Документ 902969

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Панарина С.Н.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 09.03.02
«Информационные системы и технологии»,
профиль подготовки «Информационные системы и технологии
в административном управлении», очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2015
Панарина С.Н. Математический анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов
09.03.02 направления
«Информационные системы и
технологии», профиль подготовки «Информационные системы и технологии в
административном управлении», очная форма обучения. Тюмень, 2015, 43 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математический
анализ [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Заведующий кафедрой математического анализа
и теории функций ТюмГУ,
канд.физ.-мат.наук, доцент Хохлов А.Г.
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Панарина С.Н. 2015.
1. Пояснительная записка:
1.1.Цели и задачи дисциплины.
Цель курса "Математический анализ" - ознакомление с фундаментальными
методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых,
основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления.
Объектами изучения в данной дисциплине являются, прежде всего, функции. С их
помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные
процессы, происходящие в экономике, природе, технике. Отсюда объективная важность
математического анализа как средства изучения функций. Дисциплина "Математический
анализ" отражает важное направление развития современной математики, в ней
рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений.
Задачи курса. Развить математический кругозор студентов. Обучить студентов
важнейшим теоретическим положениям математического анализа, аналитическим
методам, выработать у них навыки решения конкретных задач, требующих исследования
функций и вычисления связанных с ними величин.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в естественнонаучный
цикл; требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной
математики: алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать; данная
дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Теория
вероятностей и математическая статистика, теория систем и системный анализ, Физика,
Исследование операций и методы оптимизации, Основы вычислительной математики,
Математическое и имитационное моделирование.
Разделы дисциплины и междисциплинарные
(последующими) дисциплинами
5.
6.
2.2. Диф.ур-я
2 поряка
2 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.2.
Функционал
ьные ряды.
+
3.1.
Числовые
ряды
+
2.1
Дифференци
альные
уравнения 1
пор.
+
1.2.
Определенн
ый
интеграл
1.1.
Неопределен
ный
интеграл.
3.
4.
1 семестр
3.1.
Дифф.исчис
лен.
функ.многих
переем.
2.
Таблица 1.
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Теория
вероятностей и
математическая
статистика.
Теория систем и
системный анализ
Физика
Исследование
операций и методы
оптимизации
Основы
вычислительной
математики
Математическое и
имитационное
моделирование.
обеспечиваемыми
2.1. Дифф.
Исчилен.
Функ.одной
1.
с
1.3.
Числовые
функции
№
п/п
связи
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями: ОПК-2.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
ОПК-2 готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов математического
анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного содержания.
Уметь: доказывать утверждения математического анализа, решать задачи
математического анализа, уметь применять полученные навыки в других областях
математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
Владеть: аппаратом математического анализа, методами доказательства
утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестры 1 и 2. Форма промежуточной аттестации в обоих семестрах –
контрольная работа, экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных
единиц, 288 академических часов, из них 157,4 часов, выделенных на контактную работу с
преподавателем, 130,6 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего):
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
Всего
часов
157,4
148
72
72
9,4
130,6
8
288
Семестры
1
2
76,6
80,8
72
76
-36
38
36
38
4,6
4,8
49,4
81,2
3,5
4,5
126
162
Э
Э
3. Тематический план.
1 СЕМЕСТР
Таблица 3.
1
1.1.
1.2.
1.3
1.4
2.1.
2.2.
3.1.
3.2.
2
Модуль 1
Элементы теории множеств.
Последовательности.
Числовые функции.
Непрерывность функции.
Всего
Модуль 2
Дифференциальное исчисление
функций одной переменной.
Приложение
дифференциального исчисления
к исследованию свойств
функций.
Всего
Модуль 3
Дифференциальное исчисление
функций многих переменных.
Экстремумы функции многих
переменных.
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
Лекции*
Итого
колич
ество
баллов
Из них в
интеракти
вной
форме
недели семестра
Тема
Итого
часов
по
теме
Семинарски
е
(практическ
ие)
занятия*
Самостоятел
ьная
работа*
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
№
3
4
5
6
7
1
2-3
4-6
7-8
2
4
6
4
16
2
4
6
4
16
5
5
5
5
20
9
13
17
13
52
9-10
4
4
5
13
11-12
4
4
10
18
1
0-15
8
8
15
31
1
0-30
13-15
6
6
6
18
2
0-20
16-18
6
6
8,4
20,4
12
12
14,4
4,6
38,4
4,6
2
0-40
36
36
54
126
5
0-100
5
8
1
1
2
9
0-5
0-5
0-10
0-10
0-30
0-15
0-20
5
2 СЕМЕСТР
Таблица 4.
1
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
3.1.
3.2.
2
3
Модуль 1
Первообразная и
1-4
неопределенный интеграл.
Методы вычисления
неопределенного интеграла.
Определенный интеграл.
5-7
Геометрические и физические
приложения определенного
интеграла.
Всего
Модуль 2
Дифференциальные
8-9
уравнения первого порядка.
Дифференциальные
10-12
уравнения второго порядка.
Всего
Модуль 3
Числовые ряды.
13-15
Функциональные ряды.
16-19
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
Итого
количе
ство
баллов
Из них в
интеракти
вной
форме
Итого
часов
по
теме
ьная
работа*
Семинарски
е
(практическ
ие)
занятия*
Самостоятел
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
Лекции*
Тема
недели семестра
№
4
5
6
7
8
8
15
31
8
9
0-15
6
6
15
27
1
0-15
14
14
30
58
1
0-30
4
4
15,2
23,2
1
0-20
6
6
20
32
1
0-10
10
10
35,2
55,2
2
0-30
6
8
14
6
8
14
8
8
16
4,8
20
24
44
4,8
1
1
2
0-20
0-20
0-40
38
2
38
5
86
162
5
5
0 – 100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 СЕМЕСТР
Таблица 5.
реферат
ответ на
семинаре
собеседов
ание
коллоквиу
мы
Итого
количество
баллов
Письменные работы
Устный опрос
контрольн
ая работа
№ темы
Модуль 1
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Тема 1.4.
Всего
0-5
0-5
0-5
0-10
0-10
0-30
0-5
0-10
0-10
0-25
Модуль 2
0-5
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Всего
0-10
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Всего
Итого
0-5
0-5
0-5
0-15
0-5
0-5
0-5
0-10
0-5
0-15
0-15
Модуль 2
0-10
0-15
0-25
0-65
0-5
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-10
0-20
0-20
0-40
0 – 100
2 СЕМЕСТР
Таблица 6.
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Всего
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Всего
Итого
0-5
0-5
0-5
0-3
0-2
0-5
0-3
0-2
0-3
0-5
0-5
0-10
0-12
0-5
0-5
0-15
Модуль 1
0-15
0-10
0-25
Модуль 2
0-10
0-10
0-20
Модуль 3
0-10
0-10
0-20
0-65
Итого
количество
баллов
реферат
ответ на
семинаре
собеседов
ание
коллоквиу
мы
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Всего
Письменные работы
Устный опрос
контрольн
ая работа
№ темы
0-15
0-15
0-30
0-20
0-10
0-30
0-5
0-5
0-5
0-20
0-20
0-40
0-100
5. Содержание дисциплины.
1 СЕМЕСТР
Модуль 1.
1.1.Элементы теории множеств. Понятие множества и подмножества. Операции:
объединение, пересечение, дополнение. Понятие действительного (вещественного)
числа. Сравнение действительных чисел. Примеры множеств действительных чисел.
Промежутки. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные множества
действительных чисел. Верхние и нижние и точные верхние и нижние грани
множеств действительных чисел. Максимальный и минимальный элемент множества.
Теорема о существовании точных граней у ограниченного множества. Лемма о
вложенных отрезках.
1.2. Последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о
единственности предела сходящейся последовательности. Ограниченные и
неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся
последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о
сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е.
Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями.
Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и
бесконечные пределы. Неопределенности. Определение подпоследовательности.
Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема
Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.
1.3.Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций. Обзор
элементарных функций. Определение предела функции в точке в терминах
окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об
эквивалентности этих определений. Односторонние пределы. Пределы функции в
бесконечности. Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или
бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к
пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной
функции. Первый и второй замечательные пределы.
1.4.Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их классификация.
Непрерывность основных элементарных функций. Арифметические свойства
непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Свойства
функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема
Коши).
Модуль 2
2.1.Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференцируемость
функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический
смысл.
Критерий
диффер енцируемости
функций.
Правила
дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции.
Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование
элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы
высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных
параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления
(Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции.
Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора.
Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение
формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.
2.2. Приложения дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.
Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы
функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой
производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы
функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и
перегиба. Асимптоты.
Модуль 3
3.1.Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Евклидово n-мерное
пространство. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки
множества в метрическом пространстве. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn.
Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по
направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух
переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
3.2.Экстремумы функций многих переменных. Локальный экстремум функции многих
переменных. Условный экстремум функций многих переменных. Необходимое
условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум.
2 СЕМЕСТР
Модуль 1
1.1.Первообразная и неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции,
определенной на интервале, и неопределенного интеграла. Замена переменных и
формула интегрирования по частям. Таблица интегралов. Интегрирование
рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций,
тригонометрических и других трансцендентных функций
1.2.Определенный
интеграл.
Геометрические
и
физические
приложения
определенного интеграла. Понятие интегральной суммы для функции, заданной на
отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции
на отрезке. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие
интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним
пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным
верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула
интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложения определенного
интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного
сектора в полярных координатах, вычисление объемов.Понятие несобственных
интегралов первого и второго рода. Понятия абсолютной и условной сходимости
несобственного интеграла.
Модуль 2
2.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Понятия их порядка и решения. Задача Коши для уравнения первого
порядка. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка
(с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).
2.2.Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные и
неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Модуль 3
3.1.Числовые ряды. Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы.
Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных
рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды.
Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости
числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признаки
Дирихле и Абеля. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.
Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для условно сходящихся
рядов.
3.2. Функциональные ряды.
Функциональные последовательности, их сходимость в
точке и на множестве. Функциональные ряды,определение. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной сходимости
функциональных последовательностей. Равномерная сходимость функционального
ряда, критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Степенной ряд.
Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса
сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера.
Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и
дифференцировании степенного ряда. Разложение функций функции в степенные
ряды.. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и достаточное условия
сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Разложения в
ряд Маклорена основных элементарных функций.
6. Планы семинарских занятий.
1 СЕМЕСТР
Модуль 1.
1.1. Элементы теории множеств
1. Элементы теории множеств. Операции над множествами: объединение,
пересечение, дополнение. Метод математической индукции. Нахождение граней
числовых множеств.
1.2. Последовательности
1. Последовательности.
Определение
общего
члена
последовательности.
Определение свойств последовательности. Предел последовательности.
2. Предел последовательности. Эквивалентные последовательности.
1.3. Числовые функции
1. Элементарные функции: области определения, значений, графики. Построение
графиков функций с помощью преобразований. Основные свойства функций:
четность, ограниченность, периодичность. Обратные функции. Сложные функции.
2. Предел функции в бесконечности. Предел степенно показательной функции,
определяемый через второй замечательный предел.
3. Бесконечно большие и малые функции. Замена бесконечно малых функций на
эквивалентные. Односторонние пределы.
1.4. Непрерывность функции
1. Исследование элементарных функций на непрерывность. Исследование кусочнозаданных функций на непрерывность. Свойства функций, непрерывных на отрезке
(первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).
Модуль 2
2.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Таблица
производных. Основные методы дифференцирования функций одного переменного.
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Правило
Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Применение формулы
Тейлора в приближенном вычислении значений функции.
2.2. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.
1. Приложения дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.
Исследование функций на монотонность и локальные экстремумы. Определение
глобальных экстремумов функции.
2. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба. Определение асимптот
функции.
3. Полное исследование функций, построение графика функции на основе
результатов полного исследования.
Модуль 3
3.1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Предел функции
двух переменных. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn.
2. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные
по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух
переменных.
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
3.2. Экстремумы функций многих переменных
1. Экстремумы функций многих переменных. Локальный экстремум функции
многих переменных.
2. Условный экстремум функций двух переменных. Глобальный экстремум
функций двух переменных.
3. Итоговая контрольная работа.
2 СЕМЕСТР
Модуль 1.
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного
интеграла
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Интегрирование
методом замены и методом подведения функции под знак дифференциала.
2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
Интегрирование функций по частям.
3. Разложение дроби на простейшие. Интегрирование рациональных функций.
4. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
1.2. Определенный интеграл. Геометрические и физические приложения определенного
интеграла.
1. Определенный интеграл. Интегрирование с помощью формулы НьютонаЛейбница, через замену переменной, формула интегрирования по частям.
2. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Приложения определенного интеграла:
вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в
полярных координатах, вычисление объемов.
3. Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Понятия абсолютной
и условной сходимости несобственного интеграла.
Модуль 2
2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Задача Коши.
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Задача Коши.
2.2. Дифференциальные уравнения второго порядка
1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие
понижение порядка методом последовательного интегрирования. Общее решение
линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов нахождения
частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
2. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Модуль 3
3.1. Числовые ряды
1. Общий член ряда. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда.
Знакопостоянные ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки
сравнения, эквивалентности.
2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки Даламбера, Коши,
интегральный признак.
3. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость, признак Лейбница, признаки
Дирихле и Абеля
3.2. Функциональные ряды
1. Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и
Даламбера.
2. Разложение функций функции в степенные ряды. Ряд Тейлора (Маклорена)
функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
3. Итоговая контрольная работа.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ООП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ООП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
1СЕМЕСТР
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1
Элементы
теории
множеств.
Виды СРС
обязательные
дополните
льные
Подготовка
к
собеседованию
по
теме.
Выполнение
дом.заданий.
1.2
Последовательн Подготовка
к
ости.
контрольной работе.
Выполнение
дом.заданий
1.3
Числовые
Подготовка
к
функции.
контрольной работе.
Выполнение
дом.заданий
1.4
Непрерывность
Подготовка
к Написание
функции.
контрольной работе. и защита
Выполнение
реферата
дом.заданий
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Дифференциаль Подготовка
к
ное исчисление
коллоквиуму,
Неделя
семестра
Таблица 7.
Объем Кол-во
часов баллов
1
5
0-5
2-3
5
0-5
4-6
5
0-10
7-8
5
0-10
20
9-10
0-30
5
0-15
функций одной
написание и защита
переменной.
реферата.
2.2
Приложение
Подготовка
к
дифференциальн контрольной работе.
ого исчисления к Выполнение
исследованию
дом.заданий.
свойств функций
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Дифференциаль Подготовка
к
ное исчисление
коллоквиуму,
функций многих собеседованию
по
переменных.
теме
и
к
контрольной работе.
3.2
Экстремумы
Подготовка
к
функции многих контрольной работе.
переменных.
Выполнение
дом.заданий
Всего по модулю 3:
Иные вид работ:
ИТОГО:
11-12
10
15
Написание
и защита
реферата
0-15
0-30
13-15
6
0-25
16-18
8,4
0-15
14,4
4,6
54
0-40
0-100
2 СЕМЕСТР
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополните
льные
Модуль 1
1.1
Первообразная и Подготовка
к
неопределенный контрольной работе.
интеграл.
Выполнение
Методы
дом.заданий
вычисления
неопределенного
интеграла.
1.2
Определенный
Подготовка
к
интеграл.
коллоквиуму,
Геометрические контрольной работе,
и физические
выполнение
приложения
дом.заданий
определенного
интеграла.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Дифференциаль Подготовка
к
ные уравнения
коллоквиуму,
первого порядка. собеседованию,
устному опросу и
контрольной работе.
2.2
Дифференциаль Подготовка
к
ные уравнения
занятиям
и
Подготовка
сообщения
на
практическ
ое занятие
Неделя
семестра
Таблица 8.
Объем Кол-во
часов баллов
1-4
15
0-15
5-7
15
0-15
30
Написание
и защита
0-30
8-9
15,2
0-15
10-12
20
0-15
второго
контрольной работе.
порядка.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Числовые ряды. Подготовка
к
устному опросу и к
контрольной работе.
Написание и защита
реферата.
3.2
Функциональны Подготовка
к
е ряды.
устному
опросу,
коллоквиуму
и
контрольной работе.
реферата
Подготовка
сообщения
на
практическ
ое занятие
Всего по модулю 3:
Иные виды работ:
ИТОГО:
35,2
0-30
13-15
8
0-25
16-19
8
0-15
16
4,8
86
0-40
0-100
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях,
развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ООП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится
к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму
и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в разделе 11 данной рабочей программы. В указанном разделе
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется
использовать учебно-методические комплексы [2,3,4] из списка дополнительной
литературы. В указанных комплексах содержится подробное описание контрольных
работ, коллоквиумов, приводится решение образца варианта контрольной работы по
каждому модулю, а также варианты для самостоятельного решения. Указанная литература
имеется в библиотеке ТюмГУ, а также на кафедре математического анализа и теории
функций Института математики, естественных наук и информационных технологий.
Примерная тематика реферативных работ
Реферат - это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор
раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также
собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение
материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный
выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется.
Прежде чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес,
определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и
получить консультацию преподавателя.
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
Основные понятия математического анализа в трудах Л.Эйлера.
Концепция предела у Ж. Даламбера, Л.Карно, С.Люилье, С.Гурьева
Обоснование математического анализа в работах О.Коши.
М.В.Остроградский и его работы в области математического анализа.
Проблемы обоснования математического анализа в трудах Б.Больцано и
К.Вейерштрасса.
2 семестр
1.Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
2. Метод Симпсона вычисления интегралов.
3. Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры.
4. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников.
Задачи для самостоятельного решения.
СЕМЕСТР 1
Неравенства. Область определения функций
4
3
2
3x  1
1
б) x  11x  10 x  0
5x  6
x 1
2). Найти область определения функций:
3x
x 2  3x  2
5
6
y

3
x

1

5

x

а)
б) y  lg
x 1
x2
3)-7) Решить неравенства:
1) Решить неравенства: а)
x 2  3x  10
0
x3  2 x 2  x
5) (e2 x 4 1)( x2  4 x  4)  0 6) cos2 x  sin 2 x  0,5
7) 25 x  4 ( x4  5x2  6)  0
Модуль вещественного числа
Решить неравенства:
1) | x  1 | 2
2) | x | x  1
3) e 2 x  4e x  12
4)
3) x2  5x  6  x2  5x  6
2
4) x  3 x  2  x  0
Преобразование графиков функций
Построить графики функций:
1) а) y | x  4 | 5 , б), y | 4 x  3 | в), y   | 5 x  2 | ,

3

2) а) y  cos x  2 , б) y  2 sin  x   ,
2
2

x 3
1
x 2
3) а) y    , б) y  5
,
4
4) а) y  log 1/ 2 | x | , б) y  log 3 (4  3x) , в) y   log 2 (3  2x) ,
5) а) y   arcsin
6) а) y 
8x  1
2x  6
x2
, б) y  2arctg (2 x  1) , в) y  arcctg (4  2 x ) , г) y  4  arccos 3 x
3
9x 4
8x 4
5x  4
б) y 
в) y 
г) y 
3  6x
6x 2
3x 2
 cos x  1, x  -

7) f ( x)   sin x , -   x   ,
( x  2 ) 2  6, x  

 - 2x  1  2, x  0

8) f(x)   ln x , 0  x  1
 2x , x  1

Предел последовательности
Неопределенность   

2
1) lim 3n  6n  2
2
n  10n
7n  5n  3n  4
3
2). lim
 3n  4
n
n  3n 4  2n
10
3) lim
7 n 6  3  4n 7
n 
11
3
n  n 4  10n 4
Неопределенность (    )
9). lim  n 2  3  3  2n 2  6n 
n  
10). lim  n6  3n  2  n 4  2n 2  4 

n  

Предел функции
3
2
1) lim 2 x  3x  6 x  2
x 5 x  3 x 3  4
 3

2) lim  x


х
2


x   x  3

4) lim  x  x 2  x  1 

x  
5). lim
x  4
3x 2  1
x1 4 x
2
3x
3) lim
6). lim
 5x  2
x1
x
2
x8 3
x 1

Неопределенность ( 1 )
1) lim 1 
x  
3

x
4x
2) lim 1  6 
x  2
x  
4) lim  2 x  4 
x  3 x  5 
4x
3x
3) lim  x  3 
x   x  2 
2 x 3
6) lim  8 x  2 
x    3  9 x 
5) lim  4 x  6 
x    4 x  2 
x
Замена бесконечно малых функций на эквивалентные
1  cos x
x 0
x2
sin 2 3x
1). lim
2
x 0 sin 2 x
3). lim x  ctgx
2). lim
sin x  sin 3 x
x  0 sin 5 x  sin 7 x
4). lim
5) lim
x 0
arctg (2 x  1)
x 1 / 2
4x2 1
3
6) lim
x 0
1  x2 1
3x 2  1  1
Односторонние пределы
Найти односторонние пределы:
1
1) lim
x 1 0 x  1
2)
lim
x 0  0
1
ex
3)
lim
x20
1
3 x2
4)
lim
x2 0
1
3 x2
Непрерывность функции
1) Построить график функции и исследовать на непрерывность:
 x  1, x  0

f ( x)   x 2  1, 0  x  1
 2x , x  1

1
x 1
3) Исследовать на непрерывность функцию f(x) в точках x0 , x1
2) Исследовать на непрерывность y  arctg
а). f ( x)  arctg
3
, x0  4; x1  1
x4
б). f ( x) 
1
2
x 3
1
, x0  2; x1  3
Основные правила дифференцирования
Общее задание: найти производные функций
7 x2
1
1) y  x 7  5tgx  x 2 
5
x
1
3
x2
 7x 
1
9
 x  4 x  3  2  2 log 2 x  3 sin 1.
x
x
3) y 
2) y  x3  log 2 x
ln x
 ex
arccos x
4) Дифференцирование сложной функции
2
а) y  sin x
б) y  ln( arctg 3x)
5)
6*) y  
y  x sin x
в) y  3 arcsin
x
 x2
5  x  3 2
x 1 3  4
Производная функции, заданной параметрически
Общее задание: найти производные yx от функций, заданных параметрически:
 y  tet
 y  tgt
 y  arcsin t
1) 
2) 
3) 

t
t
 x  ctgt
 x  arccos t

 x  (e  e )t
Производная функции, заданной неявно
Найти производную неявно заданной функции y  y (x) .
1) x  22  3sin xy  2tgy
2) 5x2 y  6xy3  3x  2 y  6arctg( xy2 )
3) x3  y3  3axy  0
4) x y  y x
Касательная к графику функции
1) Найти уравнение касательной к кривой в точке x0 :

8a3
, x0  2a .
4a 4  x 2
2) Найти уравнение касательной к линии y   x  2 в точке ее пересечения с
биссектрисой первого координатного угла.
а) y  e , x0  0 ,
x
б) y  sin x , x0 
3
в) f ( x) 
,
Повторное дифференцирование
1) Найти производную 4-го порядка y  x ln x .
x2

y2
 1.
a 2 b2
 y  cos t
 , если 
3) Найти yxx
.
 x  sin t
2) Найти y  , если
Правило Лопиталя
ln sin 3x
x  0 ln x
1) lim
1
5) lim (cos x)
x 0
x
x3
x  0 x  sin x
3) lim x  ln x
ln x
x   x
7) lim
2) lim
6) lim
x 0
ln x
x 0 ctg 2 x
1 
 1
4) lim 


x 1 ln x x  1 
1
8) lim x(e
x 
x
 1)
Асимптоты графика функции
Найти асимптоты графика функции:
x2  3
1) f ( x)  2
2) f ( x)  xex
x 9
3) y  ln x  5 x
4) y  x  arctgx
Исследование на монотонность и локальные экстремумы
Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
2x  3
ln x
x 2  4 x 5
1) f ( x) 
2)
3)
4)
.
f
(
x
)

f
(
x
)

x

arctgx
f
(
x
)

e
x
x  12
Нахождение глобальных экстремумов
Найти глобальные экстремумы функции на заданном отрезке:
2
1) y  xe x , [0;1] .
[3,4] .
2) y  x 2  2 ln x , x  [2,3] .
3)
y  3 2( x  2)2 (1  x) ,
Определение промежутков выпуклости и точек перегиба
Определить промежутки выпуклости и найти точки перегиба функции:
5
2
x3
x3
1) f ( x) 
.
2)
3) y  x 3 .
4) y  e x
y

 x2 .
2
4 x
6
Полное исследование
Провести полное исследование функции и построить ее график:
2
ln x
x
1
1) y  2
.
2) y  2 x 2  . 3) y  x
. 4) y 
.
x 1
x
e ( x  3)
x
5) y  4 x  2  2 x .
Основные правила дифференцирования
Найти все частные производные первого порядка:
2
3
2
3
x  sin z
1) z  e 2 x  y .
2) u  2
.
3) z  x3e 2 x  y .
x  2y
4) f 
uv
.
u v
Дифференциал функции нескольких переменных
Найти дифференциал функции u 
x
y 2  2z 2
.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
1) Найти все частные производные 1-го, 2-го и 3-го порядка функции z  x3  x 2 y  y 3
xy
2) Найти дифференциал второго порядка d 2 z , если z 
. Доказать, что
x y
2
zx2  2 zxy  zy2 
x y
Локальные экстремумы функций многих переменных
Найти локальные экстремумы функции двух переменных:
x
1) f ( x, y )  e 2 ( x  y 2 )
2) f ( x, y)  5xy  2( x  3 y  1)2
Условные экстремумы функции двух переменных
Найти условные экстремумы функции:
2
1) u  x 2  y 2 , если 2 x  y  3
2) f ( x, y)  e2 x  y , если x  2 y  3
СЕМЕСТР 2
Табличные интегралы
1)

dx
4 x
2)
dx
 3 x2
3)

1  x2  1  x2
1  x4
dx
4 

4)  cos x 
dx
cos2 x 


5)

1  cos 2 x
dx
sin x
6)

sin 2 x
dx 7)
5 cos x

 1
1 
cos 2 x


dx 9) tg 2 xdx
dx
8)
2
2


2
sin x
x 5 
 x  25


Подведение под знак дифференциала
 cos 2xdx
5)  5 1  2 x dx
 4 dx
6)  6 x  5dx
1)
 3  2 x dx
dx
8) 
7x  6

dx
7) 
5  4 x 3
5 x 1
2)
3) e 23 x dx
6
4)
Интегрирование выражений,
содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе
x 1
C
2
dx
1
3x  1
3)  2

arctg
C
3x  2 x  2
5
5
1)
dx
dx
1 x 5
 ln
C
 6x  5 4 x 1
6 x  7 dx  ln 3x 2  7 x  11  C
4)  2
3x  7 x  11
1
 x2  2x  5  2 arctg
2)
x
2
Интегрирование по частям
1)
 2 х  3cos xdx  2 x  3sin x  2 cos x  C
2)
3)
 arcsin xdx  x arcsin x 
4)
1 x 2  C
 x e dx  e
2
 x ln xdx  3
2 x
x
( x 2  2 x  2)  C
2

x 3  ln x    C
3

Интегрирование рациональных дробей
1)

2 x 4  3x 2  21x  11
dx 
2 3
x2
x  3x 2  11x  11ln
C
3
x 1
x 2  3x  2
x 5 1
x3 x2
x 2  x 1
2)  3
dx



ln
C
3
2
x
x  x2  x
Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
1)
dx
1
 4 sin x  3 cos x  5  tg x  2  C
2

3)  sin 6 xdx
cos 7 xdx  sin x 
2)
3 sin 3 x 3 sin 5 x sin 7 x


C
3
5
7
4)
 sin
4

x cos3 x dx
5) sin 6 x cos 4 x dx
Интегрирование иррациональных функций
6
1)
3)
x
 1 3 x

dx 
66 5
x  2 x  66 x  6arctg 6 x  C
5
xdx

2x  1  1
2 x  13
6

2x  1
C
4
4)
2)
x
dx
 1  3 x 
3  x dx 
2
5
x
 66 x  6arctg 6 x  C
3  x 5  2 3  x 3  C
Определенный интеграл
I. По формуле Ньютона-Лейбница:
1
5
2
x
1
4 x  2dx 
dx

ln
13
1) 
2)
2

1 x
2
3
1
1
2
lg 2
3)
1
 2 5 dx  ln 10
x x
0
II. C помощью замены:
ln 2
1
dz
4
xdx
1
5)  z
6) 

 ln
6
e 1
3
1 5  4 x
0
III. Интегрирование по частям:
0
e
ln 3 x
6e  16
x
11)  xe dx  1
12)  2 dx 
x
e
1
1
16
dx
x
7)
4
x
1

4 9
ln
3 2
1
13)
3
6
 x 3 dx  ln 3  ln
2
x
2
0
3

4
ln 3 3
Приложения определенного интеграла
1) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  4  x 2 , y  x 2 .
3
 335 
2) Найти длину дуги кривой y  x 2 , отсекаемой прямой x  5 .  l 

27 

3) Найти объем тела вращения криволинейной трапеции 0  y  sin x, 0  x   вокруг оси
абсцисс.
4) Найти площадь поверхности вращения графика функции y  sin x,0  x   вокруг оси
абсцисс
Несобственные интегралы
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

1)

0
1
cos xdx 2)



dx
x
3)
2

1
dx
x

4)
1
dx
 7 x4
5)
dx
 x2
1
6)
0
3

0
dx
x1  x 
Уравнения с разделяющимися переменными
1) Найти общее решение дифференциального уравнения (1  e x ) yy  e x .
 
2) Решить задачу Коши: y  sin x  y cos x  0 , y   1 .
2
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
3) x 1  y 2  yy 1  x 2  0
5) y 
4) (1  y )dx  (1  x)dy  0
y
x
Найти частное решение при заданных условиях (решить задачу Коши):
6) y ln ydx  xdy  0 ,
y
x 1
 е,
7) 2 y dx  dy  0, y(0)  1
Однородные уравнения
1) Найти общий интеграл уравнения ( x 2  2 xy )dx  xydy  0
2) Найти частное решение уравнения xy   y  x sin
y
, y(1)   / 2 .
x
Решить уравнения:
3) xy  sin( y / x)  x  y sin( y / x)
4) xy  y  (2 x  xy ) y 
2
2
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
1) Найти общее решение уравнения y  tgx  y  0
2) Решить задачу Коши y   3 y  e 2 x , y (0)  1 .
Найти общее решение дифференциальных уравнений:
3) x 2  xy   y
4) xy   4 y  x 2 y
Решить задачу Коши:
2
6) y  xy   y3e x , y(0)  2
5) y   2 y  e  x
7) y  cos x  2 y sin x  2 x, y (0)  0
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Однородные уравнения.
1) y   y   12 y  0
2) y   6 y   9 y  0
3) y   4 y   12 y  0
Решить задачу Коши:
4) y   4 y   4 y  0 , y0  1 , y0  0
Найти общее решение:
6) y   4 y   3 y  0
7) 4 y   9 y  0
8) y   25 y   0
9) y   6 y   9 y  0
10) y   5 y   y  0
11) 9 y   12 y   4 y  0
Неоднородные уравнения: метод неопределенных коэффициентов
Найти общее решение дифференциальных уравнений. В задачах, помеченных *)
достаточно записать общий вид частного решения, не находя неопределенные
коэффициенты.
1) 2 y   y   y  4 xe2 x
2) y   2 y   8 y  8 cos 2 x
3) y  4 y  5 y  e x
4) y   6 y   9 y  ( x  2)e 3 x
6*) y   y  2 x cos x  sin x
5*) y   2 y  2 x(cos x  sin x)e x
7) y   2 y   2 y  2 x
Неоднородные уравнения: метод вариации постоянных
Найти общее решение дифференциального уравнения:
ex
e2x
1) y   y  
;
2) y   2 y   y 
;
x
1  e2x
1
4) y   4 y 
;
5) y   y  ctg 2 x  0 ;
cos 2 x
1
, y (0)  1, y (0)  2 ;
7) Решить задачу Коши: y   y  
1 ex
3) y   6 y   9 y 
e3x
;
x
6) y   y   e 2 x 1  e 2 x ;
Сумма ряда
1) Дан общий член ряда an 
Найти общий член ряда:
n
10  1
n
. Написать первые четыре члена ряда.
2
3
4
2 3  4   5 
1 3 5 7
    ....
4)           .... .
2 4 8 16
3  7   11   15 
Необходимое условие сходимости ряда
Проверить необходимое условие сходимости ряда:




n2  1
5n
n2  1
n2
1) 
2)  arctg
3) 
4)

3
n3
n 1 2n  3
n 1 n  1
n1
n 1 n  1
Знакопостоянные ряды
Исследовать ряды на сходимость:
Признаки сравнения и эквивалентности
2)
1 3 5 7
    ....
2 4 8 16
3)

1)
3  cos n
7

6)
2)
n10  2
n 1
7)
n 1


2  cos n
n
n 1



Признак Даламбера

 3
n!2 ;
n
8)
9)
;
n
2n !
n 1
n 1 3
3n  2!
 n  1!3
n 1

n
 n!2n
n
 e 1n  1 ln 1  1 


 

  n3  1 
3 1
3)
4)
arctg 3
1
n
n 1
n 1
arctg n  sin
n




10)
2n
 n2 .
n 1
Признак Коши

 1
12)  n1  
n
n 1 
n2
 n2 
13)  

n 1  2n  1 

3 n 1

1

14)   arcsin 
n
n 1 
n
Интегральный признак

18)
 (2n  1) ln( 2n  1)
1
n2
Применение нескольких признаков


4n 
1
 3 1 


1
19) 
n 1
n
!
3

n 1 
Знакопостоянные ряды: смешанные задачи

2n  3
1)
; 2)
3
n

2
n 1

3n !
 n!3 23n ;
n 1

6)

n2
 3n  2 ;
n 1

3)

3n  1
 2n  1 ;
4)
n 1
2   1n
7)
; 8)
n
n 1


3
1
; 5)
n 2
n 1
n2

1  1
 1   ; 9)
n 
n
n 1 2 


 1
1  
n
n 1 



n 2 1
1
; 10)
n 2 n ln n
;


ln
n3  1
n 1
Знакопеременные ряды
Исследовать ряды на сходимость.


 1n
1)
;
2)
 1n 1 4  3nsin n ;
(n  1) ln( n  1)
2
n 1
n 1


4)

  1
n n 1
2 sin
n 1

1
n n
;
5)
2n  1
  1n 1 3n  1 ;

3)
  1n cos 3 n ;
n 1

6)
n 1
1
  1n sin 3 n ;
1
n 1
Радиус и интервал сходимости
Найти радиус и интервал сходимости ряда



4)

n 0

2n x n
n 1  3
n
;
5)
n
 nx 
2)   
 ;
100


n 1
n
 x 2
1)   1  n  
 ;
 2 
n 0
n

n 0
x  2n
5 n (4n  1)

3)

; 6)

2n
x  1n ;

n 0 n  1!
arctgn
n  0 2n
2
3
x  3n ;
Разложение функций в степенные ряды
Разложить функцию в степенной ряд в окрестности точки x0=0:
1
1) f ( x) 
2) f ( x)  ln x 2  10 x  25 ; 3) f (x)  ln 1  5 x  ;
2x  3


4) Разложить функцию f ( x)  e x в степенной ряд в окрестности точки x0  2 .
n3
;
Разложить функцию в степенной ряд в окрестности указанных точек.
2
1) f ( x)  e  x , x0  0 ;
2) f ( x)  x3 cos x, x0  0 ;
4) f ( x)   x  2  
3
3) f ( x)  x 2  2 x  1  e( x 1) , x0  1;
Разложить функцию в ряд Маклорена:
9) f ( x)  1 ;
10) f ( x)  sin 2 x ;
2
4 x
x  4x
2
, x0  2;
11) f ( x)  sin x 2 ;

12) f ( x)  2 x ;
1
2

14) f ( x) 
13) f ( x)  ln x 2  10 x  21 ;
2x  6
x  6x  9
2
.
Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
Вычислить значение с точностью до :
1)
5
1,1 , =0,0001
2) ln 1,04 , =0,0001
3)
1
e
, =0,00001
4) 3 1,06 , =0,0001
5) sin 9 , =0,0001
6) ln 1,1 , =0,0001
Вычислить интеграл с заданной точностью Е
0,1
1
2
ln( 1  x)
1) 
2)  e  x dx  = 0,001
dx  = 0,001
x
0
0
0 , 25
1
3)  cos( x )dx
2
0
 = 0,001
4)

xe 
x
 = 0,001
0
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
Информатика *
Химия*
Информатика*
Физика*
Дискретная математика*
Математическая логика и теория
алгоритмов*
Физика*
Теория автоматов*
Теория информации*
Моделирование процессов и систем
Моделирование экономических
процессов и систем
Теория принятия решений*
Теория вероятностей и
математическая статистика*
Интеллектуальные информационные
системы и технологии*
Индекс
компетенции
ОПК-2
Алгебра и геометрия*
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Б.1. – Б.3.Дисциплины (модули)
1
семестр
2
семестр
*отмечены дисциплины базового цикла
3
семестр
4
семестр
7
семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Карта компетенций дисциплины
код
Таблица 9.
Результат обучения
в целом
ОПК-2
Знает: основные
законы
математического
анализа, его связи с
другими
дисциплинами
Умеет:
использовать
методы
математического
анализа и
моделирования при
проведении
учебных и научных
исследований
Результаты обучения по уровням освоения материала
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
основные
законы основные
связи
и
математического
приложения
анализа.
математического анализа
в
дисциплинах
математического
содержания.
основные
связи
и
приложения
математического анализа
в
дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
применять
практические
математические знания
при
моделировании
профессиональной
деятельности
в
учебном процессе.
применять практические и
теоретические
естественнонаучные
знания
в
профессиональной
деятельности,
при
проведении
теоретического
и
экспериментального
научного исследования.
применять практические
и
теоретические
естественнонаучные
знания
при
моделировании
профессиональной
деятельности в учебном
процессе,
при
проведении
учебных
исследований.
Виды
занятий
Оценочные средства
Аудиторные
контрольные работы,
Лекции,
выполнение
практичес
индивидуальных
кие
заданий,
занятия
собеседования,
коллоквиум
Аудиторные
контрольные работы,
Лекции,
выполнение
практичес
индивидуальных
кие
заданий,
занятия
собеседования,
коллоквиум
Владеет: аппаратом
математического
анализа
основными методами
математического
анализа,
используемыми
учебном процессе.
аппаратом
математического
анализа
при
моделировании
профессиональной
деятельности в учебном
процессе.
на
высоком
уровне
аппаратом
математического анализа
для
решения
разнообразных
профессиональных задач,
при
проведении
теоретического
и
экспериментального
исследования.
Аудиторные
контрольные работы,
Лекции,
выполнение
практичес
индивидуальных
кие
заданий,
занятия
собеседования,
коллоквиум
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Содержание контрольных мероприятий 1 семестра
Контрольная работа по теме «Введение в анализ функций одного переменного и
предел последовательности»
1) Найти область определения функции (2 функции).
2) Решить неравенство с модулем.
3) Найти пределы последовательностей (2 предела)
Примерный вариант:
1) Найти область определения:
sin5 x arccos x

2x  1 5 2x  1
2) Решить неравенство 5 | 2 x  7 | 5x
а)
y  ln(3x  4) ; б) y 
3) Найти пределы последовательности
а) lim
(2n  1)2  (3n3  5n  2)
n 
; б) lim
(n 2  5)( n 4  2)  n6  3n3  5
n
n 
16n10  5n8  3n3  9
Контрольная работа по теме «Предел и асимптоты функций»
1-10). Найти пределы
11) Найти асимптоты функции.
Примерный вариант:
1-10. Найти пределы
2
1. lim x  5 x  6
2
2
2. lim 2 x  11x  15
2
3. lim 5 x  3x  1
2
4. lim
x 2
x  12 x  20
x3
2
x  
5. lim
3x  x  5
x  2x  4
 3x  1
9.
 5x  1
x  x  12
x2  4 x
x3
x 1
3
2
6. lim
2
7. lim  4  2 x 
x   1  2 x 
7x  4
x 3x
5
x 2 x 4
3x  5 x  12
8. lim  2 x  3 
x   5 x  7 
x 1
10. lim ln(2 x  3)  e
lim x( x 2  1  x 2  1)
x2
x
2x
cos( x  2)  1
11. Найти асимптоты функции
2 x 2  3x  5
а) y 
x ( x  4)
б) f ( x)
1
 3 2 x
1
Контрольная работа по теме «Предел функций»
1-5) Найти пределы функций.
Примерный вариант:
1-5) Найти пределы функций:
2
1) lim
x 0
sin 2 x 2  (e x  1)
cos x 

5

x4  1  1
(esin x  1)  arcsin 3x
x  0 (cos x  1)  tg 5 x
2) lim
7 x 3
5 x 4  3 x3  5
 6x  1 
lim
4)
5)
lim


x   3 x  2 
x  2 x 2  3x  2
x   2  3x  7 x3
Контрольная работа по теме «Дифференцирование функций одного переменного»
1-5) Найти производные функций.
Примерный вариант:
1-5) Найти производные функций:
2
2
1) y  2  6 x3  5 x  6sin x
2) y  ln(6 x  2)  3tg 2 x  e6 x
x
2x  3
 sin 2 x  log7 5x
3) y 
4) y  5arctgx  8 x  arcsin 3x  7
( x  1)2
3) lim
x 1 1
3tgx
sin
 e 2x
5) y  arctg x  2
Контрольная работа по теме «Полное исследование функций»
Полное исследование и построение графика функции
Примерный вариант:
Полное исследование и построение графика функции
y  arctg x
Контрольная работа по теме «Приложение дифференциального исчисления функций
одного переменного» (Контрольная работа)
1) Предел функции.
2) Асимптоты функции.
3) Глобальные экстремумы функции
4) Монотонность и локальные экстремумы функции.
5) Выпуклость и точки перегиба функции.
Примерный вариант:
2
1  cos 2 x  e x  1

.
1) Вычислить предел lim
x 0 ln 1  arctg x  sin 2 2 x




2) Найти асимптоты функции
x
x

.
2 x 1
3) Определить глобальные экстремумы функции
2
f  x   xe x при 0  x  1 .
f ( x) 
4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
4
f  x   x 4  x3  1 .
3
5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f ( x)  x3  3x 2  7 .
Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих
переменных»
1) Найти локальные экстремумы функции
2) Найти условные экстремумы функции
Примерный вариант:
3
3
1) Найти локальные экстремумы функции u  x  y  6 xy .
2) Найти условные экстремумы функции u  e
xy 2
, если
x 2  2 y 2  12, y  0 .
Итоговая контрольная работа
1) Монотонность, лок.экстремумы функции одного переменного
2) Выпуклость, точки перегиба функции одного переменного
3) Асимптоты функции
4) Локальный экстремум функции нескольких переменных
5) Условный экстремум функции одного переменного
Примерный вариант:
1) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
f  x   3x 4  4x3 12x 2  2 .
2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f  x   x3  3x
x
3) Найти асимптоты функции f  x    arctg x .
2
4) Найти локальные экстремумы функции f  x, y   x3  y 3  4xy .
5) Определить условные экстремумы функции f  x   x  y , если
x2  y 2
 3, x  0 , у  0 .
Содержание контрольных мероприятий 2 семестра
Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»
1-5) Найти неопределенный интеграл
Неопределенные интегралы следующих типов (в варианте могут идти в различном
порядке):
- Интегралы, решаемые путем подведения под знак дифференциала
- Интегрирование по частям
- Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- Интегрирование рациональный функций
Примерный вариант:
1-5) Найти неопределенные интегралы
1.
dx
 (1  4 x2 )
;
2.
dx
 cos2 (5 x  3)
arctg 2 x
2 x 1
(2 x  3)dx
4.
5. 
dx .
;
 3x 2  x  1
( x  1)3 ( x  2)
3.
 ln(3x  4)  (6 x  1) dx
Контрольная работа по теме «Техника неопределенного интегрирования»
1-10) Найти неопределенный интеграл
Примерный вариант:
1)
 arcsin
dx
2
x
2)
1 x 2
4)  arcsin 3x dx
7)
dx
 1  sin x
6
x dx
8)
 3 x 2  4 x3
5)
(2 x  1)dx
 ( x  1) 2 ( x  2)
10)

( x  2)
x  4x  8
2
ex
 e2 x  1dx
dx
3)  x 2 cos 3 x dx
3
6) sin xdx
 cos x  3
9)  x 2 1  x 2 dx
Контрольная работа по теме «Интегральное исчисление функций»
1-3) Найти неопределенные интегралы
4) Вычислить определенный интеграл
5) Приложения определенных интегралов (площадь области, длина дуги, объем тела
вращения, площадь поверхности вращения)
Примерный вариант:
1-3) Найти неопределенные интегралы
1)
dx
 2x 2  2x  1
;
2)
2x3  x7
dx ;

8
1 x
3)

6
4) Вычислить определенный интеграл

x
 x  arctg 2dx .
dx
2
 sin 3x
.
12
5) Найти длину дуги кривой
y  x 1, отсеченной осью абсцисс.
2
Контрольная работа по теме «Несобственные интегралы»
1) Несобственный интеграл 1-го рода
2) Несобственный интеграл 2-го рода
Примерный вариант:
Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость

1
dx
ln x
1)  3 2) 
dx
x
x
1
0
Контрольная работа по теме «Ряды»
1) Исследование на сходимость знакопостоянного ряда
2) Исследование на сходимость знакопеременного ряда
3) Определить радиус и интервал сходимости
4) Разложить функцию в ряд
Примерный вариант:
 12
1) Исследовать на сходимость числовой ряд  n  n tg 1 .
3
n
n1 n  3 3
n3
2

2) Исследовать на сходимость числовой ряд  (1) (n  2)
n3
n 1
n

3) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  (1)n(n  2) x  2 .
n
n0
2n 2
 
4) Разложить в степенной ряд функцию f ( x)  ( x  2) ln( 3x  12x  13) в
окрестности точки x0  2 .
2
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»
1-8) Дифференциальные уравнения
Примерный вариант:
1. Решить задачу Коши
xydx  ( x  1)dy  0 , y (0)  1 .
2. Найти общее решение дифференциального уравнения xy  2 y  2 x
3. Найти решение задачи Коши x y y  xy  1, y (1)  0
4-5. Найти общее решение дифференциального уравнения
2 2
3
4
5. y  3 y   2 y  (6 x  1)e
4. y  24 x  sin x
x
y(0)  0, y '(0)  1 .
7. y   2 y   y  (18sin 2 x  cos 2 x)
6-7. Решить задачу Коши при начальных условиях
6. y  3 y  2 y  3e
8. Записать вид общего решения дифференциального уравнения без вычисления
x
коэффициентов частного решения y  16 y  xe cos 4 x
x
9. Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  2ctgx
10. Найти общий интеграл дифференциального уравнения y  
y2
x2
Итоговая контрольная работа
1) Неопределенный интеграл
2) Определенный интеграл или приложения определенного интеграла
3) Радиус и интервал сходимости степенного ряда
4) Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
5) Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка
Примерный вариант:
2
1) Найти неопределенный интеграл:  x  arctg x dx ;
1 x2
e
2) Вычислить определенный интеграл  1  ln x dx .
x
1
4
y
2
x
3) Найти и изобразить геометрически радиус и интервал сходимости степенного ряда

1
 (1) n  tg n ( x  1) n .
4
n 0
4) Решить задачу Коши y  3x2 y  2x2 , y(1)=2.
5) Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  6 y  2e4 x .
Список вопросов для устного опроса на семинаре
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1 СЕМЕСТР
Пустое множество
Подмножество
Объединение множеств
Пересечение множеств
Разность множеств
Множество натуральных чисел
Множество целых чисел
Множество рациональных чисел
Отрезок, интервал, полуоткрытый интервал
Окрестность точки
-окрестность точки
Левая и правая полуокрестности точки
Модуль вещественного числа
Верхняя грань числового множества
Нижняя грань числового множества
Точная верхняя грань числового множества
Точная нижняя грань числового множества
Ограниченное сверху числовое множество
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
Ограниченное снизу числовое множество
Ограниченное числовое множество
Числовая функция
Четная, нечетная функция
Монотонная функция
Возрастающая функция
Убывающая функция
Невозрастающая функция
Неубывающая функция
Ограниченная функция
Периодическая функция
Сложная функция
Элементарная функция
Числовая последовательность
Ограниченная последовательность
Возрастающая последовательность
Убывающая последовательность
Предел последовательности
Сходящаяся, расходящаяся последовательности
Последовательность имеет бесконечный предел
Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности
Эквивалентные последовательности
Предел функции на «языке последовательностей» (или по Гейне)
Предел функции на «языке -» (или по Коши)
Предел функции слева
Предел функции справа
Предел функции при х
Бесконечно большая и бесконечно малая функция
Эквивалентные функции
Замечательные пределы
Непрерывная в точке функция
Непрерывная в точке слева функция
Непрерывная в точке справа функция
Функция, непрерывная в интервале, на отрезке
Точка разрыва функции
Устранимая точка разрыва
Точка разрыва 1-го рода
Точка разрыва 2-го рода
Производная функции в точке, дифференцирование
Дифференциал функции в точке
Дифференцируемая функция
Правая и левая производные функции в точке
Бесконечные производные
Производная n-го порядка
Дифференциал n-го порядка
Асимптота кривой
Вертикальная асимптота
Горизонтальная асимптота
Наклонная асимптота
Точка строгого локального максимума
Точка строгого локального минимума
График функции, выпуклый вниз на интервале, точка перегиба
График функции, выпуклый вверх на интервале, точка перегиба
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Функция двух переменных
-окрестность точки в двумерном пространстве
Частные приращения функции двух переменных
Частные производные функции двух переменных
Дифференцируемая функция двух переменных
Полный дифференциал функции двух переменных
Частные производные функции двух переменных 2-го и 3-го порядков
Точка локального максимума функции двух переменных
Точка локального минимума функции двух переменных
Стационарные и критические точки функции нескольких переменных
Условный максимум функции двух переменных
Условный минимум функции двух переменных
Функция Лагранжа, множитель Лагранжа.
2 СЕМЕСТР
Первообразная функции
Теорема о строении множества первообразных
Неопределенный интеграл
Основные свойства неопределенного интеграла
«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
Формула замены переменных
Формула интегрирования «по частям»
Основные типы интегралов, берущихся «по частям»
Многочлен, дробно-рациональная функция, правильные и неправильные
рациональные дроби
Простейшие рациональные дроби
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование иррациональных функций
Интегральная сумма, определенный интеграл
Геометрический смысл определенного интеграла
Теоремы об интегрируемости непрерывных, ограниченных или монотонных
функций
Свойства определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Формула интегрирования «по частям» в определенном интеграле
Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной
трапеции
Применение определенного интеграла для нахождения объема тела вращения
криволинейной трапеции
Применение определенного интеграла для нахождения длины дуги плоской кривой
Применение определенного интеграла для нахождения площади поверхности
вращения криволинейной трапеции
Несобственный интеграл 1-го рода и его сходимость
Несобственный интеграл 2-го рода и его сходимость
Формулы сведения двойного интеграла к повторному
Числовой и функциональный ряд
Частичная сумма числового ряда, сходимость числового ряда
Основные свойства рядов
Необходимое условие сходимости ряда
Ряд Римана, ряд геометрической прогрессии
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и
эквивалентности
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки Даламбера и Коши
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: интегральный признак
Признак сходимости Лейбница
Абсолютная и условная сходимости
Степенные ряды, область сходимости
Радиус и интервал сходимости: определения и расчетные формулы
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
Ряд Тейлора
Ряд Маклорена
Разложение важнейших элементарных функций в ряд Маклорена
Обыкновенное дифференциальное уравнение, его порядок
Решение дифференциального уравнения n-го порядка
Общее и частное решения дифференциального уравнения 1-го и высших порядков
Задача Коши для дифференциальных уравнений 1-го и высших порядков
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка и уравнение Бернулли
Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами: общее решение
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами: общее решение, 2 метода нахождения частного решения.
Теоретические вопросы к экзамену
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие
переменной величины и функции (отображения).
Действительные функции одной действительной переменной. Область определения.
Сложная, обратная функция. Элементарная функция. Основные элементарные
функции.
Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение, графическая
иллюстрация.
Бесконечно малые функции, их свойства. Теорема о связи бесконечно малой и
функции, имеющей предел. Доказательство арифметических свойств пределов
функций.
Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние пределы. Бесконечно
большие функции.
Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй
замечательный предел.
Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Классификация
точек разрыва.
Эквивалентные функции. Теорема о применении эквивалентных при вычислении
пределов (случай суммы, произведения, частного).
Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о
непрерывности функции, имеющей производную.
Производная функции в точке. Доказательство правил дифференцирования (случай
суммы, произведения, частного).
Производная сложной и обратной функции (доказательства). Производная
параметрически заданной функции.
Вывод формул таблицы производных. Производная показательно-степенной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Дифференциал.
Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала.
Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Теорема Ролля (доказательство).
Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.
Правило Лопиталя (доказательство).
Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Применение
формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.
Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с доказательствами)
условия экстремума.
Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о выпуклости, вогнутости
графика функции. Асимптоты.
Определение функций нескольких переменных. Понятие окрестности и области на
плоскости.
Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных.
Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
Частные производные. Геометрический и физический смысл.
Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое и
достаточное условие дифференцируемости функции.
Производные и дифференциал сложной функции. Дифференциал сложной функции.
Неявные функции и их дифференцирование (теоремы существования, вывод формул).
Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия
существования. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл.
Условный экстремум.
2 семестр
1. Первообразная, неопределённый интеграл и его свойства
2. Вывод формул таблицы интегралов. Интегрирование квадратного трехчлена.
3. Интегрирование по частям, возвратные интегралы (на примере), замена переменной.
4. Разложение рациональной дроби на целую часть и сумму простейших дробей.
5. Интегрирование простейших дробей.
6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая
подстановка.
7. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование дифференциального
бинома.
8. Понятие интегральной суммы и определённого интеграла. Геометрический и
механический смысл. Теорема существования определенного интеграла.
9. Свойства определённого интеграла (с доказательствами).
10. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с
переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы
интегрирования по частям и замены переменной для определённого интеграла.
11. Площадь криволинейной трапеции для функции. Объём тела с известной площадью
поперечного сечения. Объем тела вращения для функции, заданной явно.
12. Длина дуги кривой для функции, заданной явно. Дифференциал длины дуги. Площадь
поверхности вращения.
13. Дифференциальные уравнения: основные определения. Дифференциальные
уравнения первого порядка. Задача Коши.
14. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными,
(вид, решение в общем виде с обоснованием).
15. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (вид, решение в общем
виде с обоснованием).
16. Дифференциальные уравнения первого порядка: линейные (вид, решение в общем
виде с обоснованием).
17. Дифференциальные уравнения первого порядка: Бернулли (вид, решение в общем
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
виде с обоснованием).
Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие
понижение порядка (виды, решение в общем виде с обоснованием).
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Понятие общего решения.
Определения линейной зависимости и независимости функций.
Линейные
однородные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами. Случай действительных и комплексных различных корней
характеристического уравнения.
Линейные
однородные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами. Случай действительных кратных и комплексных кратных корней
характеристического уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура решения. Метод
вариации постоянных (для уравнения второго порядка).
Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида (решение в общем виде и
примеры для всех четырех видов правых частей).
Числовые ряды. Сходимость, частичная сумма и сумма ряда. Остаток ряда.
Свойства сходящихся рядов.

26. Доказать необходимый признак сходимости и расходимость ряда
1
n
n 1
. Исследовать

 aq
27.
28.
29.
30.
сходимость ряда n1
.
Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Ряды-эталоны.
Ряды с положительными членами. Признак Даламбера.
Ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.
Ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши. Исследовать

1
n
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
n

сходимость ряда n1
.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Ряды с произвольными членами (по знаку). Достаточный признак сходимости.
Пример.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Пример.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ex, sin x, cos x в ряд Маклорена.
Указать область сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ln(1+x), arctg x в ряд Маклорена.
Указать область сходимости.
Формулировки практических заданий, которые могут быть включены в
экзаменационный билет (конкретные условия: функции, точки, векторы, значения - в
экзаменационном билете могут отличаться от приведенных ниже)
1 семестр
1) Исследовать на монотонность и найти локальные
f  x   3х 4  4 х3  12 х 2  10 .
2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f  x   x3  3x  17
экстремумы
функции
3х 2  1
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f  x  
на отрезке
х
[-2; -1]
х3  2
4) Найти асимптоты функции f  x   2
.
х 4
(e5 x  1) sin x5
5) Найти предел функции lim
x0 ln(1  5 x)(1  cos 2 x  2 x 2 )
6) Найти локальные экстремумы функции f  x, y   x3  y 3  4xy .
7) Определить условные экстремумы функции f  x   x  y , если
x2  y 2
 3, x  0 , у  0 .
8) Составить уравнение касательной к функции
f  x   ln( x  5) в точке х= – 4.
9) Найти градиент функции f  x   cos( x  2 y) в точке М(π/2;π) и производную в
точке М по направлению l  {2,5} .
2 семестр
1) Найти неопределенный интеграл:
x  arctg 2 x
 1 x2
dx ;
e
2) Вычислить определенный интеграл  1  ln x dx .
x
1
3) Найти и изобразить геометрически радиус и интервал сходимости степенного ряда

1
 (1) n  tg n ( x  1) n .
4
n 0
4) Решить задачу Коши y  3x2 y  2x2 , y(1)=2.
5) Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  6 y  2e4 x .
6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  e5 x 1 , y  е и х= –1.

7) Вычислите несобственный интеграл
dx
 ( x  2)
3
или установить его расходимость.
1

8) Исследовать на сходимость ряд

n 1
sin
1
n2
5n
( 1) n
9) Исследовать на абсолютную сходимость ряд 
n 1 3n  6

10) Решить задачу Коши y  4 y  4 y  0 , y (0)  2, y '(0)  1 .
11) Разложить функцию y  sin 2 3x в ряд Маклорена.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 10.
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать
экзамен.
Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу
дисциплины за семестр и пять практических задачи.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,
указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при
условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно
делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с
помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом
они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе
решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать
ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на
дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и
переходов от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном
решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы
и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы
решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из
этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 11.
Баллы
0-14
15-25
26-31
32-35
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также
экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность
обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую
активность.
1 СЕМЕСТР
Таблица 12.
Количество часов
Тема
Лекц
ии
1.2.
Последовательности
1.3. Числовые
1
функции
2.2. Приложение
дифференциального
исчисления к
исследованию
свойств функций.
1
1
3.1.
Дифференциальное
исчисление
функций многих
переменных.
Итого
Семинарские
(практические)
занятия
1
1
1
Форма проведения
Изучение темы и решение задач в малых
группах.
Лекция
с
запрограммированными
ошибками.
Проведение устного опроса в виде
взаимопроверки студентов.
Составление
студентами
задач,
сводимых к исследованию свойств
функций, с последующей защитой и
оппонированием.
Защита рефератов с последующим
оппонированием
(рецензированием).
Предварительно назначенный оппонент
(рецензент) ознакомлен с содержанием
реферата заранее.
4
2 СЕМЕСТР
Таблица 13.
Количество часов
Тема
1.3. Определенный
интеграл.
Геометрические и
физические
приложения
определенного
интеграла
2.1.
Дифференциальные
уравнения первого
порядка.
Лекц
ии
1
Семинарские
(практические)
занятия
1
Форма проведения
Изучение темы и решение задач в малых
группах.
Практическое
задание
можно
предложить для домашнего разбора. А в
аудитории, на следующем занятии,
разобрать пример еще раз, включив в
обсуждение всех студентов.
Лекция, построенная в виде ответов на
заранее подготовленные студентами
вопросы. При этом целесообразно
разделить слушателей на группы, а по
окончании
лекции
провести
взаимооценку групп.
2.2.
Дифференциальные
уравнения второго
порядка.
1
Предлагается группе студентов изучить
(проработать) материал с последующим
изложением аудитории
3.1. Числовые ряды
1
3.2.
Функциональные
ряды.
1
Защита рефератов с последующим
оппонированием (рецензированием).
Изучение темы и решение задач в малых
группах.
Составление студентами задач на
нахождение суммы степенного ряда
путем
первоначального
разложения
функций
в
степенные
ряды,
с
последующей
защитой
и
оппонированием
Итого
1
4
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1.
Математика : математический анализ и линейная алгебра : учеб. пособие для
студентов вузов / авт.-сост. А. П. Девятков [и др.]. - Тюмень : Изд-во ТюмГУ, 2011. 468 с.
2.
Шипачев, В.С. Высшая математика: базовый курс : учеб. пособие для студентов
вузов/ В. С. Шипачев. - 8-е изд., перераб. и доп.. - Москва: Юрайт, 2011. - 447 с.
1.2 Дополнительная литература:
1.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: решение типичных и
трудных задач : учеб. пособие/ Г. Н. Берман. - 2-е изд., стер. - Санкт-Петербург:
Лань, 2006. - 608 с.
2.
Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу : учеб.
пособие/ Г. И. Запорожец. -5-е изд., стереотип.. -Санкт-Петербург: Лань, 2009 .-464
с.
3.
Ильин, В. А.. Основы математического анализа : учеб. для студ. физ. спец. и спец.
"Прикладная математика" : в 2 ч. / В. А. Ильин. - Москва : ФИЗМАТЛИТ. - (Курс
высшей математики и математической физики ; Вып. 2).Ч. 2. - 5-е изд. - 2006. - 464 с.
4.
Ильин, В. А. Математический анализ : учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
"Математика", "Прикладная математика" и "Информатика" : в 2 ч. / В. А. Ильин, В.
А. Садовничий, Б. Х. Сендов; ред. А. Н. Тихонов; МГУ им. М. В. Ломоносова. - 3-е
изд., перераб. и доп. - Москва : Проспект : Изд-во МГУ. - (Классический
университетский учебник). - Ч. 2. - 2006. - 368 с.
5.
Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. -Ч. 2. - 2005. - 464 с.
6.
Фихтенгольц, Г. М.. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц.
- 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - (Учебники для вузов. Специальная
литература). - Ч. 1. - 2005. - 448 с.
7.
Шершнев, В.Г Математический анализ: сборник задач с решениями [Электронный
ресурс]: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 164 с.
Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=342088 (дата обращения
17.1.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Методические рекомендации по написанию реферата.
http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml
2. Реферат (выбор темы, структура)
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/
3. Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library
4. Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
2. Microsoft Word. Встроенный редактор формул.
3. Microsoft PowerPoint.
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля
знаний и др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях
с многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Математический анализ» содержит 6 модулей, которые изучаются 2
семестра (по 3 модуля в каждом семестре). Каждый модуль имеет определенную
логическую завершенность по отношению к установленным целям и результатам
обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении одного семестра. Комплексность означает учет
всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине.
Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а
также по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Список вопросов
приведен в разделе 10.3.
По мимо указанных вопросов, студент должен выучить (по мере изучения
дисциплины):
1 семестр:
- результаты основных действий с бесконечно большими и бесконечно малыми
функциями (модуль 1);
- таблицу эквивалентных бесконечно малых функций (модуль 1);
- таблицу производных (модуль 2);
2 семестр:
- таблицу интегралов (модуль 1);
- различные виды общего решения линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (модуль 2);
- разложения основных функций в ряд Маклорена (модуль 3).
Промежуточный контроль – это проверка знаний студентов по разделу программы,
проводится в виде регулярных контрольных мероприятий. В разделе 10.3 данного УМК
приведены списки контрольных мероприятий обоих семестров вместе с примерными
вариантами контрольных. Прорешивая указанные варианты, студент выявляет пробелы в
знаниях, которые имеет возможность восполнить, обращаясь с вопросами к
преподавателю в консультационные часы. Образцовые решения основных задач
контрольных мероприятий можно найти в учебных и методических изданиях [2,5,6]
раздела 12.2.
Помимо контрольных мероприятий студент имеет возможность написать один или
несколько рефератов, которые защищает на практических занятиях либо в
консультационные часы. Темы рефератов и методические указания по их написанию
можно найти в разделе 9 данного УМК.
Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений
студентов по всей дисциплине за семестр.
Форма контроля – итоговая работа, содержащая задания по всем разделам семестра.
Образцы контрольных по обоим семестрам приведены в разделе 10.3.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Полученное суммарное количество баллов в конце каждого семестра
переводится в оценку. Шкала перевода приведена в разделе 10.2 в таблице 10. В этом же
разделе можно найти информацию о том, что происходит в тех случаях, если студент не
доволен полученной оценкой либо его работа и знания за семестр признаны
«неудовлетворительными».
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания. Основные задачи приведены в разделе 9 (Задачи для самостоятельного решения).
Результаты решения задач, а также возникшие при решении трудности студент может
обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.