Аксиоматика Сэвиджа и
Энскомбе-Ауманна. Коэффициент неприятия риска Арроу-Пратта. Нарушения принципов
ожидаемой полезности: парадоксы Мэя, Алле, Эллсберга. Обратимость предпочтений.
Лекция 6. Теория сравнительной полезности. Аксиоматика Фишберна SSB
интенсивности предпочтений. Теорема существования. Единственность максимального
элемента. Обоснование парадоксов Мэя, порога чувствительности и Алле. Модель
сравнительной полезности. Вероятностные предпочтения.
Лекция 7. Выбор последовательными сравнениями. Аксиоматика марковского
процесса выбора. Свойства выбора - “наследования” (Heredity), “согласия” (Concordance)
и “отбрасывания” (Outcast). Вводные элементы бескоалиционной теории игр, теории
массового обслуживания.
Лекция 8. Кумулятивная теория проспектов. Аксиоматика кумулятивной теории
проспектов. Интеграл Шоке, сведение к интегралу Римана. Вероятностное расширение.
Разрешение парадокса Алле,
4 модуль
Лекция 1. Постановка задачи выбора. Парадокс Кондорсе.
Общий взгляд на проблему выбора. Описание возможных задач,
связанных с
рациональным выбором. Парадоксы голосования. История теории индивидуального и
коллективного выбора. Турниры. Победитель Кондорсе. Парадокс Кондорсе.
Лекция 2. Локальное агрегирование вида P→P
Локальное агрегирование вида P→P (и индивидуальные мнения, и коллективное решение
выражаются в виде бинарных отношений). Рациональность индивидуального поведения.
Типы бинарных отношений. Аксиома независимости от посторонних альтернатив.
Списочное представление процедур. Нормативные свойства процедур коллективного
выбора. Ограничения рациональности. Федерационные правила и их частные случаи диктатор, олигархия, коллегия.
Лекция 3. Локальное агрегирование вида С→С
Локальное агрегирование вида С→С (и индивидуальные мнения, и коллективное
решение выражаются в виде функций выбора). Свойства функций выбора. Нормативные
свойства функциональных правил.
Лекция 4. Локальное агрегирование вида P→С
Локальное агрегирование вида P→С (индивидуальные мнения выражаются в виде
бинарных отношений, а коллективное решение в виде функции выбора). Нормативные
свойства соответствий коллективного выбора. Ограничения рациональности. Qфедерационные правила и их частные случаи: q-диктатор, q-олигархия, q-Паретовское
правило и др. Механизмы коллективного выбора.
Лекция 5. Нелокальное агрегирование
Нелокальное агрегирование.
Позиционные правила. Пороговое
Аксиоматика порогового агрегирования. Применение этих правил.
агрегирование.
Лекция 6. Конструирование коллективных предпочтений. Решения на
мажоритарном графе.
Условия репрезентации предпочтений субьекта выбора множеством бинарных
отношений. Оптимальный выбор как выбор максимальных элементов множества
бинарных отношений, репрезентирующих предпочтения. Связь наличия максимальных
элементов отношения с отсутствием циклов в ориентированном графе, представляющем
это отношение. Отношение мажоритарного доминирования µ и отношение равенства
голосов τ как система предпочтений коллектива, принимающего решения. Понятие
решения в задаче оптимального коллективного выбора.
Лекция 7. Нелокальные правила. Аксиоматика Мэя. Решения, основанные на
принципе устойчивости. Правило Коупленда. Матрично-векторное представление
решений. Рейтинги.
Максимальный цикл TC, непокрытое множество UC, незахваченное множество UCp,
минимальное слабоустойчивое множество MWS. Связь этих решений с путями и циклами
в орграфе, репрезентирующем отношение µ. Теоретико-множественные соотношения
этих решений.
Понятие k-устойчивой альтернативы и k-устойчивого множества.
Ранжирование по степени устойчивости. Ранжирование по Коупленду. Матричновекторное представление решений. Рейтинги.
8. Образовательные технологии
Курс "Принятие индивидуальных и коллективных решений" является более глубоким
изучением материала, излагающегося в курсе "Методы оптимальных решений", поэтому
рекомендуется читать один курс после того, как прочитан другой.
Занятия по курсу проходят в форме лекций и семинаров, с элементами живого
обсуждения, что требует хорошей самостоятельной подготовки студентов, которую
следует мотивировать домашними заданиями. Студенты должны быть строго
ориентированы на самостоятельное овладение вопросами дисциплины и самостоятельное
выполнение заданий, предусмотренных данным курсом. Самостоятельная работа
студентов является важнейшей частью их занятий по данному курсу. Для усвоения
материала курса и подготовке к контрольным работам студенты обязаны дома решать
задачи, которые им высылает преподаватель. Для выполнения домашних заданий
студентов можно разделить на мини-группы по три человека.
Перед зачетом необходимо проводить установочную консультацию в часы и дни,
согласованные с деканатом. Время проведения установочной консультации доводится до
студентов учебной частью деканата.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
1. Пусть бинарное отношение R на множестве Ω = {a, b, c, d, e} таково: aRb, bRb, aRc,
bRa, eRe, eRd, cRd, dRc. Обладает ли это отношение свойствами:
a. антирефлексивности;
b. асимметричности;
c. транзитивности?
2. Найти функцию полезности, если А  B  C  D и
B~1/3А+2/3D,
В~1/4A+3/4C.
3. Пусть функция полезности ЛПР есть и(х) = ln(1 + х), уровень его капитала w. Ему
предлагают лотерею, в которой выигрыш х и проигрыш х имеют вероятность
соответственно р и 1 - р. Найдите х, при котором такая лотерея ему безразлична.
Каков ответ при p = 0,5?
4. Пусть участнику известно, что в урне 1-го типа содержится 7 красных и 3 черных
шара, а в урне 2-го типа – 2 красных и 8 черных шаров. Экспериментатор случайно
выбирает урну для участника из множества, содержащего 500 урн 1-го типа и 300 урн
2-го типа. Если перед участником находится урна 1-го типа и он угадает это, то
получит выигрыш 400 денежных единиц (д.е.), если не угадает, его проигрыш
составит 100 д.е. Если перед ним урна 2-го типа и он это угадает, то получит выигрыш
350 д.е., если не угадает, его проигрыш составит 120 д.е. Участник может
предпринять одно из следующих действий: d1 – сказать, что урна 1-го типа; d2 –
сказать, что урна 2-го типа. После этого он получит или отдаст деньги, в зависимости
от описанных выше последствий попытки угадывания. Предоставим участнику,
выбирающему между действиями d1 и d2, дополнительную возможность. Пусть он
может до своего ответа вытащить за определенную плату один шар из урны, причём
после вытаскивания шар кладется обратно в урну. Плата за вытаскивание одного шара
равна 40 д.е. Построить лотерею, описывающую данную урновую схему.
5. Привести пример функции выбра, не рационализируемой никаким бинарным
отношением.
6. Генеральное множество альтернатив А={a, b, c, d}. Дана функция выбора CF(B), BA.
Определить рационализируема ли она каким-либо бинарным отношением,
рационализируема ли она частичным, слабым или линейным порядком.
B
CF
a
a
b
b
c
c
d
d
a, b
а
a, c
a
a, d
a
b, c
b
b, d
d
c, d
c
a, b, c
a
a, b, d
a
a, c, d
a
b, c, d

A
a
7. Доказать, что частичный порядок является ациклическим отношением. Доказать, что
линейный порядок является частичным порядком.
8. По таблично заданным значениям функции полезности
и функции ошибок
построить отношение P:
. Какими свойствами оно обладает?
9. Привести пример, когда выбор лучшего варианта процедурой Нансона отличается от
варианта, определяемого по правилу Борда.
10. Выбрать лучший вариант процедурой Нансона при следующих предпочтениях
участников
Р1 :
Р2 :
Р3 :
Р4 :
x5  x1  x4  x3  x2;
x1  x5  x3  x4  x2;
x4  x1  x2  x5  x3;
x5  x4  x1  x3  x2.
10. Порядок формирования оценок по дисциплине
Задания контрольной работы, зачета и экзамена состоят из задач, эквивалентных или
аналогичных тем, которые были даны студентам в домашних заданиях для
самостоятельной работы. На написание зачетной и экзаменационной контрольных работ
и контрольной работы дается 80 мин.
Любой факт списывания,
отмеченный
преподавателем, приведет к получению оценки «1» (единица) за данную работу.
Преподаватель также оценивает самостоятельную работу и работу студентов на
семинарских занятиях. На лекциях и семинарских занятиях студентам даются домашние
задания для самостоятельной работы, которые нужно выполнить до следующего
семинарского занятия.
Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по
следующей формуле, где Озачет – оценка за зачетную письменную работу, а N3 – число
баллов за работу на семинарах в течение 3 модуля:
Опромежуточный = 0,8·Озачет + 0,2·N3
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета: арифметический.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по
следующей формуле, где Оэкзамен - оценка за экзаменационную письменную работу, а N4 –
число баллов, набранных на семинарах в течение 4 модуля.
Оитоговый = 0,8·Озачет + 0,2·N4
Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме зачета:
арифметический. На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить
дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая
формируется по следующей формуле:
Одисциплина = 0,6·Опромежуточный + 0,4·Оитоговый
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине: арифметический
10-балльная итоговая оценка округляются до целого числа баллов. При округлении
учитывается работа студента на семинарах. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется
по правилу:
 0 ≤ К ≤ 3 - неудовлетворительно,



4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,
6 ≤ К ≤ 7 - хорошо,
8 ≤ К ≤10 -отлично.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системам
По десятибалльной шкале
1- очень плохо
2- плохо
3- неудовлетворительно
4- удовлетворительно
5- весьма удовлетворительно
6- хорошо
7- очень хорошо
8- почти отлично
9- отлично
10- блестяще
По пятибалльной шкале
неудовлетворительно – 2
удовлетворительно – 3
Хорошо – 4
отлично – 5
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовый учебник
1. Aizerman M. and F.Aleskerov (1995) 'Theory of choice', Elsevier, Amsterdam
2. Aleskerov F., Bouyssou D., Monjardet B. (2007) "Utility Maximization, Choice and
Preference", Springer, Berlin
3. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и
коллективные решения. М.: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006.
4. Льюс Р. Д., Райфа Х. (1961), Игры и решения. Москва, «Иностранная литература».
5. http://reslib.com/book/Igri_i_resheniya__Vvedenie_i_kriticheskij_obzor#1
Основная литература
1. Плаус С. (1998) Психология оценки и принятия решений / М.: “Филинъ”.
2. Нейман фон Дж., Моргенштерн О.(1970). Теория игр и экономическое поведение.
3. F. J. Anscombe; R. J. Aumann . (1963), A Definition of Subjective Probability The
Annals of Mathematical Statistics, Vol. 34, No. 1pp. 199-205.
4. Fishburn P.C. (1982) Nontransitive Measurable Utility // J. of Mathematical Psychology.
1982. No. 26, p. 3l–67.
5. Fishburn P.C. (1984) Dominance in SSB Utility Theory // J. of economic theory. No. 34,
p. 130–148.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Высшая школа, 1999.
7. Kahneman D., Tversky А. (1979), Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk,
Econometrica 47, 263-291.
8. Tversky A, Kahneman D, (1992) “Advances in Prospect Theory: Cumulative
Representation of Uncertainty,” Journal of Risk and Uncertainty 5, 297–323.
9. Алескеров Ф.Т., Субочев А.Н. Об устойчивых решениях в ординальной задаче
выбора// Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426. №3. С. 318-320.
10. 2. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Задача Эрроу в теории группового выбора
(анализ проблемы) // Автоматика и телемеханика. 1983. № 9. С. 127-151.
11. 3. Субочев А.Н. Доминирующие, слабоустойчивые и непокрытые множества:
свойства и обобщения // Автоматика и Телемеханика. 2010. №1. C. 130-143.
12. 4. Мюллер Д. Общественный выбор III. М.: Изд. дом ГУ-ВШЭ, 2007.
13. 5. Aleskerov F., Kurbanov E. A Degree of Manipulability of Known Social Choice
Procedures // Current Trends in Economics: Theory and Applications / Eds. Alkan A.,
Aliprantis Ch., Yannelis N. N.Y.: Springer-Verlag, 1999. P. 13-27.
14. 6. Aleskerov F., Subochev A. Matrix-vector representation of various solution concepts.
Working paper WP7/2009/03. M.: State University - Higher School of Economics, 2009.
Дополнительная литература
1. Fishburn, P. (1970) Utility Theory for Decision Making. John Wiley, New York
2. Halmos, P. (1974) Naïve Set Theory. Springer Verlag, Berlin
3. Harary, F. (1962) Graph Theory. Addison Wesley, Mass.
4. Kreps D. (1988) Notes on the Theory of Choice, Vestview Press, Boulder and London
5. Riguet, J. (1948) Relations binares, fermetures, correspondences de Galois. Bull.
Soc.Math.France, v.76
6. Savage L,. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley, New York.
7. Alain CHATEAUNEUF, Michèle COHEN, Jean-Marc TALLON (2008)
8. Decision under risk : The classical Expected Utility Model
9. http://ces.univ-paris1.fr/membre/tallon/ch6rev-Anglais.pdf
10. Edi Karni (2005) Savages’ Subjective Expected Utility Model
11. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.541&rep=rep1&type=pdf
12. Tsogbadral Galaabaatar, Edi Karni (2011)
13. Objective and Subjective Expected Utility with Incomplete Preferences
http://www.econ2.jhu.edu/people/karni/EUIncomplete.pdf
14. Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б. (1980), Оптимальный выбор
распределений в сложных социально-экономических задачах. - Л.: Наука. Ленингр.
отд-ие.
15. Данилов В.И. (2006) Лекции о неподвижной точке.
16. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания.М.: Высшая школа, 1982.
17. Печерский С.Л., Беляева А.А., Теория игр для экономистов, 2002.
18. Weibull J.W. (2002), What have we learned from evolutionary game theory so far?
Resarch Institute of Industrial Economics, Working Paper №487.
19. Wakker P., Tversky A. (1993), An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory,
Journal of Risk and Uncertainty, 7:7:147-176
20. Wakker P. (2010), Prospect Theory for risk and ambiguity. Cambridge university press.
21. Blavatskyy P. (2011), Probabilistic Subjective Expected Utility.
22. https://editorialexpress.com/cgibin/conference/download.cgi?db_name=NASM2011&paper_id=68
23. Adams J., Merrill S. III. Voter turnout and candidate strategies in American elections //
The Journal of Politics. 2003. V. 65. P. 161-189.
24. Aizerman M., Aleskerov F. Voting operators in the space of choice functions //
Mathematical Social Sciences. 1986. V. 11. N. 3. P. 201-242.
25. Aleskerov F. Arrovian Aggregation Models. Dordercht: Kluwer Academic Publishers,
1999.
26. Ansolabehere S., de Figueiredo J., Snyder J. Why is there so little money in US politics?
// Journal of Economic Perspectives. V. 17. P. 105-130.
27. Duggan J. 2007. A systematic approach to the construction of non-empty choice sets //
Social Choice and Welfare. 2007. V. 28. P. 491-506.
28. Laslier J.F. Tournament Solutions and Majority Voting. Berlin: Springer, 1997.
29. Laver M. Policy and the dynamics of political competition // The American Political
Science Review. 2005. V. 99. N. 2.
30. Lin T., Enelow J., Dorussen H. Equilibrium in multicandidate probabilistic spatial model
31. Myerson R., Weber R. A theory of voting equilibria // American Political Science
Review. 1993. V. 87. N. 1.
32. Patty J., Snyder J., Ting M. Two’s Company, Three’s an Equilibrium: Strategic Voting
and Multicandidate Elections // Quarterly Journal of Political Science. V. 4. N. 3. P. 251278.
33. Polischuk L., Savvateev A. Spontaneous (non) emergence of property rights //
Economics of Transition. 2004. V. 12. P. 103-127.
34. Subochev A. Dominant, Weakly Stable, Uncovered Sets: Properties and Extensions.
Working paper WP7/2008/03. Moscow: State University - Higher School of Economics,
2008.
Разработчики:
кафедра высшей математики
на факультете экономики ГУ-ВШЭ, профессор, д.т.н.,
Ф.Т. Алескеров
кафедра высшей математики
на факультете экономики ГУ-ВШЭ, доцент, к.ф.-м.н.,
А.А. Рубчинский