225.00Kb - G

УДК 517.9
Ю.В. Боровский
Ассистент профессор кафедры высшей математики и кибернетики
О СЛАБОЙ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Казахстанско-Британский технический университет, г. Алматы
В работе предлагается развитие и применение теории параметрического
регулирования эволюции рыночной экономики. Работа содержит новые
результаты
по
исследованию
грубости
рассматриваемого
класса
математических моделей без параметрического регулирования и с
параметрическим регулированием.
Задача исследования структурной устойчивости решается на
примере следующей математической модели [1] экономической системы
страны, предложенной для исследования влияния доли потребительских
расходов государства на развитие экономики, содержащей 5
дифференциальных и 12 алгебраических уравнений.
dM  I

 M ,
dt
pb
(1)
dQ

 Mf  ,
dt
p
(2)
dLG
 rG LG   G  n p   nL sR L  nO (d P  d B ) ,
dt
(3)
dp
Q
 
p,
dt
M
(4)
 Rd  RS  L
ds s
d
S
 max 0,
, R  min{ R , R } ,
S
dt 
R


(5)
Lp 
dp 
1

1

LG ,
(6)
r2 LG ,
(7)
d B  r2 LG ,

   s 
x
1   
1     p 
(8)
1


R d  Mx ,
(9
(10)
 O  0 pMf
 G  pMf


,


,
,
(11)
(12)
1
1
 1    1
f  1  1 
x



,
(13)
 L  (1  nL )sR d ,
I 
1

  (1   )n p
(1  n )
p
G
(14)
 

(15)
 n0 (d  d )  n p   nL  (1  nL )n p sR  (   rG ) L ,
B
P
O
  O  G   L   I
R S  P0A exp( p t )
L
,
L
1
.
, 
pP0 exp( p t )
1  
*
p
(16)
(17)
Эта система уравнений может быть преобразована к системе из
четырех дифференциальных уравнений с четырьмя неизвестными.
Рассматриваемая модель содержит следующие переменные и
постоянные: М – суммарная производственная мощность; Q – общий запас
товаров на рынке; LG – общий объем государственного долга; p – уровень
цен; s – ставка заработной платы; Lp – объем задолженности производства;
dp и dB–соответственно предпринимательские и банковские дивиденды; Rd
и RS – соответственно спрос и предложение рабочей силы; δ, v - параметры
функции f(x), x – решение уравнения f ( x)  s p ; ФL и ФО – соответственно
потребительские расходы трудящихся и собственников; ФI – поток
инвестиций; ФG – потребительские расходы государства; ξ - норма
резервирования; β – отношение средней нормы прибыли от коммерческой
деятельности к норме прибыли рантье; r2 – ставка процента по депозитам;
rG – ставка процента по облигациям государственных займов; ηО –
коэффициент склонности собственников к потреблению; π – доля
потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта;
np, nО, nL – соответственно ставки налогов на поток платежей, дивиденды и
доход трудящихся; b – норма фондоёмкости единицы мощности; μ –
коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации; μ* норма амортизации; α>0 – постоянная времени; Δ – постоянная времени,
задающая характерный временной масштаб процесса релаксации
заработной платы; P0, P0A – соответственно начальные значения
численности трудящихся и общей численности трудоспособных; λp>0 –
заданный темп демографического роста; ω – душевое потребление в
группе трудящихся.
Параметры модели и начальные условия для дифференциальных
уравнений модели [2] были получены на основе данных экономики
Республики Казахстан за 1996-2000 годы или оценены с помощью решения
задачи параметрической идентификации.
2
Исследование грубости (структурную устойчивость) модели,
основывается на теореме о достаточных условиях слабой структурной
устойчивости [3] в компактной области фазового пространства. Эти
условия состоят в следующем.
Пусть N  - некоторое многообразие и N - компактное подмножество
в N  такое, что замыкание внутренности N есть N. Пусть некоторое
векторное поле задано в окрестности множества N в N  , это поле
определяет C 1 -поток f в этой окрестности. Обозначим через R( f , N )
цепочно-рекуррентное множество потока f на N.
Пусть R( f , N ) содержится внутри N. Пусть оно имеет
гиперболическую структуру, кроме того, f на R( f , N ) удовлетворяет также
условиям трансверсальности устойчивого и неустойчивого многообразий.
Тогда поток f на N слабо структурно устойчив. В частности, если R( f , N ) пустое множество, то поток f слабо структурно устойчив на N.
Утверждение 1. Пусть N – компактное множество лежащее в
области (M  0, Q  0, p  0) или (M  0, Q  0, p  0) , фазового пространства
системы дифференциальных уравнений математической модели, т.е.
четырехмерного пространства переменных ( M , Q, p, LG ) ; замыкание
внутренности N совпадает с N. Тогда поток f определяемый системой
дифференциальных уравнений модели слабо структурно устойчив на N.
В качестве N можно выбрать, например, параллелепипед с
границами
Здесь
M  M min , M  M max , Q  Qmin , Q  Qmax , p  pmin , p  pmax , LG  LG min , LG  LG max .
0  M min  M max , Qmin  Qmax  0 или 0  Qmin  Qmax , 0  p min  p max , LG min  LG max .
Доказательство. Проверим вначале, что полутраектория потока f
начинающаяся в любой точке множества N при некотором значении t (t>0)
выходит из N.
Рассмотрим любую полутраекторию, начинающуюся в N. Для нее
при t  0 возможны два случая: все точки полутраектории остаются в N,
или для некоторого t точка полутраектории не принадлежит N. В первом
случае из уравнения (5) системы
dp
Q
 
p, следует, что переменная p(t)
dt
M
для всех t  0 имеет производную, большую некоторой положительной
константы при Q  0 для или меньше некоторой отрицательной константы
при Q  0 , то есть p(t) неограниченно возрастает или стремится к нулю при
неограниченном увеличении t, поэтому первый случай не возможен,
орбита любой точки из N выходит из N.
Поскольку любое цепочно-рекуррентное множество R( f , N ) ,
лежащее внутри N является инвариантным множеством этого потока то, в
случае его непустоты, оно состоит только из целых орбит. Следовательно,
в нашем случае R( f , N ) пусто. Утверждение доказано.
3
В работе выбор оптимальных законов параметрического
регулирования на уровне одного из двух параметров ξ (j=1) и π (j=2),
осуществляется в среде набора следующих зависимостей:
M  M0
M  M0
 constj , 2)U 2 j (t )   k 2 j
 constj ,
M0
M0
p  p0
p  p0
3)U 3 j (t )  k 3 j
 constj , 4)U 4 j (t )   k 4 j
 constj .
p0
p0
1)U 1 j (t )  k1 j
(18)
Здесь Uij - i-ый закон регулирования j-го параметра ( i  1,4, j  1,2 );
случай j=1 соответствует параметру ξ; j=2 – параметру π; kij –
настраиваемый коэффициент i-го закона регулирования j-го параметра,
kij  0 ; constj – постоянная, равная оценке значения j-го параметра по
результатам параметрической идентификации; M0, p0 – начальные
значения соответствующих переменных.
Задачу
выбора
оптимального
закона
параметрического
регулирования на уровне одного из двух экономических параметров (ξ, π,)
можно сформулировать в следующем виде. Найти на основе
рассматриваемой
математической
модели
оптимальный
закон
параметрического регулирования на уровне одного из двух экономических
параметров (ξ, π) в среде набора алгоритмов (18), то есть, найти
оптимальный закон из множества {Uij} и его настраиваемый коэффициент,
который обеспечил бы максимум критерия
K
где
Y  Mf
1 t0 T
 Y (t )dt ,
T t0
(19)
- валовой внутренний продукт, при ограничениях:
pij (t )  p ** (t )  0.09 p ** (t ),
( M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ), s(t ))  X ,
0  u j  a j , i  1,4, j  1,2, t  [t 0 , t 0  T ].
(20)
Здесь a j - наибольшее значение j-го параметра, p ** (t ) - модельные
(расчетные) значения уровня цен без параметрического регулирования,
pij (t ) величина уровня цен при U ij -ом законе регулирования.
Сформулированная задача решается в два этапа:
- на первом этапе определяются оптимальные значения
коэффициентов kij для каждого закона Uij путем перебора значений
коэффициентов в промежутках вида [0, kijm ) квантованных с достаточно
малым шагом, обеспечивающих максимум K при ограничениях (20). Здесь
kijm - первое значение коэффициента, при котором нарушается (20).
- на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования
конкретного параметра (из трех) на основе результатов первого этапа по
максимальному значению критерия K.
4
В результате вычислительного эксперимента были получены также
графики зависимостей оптимального значения критерия K от значений
параметров (r2 , nO ) для каждого из 8 возможных законов U ij , i  1,4, j  1,2 .
Получены также графики для двух законов U 21 и U 41, дающих наибольшее
значение критерия в области  на плоскости переменных (r2 , nO ) , линия
пересечения соответствующих поверхностей и проекция этой линии
пересечения на плоскость значений  , состоящая из точек бифуркации
этого двумерного параметра. Эта проекция делит прямоугольник  на две
части, в одной из которых оптимальным является закон управления
U 21(t )  k21
M  M0
 const1
M0
,
U 41 (t )  k 41
p  p0
 const1
p0
.
а в другой -
(21)
(22)
На самой проекции линии оба указанных закона являются
оптимальными (см. рис 1).
Рис.1. Графики зависимостей оптимальных значений критерия от
параметров ставки процента по депозитам r2 и ставки налогов на
дивиденды nO,.
5
Применение
найденных
выше
оптимальных
законов
параметрического регулирования U 21 и U 41 , означает подстановку
соответствующих функций вместо параметра ξ в уравнения модели,
остальные уравнения модели, не содержащие параметра ξ, остаются без
изменения.
Доказательство слабой структурной устойчивости математической
модели позволяет установить сохранение слабой структурной
устойчивости рассматриваемой модели при применении каждого из
законов параметрического регулирования: U 21 (t ) , U 41 (t ) в виде следующего
утверждения.
Утверждение 2. Пусть N – компактное множество лежащее в
области (M  0, Q  0, p  0) или (M  0, Q  0, p  0) , фазового пространства
системы дифференциальных уравнений рассматриваемой модели, т.е.
четырехмерного пространства переменных ( M , Q, p, LG ) ; замыкание
внутренности N совпадает с N. Тогда поток f определяемый моделью и
соотношениями (21) или (22) слабо структурно устойчив на N.
Выводы: В работе излагаются последние результаты развития и
применения теории параметрического регулирования для математической
модели экономической системы, предложенной для исследования влияния
потребительских расходов государства на развитие экономики [1]:
- доказана слабая структурная устойчивость модели без
параметрического регулирования;
- найдена зависимость оптимальных законов параметрического
регулирования от значений неконтролируемых параметров и построена
линия точек бифуркации оптимальных законов параметрического
регулирования;
- доказано, что слабая структурная устойчивость модели сохраняется
при применении каждого из найденных законов регулирования в
соответствующих областях изменения неуправляемых параметров модели.
Литература
1
2
3
Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического
моделирования экономики. – М.: Энергоатомиздат, 1996, 544 с.
Статистический ежегодник Казахстана. Под редакцией Абдиева К.С. –
Алматы: Агентство Республики Казахстан по статистике, 2004. – 598 с.
– ISBN 9965-9315-1-8.
Robinson C. Structural Stability on Manifolds with Boundary / Journal of
differential equations. 1980. No. 37. P. 1-11.
6
ON A WEAK STRUCTURAL STABILITY OF ONE MATHEMATICAL
MODEL
Borovskiy Yu. V.
The paper offers applications of the theory of a parametrical regulation of market economy evolution.
The work contains new results of the considered one class models’ rigidness research with and
without parametrical regulation.
БІР МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДІҢ СТРУКТУРАЛЫҚ ӘЛСІЗ
ТУРАҚТЫЛІП ЖАЙЫНДАҒЫ
Статьяда нарықтық экономиканың дамын параметрлік реттеу теориясының қолданылуы
қарастырылады. Жұмыста бір топтағы ұлттық экономиканың математикалық моделіңің
негізінде әлсіз структуралық тұрақтылықды зерттеудің нәтижелері келтірілген.
7