С о де рж ан ие 1 . П о ня ти е по вер х но ст и в Е вкл и до во м пр ост р ан ст ве . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . 2 2 . Н е яв но е за дан и е по ве рх нос т и . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . . 5 3 . П а ра ме тр ич еск о е за да ни е по в ер хн ос ти . . .. . . .. . .. 5 4 . Я в но е за да ние по ве рх но сти . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . 6 5 . К а са те ль на я п л ос ко ст ь в то ч ке п ов ер хно с ти . . 7 6 . Н о рм ал ь и н орм а ль но е се чен и е . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . 9 7 . П е рв ая к ва дра т ич на я фо рма по ве рх но сти . .. . .. . . 1 0 8 . В т ор ая к ва дра т ич на я фо рма по ве рх но сти . .. . .. . . 1 1 9 . П о лн ая и с р едн я я кр ив из ны п о ве рх но ст ей . . . .. . . 1 5 10. Г е од ез ич ес кие ли ни и , ге оде з ич ес ка я к р ив из на . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. 16 11. Т о чк и по ве рхн о ст и . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . 17 12. П л ощ ад ь по вер х но ст и . . .. .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . 19 13. О р ие нт ац ия пл о ск ос ти . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . 19 С о д е р жа н и е . . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . 2 1 1 1. П о ня ти е по в ер хн ос ти в Е вк ли д ов ом п р ос тр ан ст ве . — П о ве рх но ст ь т р ад иц ио нн ое н аз ва ни е для д в у ме рн ого м н ог оо бр аз ия в п р ос тр ан ст ве . Ин ог да э ти м же те р ми ном н аз ы ва ют п р ои зв ол ьн ое п о дм но го об раз и е . М а те ма ти че ски с т ро го е опр е де ле ни е о с но вы ва ет ся о с но вн ым к о то ру ю на по ня тия х я вл я ет ся м ож но п о ве рх но ст и по н ят и е п ре дс та ви ть п о дв ер гн ут ый Пример простой поверхности то по ло гии . п ро ст о й к ак Пр и эт ом п о ве рх но сти , ку со к н е пр ер ы вн ым п л ос ко ст и , д е фо рм а ци ям ( ра ст яж ен и ям , с жа ти ям и изг и ба ни ям ) . В о зь мё м в пр ос т ра нс тв е Е 3 н е ко то ру ю п л о с ко сть Е2 . И зв ес тно м е тр ич ес ки м я в ля ет ся чт о е вк лид о ва п р ос тр ан ст в о м п ло ск о ст ь (Е2, ) г де от о бр аж ен ие м я вл яе тс я м ет ри к а по за кону ( M , N) = M N . О т кр ыт ым р а ди ус ом r>0 кру г ом це нтр о м н аз ы в ае тся п л ос ко ст и так и х , ч то 2 с (M0,M)<r. в т оч ке мн ож ес тв о М0 и т оч ек M М н ож ес тв о G E 2 н аз ыв ае тс я о тк р ы ты м , ес л и д л я л ю бо й т оч ки М G с ущ ес тв уе т о т кр ыт ый кр уг с це нт ром в то чк е М , со де р ж а щ и йс я в мн о же ст ве G. G . M Е2 М н ож ес тв о G E 2 на зы ва ет ся з а мк ну ты м , есл и ег о д о по лн ен ие C G д о Е 2 от кр ыто . G CG Е 2 О к ре ст но ст ью т оч ки М Е2 н а з ыв ае тс я л юб ое о т кр ыт ое м нож е с т во , со д ерж а ще е то чк у М . Т о чк а М на з ыв ае тс я то ч ко й п ри кос н ов ен ия м н ож ес тв а G E 2 , ес ли к аж дая ок ре ст но сть эт ой т оч ки и м ее т с G х о тя б ы о дн у о б щу ю то чк у . М н ож е ст во т о че к п ри кос н ов ен ия мно ж ес тв а G в с ех н а зы ва ет ся з а мы ка ни ем мн о же ст ва G . За м ык ан ие лю бо г о м но же ст ва з а мк ну то . М н ож ес тв о НсЕ2 на зы ва ет ся с у ще ст ву ет дв у х о тк ры ты х в Е 2 т а ки х , ч то : 1) 2) 3) 3 ; 1 ; 1 . св яз ны м , ес л и м но жес т в G 1 не и G2 О б ла ст ью н а е в кл ид ов ой пл о ск ос ти на зы в ае тся в с як ое с вя зно е о тк ры то е мн о же ст во . З а м к ну то й о б ла ст ью н а зы ва етс я та кое з а мк ну то е м но ж ес тв о , ко то р ое яв ля ет ся з ам ык ан ием о б ла ст и . З а мк ну та я о гр ан и ч ен н ая о бл ас ть н а зы ва ет ся ко м па кт но й . – д в а п ог руж е ни я о бл а с тей П у ст ь f : G E 3 и g : и в ев кл и дов о п ро ст ра нст в о E 3 . П ог руж е ни я f и g н а зы ва ют ся т а ко й С0 эк ви ва лен т ны ми , - г о м е ом о рф из м h: ес ли ч то , с у ще с т в уе т и м еет ме сто р а ве нс тв о f = g * h . В в ед ён но е от н ош ен ие э к ви ва ле нт нос т и на явл я ет ся мн ож е ст ве от нош е ни ем в се х п о гр уж е ний о б ла ст ей пл ос к ос ти E 2 в п ро с тр ан ст во E 3 , т ак ка к э т о о т но ше ни е реф л ек си вн о , сим м ет ри чн о и т р ан зи ти вн о . Д е йс тв ит ел ьно , р еф ле кс ив н ос ть о тн ош е ни я С0 - э к ви ва ле нт нос т и вы по лн яет с я , п ос ко ль ку в к ач е ст в е у к аз ан но го в ы ше т о жд ес тв ен ное г ом ео мо р фи зм а о то бр аж ени е ; h м о жн о си м ме тр ия вз ять о тн ош ен ия с л ед уе т и з т ог о , ч то об ра тн ы й г ом ео мо рф и зм у д ов ле тв ор яет р ав ен ст ву На кон е ц , . т р ан зи ти вн ост ь о тн ош ен ия С0 - э кв ив але н тн ос ти п р ои зв ед ен ие вы те к ае т г о ме о м ор физ м ов ес ть из тог о , ч то го м ео мо рф из м . В в ед ён но е отн о ше ни е С 0 - эк в ив ал ен т н ост и р аз би ва ет м н ож ес тв о 4 вс е х ук аз ан ны х п ог ру же ни й на кл ассы э к ви ва ле нт нос т и . Ка жд ы й э к ви ва ле нт нос т и та кой н аз ыв ае т ся кл ас с по ве рх н ос ть ю в п р ос тр ан ст ве E 3 . 2 . Н ея вн ое за д ан ие п ов ерх н ос ти . П о ве рх но ст ь , з а д анн а я я в ля ет ся , п о ве рх но ст ью , ф у нк ци я о б ла ст и оп р ед е ле ни я о д но вр ем ен но гл а дк ой ре г уля р ной е сл и , не п ре р ы вн о F ура в не ни ем не ди ф фе ре нц ир уем а в св ое й Ω , а е ё ч ас тн ые п р ои зв од ные о бр ащ аю т ся в ну ль ( ус ло вие р е гу ля рн ос ти ) н а в сё м м но же с тв е Ω : 3 . П ар ам ет рич е ск ое з ад ани е п ов ер хн ост и . З а да ди м по ве р хн ос ть в ек т ор ны м ур ав н ением , и ли , ч то тож е са мо е , тр ем я ур ав не ни ям и в к о ор ди на та х : Эта си ст ема ур ав не ний за да ёт г ла дк ую р е гу ля рн ую по в ер хн ос ть , ес л и вы по лн ены ус ло ви я : 5 с и ст ем а о д но зн ач но е у с та на вл ив ает с оо тв е тс тви е м еж д у вз аи мно об р аз ом и п р оо бр аз ом Ω ; ф у нк ци и н е пр ер ыв но д и фф ер ен ци руе м ы в Ω ; в ы по лн ен о усл о ви е не вы рож д ен но ст и : Г е ом ет ри че ски в е кт ор ы п ос ле дн ее о зн а ча ет , ч то н и где н е п ар ал л ель н ы . П ар а м ет ры u, р а сс ма тр ив ать к о ор ди на ты Ф и кс ир уя у с ло ви е к ак т о че к одн у п о лу ча ем из v м о жно вну т ре нн ие пов е рх но ст и . к оо рди н ат , д ва мы с ем ей ст ва к о ор ди на тн ых к ри вы х , п окр ы ва ющ их п о ве рх но ст ь к о ор ди на тн ой с ет ко й . Координатная сетка на сфере 4 . Я вн ое з ада н ие п ов ер хно с ти . П о ве рх но ст ь S м ож ет бы т ь оп р е де ле н а как г р аф ик ф ун кци и z = f ( x ,y ) ; то г да S я вл яет с я гл ад ко й р е гу ля рн ой п ов е р хн ост ь ю , е сл и ф ун кц ия f д и фф ер ен ци руе м а . Э то т ва ри а нт м ож но р ас с ма тр и в ать как ч ас тн ый с л уч ай . 6 пар а ме тр ич ес ког о за да ни я : С k - по гр уж ен ия Сk - и эк ви ва ле н тн ым и н аз ыв аю тс я (к 1), д и фф ео мо р ф изм е с ли т а ко й , з а да нн ом о т н ош ен ие Сk с ущ ест в уе т ч то . Сk - П ри э кв ив ал ен т н о сти - я в ля е т ся от но ш ен ие м э кв ив а ле нт но ст и н а м но же стве С k - п ог ру же ни й об ла ст ей и з E 2 в п ро ст ра н ст во E 3 , т а к к а к он о ре ф лек с ив но , си м мет р ич но и т р анз и ти вн о . Г л ад ко й по ве р хн ос ть ю кл а сс а Сk в п р ос тр ан ст ве E 3 н аз ыв ае тся к ла сс С k - эк в ив ал ен тн ых п о гр уж ен ий об л ас те й и з E 2 в пр ос тр ан ств о E 3 . 5 . К ас ат ел ьна я п ло ск ос ть в то чк е по в ерх н о с ти . К а са те ль на я п л ос ко ст ь в то чке г л ад ко й — пов е рх но ст и п л ос ко ст ь , им е ющ ая п о ря до к с о пр ик ос но вен и я п о ве рх но ст ью Э к ви ва ле нт ный в это м ак си м ал ьн ый э т ой в ар иа нт с Касательная плоскость в точке поверхности. т о чк е . оп р ед ел ен ия : к а са те ль ная п л ос ко ст ь е ст ь пл ос ко ст ь , с од ер жа ща я к а са те ль ные к о в се м гл а дк и м к ри вы м , про х од ящ им ч ере з э ту т оч к у . П у ст ь гл ад ка я з а да нн ой п ове р хн ос ти к ри ва я на па ра ме т ри чески з ада н а в ви де : . Н а пр ав ле ни е в е кт ор : 7 к а са те ль но й к т ак ой кр ив о й д а ё т О т сю да ви дно , чт о в се к а са те ль ны е ко вс ем к р ив ым в д ан н ой то чк е л е жа т в од но й пл ос ко сти , с о де рж ащ ей в е кт ор ы , к от ор ые мы в ыш е п р ед по ло жи ли н ез ав ис им ыми . У р ав не ни е к а са те ль но й п ло ск ос ти в т оч ке и ме ет в ид : ( с ме ша нно е п ро из ве д ение в е кт ор ов ) . В к оо рд ина т ах ур авн е ни я к аса т ел ьн ой п л ос ко ст и д л я р а зн ых с по со б ов з ад ан ия п о ве рх но сти п р ив ед е н ы в та б ли це : к а са те ль на я п л ос ко ст ь к п о ве рх но ст и в то чк е н е яв но е за дан и е я в но е за да ние п а ра ме тр ич еск о е за да ни е 6 . Н ор ма ль и н о рм ал ьн ое се ч ен ие . 8 В е кт ор ы но рма л и в то чк а х п о ве рх но ст и О д но й и з ос нов н ых ха ра кт ер и ст ик по ве рх н ос ти Векторы нормали в точках поверхности я в ля ет с я её н о рм ал ь — е д ин ич ны й в е кт ор , п е рп ен ди ку ляр н ый ка са те ль н ой пл ос ко ст и в за да нн ой т о чк е : . З н ак н ор ма ли з а ви си т о т выб о ра к оо рд ина т . С е че ни е п ов е рх но ст и п л ос ко ст ью , с о де рж ащ ей н о рм ал ь ( в д ан н ой т о чк е ) , об р аз уе т н ек от о ру ю к ри вую на по ве рх нос т и , с е че ни ем ко то ра я по в ер хн ос ти . н о рм ал ьн ог о с е че ни я н а зы ва ет ся Г л а вн ая со в па да ет н о рм ал ьн ым н о рм ал ь с н о рм ал ью для к п о ве рх но ст и ( с то чн ос ть ю д о зн ак а ) . Е с ли же н о рм ал ьн ым к рив а я на с е че ни ем , по вер х но ст и то её не я в ля ет ся г ла в на я но рм аль о б ра зу ет с но р ма ль ю п ов ер х но ст и н ек от о ры й у го л θ . Т о гд а к ри в изн а k к р и в ой с в яз ан а с к р ив из но й kn н о рм ал ьн ог о с е ч ен ия ф о рм ул ой М ёнь е : (с той же к а с ат ел ьн ой ) . К о ор ди на ты ор т а но рм ал и д л я ра зн ых сп о со бо в з а да ни я по вер х но ст и пр иве д ен ы в та б лиц е : К о ор ди на ты но р ма ли в т о чке п о ве рх но ст и 9 н е яв но е за дан и е я в но е за да ние п а ра ме тр ич еск о е з а да ни е З д ес ь . 7 . П ер ва я ква д ра ти чн ая фо р ма п ов ер хно с ти . П е рв ая ф о рм а к ва др а ти чн ая по ве рх н ос ти ― ф ор м а ил и ме тр и че ская к в ад ра ти чн ая ф ор ма от д и фф ер ен ци ало в ко ор ди на т н а по ве рх нос т и , ко то ра я о п ре де ля ет в н ут ре нн юю о к ре ст но ст и д ан но й г е ом ет ри ю т о чк и . по в ер хн ос ти Зн ан и е в пе рвой к в ад ра ти чн ой ф о р мы д ос та то ч но д ля в ыч ис л ен ия д лин дуг, уг ло в м е жд у к ри вым и , п ло ща ди о б ла ст ей на п о ве рх но ст и . П у ст ь по ве рхн о ст ь за да на у р ав не ни ем r = r ( u , v ) , г д е u и v ― вн ут р ен ни е ко орд и на ты н а п ове р хн ос ти ; dr=rudu+rvdv. Д и фф ер ен ци ал н а пр ав ле ни я р а д иу с - в ек то р а с м ещ е ни я из r т оч к и в до ль в ы б ра н н ог о в б ес к он еч но M б л из ку ю т оч ку M' . Кв ад рат г ла вн ой л иц е во й ч ас ти 10 п р ир ащ ен ия д л ин ы в ы ра ж ае тс я к вад р ат ом д и фф ер ен ци ала d r : и н аз ыв ае тс я п е рв ой ос нов н ой кв ад ра ти ч но й ф ор мой п о ве рх но ст и . К оэ фф иц ие нт ы п ер во й к в ад ра ти чн ой ф о рм ы об ыч но о б оз на ча ют че р ез , , . и л и в те нз о рны х с им во ла х . Т е нз ор н а зы ва етс я о с но вны м , и ли м е тр и ч ес ки м , т е нз ор ом п ове р хн ос ти . С в ой ст ва : П е рв ая к ва д ра ти чн ая ф ор ма я вл яе тся п о ло жи те ль но о п р ед ел ен ной ф о рм ой в об ы кн ов ен ны х т о чк ах п ов ерх н ос ти : EG−F2>0. 8 . В то ра я ква д ра ти чн ая фо р ма п ов ер хно с ти . П у ст ь F - С2 - г ла дк а я п ов ер хно с ть и н ек от о р ая е ё п ар ам ет ри зац и я . В т ор ой кв адр а ти чн ой фор м ой по ве рхн о ст и н а зы ва ет ся ск а л я рн ое пр ои з ве де ни е I I в е кт ор 11 н ор ма л и к по в ерх н ос ти , а , где - F - в то рой д и фф ер ен ци ал в е кт ор фу н кц ии - . Так к ак то , К оэ фф и ци ен ты II в т ор ой к ва др а ти чн ой ф ор м ы об оз на чи м с ле ду ющ им о б p аз ом : Т о гд а I I П о ск ол ьк у , гд е E , F, G - к о э ффи ц ие нт ы п ер во й к в ад ра ти чн о й ф ор мы , т о и м ею т ме ст о сл е ду ющ ие ф орм у лы : ; ; . Е с ли п ов ер хно с ть F за да на ур ав не ни ями : то ко эф фи ци е нт ы в то ро й кв ад ра ти ч но й , ф ор мы в ы чи сл яю тс я п о ф ор му ла м : , , . П у ст ь п ов ер хн о ст ь F з а дан а яв ны м у рав н ен ием , где з а да ющ ая к ла сс а С 2 . Т о гд а век т ор - фу нк ц ия , и ме е т F, к о эф фи ци ен ты ви д в то ро й к ва др ат ич н ой в ы чи сл яю тс я п о ф ор му ла м : ; 12 и ; ф ор мы В т ор ая ква д ра ти чн ая п о ве рх но с т и и ме ет ф о рма г ео м ет ри че ски й с м ыс л : г ла вна я ч ас ть ук ло н ен ия к а са те ль н о й п л ос ко ст и п о п ов ер хн ост и б л из ку ю к в ад ра т и чн ой п р и см ещ е нии и з то чк и к ас ан ия то чк у вы ра жа ет с я ф о рм ы . от в б е ск он еч но по ло ви но й Т а ки м в торой о б ра зом , . П у ст ь г л адк а я по ве р хн ос т ь н е ко то ра я е ё п а ра ме тр из аци я , и на г л ад ка я к р ивая , вн ут ре нни е у ра вн ен ия к от ор ой н а ту ра ль ны й п а р а ме тр н а К р ив ая з ад а ёт ся В е кт ор ме жд у в е кт ор ом , где - ве кто р – к л а с са . . ф у нк ци ей у г ол и явл я ет ся в ек то р ом к р ив из ны кр ив о й в д ан н ой т оч к е - в е кт ор ом и г л а вн ой н о рм ал и н ор ма л и по в ер х н ос ти к р ив ой . О т но ш ение п о ст оя нн о д л я вс ех кр ив ых н а по ве рх но с ти п р ох од ящ их че р ез т о чк у ж е н ап ра в ле ни е О т но ше ни е , и и ме ющ и х в н ей од но и т о ( од ну и т у ж е к ас ат ел ь ну ю ) . н а з ыв а е тс я нор м ал ьн ой к рив и зн ой п о ве рх но ст и в да нн о й то чк е в да нн ом н а пр ав л е ни и . 13 Н о рм ал ьн ым се ч ен ие м по вер х но ст и н а зы в а ет ся л и ни я п о ве рх но ст и с Г, яв л яю ща яс я п ло ск ос т ью , н о рм ал ь к п ове р хн ос ти в точ к е п о ве рх но ст и в то чк е н а пр ав ле ни ем пр ох о дя щ ей ч ерез , Н ор ма льн о е с еч ен ие ко т ор ое к ри ви з на н а пр ав ле ни и пе р ес еч ен ие м о пр ед е ля ет ся о дно з на чн о те м , Н о рм ал ьн ая в е ё то ч ке он о с од е рж ит . п ов ер х но ст и ес ть с в т о чн ос ть ю да нн ом до зн ака к р ив из на но рм а ль но го се че н ия по ве рх н о с ти в т очке , им ею ще го в э т ой т оч ке т о ж е н ап ра вле н ие , чт о и к р ив ая Р а ве нс т во . с о с та в л я ет с о де рж ан ие те о ре мы М ен ье . П у ст ь ч ер ез н о рм ал ь к пов е рх но ст и в т о чк е п р ов ед ен ы п ло ск ос ти , п о ве рх но ст ь п о н ор ма ль ным се че ни ям к р ив из ны ко то рые пе ре се ка ют . Но р ма ль ны е эти х с еч ен ий ме н яю тс я пр и п е ре хо де о т л и ни и к ли нии , п ри ни ма я н а иб ол ьш ее и н аи ме нь ше е з н ач ен ия . Н апр а вл е н ия д а нн ой т оч ке , д о ст иг аю т в - гл а дк ой по ве рх н ос ти ко то рых э к ст ре му мо в , н а зы в а ют ся н а пр ав ле ни ями по ве рх но сти н ор ма ль ны х с е че ни й н а пр а в ле ни ям , кр ив из ны г ла вн ым и , а н ор ма ль ны е к ри ви зн ы , с оот в ет ст ву ю щ их э тим на з ыв аю тся к р ив из на ми п о в ер хн ос ти но рм ал ьн ые гл ав ны ми в т оч ке н ор ма ль ны ми . 9 . П ол на я и ср е дн яя к ри виз н ы по ве рх нос т ей . 14 в Для р аз ны х з а да нн ой н а пр ав ле ни й т о чк е п ове р хн ос ти п о лу ча ет ся р а з н ая н о рм ал ьн ог о с е ч е ни я , н а зы ва ет ся в н о рм ал ьн ой к р ив из на к от о рая к р ив из но й ; Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной. е й п ри п ис ыв ае т ся з н ак п лю с , е сл и г лав н ая н о рм аль к р ив ой ид ёт в то м ж е н апр а вл ен ии , ч то и но рм ал ь к п о ве рх но ст и , и л и ми ну с , е сл и н ап ра вл е ни я н ор ма лей п р от ив оп ол ожн ы . В о об ще г ов ор я , в к аж дой то чк е п ове р хн ос ти с у ще ст ву ют дв а пе рп ен ди ку л яр ны х н ап ра в ле ни я e 1 и e2, в к от оры х н ор ма ль на я м и ни ма ль но е и н а пр ав ле ни я н аз ыв аю тся к ри ви зн а м ак сим а ль но е п ри ни ма ет зна ч ен ия ; гл ав ны ми . эти И ск лю че ние с о ст ав ля ет сл у ча й , к ог д а н ор ма ль на я к р ив из на п о в с ем н ап ра вле н ия м од ин ако в а ( н ап ри ме р , у сф ер ы и ли на то р це э л ли пс ои да в р ащ е ни я ) , т о гд а все н а пр ав ле ни я в то чк е — гл ав н ые . Н о рм ал ьн ые кр и ви зн ы в гл а вн ых на пр ав л ениях н а зы ва ют ся гл а вн ым и кр иви з на ми ; о бо зн а чи м и х κ 1 и κ 2 . В ел ич ин а : K=κ1κ2 н а зы ва ет ся га у сс ов ой кр ив и зн ой , п ол но й кр ив из ной или п ро ст о т а кж е к р ив из но й т ерм и н по в ер хн ос ти . с ка ляр В с тр еч ае тся к ри ви зны , ко то ры й п о др аз ум ев ает р ез ул ьт ат св ё рт ки те нз ор а кр ив из ны ; 15 п р и э то м с ка ля р кр ив из ны вд в ое бо ль ше , ч е м г ау сс ова к р ив из на . Г а ус со ва кр ив и зн а м ож ет б ы ть вы чи сл ен а че рез м е тр ик у , и в н ут ре нн ей г л ав ны е п о э т ом у она ге о ме тр ии к рив и зн ы о т но ся тс я ) . к По я вл яе тс я п ове р хн ос те й ( от м ет им , чт о вну т ре нн ей гео м ет ри и не зн а ку к л ас си фи ци ров а ть то чк и кр иви з ны п о ве рх но сти . п л ос ко ст и р ав н а н ул ю . Кри в из на в с юд у р ав н а . об ъе кт ом мо жно К ри ви зн а сф ер ы р а ди ус а R С ущ ест в уе т и по в ер хн ос ть п о ст оя нн ой от р иц ат ел ьн ой к ри ви зн ы — пс е вд ос фе ра . 1 0 . Ге од ез иче с ки е ли ни и , г е од ез ич ес кая кр ив из на . К р ив ая на г е од ез ич ес кой по ве рхн о ст и ли н ие й , или пр о ст о наз ы ва ет ся гео д ез ич ес ко й , е с ли в о вс ех е ё то чк ах гл а вн ая но рм ал ь к к ри в о й с о вп ад ае т с н ор ма ль ю к п ов ер хн ос ти . Пр им ер : на п л ос ко ст и гео д ез ич ес ки ми б у д ут п ря мые и о т р е зк и п р ям ых , н а сфе р е - бо ль ши е к р уг и и и х отр е зк и . Э к ви ва ле нт ное л и ни и п ро ек ц ия с о пр ик ас аю щую с я Е с ли к ри ва я оп ре де л ени е : её г л ав но й п ло ск о ст ь не ес ть яв ля ет с я у г ео дез и че ск ой н о рм ал и н уле в ой на ве кт о р . ге од ез ич е ск ой , то у к аз ан на я про е кц ия н ен уле в ая ; е ё д ли на на зы ва ет ся 16 г е од ез ич ес кой к ри ви зн ой kg к р ив ой н а п о ве рх но ст и . И м ее т ме ст о со о тн ош ен ие : , г д е k - кр ив из н а д ан но й к ри в ой , kn - к рив и зн а е ё н о рм ал ьн ог о с е че ни я с т ой ж е ка са те л ьно й . Г е од ез ич ес кие л ин ии от но с ят ся к в ну т ре нней г е ом ет ри и . Пер е чи сл им и х гл а вн ые с во йст в а . Ч е ре з да нн ую н а пр ав ле ни и т оч ку п ро хо ди т п ов ер х но ст и о дн а и в за д ан ном т ол ьк о одна г е од ез ич ес кая . Н а д ос та то чно ма ло м уч аст к е по ве рх нос т и дв е т о чк и п р ит ом вс ег да мо жн о со ед и ни ть г ео де з ич ес ко й , т оль к о о д но й . П о яс н ен ие : п р от ив оп ол ожн ы е по лю са с ое ди ня ет на и с фе ре б ес ко не чн ое к о ли че ст во ме р ид иа но в , а д ве бл из ки е т оч ки мо жно с о ед ин ит ь н е т ол ьк о от рез к ом б ол ьш ого кр уг а , н о и его д оп ол нен и ем до по лн о й о кр у ж нос т и , та к что о д но зн ач но сть со бл юд ае тся то ль ко в мал о м . Г е од ез ич ес кая я вл яе тс я к р ат ча йш ей . Б ол ее с т ро го : н а мал о м ку ск е п ове р хн ос ти к рат ч ай ши й пу ть м е жд у за да нны м и то чк ам и ле ж ит п о ге о дез и че ск ой . 1 1 . То чк и пов е рх но ст и . Т о чк и по ве рхн о ст и , н аз ы ва ютс я эл ли пт ич е ск им и . о к ре ст но ст и э лл ип ти че ск о й к а са те ль на я п л ос ко ст ь т о чк а по ве рхн о ст и 17 , в ко тор ы х по лн ая к ри в из на в то чк и д а нн ой и пл оск о ст и . В м а ло й по в ер хн ос ти т очк е ле жи т по - э лл ип ти че ск а я то чк а Т о чк и по ве рхн о ст и Г и пе рб ол ич еск и ми . , в к от ор ы х , на зы ва ют ся м ал ой о кр ес тн о с ти В г и пе рб ол ич еск о й т оч к и п о в е рх но ст и п л ос ко ст ь в . да нн ой т о чк е к а с ат ел ьн ая пе рес е ка ет э ту о к ре ст но ст ь п о па ре кр ивы х , п ер ес ек ающ и хс я в эт ой т о чк е по д о р а сп ол ож ен а н ен ул ев ым по об е у гл ом . с т ор он ы Э та о кр ес тн ос ть от к а с ат ел ьн ой п л ос ко ст и в да н но й то чк е и и ме ет в ид сед л а . - г ип ер бо ли че с ка я то чк а . Т о чк и по в ер хн о ст и н а зы ва ют ся , в к от ор ы х п а ра б о ли ч ес ки ми . , В п а ра бо ли че ско й т оч ке об ра щ аю тс я в н ул ь и ли од на г л ав на я н орм а ль на я с л уч ае ма ла я к рив и зн а ок ре с т но с ть и ли об е . то чк и В п ер вом и м ее т вид п а ра бо ли че ско г о ц ил ин др а . В о вт ор ом сл у ч а е т оч ка н а зы ва ет ся то ч ко й у пл ощ ен и я . В ма ло й о к ре ст но сти т о чк и уп ло ще н ия п ов ер хн о ст ь мо же т и ме ть с л ож но е ст рое н ие . - п ар аб ол ич ес к ая т оч ка . 1 2 . Пл ощ ад ь п о ве рх но ст и . 18 о чень Ещё о ди н важ н ый ат ри бу т п о ве рх но ст и — её п л ощ ад ь , к о тор а я вы чи сл яет с я п о ф ор м уле : З д ес ь . В ко ор ди на тах по лу ча е м : я в но е за да ние п а ра ме тр ич еск о е з а да ни е в ы ра ж е ни е для п л ощ ади 1 3 . Ор ие нт аци я п ло ск ос ти . Т а кж е в аж но й х а ра кт ер ис ти кой п о ве рх но ст и я вл яе тс я её о р ие нт ац ия . Лента Мёбиуса. П о ве рх но ст ь н аз ыва е тся д в ус то ро нн ей , ес ли н а в се й е ё пр от яжё н но ст и он а о б ла да ет не пр е ры вн ым ве кт о ро м н ор ма ли . В пр от ив ном с л уч ае п ов ерх н ос ть н аз ыва ю т од но ст оро н не й . 19 О р ие нт ир ов анн о й н аз ыв ае т ся дв ус то р о н няя п о ве рх но ст ь с вы бр ан ны м на п ра вл ен ие м н о рм ал и . П р им ер ам и о дн о ст ор он ни х , н е ор ие нт ир уем ы х п ов ер хно с те й а с ле до в ате л ьн о я вл яют с я и б ут ыл к а К л ей на и ли лен т а Мё би ус а . С п ис ок л ит ера т ур ы 1. А т ан ас ян Л .С . Гу ре ви ч Г. Б .Г ео ме тр ия, ч . I I - М. Пр ос ве щен и е, 1 97 6. - 4 4 7 с. 20 2. Б а ке ль иа н И .Я .В ыс ш ая г ео м ет рия. М . Пр ос ве ще ние , 1 96 7. - 367 с . 3. Б а ке ль ма н И .Я . д и фф ер ен ци аль н ую И . Я. Ба ке ль ман , и д р. Вв ед ен и е г ео ме т ри ю в А .Л .В ерн е р, в ц ел ом Б .Е .Ка н то р. - М . :Н ау ка , 197 3 . - 4 40 с . 4. В а зы ле в В. Т. . Ду ни че в К. И .Г ео ме тр ия, ч . I I - М. Пр ос ве щен и е, 1 97 5. - 3 6 7 с. 5. И л ьи н В .А ., П о зн як Э .Г . Ан ал ит иче с ка я г е ом ет ри я. — М .: Ф ИЗ МА ТЛИ Т , 20 02 . — 2 4 0 с. 6. К у др яв це в Л . Д. К ур с м ат ем ат иче с к о го а н ал из а. М .: Д ро фа . — 570 с. 7. М и ще нк о А . С, д и фф ер ен ци аль н ой Ф оме н ко г ео ме тр и и и А .Т. К ур с то по л ог ии . - М . :Н ау ка ,1 983 . - 43 9 с. 8. П о го ре ло в А . В ,Д иф фе ре нци а ль ная г е ом ет ри я. - М . :Н ау ка ,1 969 . - 17 6 с . 9. П о го ре ло в А .И . Д иф фе ре н ци ал ьная г е ом ет ри я. 6 - е и зд ан ие . — М. : Н а ук а, 1 97 4. 10. П о го ре ло в А .В . Г ео ме т ри я. - М . :Н ау ка ,1 983 . - 2 88 с . 11. Р а ше вс ки й г е ом ет ри и. — П. 3-е К. Ку рс д и фф ер ен ци ал ь н ой из дан и е. — М .: Г И Т ТЛ , 1 9 50 . 12. Р о зе нд ор н д и фф ер ен ци аль н ой Н а ук а, 19 71 . - 6 4 с. 21 Э . Г. З а да чи ге о ме тр ии . - по М.: