Лекция 14: Линейный оператор - Кафедра алгебры и дискретной

Лекция 14: Линейный оператор
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Вступительные замечания
В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного
пространства V в себя. Такие функции называются операторами. Для их
обозначения мы будем использовать буквы A, B, C и т.д. — «рукописные»
заглавные буквы латинского алфавита. В действительности мы будем
рассматривать не произвольные операторы, а только те из них, которые
удовлетворяют некоторым достаточно сильным дополнительным
ограничениям и называются линейными операторами. Теория линейных
операторов, первоначальным сведениям из которой посвящены эта и две
последующих лекции, является важной составной частью линейной
алгебры, имеющей многочисленные приложения как в других разделах
математики, так и во многих других областях знания, в том числе в
физике и экономике.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Понятие линейного оператора
Определение
Пусть V — векторное пространство. Функция A: V 7−→ V называется
линейным оператором, если для любых векторов x1 , x2 ∈ V и любого
числа t ∈ R выполняются равенства
A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 )
и
A(tx1 ) = tA(x1 ).
Относительно первого равенства говорят, что A сохраняет сумму векторов,
относительно второго — что A сохраняет произведение вектора на число.
Отметим, что если A — линейный оператор в пространстве V и x ∈ V , то
A(0) = A(0 · x) = 0 · A(x) = 0. Следовательно, справедливо следующее
Замечание 1
Любой линейный оператор отображает нулевой вектор в себя.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Примеры линейных операторов: «геометрические» операторы
Приведем примеры линейных операторов.
Пример 1. Представим пространство R2 как множество векторов (точнее,
направленных отрезков) на плоскости, выходящих из начала координат O.
Тогда поворот векторов на угол α, симметрия относительно прямой,
проходящей через точку O (в частности, относительно любой из осей
координат), симметрия относительно точки O, проекция вектора на
любую из осей координат — примеры линейных операторов в
пространстве R2 . Если интерпретировать R3 как множество векторов
трехмерного пространства, выходящих из начала координат O, то поворот
на угол α, симметрия относительно прямой или плоскости, проходящей
через точку O, симметрия относительно этой точки, проекция на любую
из координатных плоскостей — примеры линейных операторов в
пространстве R3 .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Примеры линейных операторов: оператор растяжения, нулевой и
тождественный операторы
Укажем еще два линейных оператора, которые можно определить в
произвольном векторном пространстве V .
Пример 2. Зафиксируем произвольное число t и зададим оператор A
следующим правилом: A(x) = tx для всякого вектора x ∈ V . Этот
оператор называется оператором растяжения в t раз. Линейность
оператора растяжения с очевидностью вытекает из аксиом 5) и 7)
векторного пространства (см. лекцию 7). Особо отметим два частных
случая оператора растяжения. Первый из них — это оператор растяжения
при t = 0. Он обозначается буквой O и называется нулевым. Ясно, что
нулевой оператор переводит произвольный вектор из V в нулевой вектор.
Второй частный случай оператора растяжения возникает при t = 1.
Соответствующий оператор обозначается буквой E и называется
тождественным или единичным. Этот оператор переводит произвольный
вектор из V в себя.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Примеры линейных операторов: оператор проектирования
Пример 3. Зафиксируем в пространстве V некоторое подпространство M.
В силу предложения 2 из лекции 9 существует такое подпространство M 0 в
V , что V = M ⊕ M 0 . Следовательно, произвольный вектор x ∈ V можно, и
притом единственным образом, представить в виде x = x1 + x2 , где x1 ∈ M
и x2 ∈ M 0 (см. теорему 2 в лекции 9). Рассмотрим оператор P в
пространстве V , задаваемый правилом P(x) = x1 . Легко проверяется, что
этот оператор — линейный. Он называется оператором проектирования на
подпространство M параллельно M 0 .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
«Словесный» способ задания линейного оператора
Можно выделить три способа задания линейных операторов. Первый из
них — «словесный» способ. Он состоит в том, что мы указываем, в каком
пространстве действует оператор, и затем словами описываем, как он
действует, т. е. в какой вектор он переводит произвольный вектор из
указанного пространства. Именно этим способом задавались линейные
операторы во все приведенных выше примерах. Ясно, что этот способ
плохо приспособлен к тому, чтобы как-то исследовать оператор,
применять к нему те или иные действия — для этого оператор должен
быть задан с помощью каких-либо математических объектов, таких,
например, как системы равенств или матрицы.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Задание линейного оператора с помощью системы линейных равенств
Пусть V — произвольное n-мерное векторное пространство. Зафиксируем
в пространстве V произвольный базис F и рассмотрим следующую
систему линейных равенств:

y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ,



y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ,
(1)
...................................



yn = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn ,
где aij ∈ R для всех i, j = 1, 2, . . . , n. Числа aij будем полагать известными.
Пусть, далее, x — произвольный вектор из V . Обозначим через
(x1 , x2 , . . . , xn ) координаты вектора x в базисе F . Вычислим с помощью
равенств (1) числа y1 , y2 , . . . , yn и обозначим через y вектор, имеющий в
базисе F координаты (y1 , y2 , . . . , yn ). Оператор A, задаваемый правилом
A(x) = y, является линейным. Чтобы убедиться в этом, обозначим через
A квадратную матрицу порядка n, определяемую равенством A = (aij ), а
через X и Y матрицы размера n × 1 (т. е. столбцы), в которых записаны
координаты векторов x и y в базисе F соответственно. Тогда равенства (1)
можно переписать в виде Y = AX . Пусть теперь x1 и x2 — векторы из V ,
X1 и X2 — столбцы координат этих векторов в базисе F , а t ∈ R. Тогда
A(X1 + X2 ) = AX1 + AX2 и A(tX1 ) = t(AX1 ), т. е. A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 )
и A(tx1 ) = tA(x1 ). Следовательно, оператор A линеен.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Матрица линейного оператора в базисе
Перейдем к наиболее употребительному способу задания линейного
оператора. Пусть A — линейный оператор в пространстве V , а
b1 , b2 , . . . , bn — базис V . Предположим, что мы знаем образы базисных
векторов, т. е. векторы A(b1 ), A(b2 ), . . . , A(bn ). В этом случае мы сможем
найти образ произвольного вектора x ∈ V . В самом деле, если
(t1 , t2 , . . . , tn ) — координаты вектора x в базисе b1 , b2 , . . . , bn , то
A(x) = A(t1 b1 + t2 b2 + · · · + tn bn ) = t1 A(b1 ) + t2 A(b2 ) + · · · + tn A(bn ).
Итак,
!! чтобы узнать, как оператор действует на произвольный вектор,
достаточно знать, как он действует на базисные векторы.
Это делает естественным следующее
Определение
Пусть A — линейный оператор в векторном пространстве V , а
b1 , b2 , . . . , bn — базис этого пространства. Квадратная матрица порядка n,
i-й столбец которой состоит из координат вектора A(bi ) в базисе
b1 , b2 , . . . , bn (для всех i = 1, 2, . . . , n), называется матрицей оператора A
в базисе b1 , b2 , . . . , bn .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Матрица оператора растяжения
Легко понять, что оператор растяжения в t раз имеет в любом базисе
матрицу


t 0 0 ... 0
 0 t 0 . . . 0



tE = 
 0 0 t . . . 0
...........
0 0 0 ... t
(при любом t). В частности, нулевой оператор имеет нулевую матрицу, а
тождественный оператор — единичную матрицу.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Матрица оператора проектирования
Найдем матрицу оператора проектирования P на подпространство M
параллельно M 0 в базисе, полученном объединением базисов M и M 0 .
Пусть a1 , a2 , . . . , am — базис M, а am+1 , am+2 , . . . , an — базис M 0 . Тогда
(
ai для всякого i = 1, 2, . . . , m,
P(ai ) =
0 для всякого i = m + 1, m + 2, . . . , n.
Следовательно, матрица оператора P в базисе a1 , a2 , . . . , an имеет вид


1 0 0 ... 0 0 ... 0
0 1 0 . . . 0 0 . . . 0


0 0 1 . . . 0 0 . . . 0


 ................... 


0 0 0 . . . 1 0 . . . 0 ,


0 0 0 . . . 0 0 . . . 0


 ................... 
0 0 0 ... 0 0 ... 0
где число единиц на главной диагонали равно m (т. е. размерности
подпространства M).
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Матрица оператора, заданного системой линейных равенств
При решении некоторых задач оказывается полезным следующее
Замечание 2
Если линейный оператор A задан системой линейных равенств (1) и
A = (aij ) — матрица, составленная из коэффициентов в этих равенствах,
то A — матрица оператора A стандартном базисе.
Доказательство. Подставив 1 вместо x1 и 0 вместо x2 , . . . , xn в равенства
(1), мы получим y1 = a11 , y2 = a21 , . . . , yn = an1 . Это означает, что
A(e1 ) = (a11 , a21 , . . . , an1 ). В силу замечания 4 из лекции 8 получаем, что
в первом стобце матрицы A записаны координаты вектора A(e1 ) в
стандартном базисе. Аналогично проверяется, что, для всякого
i = 1, 2, . . . , n, в i-м стобце матрицы A записаны координаты вектора
A(ei ) в стандартном базисе. Но это и означает, что A — матрица
оператора A стандартном базисе.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
«Восстановление» оператора по матрице
Как мы видели, если в векторном пространстве зафиксирован базис, то
всякому линейному оператору в этом пространстве соответствует матрица
оператора в этом базисе, являющаяся квадратной матрицей, порядок
которой равен размерности пространства. Обратно, по любой квадратной
матрице, порядок которой равен размерности пространства, можно
построить линейный оператор в этом пространстве. В самом деле, пусть
V — n-мерное векторное пространство, а A = (aij ) — квадратная матрица
порядка n. Выберем в пространстве V произвольный базис b1 , b2 , . . . , bn .
Определим оператор A в пространстве V следующими правилами:
1) A(bj ) = a1j b1 + a2j b2 + · · · + anj bn для всякого j = 1, 2, . . . , n;
2) если x — произвольный вектор из V и (x1 , x2 , . . . , xn ) — координаты
вектора x в базисе b1 , b2 , . . . , bn , то
A(x) = x1 A(b1 ) + x2 A(b2 ) + · · · + xn A(bn ).
Тогда, как легко понять, A — линейный оператор в V , причем матрицей
этого оператора в базисе b1 , b2 , . . . , bn является матрица A.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Нахождение координат образа вектора с помощью матрицы оператора
(1)
Пусть линейный оператор A, действующий в пространстве V , имеет
матрицу A = (aij ) в базисе b1 , b2 , . . . , bn и x ∈ V . Обозначим координаты
вектора x в базисе b1 , b2 , . . . , bn через (x1 , x2 , . . . , xn ). Как найти
координаты вектора A(x) в том же базисе? Пусть
y = y1 b1 + y2 b2 + · · · + yn bn . Тогда
y1 b1 + y2 b2 + · · · + yn bn = y = A(x) =
=A(x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn ) = x1 A(b1 ) + x2 A(b2 ) + · · · + xn A(bn ).
Поскольку столбцы матрицы A — координаты векторов A(b1 ), A(b2 ), . . . ,
A(bn ), преобразуем последнее выражение в соответствие с равенствами
A(b1 ) = a11 b1 + a21 b2 + · · · + an1 bn ,
A(b2 ) = a12 b1 + a22 b2 + · · · + an2 bn ,
......................................
A(bn ) = a1n b1 + a2n b2 + · · · + ann bn .
После приведения подобных членов мы получим равенство
y1 b1 + y2 b2 + · · · + yn bn = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn )b1 +
+ (a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn )b2 +
.....................................
+ (an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn )bn .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Нахождение координат образа вектора с помощью матрицы оператора
(2)
В силу единственности разложения по базису это означает, что выполнены
равенства (1). Эти равенства можно записать в виде Y = AX , где
 
 
x1
y1
 x2 
 y2 
 
 
X =  . , а Y =  . .
 .. 
 .. 
xn
yn
Таким образом, справедливо следующее
Замечание 3
Если A — матрица оператора A в некотором базисе, а X — столбец
координат вектора x в том же базисе, то столбец Y координат вектора
A(x) в том же базисе вычисляется по формуле Y = AX .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Изменение матрицы оператора при замене базиса (1)
Ответим теперь на вопрос о том, как связаны матрицы одного и того же
оператора в разных базисах.
Теорема 1
Пусть оператор A в базисе F имеет матрицу AF , а в базисе G — матрицу
AG . Тогда
AG = TGF AF TFG ,
(2)
где TFG и TGF — матрицы перехода от базиса F к базису G и от базиса G
к базису F соответственно.
Доказывать эту теорему мы не будем.
Как было показано в лекции 12, матрица перехода от одного базиса к
другому, невырождена. В силу критерия обратимости матрицы получаем,
что матрицы TFG и TGF обратимы. Для использования формулы (2) при
решении задач существенным является следующее утверждение.
Лемма 1
Матрицы TFG и TGF обратны друг к другу.
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Изменение матрицы оператора при замене базиса (2)
Доказательство. Обозначим через n порядок матриц TFG и TGF . Положим
TFG = (tij ) и TGF = (tij0 ). Далее, пусть TFG TGF = X = (xij ). Требуется
доказать, что X = E , т. е. что
(
1 при i = j,
xij =
(3)
0 при i 6= j
для всех i, j = 1, 2, . . . , n. Используя определение матрицы перехода от
одного базиса к другому, имеем
0
0
0
fj = t1j
g1 + t2j
g2 + · · · + tnj
gn =
0
= t1j (t11 f1 + t21 f2 + · · · + tn1 fn ) +
0
(t12 f1 + t22 f2 + · · · + tn2 fn ) +
+ t2j
...................................
0
+ tnj
(t1n f1 + t2n f2 + · · · + tnn fn ).
Раскрывая скобки, перегруппировывая слагаемые и учитывая определение
произведения матриц, имеем
0
0
0
fj = (t11 t1j
+ t12 t2j
+ · · · + t1n tnj
)f1 +
0
0
0
+ (t21 t1j
+ t22 t2j
+ · · · + t2n tnj
)f2 +
.....................................
0
0
0
+ (tn1 t1j
+ tn2 t2j
+ · · · + tnn tnj
)fn =
= x1j f1 + x2j f2 + · · · + xnj fn .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Изменение матрицы оператора при замене базиса (3)
С другой стороны, fj = 0 · f1 + · · · + 0 · fj−1 + 1 · fj + 0 · fj+1 + · · · + 0 · fn . В
силу единственности разложения вектора по базису получаем равенство
(3).
Отметим особо случай, когда речь идет о линейном операторе в
пространстве Rn и один из базисов F и G — стандартный. Предположим,
что нам известна матрица оператора в стандартном базисе E и требуется
найти его матрицу в базисе F . В силу замечания 4 из лекции 8
компоненты вектора из Rn являются его координатами в стандартном
базисе. Отсюда вытекает, что матрица TEF совпадает с матрицей, в
которой по столбцам записаны векторы базиса F . Поскольку эти векторы
известны, матрицу TEF тоже можно считать известной. Чтобы найти
матрицу AF , остается найти матрицу, обратную к TEF , и воспользоваться
формулой AF = (TEF )−1 AE TEF . Аналогично обстоит дело и в случае,
когда известна матрица оператора в базисе F и требуется найти его
матрицу в стандартном базисе E . В этом случае нужная формула
приобретает вид AE = TEF AF (TEF )−1 .
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Изменение матрицы оператора при замене базиса: пример (1)
В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Линейный оператор
A, действующий в пространстве R3 , в базисе F , состоящем из векторов
f1 = (1, 2, −1), f2 = (2, 1, 0), f3 = (−1, 1, 1), имеет матрицу


2 −1 1
AF = 3 1 −2 .
0 −3 1
Найти его матрицу в базисе G , состоящем из векторов g1 = (2, 1, 0),
g2 = (1, 2, −3), g3 = (1, −1, 5).
Сначала найдем матрицу перехода от базиса F к базису G . Действуя по
алгоритму, изложенному в лекции 8, имеем:

 

1 2 −1 2 1 1
1 2 −1 2 1 1
 2 1 1 1 2 −1  ∼  0 −3 3 −3 0 −3  ∼
−1 0 1 0 −3 5
0 2 0 2 −2 6

 

1 2 −1 2 1 1
6 12 0 12 0 18
∼  0 −3 3 −3 0 −3  ∼  0 −6 0 −6 6 −18  ∼
0 0 6 0 −6 12
0 0 6 0 −6 12

 

6 0 0 0 12 −18
1 0 0 0 2 −3
∼  0 −6 0 −6 6 −18  ∼  0 1 0 1 −1 3  .
0 0 6 0 −6 12
0 0 1 0 −1 2
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Изменение матрицы оператора при замене базиса: пример (2)
Таким образом,


0 2 −3
TFG = 1 −1 3  .
0 −1 2
Найдем теперь матрицу перехода от базиса G к базису F . Опираясь на
лемму 1 и используя алгоритм нахождения обратной матрицы из лекции
11, имеем:

 

0 2 −3 1 0 0
1 −1 3 0 1 0
 1 −1 3 0 1 0  ∼  0 2 −3 1 0 0  ∼
0 −1 2 0 0 1
0 −1 2 0 0 1

 

1 −1 3 0 1 0
1 −1 0 −3 1 −6
∼  0 2 −3 1 0 0  ∼  0 2 0 4 0 6  ∼
0 0 1 1 0 2
0 0 1 1 0 2
 


1 0 0 −1 1 −3
2 0 0 −2 2 −6
∼0 2 0 4 0 6 ∼ 0 1 0 2 0 3.
0 0 1 1 0 2
0 0 1 1 0 2
Таким образом,
TGF


−1 1 −3
=  2 0 3 .
1 0 2
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор
Изменение матрицы оператора при замене базиса: пример (3)
Применяя формулу (2), окончательно получаем:
 
 


−1 1 −3
2 −1 1
0 2 −3
AG =  2 0 3  · 3 1 −2 · 1 −1 3  =
1 0 2
0 −3 1
0 −1 2

 
 

1 11 −6
0 2 −3
11 −3 9
= 4 −11 5  · 1 −1 3  = −11 14 −16 .
2 −7 3
0 −1 2
−7 8 −10
Б.М.Верников
Лекция 14: Линейный оператор