ЗАДАНИЕ 3 Тонкостенный сосуд Задача 3. Полусфера, цилиндр, конус Дано: Дан сосуд, который имеет полусферу сверху, конус снизу, цилиндрическую часть между ними. Сосуд подвешен на опоре, соединенной с цилиндром (рис.3.1). Цилиндр и конус наполнены жидкостью. В полусфере создано внутреннее давление газа q. Рис.3.1. Сосуд, нагруженный внутренним давлением и силой веса жидкости Радиусы цилиндра и полусферы r H Высота цилиндра h Расстояние от конуса до опоры Угол при вершине конуса 5 m 2.5 r 2 r 30 deg q Внутреннее давление газа в полусфере 3 Удельный вес жидкости 0.01 N cm lim 220 MPa Допускаемое напряжение 0.5 MPa Требуется: 1. Построить эпюры тангенциальных и меридиональных напряжений t и m. 2. Рассчитать необходимую толщину стенки Решение. 1. Разместим начало координатной оси х в вершине конуса и на- правим ось х вверх. Рассмотрим последовательно все четыре силовые участка. 1.1. Конус Высота конуса z 0 x z r tan ( ) На уровне х внутреннее давление равно сумме давления газа и гидростатического давления жидкости. p1 ( x) q ( H z x) Радиус кривизны на этом же уровне 1 ( x) равен xtan ( ) 1 ( x) cos ( ) На основании уравнения Лапласа тангенциальное напряжение как функция координаты х и толщины сосуда равно 1 t ( x ) p1 ( x) 1 ( x) Уравнение равновесия отсеченной нижней части конуса (Рис.3.2.) r1 x( x) xtan ( ) Меридиональное напряжение уравновешивает давление газа и вес жидкости в нижней части конуса и в цилиндре над этой частью конуса. 2 1 m ( x ) 2 r1 x( x) cos ( ) q r1 x( x) ( H 2 z x) r1 x( x) 2 2 r1 x( x) x 3 Рис.3.2. Равновесие нижней части конуса Из этого уравнения находим зависимость меридионального напряжения от координаты и толщины стенки 1 m ( x ) q r1 x( x) 1 m ( 1 m 5 mm ) 46.996 MPa (H z x) r1 x( x) r1 x( x) x 3 2 cos ( ) Можно рассуждать и иначе. Меридиональное напряжение уравновешивает давление газа и гидростатическое давление на уровне x и вес жидкости в нижней части конуса. 11 m ( x ) 2 r1 x( x) cos ( ) p1 ( x) r1 x( x) 11 m ( x ) p1 ( x) r1 x( x) r1 x( x) x 2 cos ( ) 3 3 2 2 r1 x( x) x 3 1.2. Цилиндрическая часть ниже опоры, z x z h Давление на этом уровне равно p2 ( x) q ( H z x) Радиус кривизны постоянен: 2 ( x) r На основании уравнения Лапласа имеем для тангенциального напряжения: p2 ( x) 2 ( x) 2 t ( x ) Уравнение равновесия отсеченной нижней части цилиндра с конусом (рис.3.3): Рис.3.3. Равновесие нижней части цилиндра и конуса r2 x( x) r Меридиональное напряжение уравновешивает давление газа и весь вес жидкости в конусе и в цилиндре над конусом. 2 2 2 r z 2 m ( x ) 2 r q r Hr 3 Из этого уравнения находим зависимость меридионального напряжения от координаты и толщины стенки для второго участка: 4 q r 2 m ( x ) r z 3 H r 2 1.3. Цилиндрическая часть выше опоры, z h x z H Тангенциальное напряжение равно тангенциальному напряжению на втором участке 3 t ( x ) 2 t ( x ) Рис.3.5. Равновесие верхней части цилиндра и полусферы Рис.3.4. Равновесие нижней части цилиндра c опорой и конуса Меридиональное напряжение проще всего найти из условия равновесия верхней части. Уравнение равновесия отсеченной верхней части (рис.3.5.) 2 3 m ( x ) 2 r q r 5 Из этого уравнения получаем выражение для меридионального напряжения на третьем участке q r 3 m ( x ) 2 Меридиональное напряжение можно найти и из условия равновесия нижней части сосуда. В этом случае надо учесть реакцию опоры Q (рис. 3.4.), равную весу жидкости в сосуде 2 r z 2 Q r H 3 Уравнение равновесия нижней части 33 m ( x ) 2 r q r 2 Q q r H r 33 m ( x ) 2 r z 3 2 H r r z 3 Q r 2 1.4. Сферическая часть, z H x z H r На основании уравнения Лапласа q r 4 t ( x ) 2 4 m ( x ) 4 t ( x ) Запишем зависимость тангенциальных напряжений от координаты х для всего сосуда: t( x ) 1 t ( x ) if 0 x z 2 t ( x ) if z x z h 3 t ( x ) if z h x z H 4 t ( x ) if z H x z H 6 r Зависимость меридиональных напряжений от координаты х для всего сосуда имеет вид: m( x ) 1 m ( x ) if 0 x z 2 m ( x ) if z x z h 3 m ( x ) if z h x z H 4 m ( x ) if z H x z H r Теперь построим эпюры тангенциальных и меридиональных напряжений (рис.3.6). Зададим ранжированную переменную x: x 0 mm 20 mm z H r 30 x m 25 20 x m 15 x 10 m 5 0 0 50 100 150 200 t ( x 30 mm) m( x 30 mm) lim MPa MPa MPa 250 Рис.3.6. Эпюры тангенциальных и меридиональных напряжений 2. Определение допустимой толщины стенки. Поскольку максимальное напряжение, как это следует из приведенных эпюр, - это тангенциальное напряжение на конце первого силового участка, то для обеспечения прочности оно не должно превышать предельного. 10 mm 7 Given 1 t ( z ) lim Find ( ) (Критерий прочности) 16.402 mm Таким образом, нужная толщина стенки (с округлением в большую сторону) равна ceil mm 17 mm mm 8