Санкт-Петербургский государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Санкт-Петербургский государственный университет
Филологический факультет
Рассмотрено и рекомендовано
на заседании кафедры
информационных систем в
искусстве и гуманитарных
науках
Протокол №____ от _________
Зав. кафедрой
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан филологического факультета
профессор С.И. Богданов
"____" __________________ 200
г.
______________ Н.В. Борисов
Программа учебной дисциплины
"Алгебра"
Разработана на кафедре высшей алгебры и теории чисел в соответствии с
государственным образовательным стандартом высшего и среднего профессионального
образования по специальности 080801 "Прикладная информатика в области искусств
и гуманитарных наук"
Санкт-Петербург
2006 г.
I. Организационно-методический раздел
1. Цель изучения дисциплины: Обучение студентов, специализирующихся в области
прикладной информатики, основам современной алгебры, позиционированию
алгебраических методов среди математических подходов к информационным
технологиям; развитие у студентов доказательного, логического мышления;
подготовка к восприятию других дисциплин.
2. Задачи курса: Освоение студентами как принципов построения, так и содержательной
части современных математических теорий, навыков профессионального
математического мышления, умение квалифицированно и эффективно выбирать и
использовать конкретный алгебраический аппарат в решении практических задач.
3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника:
Развитие современных информационных технологий соответствующих научных
дисциплин немыслимо без применения алгебраических методов, поэтому
основательная алгебраическая подготовка студентов на начальных этапах
университетского образования является необходимым компонентом успешного
профессионального воспитания будущих специалистов.
4. Требования к уровню освоения дисциплины "Алгебра":
Студент должен
 знать и понимать общее содержание курса, иметь представление о возможностях
применения алгебраических методов в различных прикладных областях науки и
техники;
 владеть теоретическим материалом, уметь связывать между собой понятия и
факты из различных частей изучаемого курса;
 освоить технику вычислений, основанную на изучаемом курсе: обращение с
комплексными числами, решение алгебраических уравнений в радикалах,
решение систем линейных уравнений, оперирование матрицами и т. д..
5. Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего промежуточного и
итогового контроля
Всего аудиторных занятий
136 часов
из них: лекций
68 часов
практических занятий
68 часов
Самостоятельная работа студента
139 часов
Итого (трудоемкость дисциплины)
275 часов
Изучение дисциплины по семестрам:
1 семестр: лекции - 34 ч., практические занятия – 34 ч.,
самостоятельная работа – 60 часов,
2 контрольные работы, зачет,
2 семестр: лекции - 34 ч., практические занятия – 34 ч.,
самостоятельная работа – 79 часов,
коллоквиум, 2 контрольные работы, зачет, экзамен.
2
II. Содержание курса
1. Разделы курса.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
Введение.
Кольцо целых чисел.
Комплексные числа.
Матрицы и операции над ними.
Линейные пространства.
Системы линейных уравнений.
Определители.
Алгебра квадратных матриц.
Евклидовы и унитарные пространства.
Евклидовы и унитарные пространства.
Квадратичные формы.
Дальнейшие сведения о многочленах.
Элементы теории групп.
Линейные отображения.
Операторы в евклидовых и унитарных пространствах.
2. Краткое содержание тем
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Введение:
Множества. Бинарные отношения, эквивалентность, фактормножество.
Отображения. Композиция отображений, обратимые отображения. Бинарные
алгебраические действия. Основные алгебраические структуры: группа, кольцо,
поле. Кольца многочленов, их построение. Подструктуры. Изоморфные структуры.
Кольцо целых чисел.
Свойства делимости. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Простые
числа. Основная теорема арифметики. Идеалы кольца целых чисел. Сравнения и
кольца вычетов. Обратимые классы. Теоретико-числовая функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и Ферма.
Комплексные числа.
Определение и построение поля комплексных чисел. Комплексное сопряжение.
Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма
записи, связь с действиями. Формула Муавра и ее применение в вещественных
вычислениях. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из 1.
Матрицы и операции над ними.
Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр. Умножение матриц. Единичная
матрица. Транспонирование. Свойства матричных операций. Элементарные
матрицы. Ступенчатые матрицы. Метод Гаусса.
Линейные пространства.
Определение и примеры. Порождающие семейства, конечномерные пространства.
Линейная независимость векторов. Базис, размерность. Координаты вектора, их
изменение при изменении базиса. Подпространства. Ранг матрицы как размерность
линейной оболочки ее строк, столбцов. Эквивалентность разных определений
ранга. Факторпространство. Сумма и пересечение подпространств, связь между
размерностями. Прямая сумма подпространств, внешняя прямая сумма.
Системы линейных уравнений.
Матричная запись и векторная интерпретация линейной системы. Теорема
Кронекера-Капелли. Строение множества решений линейной системы.
3
Определители.
Определители второго и третьего порядков. Перестановки и инверсии, четность
перестановки. Определение детерминанта квадратной матрицы произвольного
порядка. Определитель транспонированной матрицы. Перестановка строк и
свойства линейности. Разложение по строке. Методы вычисления определителей.
Определитель Вандермонда. Ранг матрицы в терминах ее миноров. Теорема
Крамера
2.8 Алгебра квадратных матриц.
Некоммутативность матричного кольца, делители нуля. Многочлен от матрицы.
Определитель произведения квадратных матриц. Невырожденные матрицы, полная
линейная группа. Взаимная матрица и ее свойства. Обратная матрица, методы ее
вычисления. Собственные числа и собственные векторы матрицы,
характеристический многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли.
2.9 Евклидовы и унитарные пространства.
Скалярное произведение на линейном пространстве. Матрица Грама. Неравенство
Коши-Буняковского. Ортогональные векторы. Длина вектора, угол между
векторами. Евклидово и унитарное пространства. Ортонормированные базисы.
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение к
подпространству. Разложение пространства в ортогональную прямую сумму.
2.10 Квадратичные формы.
Матричная запись. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к
диагональному виду. Закон инерции вещественных квадратичных форм.
Формулировка теоремы об ортогональном приведении формы.
2.11 Дальнейшие сведения о многочленах.
Делимость в кольце многочленов. Неприводимые многочлены. Производная
многочлена и ее свойства. Корни многочленов, кратные корни и производная.
Формула Тейлора. Формулы Виета. Симметрические многочлены. Поле дробнорациональных функций. Простейшие дроби, разложение правильной дроби в
сумму простейших, формула Лагранжа. Интерполяционная задача, ее
разрешимость. Метод Ньютона и интерполяционная формула Лагранжа.
Многочлены с рациональными и целочисленными коэффициентами. Факторкольцо
кольца многочленов.
2.12 Элементы теории групп.
Циклические группы, их классификация. Подгруппа, примеры. Смежные классы по
подгруппе, разложение Лагранжа, индекс подгруппы. Теорема Лагранжа о группах.
Порядок элемента. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Групповой
гомоморфизм, его ядро и образ. Теорема о гомоморфизме
2.13 Линейные отображения.
Линейное отображение, его ядро и образ. Матрица линейного отображения,
каноническая матрица. Линейный оператор и его матрица, связь алгебры
операторов с матричной алгеброй. Условия обратимости оператора. Алгебра
линейных операторов. Инвариантное подпространство. Сужение оператора на
инвариантное подпространство; индуцированный оператор на факторпространстве.
Матрица оператора при наличии инвариантного подпространства, при разложении
пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственное число
и собственный вектор оператора. Характеристический многочлен оператора,
теорема Гамильтона-Кэли. Собственное подпространство и его свойства.
Оператор, имеющий диагональную матрицу в некотором базисе; критерий
диагонализуемости. Жорданова форма матрицы оператора.
2.14 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах.
Сопряженный оператор. Инвариантные подпространства для сопряженных
операторов. Нормальный оператор в унитарном и евклидовом пространстве,
2.7
4
каноническая матрица. Самосопряженный оператор. Положительно определенные
операторы, извлечение квадратного корня. Унитарные и ортогональные операторы.
Полярное разложение.
III. Распределение часов курса по темам и видам работы
ЧАСЫ
1
2
Темы 1–7Темы 8–15
ВСЕГО
IV.
128
147
275
34
34
68
Самостоятельная
работа
Наименование тем и разделов
Лекции
№
Практические занятия
Всего
Аудиторные
занятия
34
34
68
60
79
139
Формы текущего, промежуточного и итогового контроля
Текущий контроль выполняется в форме домашних заданий.
Промежуточный контроль осуществляется в виде контрольных работ, коллоквиума и
зачета.
Итоговый контроль: 2 семестр – экзамен.
V. Лабораторный практикум
- не предусмотрен учебным планом
VI. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для
самостоятельной работы
Тема – Определители и системы линейных уравнений:









определение детерминанта произвольного порядка;
преобразования матрицы и соответствующие изменения определителя;
минор произвольного порядка, алгебраическое дополнение к минору;
определитель треугольной, клеточно-треугольной матрицы;
условие разрешимости линейной системы с квадратной матрицей коэффициентов при
неизвестных;
связь между решениями однородной и неоднородной систем линейных уравнений;
метод рекуррентных соотношений при вычислении определителей;
объем вычислений при решении линейной системы – сравнение метода Гаусса и теоремы
Крамера;
определение ранга матрицы, ранги трапециевидной, ступенчатой и клеточно-треугольной
матриц.
Тема – Евклидовы и унитарные пространства.








матрица Грама и ее изменение при замене базиса;
свойства ортогонального дополнения;
ортогональные, эрмитовы матрицы и их свойства;
процесс ортогонализации Грама-Шмидта;
разложение евклидова пространства в ортогональную прямую сумму;
два определения квадратичной формы и связь между ними;
каноническая матрица квадратичной формы на комплексном и вещественном пространстве;
определение индексов инерции квадратичной формы без приведения к диагональному виду.
VII. Темы курсовых работ - для данной дисциплины не
предусмотрены учебным планом.
VIII. Темы рефератов – для данной дисциплины не предусмотрены
учебным планом.
5
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему
курсу
IX.
























Связь между биективностью отображения и его обратимостью.
Абелевы и неабелевы группы, примеры.
Связь между свойствами самого кольца и его факторкольца по некоторому идеалу.
Линейное уравнение с одним неизвестным в кольце вычетов.
Формальное и функциональное равенство многочленов.
Применение формулы Муавра в вещественных вычислениях.
Свойства матричного умножения.
Число решений системы линейных уравнений.
Методы вычисления обратной матрицы.
Свойства линейно зависимых векторов.
Размерность как инвариант линейного пространства.
Связь между двумя определениями прямой суммы для линейных пространств.
Зависимость свойств производной многочлена от характеристики поля.
Освобождение многочлена от кратных корней.
Левое и правое разложения Лагранжа в теории групп.
Описание нормальных подгрупп, факторгруппы по которым абелевы.
Ядро и образ линейного отображения.
Критерии изоморфности линейного отображения.
Определение и свойства двойственного пространства.
Собственные векторы оператора, соответствующие его различным собственным числам.
Теорема Жордана и ее аналоги для алгебраически незамкнутых полей.
Матрицы сопряженных операторов относительно произвольного базиса пространства.
Положительно определенный оператор и его свойства.
Изометричность ортогонального и унитарного операторов.
Технические средства обучения и контроля, использование
ЭВМ
X.

Возможно использование персонального компьютера для демонсрации численных примеров и
просмотра материала, предназначенного для самостоятельного изучения.
Активные методы обучения
XI.

В данном курсе, как правило, применяются классические аудиторные методы. Наряду с этим в
рамках самостоятельной работы предусматривается внеаудиторное освоение материала с
использованием учебников и учебных пособий, а также текста некоторых разделов курса,
представляемого лектором.
XII. Материальное обеспечение дисциплины

Требуется. стандартное оборудование лекционных аудиторий, наличие рекомендованных
учебников и учебных пособий.
XIII. Литература
Основная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре. М., 1984.
А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Т. 1-3. М., 1999-2000.
З. И. Боревич. Определители и матрицы. Л., 1970.
А. А. Семенов, Р. А. Шмидт. Начала алгебры. СПб., 2002.
Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М., 1977.
Задачи по алгебре. Ч. 1, 2. СПб., 1996, 1998.
И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., 1974.
Дополнительная
1. Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. М., 1983.
2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М., 1999.
3. И. М. Виноградов. Основы теории чисел. М., 1976.
6
4. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М., 2000.
5. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. М., 1986.
6. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., 1971.
7. Р. Лидл, Г. Пильц. Прикладная абстрактная алгебра. Екатеринбург, 1996.
8. С. Лэнг. Алгебра. М., 1968.
9. В. В. Прасолов. Многочлены. М., 2000.
10. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л., 1981.
11. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М., 1987.
Автор программы:
Доцент
А.А. Семенов
Рецензент:
Зав. кафедрой алгебры РГПУ им. Герцена
Н.Л. Гордеев
7