ТЕОРИЯ СЛОЖНОСТИ

ТЕОРИЯ СЛОЖНОСТИ
проф. О.М. Касим-Заде
1/2 года
Часть I. Алгебраическая сложность многочленов.
1. Сложность многочленов. Основные определения. Понятие схемы. Меры сложности:
аддитивная, мультипликативная, общая сложность. Схема Горнера. [1-4].
2. Верхняя оценка мультипликативной сложности реализации многочленов над полем
комплексных чисел с предварительной обработкой коэффициентов. Верхние оценки
функций сложности M ( n ) и A( n ) . [1, 3, 4].
3. Нижние оценки сложности многочленов над полем комплексных чисел для схем с
обработкой коэффициентов. Параметризация схем. Лемма о связи числа параметров с
мультипликативной (аддитивной) сложностью многочлена. [1, 2, 3].
4. Лемма об алгебраической зависимости. Лемма о невозможности покрытия. Вывод
нижних оценок функций сложности M ( n ) и A( n ) . [1, 2, 3].
5. Мультипликативная сложность схем без обработки коффициентов. Линейная зависимость по модулю скалярного подпространства. Задачи в матричной форме: вычисление
функций вида y  Mx  b . Представление задач вычисления многочлена и умножения
матриц в матричной форме. [2].
6. Нижние оценки мультипликативной сложности задач в матричной форме для схем
без обработки коэффициентов. Оценка сложности, связанная с рангом по строкам. [2].
7. Лемма о преобразовании независимых систем. Оценка сложности, связанная с рангом по столбцам. Сложность задач вычисления многочленов и умножения матрицы на
вектор. [2].
8. Общая теорема о нижней оценке. Мультипликативная сложность схемы, вычисляющей произведение двух комплексных чисел. [2].
Часть II. Нижние оценки сложности булевых функций.
9. Простейшая линейная нижняя оценка вида rA  n 1 сложности реализации произвольной булевой функции, существенно зависящей от n переменных, схемами из функциональных элементов с положительными весами в произвольном конечном базисе A . [9, 10].
10. Теорема Субботовской о нижних оценках сложности булевых функций при реализации формулами в базисе {& , , } . Нижняя оценка вида Cn 3 / 2 сложности реализации
линейной булевой функции от n переменных формулами в базисе {& , , } . [6, 9].
11. Теорема Храпченко о нижних оценках сложности булевых функций при реализации формулами в базисе {& , , } и контактными пи-схемами. Нижняя оценка вида n2
сложности реализации линейной булевой функции от n переменных формулами в базисе
{& , , } . [7, 9, 10].
12. Теорема Нечипорука о нижних оценках сложности булевых функций при реализации формулами в произвольном конечном базисе. [8, 9, 10].
13. Нижняя оценка вида Cn 2 / log2 n сложности реализации функции Нечипорука формулами в произвольном конечном базисе. [8, 9, 10].
14. Реализация булевых функций схемами из функциональных элементов c в бесконечном базисе AC всех антицепных функций. Нижняя оценка вида Cn1/ 3 сложности реализации линейной булевой функции от n переменных схемами в базисе AC . [11].
В квадратных скобках указана литература, соответствующая содержанию лекций (в
большинстве случаев соответствие лишь приблизительное).
Литература
1. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2. Получисленные алгоритмы. М.,
Мир, 1977.
2. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов.
М.,Мир, 1979.
3. Белага Э.Г. О вычислении значений многочленов от одного переменного с предварительной обработкой коэффициентов.// Проблемы кибернетики, вып. 5. М., Физматлит,
1961. С. 7-16.
4. Пан В.Я. Некоторые схемы для вычисления многочленов с действительными коэффициентами.// Проблемы кибернетики, вып. 5. М., Физматлит, 1961. С. 17-30.
5. Рабин М.О., Виноград Ш. Быстрое вычисление многочленов с предварительной рациональной обработкой коэффициентов.// Математика. Периодический сборник переводов
иностранных статей. 18:4. М., Мир, 1974.
6. Субботовская Б.А. О реализации линейных функций формулами в базисе {& , , } .//
Доклады АН СССР. 1961. Т. 136, № 3. С. 553-555.
7. Храпченко В.М. Об одном методе получения нижних оценок сложности пи-схем.// Математические заметки. 1971. Т. 9, № 1. С. 35-40.
8. Нечипорук Э.И. Об одной булевской функции.// Доклады АН СССР. 1966. Т. 169,
№ 4. С. 765-766.
9. Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. М., Наука, 1991.
10. Сэведж Дж. Э. Сложность вычислений. М., Факториал, 1998.
11. Касим-Заде О.М. О сложности схем в одном бесконечном базисе.// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1994. № 6. С. 40-44.