О вырождении экстремалей вариационной задачи по параметрическому регулированию экономической системы для заданной среды алгоритмов Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Ашимов Ас.А. Институт проблем информатики и управления НАН РК, г. Алматы Рассмотрим деформацию вариационной задачи по выбору оптимального закона параметрического регулирования при изменении одного из коэффициентов модели экономической системы в некотором заданном отрезке. В [2] вариационная задача по выбору оптимального закона параметрического регулирования исследовалась на основе следующей математической модели [1]. dM I (1) M , dt pb dQ (2) Mf , dt p dLG rG LG G n p nL sR L nO (d P d B ) , dt dp Q p, dt M Rd RS L ds s d S max 0, , R min{ R , R } , S dt R 1 Lp LG , dp 1 r2 LG , 1 , R Mx , 0 0 pMf , (10) (11) G pMf , (12) 1 f 1 1 x L d (1 n L ) sR , 1 I (1 )n p G 1 1 (13) (14) (15) n0 (d B d P ) n p 0 nL (1 nL )n p sR L ( * rG ) Lp , , 1 R S P0A exp( p t ) , 1 0 (6) (9) d p (5) (8) s x 1 1 p (1 n ) (4) (7) d B r2 LG , (3) G L I (16) . pP0 exp( p t ) L (17) Здесь: М – суммарная производственная мощность; Q – общий запас товаров на рынке; LG – общий объем государственного долга; p– уровень цен; s – ставка заработной 1 платы; Lp – объем задолженности производства; dp и dB–соответственно предпринимательские и банковские дивиденды; Rd и RS – соответственно спрос и предложение рабочей силы; δ, v - параметры функции f(x), x – решение уравнения f ( x) s ; ФL и Ф0 – соответственно потребительские расходы трудящихся и p собственников; ФI – поток инвестиций; ФG – потребительские расходы государства; ξ норма резервирования; β – отношение средней нормы прибыли от коммерческой деятельности к норме прибыли рантье; r2 – ставка процента по депозитам; r1 – ставка процента за кредит; rG – ставка процента по облигациям государственных займов; η0 – коэффициент склонности собственников к потреблению; π – доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта; np, n0, nL – соответственно ставки налогов на поток платежей, дивиденды и доход трудящихся; b – норма фондоёмкости единицы мощности; μ – коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации; μ* - норма амортизации; α – постоянная времени; Δ – постоянная времени, задающая характерный временной масштаб процесса релаксации заработной платы; P0, P0A – соответственно начальные значения численности трудящихся и общей численности трудоспособных; λp>0 – заданный темп демографического роста; ω – душевое потребление в группе трудящихся. Возможность выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из двух параметров (j=1) и исследуется в среде следующих алгоритмов. 1)U1 j (t ) k1 j M (t ) const j , M (t0 ) (j=2) и на промежутке времени [t0 , t0 T ] 2)U 2 j (t ) k 2 j p(t ) 3)U 3 j (t ) k3 j const j , p(t0 ) M (t ) const j , M (t 0 ) Здесь каждый закон содержит неотрицательный настраиваемый коэффициент Рассмотрим задачу максимизации критерия 1 K T (18) p(t ) 4)U 4 j (t ) k 4 j const j . p(t 0 ) k ij . t0 T Y (t )dt max (19) {U ij ,kij } t0 при ограничениях: pij (t ) p** (t ) 0.09 p** (t ), M (t ) 0, s(t ) 0 , 0 U ij (t ) a j , t [t0 , t0 T ] i 1,4, j 1,2. (20) Здесь Y Mf значение j-го параметра, - валовой внутренний продукт, pij (t ) aj - наибольшее возможное – значения уровня цен при U ij -ом законе регулирования; ** p (t ) - модельные (расчетные) значения уровня цен без параметрического регулирования. Обозначим через 2 ij sup{ kij } . Здесь в качестве множества kij , {kij} рассматриваются все значения коэффициентов таких, что условия (20) выполняются для всех значений регулировании системы (1)-(17) с помощью закона при U ij . Заметим, что множество {k ij } kij 0 , пусто, поскольку оно содержит значение kij [0, kij ) следовательно, ij 0 . не Формально возможно также, что ij , но этот случай мы исключаем исходя из экономических ограничений на регулируемые параметры. Обозначим через открытое множество в пространстве непрерывных вектор-функций, состоящем из всех непрерывных M (t ), Q(t ), L (t ), p(t ), s(t ), где t [t , t G 0 0 C5 [t 0 , t 0 T ] вектор-функций T]: {M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ), s(t ) : p (t ) p ij ** (t ) 0.09 p ** (t ) 0 U ij (t ) a j , M (t ) 0 s(t ) 0} Сопоставление значению коэффициента G модели M (t ), Q(t ), L (t ), p(t ), s(t ) задает непрерывное отображение k ij из закона U ij выходных функций при ее регулировании с помощью этого закона Fij : [0,) C5 [t 0 , t 0 T ] . Это отображение непрерывно согласно теореме о непрерывной зависимости решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений от параметра. Здесь мы не доказываем строго факт существования решения с.д.у. на промежутке [t 0 , t 0 T ] , но компьютерное моделирование позволяет это утверждать для всех рассматриваем значений коэффициентов. Поэтому полный прообраз множества при отображении F открыт согласно теореме об открытости полного прообраза открытого множества при непрерывном отображении. Следовательно, Fij1 () [0, aij ) для некоторого положительного числа Замыкание множества множество a ij и, поэтому, все в пространстве ij 0 . C5 [t 0 , t 0 T ] дает замкнутое , определяемое условиями (20). Согласно указанной теореме об открытости 3 F 1 ( ) полного прообраза, замкнуто, другими словами значение самым доказана следующая лемма. ij достигается. Тем Лемма 1. При значении коэффициента k ij = ij ( ij 0 ) закона управления U ij , решение системы (1)-(17) при регулировании системы с помощью этого закона, удовлетворяет ограничениям (20). Отсюда следует, что при выбранном законе U ij задача (1)-(20) равносильна задаче определения наибольшего значения непрерывной функции y K ij (k ij ) в замкнутом отрезке (21) 0, ,. Здесь функция K ij (kij ) есть значение критерия (19) при ij выбранном законе U ij , она является непрерывной в силу теоремы о непрерывной зависимости решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений и непрерывной зависимости определенного интеграла от параметра. Поэтому задача (1)-(20) для фиксированных i и j всегда имеет решение, включающее оптимальные значения коэффициента и критерия. Пусть теперь - один из скалярных коэффициентов математической модели - (r1 , r2 , rG , , n p , nL , n0 , , ,. , , 0 , b, , Q(0)) , возможные значения которого принадлежат отрезку [a,b]. В этом случае для каждого фиксированного определяется значение ij ( ) 0 и задача (1)–(20) с учетом функции (21) принимает вид K ij (k ij , ) max kij 0 , ij ( ) При каждом значении [ a, b] [ a, b] (22) и выбранных i и j задача (1)-(20), в силу вышесказанного, имеет оптимальное значение критерия K ( , i, j ) непрерывно зависящее от согласно теореме о непрерывной зависимости решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, непрерывной зависимости определенного интеграла и в целом решения рассматриваемой задачи вариационного исчисления от параметра. Определение. Значение (20) если при этом значении называется точкой бифуркации экстремали задачи (1)- соответствуют как минимум два закона U ij K является оптимальным. для которых некоторое значение критерия Теорема 1 (о существовании точки бифуркации). Пусть при значениях параметра 1 и 2 , 1 2 [a, b] задача (1)-(20) имеет соответствующие решения для двух 4 различных законов отличающихся хотя бы по одному значению индексов i и j. Тогда имеется хотя бы одна точка бифуркации [1 , 2 ] . Доказательство. Пусть при 1 достигается оптимальное значение критерия при законе U i1 j1 K1 K (1 , i1 , j1 ) , а при 2 соответственно при законе U i2 j2 - K 2 K (2 , i2 , j2 ). Тогда, очевидно, что K (1 , i1 , j1 ) K (1 , i2 , j2 ) , K (2 , i2 , j 2 ) K (2 , i1 , j1 ) (23) Рассмотрим непрерывную на отрезке [1 , 2 ] функцию f ( ) K ( , i1 , j1 ) K ( , i2 , j2 ) . Из (23) следует, что f (1 ) 0 и f (2 ) 0 . Следовательно, найдется точка [1 , 2 ] такая, что f ( ) 0 и K ( , i1 , j1 ) K ( , i2 , j2 ). Отсюда следует, что - точка вырождения. Теорема доказана. Следующая теорема является следствием теоремы 1. Теорема 2. Пусть при значении 1 регулирование с помощью закона 2 , ( 1 2 [a, b] ) управления U ij дает решение задачи (1)-(20), а при регулирование с помощью этого закона не дает решение задачи (1)-(20). Тогда имеется хотя бы одна точка бифуркации [1 , 2 ] . В данной работе получены достаточные условия для нахождения точки бифуркации экстремалей вариационной задачи параметрического регулирования экономической системы для заданной среды алгоритмов. Список литературы 1. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. 2. Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Волобуева О.И., Ашимов Ас.А. О выборе эффективных законов параметрического регулирования механизмов рыночной экономики Журнал «Автоматика и телемеханика», № 3, 2005. С. 105-112. 5