Олимпиадные задания для 8 класса

Олимпиада « После летних каникул» 8 класс.
1. Найти хотя бы две пары натуральных чисел х и у, для которых верно
равенство 2х3 = у4.
2. Представьте число x4 – 7x2 + 1 в виде произведения двух многочленов с
целыми коэффициентами.
3. Докажите, что данное число составное:
А) 7 ∙ 11 ∙ 15 ∙ … ∙ 43 – 473;
Б) 41…13 (1996 – значное число);
В) 66 + 1515.
4. Докажите, что произведение трёх последовательных чисел, сложенных
со вторым из них, равно кубу этого числа.
5. Проходят ли прямые x + y – 1 = 0, 2x – 5y + 1 = 0 и 4x – 3y – 1 = 0 через
одну точку?
Турнир смекалистых.
Раунд 1
1. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 секунды,
по неподвижному с той же скоростью за 42 секунды. За какое время он
спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?
2. В корзине есть шарики 3 видов: чёрные, белые и красные. Чёрных больше 7,
а белых меньше 7. Вместе чёрных и красных в 2 раза больше, чем белых, а
белых и красных ровно столько, сколько чёрных. Сколько шаров каждого
цвета в корзине?
3. В цехе 50% оборудования заменили на новое, у которого
производительность на 50% выше, чем у старого. На сколько процентов вырос
объём выпуска продукции?
4. За круглым столом сидят лжецы, которые всегда лгут и рыцари, которые на
любой вопрос отвечают правдиво.
а) Каждый из 7 сидящих за круглым столом сказал: «Мои соседи – лжец и
рыцарь». Кто за столом?
б) А если за столом сидело 9 человек?
5. Докажите, что для любого числа x справедливо неравенство
(6x + 1) (x – 1) > (2x + 1) (x – 3).
Раунд 2
1. Малыш и Карлсон поочерёдно берут конфеты из одного пакета. Малыш берёт
одну конфету, Карлсон – 2, затем Малыш берёт 3 конфеты, Карлсон – 4 и так
далее. Когда количество оставшихся в пакете конфет станет меньше
необходимого, тот, чья очередь наступила, берёт все оставшиеся
конфеты.Сколько конфет было в пакете первоначально, если у Малыша в итоге
оказалась 101 конфета.
2. В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. AC = 5,
BD = 12. Найдите площадь трапеции.
3. ABCD – трапеция, в которой известны длины всех её сторон. AB = 7, BC = 5,
CD = 24, AD = 30, где BC и AD – основания трапеции. Найдите площадь ABCD.
4. Несколько шахматистов провели между собой матч-турнир, в котором
каждый участник сыграл с каждым другим несколько партий. Во сколько кругов
прошло это соревнование, если всего было сыграно 224 партии?
5. Дано число n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n. Известно, что на конце этого числа
имеется одиннадцать нулей. Определите, чему равно n.
Олимпиада 1.
1. В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. AC =
15, BD = 20. Найдите площадь трапеции.
2. Решите в целых числах уравнение (x – 2)(xy + 4) = 1.
3. Решите уравнение (x2 – 4)/(x – 2) = 2x.
4. Найдите натуральное число n, если из трёх высказываний истинны не
менее двух.
1) n + 53 – квадрат натурального числа.
2) n делится на 10.
3) n – 38 – квадрат натурального числа.
5. Начертите угол в 19 градусов. С помощью циркуля и линейки разделите
его на 19 равных частей, то есть разбейте его на 19 частей по 1 градусу
каждая.
Олимпиада 2.
2
1. Докажите, что число 1994 + 19942 ∙ 19952 + 19952 является полным
квадратом.
2. Решите уравнение | x – 1 | + | 5 – x | = 4.
3. Решите уравнение 10х2 + у2 – 6ху – 8х + 4у + 8 = 0.
4. Пароход от Самары до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Самары
7 суток. Сколько дней будет плыть по течению плот от Самары до
Астрахани?
5. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 15 и имеющее
ровно 15 различных делителей.
Олимпиада 3.
1. Два токаря получили задание изготовить вместе менее 1000 деталей. За
первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно
1 1
9
7 , 6 и 20 своего задания, а второй за эти же дни выполнил соответственно
1 3
3
4 , 11 и 7 своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в
третий день?
2. Часы бьют по одному удару каждые полчаса, а каждый час – число
часов. Утром часы пустили; сделав 29 ударов, они остановились. В котором
часу они остановились?
3. Из Костромы в Иваново выехали с небольшими интервалами времени
семь велосипедистов, один из которых был с флягой. Во время каждого
обгона, если у обгоняемого есть фляга, то она переходит от одного из них к
другому. Какое наименьшее число обгонов (как с передачей, так и без
передачи) могло произойти, если фляга по дороге перебывала у всех
велосипедистов?
4. На пятидесятой клетке полосы длиной 100 клеток стоит фишка. Играют
двое. Каждый может своим ходом передвинуть фишку на одну или две
клетки в ту или иную сторону. Запрещено ставить фишку на те клетки, где
она уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его партнёр?
5. Решите неравенство | x – 1 | + | 5 – x | < 1.
Олимпиада 4.
1. Решите неравенство | x – 1 | + | 5 – x | ≤ 4.
2. Последовательность чисел {an} строится по такому закону:
5 х
an + 1 = f (an), где f (x) = х  1 .
Известно, что a16 = 5. Найдите произведение a8 ∙ a56.
3. В сплаве меди с оловом уменьшили массу меди на 25 %, а массу олова
увеличили на 15 %. В результате сплав стал весить на 20 % меньше, чем
исходный.
Сколько процентов составляла масса олова от исходного сплава?
4. Найдите два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из
них на общий наибольший делитель равна 18, а их наименьшее кратное 975.
5. Какое наименьшее количество сторон может иметь невыпуклый
многоугольник, если три его стороны лежат на одной прямой?