Решить примеры из ФЭПО 1. Какая из функций 1) g ( x) sin 3 x , 2) g ( x) cos x , 3) g ( x ) x , 4) g ( x) x 2 является функцией, 5 ортогональной к данной f ( x) sin 3 x на отрезке , ? 3 3 2. Какая из функций 1) g ( x) x sin x , 2) g ( x) cos x3 , 3) g ( x) x 1 , 4) g ( x) sin x является функцией, ортогональной к данной f ( x) x 2 ln 4 на отрезке 0,5; 0,5 ? 5 1 13 5 является прообразом вектора 3. Какой из векторов 1) x , 2) x , 3) x , 4) x 12 4 2 12 7 3 1 ? y при линейном преобразовании, заданном матрицей A 2 2 1 4. Расстояние между точками А1(7,2) и А2(11,3) в метрике ( A1 , A2 ) max( x2 x1 , y2 y1 ) , где A1 ( x1 , y1 ) и A2 ( x2 , y2 ) , равно 1) 4, 2) 2, 3) 20 , 4) 0? 5. Множество упорядоченных действительных чисел ( x1 , y2 ) 2 (x n 1 n х = (х1, х2) с расстоянием yn ) 2 образует метрическое пространство 1) l2, 2) R2 , 3) R1, 4) C[a,b]? 6. Дано множество A ( x, y) : x, y R с метрикой ( A1 , A2 ) max( x2 x1 , y2 y1 ) , где A1 ( x1 , y1 ) и A2 ( x2 , y2 ) . Тогда областью, соответствующей неравенству (O, A) 1 , где О – начало координат, является 1) внутренность квадрата, 2) окружность, 3) квадрат со своей внутренностью, 4) круг? 2 2 2 2 7. Не может служить метрикой пространства R2 функция 1) ( A1 , A2 ) x1 x2 y1 y2 , 2) ( A1, A2 ) x2 2 x12 y2 2 y12 , 3) ( A1, A2 ) x2 x1 4 y2 ( A1 , A2 ) max( x2 x1 , y2 y1 ) . y , 1 1 4 4 4) 1 . Тогда 9 сжимающим отображением для D будет отображение F, заданное соотношением 1) F ( x, y ) ( x 0,4; y 0.3) , 2) 3) F ( x, y) ( x 2 , y 2 ) , F ( x, y) ( x , y ) , 8. Пусть множество D на декартовой плоскости состоит из всех точек (х, у) круга x 2 y 2 F ( x, y ) (0,7 x 0.4; 0,8 y 0.3) ? 9. Плоская мера множества ( x, y ) R 2 : y x , 1 x 9 равна 1) 0, 2) 32, 3) 8, 4) 18? 10. Плоская мера множества ( x, y) R 2 : x 2 y 2 1 равна 1) π, 2) 2π, 3) 1, 4) 0? 11. Найти меру множества, изображенного на рисунке 12. На множестве меры нуль по Лебегу суммируемы функции 1) только простые и монотонные, 2) любые, 2) только простые, 4) только монотонные? 2 1 7 13. Чему равна норма вектора a , ,0, в евклидовом пространстве со стандартным 2 2 2 скалярным произведением 1) 2, 2) –2, 3) 1, 4) 2 ? 14. Норма вектора a 1, 2, в евклидовом пространстве R3 равна 41 , если λ имеет значение 1) 6, 2) –6, 3) 38 , 4) 38 . 15. Пусть L – линейное пространство над полем P. Тогда аксиомой линейной функции не является соотношение 1) L x L x x x , 2) , P x L ( ) x x x , 3) x, y, z L x( y z ) xy xz , 4) x L 1 x x, x P 16. Линейный оператор f отображает базис E e1 , e2 , e3 в векторы f (e1 ) e1 e3 , f (e2 ) 2e1 3e2 e3 , f (e3 ) 3e1 4e2 e3 . Тогда матрица оператора f в этом базисе имеет вид: 1) 0 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 0 1 , 4) 2 3 1 ? 3 4 , 2) 1 3 4 , 3) 2 3 0 0 1 1 3 4 1 3 4 1 1 1 1 17. В базисе е1 и е2 двухмерного линейного пространства линейное преобразование y = A· x задается 2 0 . Если х = 2е1 + е2 и у =–4е1 + bе2 , то значение b равно 1) 1, 2) 3, 3) –3, 4) 0. матрицей A 1 1 18. В базисе е1 и е2 двухмерного линейного пространства задан вектор x e1 2e2 . Тогда в базисе 1 3 1 3 1 3 е1 + е2, е2 – е1 вектор x имеет координаты 1) x , , 2) x , , 3) x , , 4) 2 2 2 2 2 2 1 3 x , . 2 2 19. Какой из отрезков 1) 1;1 , 2) 0;1 , 3) 1;0 , 4) 1; 2 1 является образом отрезка 0; при 4 отображении f ( x) 2tgx 1 ? 20. Прообразом множества 1;4 при отображении y x 2 является 1) 2;1 1;2 , 2) 1;2 , 3) 1;16 , 4) 16;1 1;16. 0,5 2 1 4 2 2 , 2) , 3) 21. Матрица квадратичной формы f x1 , x2 x1 4 x1 x2 6 x2 имеет вид 1) 4 6 2 3 1 2 1 2 , 4) . 6 2 2 6 4 2 1 5 1 соответствует квадратичная форма 22. Матрице A 2 1 1 3 2 2 2 f x1, x2 4 x1 4 x1x2 2 x1x3 5x2 2 x2 x3 3x3 , f x1 , x2 , x3 , равная 1) 2) f x1, x2 x 4x1x2 2x1x3 5x2 2x2 x3 x3 , 2 1 2 2 f x1, x2 4x 2x1x2 4x1x3 5x2 2x2 x3 3x3 2 1 2 3) 2 23. Канонический вид квадратичной формы f x1 , x2 x1 4 x1 x2 x2 может иметь вид 1) y1 3y2 , 2 2) y1 y2 , 3) y1 3y2 , 4) y1 y2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2