Элементы теории параметрического регулирования

Элементы теории
параметрического регулирования
национальной экономики
1
«… экономическая теория используется
для того, чтобы предсказать эффекты
альтернативных политических правил, и
выбрать одно с хорошей
эксплуатационной характеристикой.»
Ф. Кидланд, Э.Прескотт.
Rules rather than Discretion: the
Inconsistency of Optimal Planes,
Правила, а не свобода действий:
несогласованность оптимальных планов.
Journal of Political Economy, 1977, vol. 87.
2
Введение (1)
Как известно, в настоящее время не дискутируется необходимость
участия государства в регулировании национальной экономики.
Наоборот, возможная внутренняя нестабильность экономической
системы и длительность ее естественного приспособления к различного
рода шокам, сопровождающегося нежелательными социальными
последствиями, обуславливают активную экономическую политику
государства на базе адекватных макроэкономических инструментов [2, 3].
Важным направлением развития макроэкономической теории,
содержащей инструменты анализа и оценки эффективности
государственной политики, является использование адекватных
математических моделей национальной экономики .
В настоящем докладе кратко представляются некоторые результаты по
разработке элементов теории параметрического регулирования
национальной экономики на базе ее математических моделей,
предназначенных для анализа и оценки эффектов альтернативных
«политических правил» в различных сферах государственной
3
экономической политики.
Введение (2)
Теория параметрического регулирования [4, 5] разработана на базе
следующих классов математических моделей, к которым могут быть
приведены (после некоторых преобразований) описания экономической
системы страны.
Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(непрерывные динамические системы);
Нелинейные системы разностных уравнений (дискретные
динамические системы);
Нелинейные системы разностных уравнений с аддитивными шумами
(дискретные динамические стохастические системы).
4
Компоненты теории параметрического
регулирования (1)
На основе нижеперечисленных фактов:
- решение непрерывной или дискретной динамической системы
[которая может содержать как векторы управляемых параметров инструментов государственной политики (u), так и векторы
неуправляемых параметров (a)] зависит от векторов начальных
условий и параметров (коэффициентов) этой системы;
- для того, чтобы по результатам исследований динамической
системы судить об описываемом ею объекте, необходимо наличие
свойства структурной устойчивости (или грубости) этой системы;
- а также необходимость выполнения условий устойчивости
макроэкономической модели (представленной одной из
вышеперечисленных динамических систем) при малых
возмущениях исходных статистических данных для
параметрической идентификации модели (входных параметров)
предложен следующий состав теории параметрического
регулирования.
5
Компоненты теории параметрического
регулирования (2)
1. Методы формирования набора (библиотеки) макроэкономических моделей национальной
экономики. Эти математические модели ориентированы на описание различных конкретных социальноэкономических ситуаций.
2. Методы оценки показателей устойчивости и условий грубости (структурной устойчивости)
математических моделей экономической системы страны из библиотеки без параметрического
регулирования.
3. Методы контролирования или подавления негрубости (структурной неустойчивости)
математических моделей экономической системы. Выбор (синтез) алгоритмов контролирования или
подавления структурной неустойчивости соответствующей математической модели экономической
системы страны.
4. Методы выбора и синтеза законов параметрического регулирования развития национальной
экономики на базе математических моделей экономической системы страны.
5. Методы оценки показателей устойчивости и условий грубости (структурной устойчивости),
математических моделей экономической системы страны из библиотеки с параметрическим
регулированием.
6. Методы уточнения ограничений на параметрическое регулирование развития рыночной
экономики в случае структурной неустойчивости математических моделей экономической системы
страны с параметрическим регулированием. Уточнение ограничений на параметрическое
регулирование развития рыночной экономики.
7. Методы исследования влияний изменения неуправляемых параметров (неуправляемых
факторов) на результаты решения задач вариационного исчисления синтезу и выбору (в среде заданного
конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования. Исследование бифуркаций
экстремалей задач вариационного исчисления по выбору оптимальных законов параметрического
регулирования.
8. Подход выбора рекомендаций по оценке политических правил в рамках применения
соответствующих экономических инструментов регулирования национальной экономики на основе
анализа зависимостей оптимальных значений критериев соответствующих задач параметрического
6
регулирования от значений неуправляемых факторов.
Основные результаты покомпонентной
разработки ТПР (1)
- в рамках методов формирования набора (библиотеки)
макроэкономических математических моделей предложен алгоритм
параметрической идентификации большеразмерных
макроэкономических моделей, использующий совместное применение
двух критериев идентификации;
- в рамках разработки методов исследования устойчивости
математических моделей предлагаются показатели устойчивости и
численные алгоритмы их оценки1);
- в рамках разработки методов исследования слабой структурной
устойчивости описывается предложенный численный алгоритм на базе
теоремы Робинсона о достаточных условиях слабой структурной
устойчивости математических моделей2);
___________
1) Более
подробная информация по исследованию устойчивости математических
моделей приводится в приложении, слайды 27-30.
2) Более подробная информация по исследованию структурной устойчивости
математических моделей приводится в приложении, слайд 31.
7
Основные результаты покомпонентной
разработки ТПР (2)
- в рамках методов выбора и синтеза параметрического регулирования
национальной экономики, на базе непрерывных и дискретных динамических
систем, а также дискретных динамических систем с аддитивным шумом,
сформулированы и доказаны соответствующие теоремы об условиях
существования решений задач вариационного исчисления по синтезу и выбору (в
среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов
параметрического регулирования 3) ;
- в рамках методов исследования влияний изменения неуправляемых
факторов на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и
выбору законов параметрического регулирования сформулированы и доказаны
теоремы об условиях непрерывной зависимости оптимальных значений
критериев рассматриваемых задач вариационного исчисления от неуправляемых
параметров (значений неуправляемых функций) 4) ;
- в рамках исследования бифуркаций экстремалей задач вариационного
исчисления по выбору оптимальных законов параметрического регулирования
сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях существования
соответственно определенных точек бифуркации экстремалей рассматриваемых
задач вариационного исчисления 4).
_____________
3) Более подробная информация приводится в приложении, слайды 32-37.
4) Более подробная информация приводится в приложении, слайд 38.
8
Основные результаты покомпонентной
разработки ТПР (3)
- предложен подход выбора рекомендаций по
оценке политических правил в рамках применения
соответствующих экономических инструментов
регулирования национальной экономики на основе
анализа зависимостей оптимальных значений
критериев соответствующих задач
параметрического регулирования от значений
неуправляемых факторов5).
_____________
5)
Алгоритм применения теории параметрического регулирования приводится в
приложении, слайд 39.
9
Отличия предлагаемой теории
Предложенная теория параметрического регулирования национальной экономики отличается от
известных, например, теории экономического роста [6, 7], теории конъюнктурных циклов тем, что в
рассматриваемой теории:
1. Используются такие математические модели, которые обладают свойством устойчивости на
малые возмущения исходных статистических данных для параметрической идентификации модели
(входных параметров ) или обладают свойством структурной устойчивости при малых возмущениях
правых частей уравнений соответствующих динамических систем (математических моделей).;
2. Используемый подход параметрического регулирования эволюции решений непрерывных и
дискретных автономных динамических систем отличается от таких известных результатов
по исследованию параметрических возмущений задач вариационного исчисления как [8], где
параметрическое возмущение используется для получения достаточных условий экстремума путем
построения соответствующих S-функций и использования принципа снятия ограничений;
по проблеме Улама [9], где ставится вопрос об условиях устойчивости решений задач
вариационного исчисления,
а также от теоремы [10] об условиях существования точки бифуркации для задачи вариационного
исчисления, функционал которой рассматривается на пространстве Соболева и зависит от скалярного
параметра   [0, 1].
3. Исследуется зависимость решений рассматриваемых задач вариационного исчисления от
неуправляемых факторов с целью выбора рекомендаций по оценке политических правил в рамках
применения соответствующих экономических инструментов регулирования национальной экономики.
10
Эффективность теории параметрического
регулирования
Эффективность теории параметрического регулирования проиллюстрирована
на ряде примеров, в число которых входят:
математическая модель неоклассической теории оптимального роста,
математическая модель экономической системы страны с учетом влияния
доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам
на экономический рост,
математическая модель экономической системы страны с учетом влияния
международной торговли и валютных обменов на экономический рост,
монетарная модель Турновского,
эндогенная модель Джонса,
вычислимая модель общего равновесия отраслей экономики,
математическая модель глобальной экономики Форрестера, а также
вычислимые модели общего равновесия,
динамические стохастические модели общего равновесия и
математические модели конъюнктурных циклов.
Эффективность предложенной теории будет проиллюстрирована в рамках
настоящего сообщения и в последующих докладах.
11
Описание модели (1)
Математическая модель экономической системы страны с учетом влияния
доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам
на экономический рост предложена в [11].
Модель описывается следующей системой из 5 дифференциальных и 12
алгебраических уравнений, содержащих 17 эндогенных переменных и 15
экзогенных параметров.
dM  I

 M ,
dt
pb
dQ

 Mf  ,
dt
p
dLG
 rG LG   G  n p   nL sR L  nO (d P  d B ) ,
dt
dp
Q
 
p,
dt
M
 Rd  RS  L
ds s
d
S
 max 0,
, R  min{ R , R } ,
S
dt 
R


(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
12
Описание модели (2)
Lp 
dp 
1 

1 

LG ,
(6)
r2 LG ,
(7)
d B  r2 LG ,

   s
x
1 
1     p

d
R  Mx ,



 1  
f  1  1 
x
 

 0   0 pMf ,
1

(8)


,


(9)
(10)
1
1
,
(11)
(12)
 G  pMf ,
 L  (1  nL ) sR d ,
1 

I 
(1  n p ) G  n0 (d B  d P )  n p  0   nL  (1  nL )n p sR L  ( *  rG ) Lp ,
  (1   )n p
   0  G   L   I ,
1
R  P exp(  p t )
,
1  
S
A
0
(13)
(14)
(15)
(16)
L

.
pP0 exp(  p t )
(17)
13
Обозначения модели (1)
М – суммарная производственная мощность;
Q – общий запас товаров на рынке относительно некоторого состояния
равновесия;
LG – общий объем государственного долга;
p – уровень цен;
s – ставка заработной платы;
Lp – объем задолженности производства;
dp и dB – соответственно предпринимательские и банковские
дивиденды;
Rd и RS – соответственно спрос и предложение рабочей силы;
δ, v - параметры функции f(x),
x – решение уравнения f ( x)  s ;
p
ФL и ФО – соответственно потребительские расходы трудящихся и
собственников;
ФI – поток инвестиций;
ФG – потребительские расходы государства;
14
Обозначения модели (2)
ξ - норма резервирования;
β – отношение средней нормы прибыли от коммерческой деятельности к норме
прибыли рантье;
r2 – ставка процента по депозитам;
rG – ставка процента по облигациям государственных займов;
η0 – коэффициент склонности собственников к потреблению;
π – доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта;
np, nО, nL – соответственно ставки налогов на поток платежей, дивиденды и доход
трудящихся;
b – норма фондоёмкости единицы мощности;
μ – коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации;
μ* - норма амортизации;
α – постоянная времени;
Δ – постоянная времени, задающая характерный временной масштаб процесса
релаксации заработной платы;
P0, P0A – соответственно начальные значения численности трудящихся и общей
численности трудоспособных;
λp>0 – заданный темп демографического роста;
ω – душевое потребление в группе трудящихся.
15
Параметрическая идентификация модели
Параметры модели и начальные условия
для дифференциальных уравнений были
оценены на основе данных экономики
Республики Казахстан за 1996-2000 годы.
Относительная величина
среднеквадратического отклонения
расчетных значений переменных от
соответствующих наблюдаемых составила
менее 5%.
16
Исследование слабой структурной устойчивости
математической модели без параметрического
регулирования
Утверждение 1. Пусть N – компактное множество, лежащее
в области (M>0, Q<0, p>0) или (M>0, Q>0, p>0) фазового
пространства системы дифференциальных уравнений модели,
т.е. четырехмерного пространства переменных (М, Q, p, LG );
замыкание внутренности N совпадает с N. Тогда определяемый
системой поток f слабо структурно устойчив на N.
Здесь: М – суммарная производственная мощность;
Q – общий запас товаров на рынке относительно некоторого
состояния равновесия;
LG – общий объем государственного долга;
p – уровень потребительских цен.
Доказательство этого утверждения основано на теореме о
достаточных условиях слабой структурной устойчивости C.
Робинсона [12].
17
Выбор оптимальных законов параметрического
регулирования развития рыночной экономики на
базе математической модели
Рассмотрим возможность выбора
эффективных правил (оптимальных законов)
регулирования экономического роста на
примере одного из следующих экономических
параметров:
- норма резервирования (ξ) и
- доля потребительских расходов государства от
внутреннего валового продукта (π).
18
Набор законов параметрического регулирования
Выбор оптимальных законов параметрического регулирования осуществляется в среде
набора следующих зависимостей (законов):
1)U1 j (t )   k1 j
M (t )  M (t0 )
 const j
M (t0 )
2)U 2 j (t )   k 2 j
M (t )  M (t0 )
 const j
M (t0 )
3)U 3 j (t )   k3 j
p (t )  p (t0 )
 const j
p (t0 )
4)U 4 j (t )   k 4 j
p (t )  p (t0 )
 const j
p (t0 )
(*)
Здесь Uij - i-ый закон регулирования j-го параметра i  1,4; j  1,2 ;
j=1 соответствует параметру ξ; j=2 – параметру π;
kij – неотрицательный настраиваемый коэффициент i-го закона регулирования j-го
параметра;
constj – постоянная равная оценке значений j-го параметра по результатам параметрической
идентификации.
19
Постановка задачи выбора оптимального закона
параметрического регулирования на уровне одного
из экономических параметров (ξ, π)
Найти на основе математической модели оптимальный закон параметрического
регулирования Uij (и его настраиваемый коэффициент) в среде набора алгоритмов (*),
который обеспечил бы максимум критерия
1 t0 T
K
 Y (t )dt
T t0
где Y - валовой внутренний продукт, при ограничениях:
pij (t )  p** (t )  0,09 p** (t ),
( M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ))  X ,
0  U ij  a j , i  1,4, j  1,2, t  [t0 , t0  T ].
Здесь a j - наибольшее значение j-го параметра, p ** (t ) - модельные (расчетные)
значения уровня цен без параметрического регулирования, p ij (t ) величина уровня цен при
U ij -ом законе регулирования,
переменных.
X - компактное множество допустимых значений указанных
20
Результаты численного решения задачи
параметрического регулирования.
Исследование слабой структурной устойчивости
математической модели c параметрическим
регулированием
Результаты численного решения задачи выбора оптимального закона
параметрического регулирования экономической системы государства на
уровне одного экономического параметра показывают, что наилучший
результат K  177662 может быть получен при использовании следующего
закона регулирования
  0,095
M (t )  M (t0 )
 0,1136 .
M (t0 )
(**)
Заметим, что величина критерия без использования параметрического
регулирования равна K  170784 .
Доказано утверждение о том, что при применении найденного закона
параметрического регулирования (**) исследуемая модель сохраняет свойство
слабой структурной устойчивости в указанном выше (Утверждение 1) компакте
N.
21
Графики зависимостей оптимальных значений
критерия от параметров ставки процента по
депозитам r2 и ставки налога на прибыль nO
22
Выбор рекомендаций по оценке политических
правил
Рекомендуемым правилом (оптимальным
законом параметрического регулирования)
на основе анализа полученного графика
может быть закон, отвечающий конкретному
сочетанию значений неуправляемых
параметров r2 и nO, принятому на основе
соответствующего анализа и прогноза.
Приведенный пример иллюстрирует
эффективность приложений данной теории.
23
Литература
1. Kydland F.E., Prescott E.C. Rules rather than Discretion: the Inconsistency of Optimal Planes,
Journal of Political Economy, 1977, vol. 87.
2. Turnovsky S.J. Methods of Macroeconomic Dynamics. Cambridge: MIT Press 2000.
3. Дорнбуш Г., Фишер С. Макроэкономика . ИНФРА-М, 1997.
4. Ashimov A.A., Sultanov B.T., Adilov Zh.M., Borovskiy Yu.V., Novikov D.A., Nizhegorodtsev R.M.,
Ashimov As.A. Macroeconomic Analysis and Economic Policy Based on Parametric Control. New York:
Springer, 2012.
5. Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Султанов Б.Т., Адилов Ж.М., Новиков Д.А., Алшанов Р.А.,
Ашимов Ас.А. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование национальной
экономики. Москва: Физматлит, 2011.
6. Acemoglu D. Introduction to modern economic growth. Princeton Univ. Press, Princeton, 2009.
7. de la Croix D., Michel P. A theory of economic growth – dynamics and policy in overlapping
Generations. Cambridge Univ. Press, Cambridge MA, 2002.
8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
9. Улам С. Нерешенные математические задачи. Москва: Наука, 1964.
10. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных
задачах. Москва: Магистр, 1998.
11. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования
экономики. – М.: Энергоатомиздат, 1996.
12. Robinson C. Structural Stability on Manifolds with Boundary // Journal of differential equations.
1980. No. 37. Р. 1-11.
24
Спасибо за внимание!
25