КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Фонд заданий для контроля остаточных знаний студентов Дисциплина “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА” 2 2 1 1. Вычислить определитель: 1 2 1. 3 1 0 2. Решить уравнение: 3 x 4 2 1 3 0. x 10 1 1 2 x 2 1 3. Решить неравенство: 1 5 4. 1 3 2 0 . x Используя операции над матрицами, решить уравнение: 1 2 4 6 X 2 5 2 1 . 5. Вычислить ранг матрицы: 2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 . 2 1 1 8 2 6. Найти фундаментальную совокупность решений (базис в пространстве решений) для системы уравнений: x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0. 7. Найти общее решение системы уравнений: x1 2 x2 x3 3x4 2, x2 x3 x4 1, x x 2 x4 1. 1 2 8. Найти собственные значения и все собственные векторы матрицы: 2 1 1 1 2 2 2 1 0 ; в) 0 1 1 . а) 0 1 0 ; б) 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 3 9. Методом Лагранжа привести квадратичную форму x1 x2 x3 к каноническому виду. 2 10. В линейной оболочке произведение элементов L L(sin x, cos x) скалярное f1 a1 sin x b1 cos x и f 2 a2 sin x b2 cos x введено формулой 1 2 f1 , f 2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 . а) Доказать, что элементы e1 1 3 sin x 1 3 cos x и e1 sin x cos x образуют ортонормированный базис в линейном пространстве L. б) Найти матрицу оператора дифференцирования D̂ в базисе e1 , e2 . в) Найти матрицу сопряжённого оператора D̂ в базисе e1 , e2 . 11. Пусть G – множество всех невырожденных матриц n - го порядка с вещественными элементами, а групповой операцией является операция умножения матриц. Образует ли множеством G с указанной операцией группу? 12*. В пространстве P2 многочленов степени, не превосходящей 2, введено скалярное произведение формулой f , g f 1 g 1 f 0 g 0 f 1 g 1 . Построить ортонормированный базис в этом евклидовом пространстве. 13*. Пусть e1 и e2 - ортонормированный базис в унитарном пространстве E2 . Линейный оператор Â , действующий в этом пространстве, имеет в базисе f1 e1 e2 , f 2 e1 ie2 матрицу 1 i 2 Af . 1 i 1 i Найти матрицу сопряжённого оператора Â в базисе f1 , f 2 . 14*. Дважды ковариантный тензор имеет в базисе e1 , …, en линейного i, j 1, пространства Rn координаты 1 при i j , 0 при i j ij , n . Как преобразуются координаты этого тензора при переходе к другому базису? 15*. Методом ортогональных преобразований привести квадратичную форму x1 x2 x1 x3 к каноническому виду. 16. Проверить, является ли заданный набор линейно зависимым и, если да, то выразить каждый из заданных векторов через остальные: a1 (1, 2, 1, 2) T , a 2 (2 ; 3; 0; 1) T , a 3 (1; 2; 1; 3) T , a1 (1, 3, 1, 0) T . 17. Найти матрицу перехода от базиса е к базису e , а также координаты вектора х в указанных базисах, если e e1 3, 2, 3 , e2 4, 3, 5 , e3 5, 1, 1 , T T T T T T e e1 3, 2, 1 , e2 2, 1, 2 , e3 1, 2, 3 , x 1, 2, 1 . 18. Найти размерности и базисы сумм и подпространств L1 a1 , a2 , a3 и L2 b1 , b2 , b3 , где a1 1, 2, 1 , a 2 1, 1, 1 , a3 1, 3, 3 , T T T b1 2, 3, 1 , b2 1, 1, 3 , b3 1, 1, 3 . T T T пересечений 19. Ортогонализировать заданный набор векторов, считая, что они заданы в ортогональном базисе: 1) a1 1, 2, 2, 1T , a 2 1, 1, 5, 3T , a3 3, 2, 8, 7T . 20. Установить, являются ли следующие отображения А пространства V 3 в себя линейными операторами и выписать их матрицы в базисе i, j, k. а) Ax x ; б) Ax ( x, e)e , где е – произвольный единичный вектор. 22. Найти дефект и ранг линейного оператора, заданного в R 3 матрицей А: 1 2 1 а) A 1 0 1 , 1 1 0 1 1 1 б) A 1 1 1 , 1 1 1 2 1 1 в) A 1 2 1 . 1 1 2 23. Найти каноническое разложение матрицы линейного оператора, имеющего в некотором базисе евклидова пространства вид: 1 3 1 а) A 3 5 1 , 3 3 1 24. Найти 1 0 в) A 0 0 1 1 1 б) A 1 1 1 , 1 1 1 ортогональное 3 2 2 4 , 0 1 2 0 0 2 1 2 преобразование, приводящее квадратичную форму к диагональному виду: а) x12 5 x 22 4 x32 2 x1 x 2 4 x1 x3 ; б) x12 x 22 x32 4 x1 x 2 4 x 2 x3 4 x1 x3 ; в) 11x12 5 x 22 2 x32 16 x1 x 2 4 x 2 x3 204 x1 x3 . 25. Определить, какие квадратичные формы являются положительно, отрицательно определёнными или имеют общий вид а) x12 15 x 22 4 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x3 ; б) 12 x1 x 2 12 x1 x3 6 x 2 x3 11x312 6 x 22 6 x32 ; в) 9 x12 6 x 22 6 x32 12 x1 x 2 10 x1 x3 2 x 2 x3 . 26. Пусть даны матрица Грама базиса е и матрица А линейного оператора в этом базисе: 2 1 0 Г 1 2 1 , 0 1 1 1 2 3 A 2 3 1 . 3 2 1 Найти матрицу сопряженного оператора A* в этом базисе. 27. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора у на линейное пространство L= а1, а2 , а3 , если: y 14, 3, 6, 7 T , а1 3,0,7,6T , а2 1, 4,3, 2T , а3 2, 2, 2, 2T . 28. Привести, если возможно, действительные матрицы 1 А1 3 3 3 5 3 1 1 , 1 0 A2 1 2 3 8 6 . 14 10 3 к диагональному виду и построить для них канонические разложения. 5 2 29. Для матрицы А 2 6 2 0 2 0 построить такую диагональную 4 матрицу В и невырожденную матрицу Q, чтобы B QT AQ. 30. Найти канонический вид в главных осях для квадратичной формы: f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 5x22 2 x32 4 x1x2 2 x1x3 4 x2 x3.